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TEMA 9: FIGURAS GEOMTRICAS ESPACIALES

Matas Arce, Sonsoles Blzquez, Toms Ortega, Cristina Pecharromn

1. INTRODUCCIN ..........................................................................................1

2. SUPERFICIES POLIDRICAS. POLIEDROS ...............................................1

3. FIGURAS DE REVOLUCIN ........................................................................3

4. POLIEDROS REGULARES...........................................................................6

5. SUPERFICIES DESARROLLABLES ............................................................7

6. REAS Y VOLMENES................................................................................8

1. INTRODUCCIN

En este captulo se har un estudio de las figuras geomtricas tridimensionales

estndares por ser stas las que estn ms presentes en los tratados de geometra al

gozar de ciertos aspectos de regularidad. En todas ellas podemos hacer dos

interpretaciones: una sobre el rea de la superficie que definen y otra sobre el volumen

que ocupan. Incluso se podra hacer una tercera interpretacin y pensar que podran

determinar capacidades para albergar fluidos. En primer lugar analizaremos las figuras

polidricas (prismticas y piramidales), a continuacin los cilindros y los conos (como

figuras de revolucin) y en tercer lugar los poliedros regulares. En cada uno de los

casos se har una interpretacin del rea de su superficie y del volumen y se estudiar

su desarrollo en el plano. En http://www.learner.org/interactives/geometry/ (en ingls)

se pueden encontrar animaciones de los conceptos tratados en este tema.

2. SUPERFICIES POLIDRICAS. POLIEDROS.

Una superficie polidrica es un conjunto finito de polgonos, que se llaman caras de la

superficie, que cumplen estas dos condiciones:

Cada lado de una cara pertenece tambin a otra cara y

slo a otra. Ambas caras se llaman contiguas.

Dos caras contiguas estn en distinto plano.

A la superficie polidrica tambin se llama denomina poliedro y

por este nombre tambin se indica la porcin finita del espacio

delimitado por la superficie polidrica. Un poliedro es convexo si

el segmento que determinan dos puntos cualesquiera del mismo

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est totalmente contenido en el poliedro. Los vrtices de las caras se denominan

vrtices del poliedro y, los lados de los polgonos, aristas del poliedro.

El poliedro de la figura adjunta tiene 12 vrtices, 18 aristas, 6 caras laterales que son

cuadrilteros y otras dos (parte inferior y superior del poliedro) que son hexgonos.

Tarea 1: Representa una figura tridimensional de caras que sean polgonos, pero que

no sea un poliedro.

Tarea 2: Justifica si la siguiente figura es un poliedro o no.

Cuntas caras, aristas y vrtices tiene?

Prismas

Son aquellos poliedros convexos que tienen dos caras iguales y paralelas entre s,

llamadas bases, y las restantes caras, caras laterales, son paralelogramos formados

por los pares de vrtices homlogos de las bases. Si los paralelogramos son

rectngulos (las aristas son perpendiculares a las bases) el prisma se denomina recto

y en caso contrario oblcuo.

Paraleleppedo: Es un prisma en el que tanto las bases como las

caras laterales son paralelogramos.

Ortoedro: Es un paraleleppedo en el que todas sus

caras son rectngulos.

Segn sea el nmero de lados del polgono de sus bases, los

prismas reciben el nombre de: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etctera.

Cuando estos polgonos sean regulares el prisma recto se llama regular. La altura es

el segmento sobre la perpendicular comn que une ambas bases. Tambin se

considera la distancia entre ambas bases.

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Pirmides

La pirmide es un poliedro convexo formado por un polgono, que

se denomina base, y cuyas caras laterales son tringulos con un

vrtice comn que se llama vrtice de la pirmide.

Segn sea el nmero de lados de la pirmide de su base, las

pirmides reciben el nombre de: triangulares, cuadrangulares,

pentagonales, etctera. La altura es el segmento sobre la

perpendicular que une el vrtice con la base. Tambin se

considera la distancia del vrtice a la base.

Cuando el polgono base de una pirmide sea regular y las caras laterales sean

iguales (son tringulos issceles), la pirmide se llama

regular. La altura de una de sus caras (es igual en todas) se

llama apotema de la pirmide. En este caso la altura de la

pirmide une su vrtice con el centro del polgono, por lo

que se llama pirmide recta (una pirmide recta se

caracteriza porque la proyeccin del vrtice sobre la base es el centro del polgono).

Cuando la pirmide no es recta se llama oblicua.

Tanto los prismas como las pirmides pueden ser seccionados por planos paralelos a

la base u oblicuos a la misma. En el

caso de los prismas se vuelve a

obtener otro prisma si la seccin es

paralela a la base, pero en el caso

de la pirmide se obtiene un

poliedro que se denomina tronco de

pirmide (cuando la seccin es

paralela a la base se forma un

polgono semejante al de la base).

3. FIGURAS DE REVOLUCIN

Las figuras de revolucin se obtienen girando una lnea o superficie alrededor de un

eje. El eje se llama eje de giro y la lnea que gira se llama generatriz. Se genera as

una superficie o un cuerpo macizo, con volumen. Las figuras ms conocidas son la

esfera, el cilindro y el cono, junto con otras relacionadas con ellas.

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Esfera (hueca o superficie esfrica) es la superficie generada por una

semicircunferencia al girar sobre su dimetro. El centro del dimetro es el centro de la

esfera (es centro de simetra) y el radio de la semicircunferencia en el radio de la

esfera.

Esfera (maciza o volumen esfrico) es el

volumen generado por un semicrculo sobre su

dimetro. El centro del dimetro es el centro de

la esfera (es centro de simetra) y el radio de la

semicrculo en el radio de la esfera.

La superficie esfrica se puede considerar

tambin como el lugar geomtrico de los puntos del espacio que equidistan de uno fijo

que se llama centro de la esfera. La distancia de un punto al centro se llama radio de

la esfera. El volumen esfrico sera el lugar geomtrico de los puntos

del espacio cuya distancia a un punto fijo que se llama centro de la

esfera es menor o igual que una longitud dada. La distancia mxima de

estos puntos al centro se llama radio de la esfera.

Los planos que pasan por el centro de la esfera dividen a sta en dos semiesferas y

cortan a la superficie esfrica en circunferencias de radio igual al de la

esfera, mientras que las circunferencias determinadas por secciones de

planos que no pasan por el centro tienen menor radio. La parte menor

en que estos planos dividen a la esfera se denomina casquete esfrico.

Huso esfrico es la parte de una esfera (superficie) delimitada por dos

planos que pasan por un dimetro de la esfera. Cua esfrica es la parte

de una esfera (volumen) delimitada por dos planos que pasan por un dimetro de la

esfera.

Zona esfrica: Es la porcin de superficie esfrica comprendida entre dos

planos paralelos que la seccionan. Segmento esfrico. Es la porcin de

volumen esfrico comprendido entre dos planos paralelos que la

seccionan.

Cilindro con esta palabra se designa tanto a la

superficie cilndrica como al volumen cilndrico. Aqu,

en primer lugar nos referimos a cilindros rectos.

Superficie cilndrica es la superficie generada por un

segmento que gira alrededor de una recta paralela a

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l. La recta se denomina eje del cilindro y a una cualquiera de las posiciones del

segmento, por ejemplo MN, se la llama generatriz del cilindro. Al girar alrededor del

eje, cualquier punto del segmento generatriz determina una circunferencia y su radio

es el radio del cilindro. La altura es el segmento sobre la perpendicular comn que

une ambas bases. Tambin se considera la distancia entre ambas bases.

Volumen cilndrico es el volumen generado al girar un rectngulo alrededor de un eje

que tiene uno de sus lados sobre el eje de giro. Los lados del rectngulo

perpendiculares al eje son radios del cilindro. Los crculos determinados por los

extremos del segmento generan sendas circunferencias y los crculos

correspondientes se denominan bases del cilindro. Estos crculos estn contenidos en

planos perpendiculares al eje de giro que se denomina eje del

cilindro.

Si a un cilindro recto se le secciona por dos planos paralelos no

perpendiculares al eje de giro, se obtiene un cilindro oblicuo,

como se muestra en la figura adjunta. En este caso las bases

son elipses.

Cono con esta palabra se designa tanto a la superficie cnica como al volumen

cnico. Aqu, en primer lugar nos referimos a conos rectos.

Superficie cnica es la superficie generada por un segmento que

gira alrededor de una recta en la que apoya uno de sus extremos.

La recta se denomina eje del cono y a una cualquiera de las

posiciones del segmento, por ejemplo VW, se la llama generatriz

del cono. El punto comn del segmento y eje, V, se

denomina vrtice del cono. La altura es el segmento

sobre la perpendicular que une el vrtice con la

base. Tambin se considera la distancia del vrtice a la base.

Volumen cnico es el volumen generado al girar un tringulo rectngulo alrededor de

un eje, de manera que uno de los catetos se encuentra sobre el eje de giro. La

hipotenusa del tringulo genera la superficie y el otro cateto genera el crculo base del

cono, que est situado en un plano perpendicular al eje.

Si a un cono recto se le secciona por un plano no

perpendicular que corte a todas las generatrices, se obtiene

un cono oblicuo, como se muestra en la figura adjunta. En

este caso la base es una elipse.

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Lo mismo que las

pirmides, los conos pueden ser

truncados (seccionados) por

planos perpendiculares u oblicuos

a su eje. A la parte de estas figuras comprendida entre el plano y la base se le llama

tronco del cono. Cuando el plano es perpendicular al eje la seccin es una

circunferencia o un crculo y si es oblicuo una elipse o una regin elptica.

4. POLIEDROS REGULARES

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polgonos regulares que

concurren de la misma forma en cada vrtice. Slo existen cinco poliedros regulares, y

se conocen con el nombre de cuerpos platnicos. Son stos:

Tetraedro: Poliedro formado por cuatro tringulos equilteros.

Hexaedro o cubo: Poliedro formado por seis cuadrados.

Octaedro: Poliedro formado por ocho tringulos equilteros.

Dodecaedro: Poliedro formado por doce pentgonos regulares.

Icosaedro: Poliedro formado por veinte tringulos equilteros.

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Tarea 3: Investiga qu tiene que ocurrir para poder construir poliedros regulares con

polgonos regulares y explica por qu slo existen cinco poliedros regulares.

Si se une el centro de cada cara de un poliedro regular se obtiene otro poliedro regular

que se llama dual. As son duales el cubo y el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro

y, por ltimo, el tetraedro es dual de s

mismo.

Adems, todos los poliedros regulares se

pueden inscribir en una esfera (todos los

vrtices estn sobre la esfera) y se puede

inscribir una esfera en todos ellos (la esfera

es tangente a las caras en el centro de las

mismas).

Tarea 4: Comprobar que se verifica el teorema de Euler (en un poliedro convexo, el

nmero de caras ms el nmeros de vrtices es igual al nmero de aristas ms dos,

C + V = A + 2) en los cinco slidos platnicos.

5. SUPERFICIES DESARROLLABLES

Todas las figuras estudiadas en este captulo son

desarrollables (su superficie se puede superponer

sobre un plano) excepto la esfera. A continuacin se

presentan las figuras planas a las que dan lugar los

desarrollos de un prisma cuadrangular, una pirmide

cuadrangular, un cilindro, un cono, un tronco de

pirmide recta y un tronco de cono recto.

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En el prisma el permetro de la base es igual a

la base del rectngulo formado por las

generatrices.

En la pirmide el permetro de la base es igual

a la suma de las bases de los tringulos.

En el cono, la longitud del arco de

circunferencia del sector circular es igual al

permetro del crculo que constituye la base y el

radio es igual a la generatriz del cono.

Tarea 5: Dibuja con precisin el desarrollo de un prisma triangular, una pirmide

pentagonal, un octaedro y un cono. Recorta y comprueba que se forma el cuerpo

pedido.

6. REAS Y VOLMENES

Como los poliedros son superficies desarrollables, su rea se define como el rea de

la figura plana que forma dicho desarrollo. En el caso de las figuras de revolucin se

obtiene como lmite de reas de poliedros y en el caso de la esfera (y las superficies

relacionadas con ella) se considera como lmite del rea de otros cuerpos de

revolucin (los generados por un polgono regular al girar sobre un dimetro, cuando el

nmero de lados tiende a infinito). Si se considera un cuerpo tridimensional como un

cuerpo macizo, tiene sentido plantearse cuntos cubos de lado unidad caben en dicho

cuerpo (se puede entender tambin como capacidad de la superficie), as que se parte

del volumen de un prisma y el resto se obtiene como lmite de cuerpos que resultan de

unir varios prismas. La relacin que se presenta est escaneada de M. Daz Vzquez

(1979). Diccionario bsico de Matemticas. Madrid, Anaya.

Tarea 6: Busca informacin en la red y explica cmo calcul Arqumedes el volumen de la esfera.

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Tarea: Resuelve los siguientes problemas de forma individual:

1. a) Cul es el nmero mnimo de caras que se necesitan para construir un prisma? Y de aristas? Y de vrtices?

b) Contesta de nuevo las tres preguntas anteriores, pero sustituyendo prisma por pirmide.

2. Cuntas aristas concurren en un vrtice situado en la base de una pirmide? Y en el vrtice de la pirmide que no se encuentra en la base?

3. Disea un procedimiento que nos permita calcular la altura de un objeto slido (que no puede perforarse) con forma de cono.

4. Un bloque de piedra cbico mide 3 metros de arista. Si cada dm3 de piedra pesa 7 Kg., cunto pesa el bloque de piedra?

5. Halla el rea total y el volumen de un prisma regular de base hexagonal de 10 cm de lado y 8 cm de altura.

6. Halla el rea lateral, total y el volumen de un prisma recto de 50 cm de altura y de base un tringulo issceles cuyos lados iguales miden 30 cm y cuyo lado desigual mide 36 cm.

7. Halla la longitud de la diagonal de un cubo o hexaedro en funcin de la longitud de la arista, a.

8. Una viga de acero con forma de prisma cuadrangular regular recto mide 16 m de altura. Calcula el lado de la base, sabiendo que su volumen es de 0,36 m3.

9. Se desea pintar el techo y las paredes de una nave industrial cuyo interior tiene forma de ortoedro de 20 m de largo por 14 m de ancho y 8 m de altura. Sabiendo que con cada bote de pintura se pueden pintar 32 m2, cuntos botes de pintura se necesitan como mnimo? Cunto costar pintar la nave si cada bote cuesta 9 ?

10. Halla el rea del icosaedro regular de 4cm de arista.

11. Un brillante ha sido tallado en forma de pirmide regular recta con base hexagonal de 2 mm de lado. La altura de la pirmide mide 4 mm. Halla el volumen del brillante.

12. a) Calcula el rea y el volumen de un cilindro de 8 cm de altura y 8 cm de dimetro de la base.

b) Tenemos un cono con el mismo volumen y la misma altura que el cilindro del apartado anterior. Cunto mide el dimetro de la base de dicho cono?

13. El radio de la base de un cono mide 14 cm y su altura 30 cm. Calcula:

a) La medida de la generatriz del cono.

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b) El rea lateral del cono.

c) El rea total del cono.

d) El volumen del cono.

14. Partimos de un cuerpo ortodrico, cuya base es un cuadrado de 6 cm de lado y su altura es 1 cm. A ese cuerpo se le hace un agujero tambin ortodrico, de la misma altura, pero de 3 cm de lado. Calcula el volumen del cuerpo resultante.

15. Calcula el rea total, el volumen y la longitud de la diagonal de un ortoedro, sabiendo que los permetros de sus tres tipos de caras diferentes son 36cm, 50cm y 70 cm.

16. Un octaedro regular tiene una arista de 12 cm de longitud. Cunto vale su rea? Y su volumen?

17. El volumen de un paraleleppedo es de 216 m3. Hallar las dimensiones de sus aristas, sabiendo que las aristas mayores tienen el doble de longitud que las medianas y las aristas pequeas la mitad de longitud que las medianas.

18. Una vasija de forma cbica llena de alcohol pesa 52688 Kg. El peso de la vasija vaca es de 2 Kg. Halla la profundidad de la vasija sabiendo que un litro de alcohol (es decir, un decmetro cbico de alcohol) pesa 792 gramos.

19. Una pirmide regular de base cuadrada tiene su rea lateral igual a tres veces el rea de la base. Si el rea total es 64 cm2, cul es el lado l de la base y la altura h de la pirmide?

20. Sabiendo que los dibujos adjuntos corresponden a troncos de pirmide regulares, calcula el rea total de dichos cuerpos.

21. Sabiendo que un cilindro de 3 m de altura tiene un rea lateral de 4 2m , halla el radio de la base del cilindro y calcula el rea total y el volumen del mismo.

22. La superficie lateral de un cono es un semicrculo de 20 cm de radio. Halla el radio de la base del cono y la altura del cono.

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23. Calcula la superficie y el volumen de la Tierra (supuesta prcticamente esfrica) sabiendo que su radio mide 6400 Kilmetros.

24. Calcula el rea total y el volumen del cuerpo geomtrico que aparece en la figura de la derecha.

25. Un cono tiene 3 m de altura y un radio de 1 m. Se desarrolla sobre un plano la superficie lateral de este cono, obtenindose un sector circular. Halla el ngulo o abertura de dicho sector.

26. Calcula el rea y el volumen del cuerpo geomtrico que aparece en la figura de la izquierda.

27. La cpula semiesfrica de una baslica tiene 10 m de radio. Cunto costar pintar su interior, si nos cobran 30,24 euros por cada metro cuadrado?

28. Calcula el rea de una zona esfrica contenida en un hemisferio, siendo los radios de sus bases 7 y 4 cm y la altura 3

cm.

29. Disponemos de un tubo cilndrico de 4 cm de radio interior. Se tapa dicho tubo por un extremo y se echa un litro (es decir, un decmetro cbico) de agua dentro del mismo. Qu altura alcanzar el agua dentro del cilindro?

30. El trapecio issceles de la figura de la derecha gira alrededor de la mediatriz comn a sus dos bases. Qu figura se forma? Halla el rea total y el volumen del cuerpo engendrado.

31. A un tringulo rectngulo, de catetos 18 y 24 cm respectivamente, se le circunscribe una circunferencia. Calcula:

a) El radio de la circunferencia.

b) El volumen engendrado por el semicrculo al girar 360 alrededor de la hipotenusa.

c) El volumen engendrado por el tringulo al girar 360 alrededor de la hipotenusa. (Fjate en qu forma tiene ese volumen, qu figuras componen dicho volumen?).

32. Sabiendo que la apotema de un tetraedro regular mide 8 cm, halla el rea total y el volumen del tetraedro.

33. Un prisma recto mide 6 metros de altura, su base es un rectngulo en el que uno

de los lados mide el doble del otro y el rea total del prisma es de 144 2m . Calcula la longitud de una de las diagonales del prisma.

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34. Dos monumentos tienen el mismo volumen. Uno es un cubo de 8 m de arista y el otro es una pirmide regular, de base cuadrada de 8 m de lado. Calcula la altura, la apotema y la longitud de la arista lateral de la pirmide.

35. De la figura anexa se conoce que EA = 25 cm, AB = 3 cm, BC = 1 cm y CD = 4 cm. Halla el volumen del cuerpo de revolucin engendrado al girar dicha figura alrededor de una recta que contenga a CD.

36. Un baln esfrico se introduce dentro de una caja cbica de 30 cm de arista, de tal manera que todas las caras de la caja son tangentes al baln. Halla el volumen del baln y el espacio vaco que queda dentro de la caja.

37. El radio de una naranja pelada, supuesta esfrica, es de 6cm. Se descompone dicha naranja en 16 gajos iguales. Qu forma tienen dichos gajos? Calcula el volumen y la superficie total de un gajo cualquiera.

38. En un cono de altura h y radio 3cm se circunscribe a la base un tringulo ABC equiltero. Los vrtices del tringulo se unen con el vrtice del cono. Se pide

a) El valor de h para que la pirmide triangular que se ha formado sea un tetraedro.

b) Para ese valor de h hallado, calcular el volumen comprendido entre el tetraedro y el cono.

39. Halla la altura de un casquete esfrico, sabiendo que su rea es de 25,26 m2 y que el volumen de la esfera a la que pertenece es de 405,23 m3.