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SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA Tema II.
Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas.
I. Introducción
II. Mecánica de un medio elástico.� Ecuación del desplazamiento en un medio
elástico, isótropo, homogéneo e infinito.Ecuación de Navier.
� Ecuación de ondas: Ondas P y ondas S.� Solución de la ecuación de ondas. Frentes de onda y
rayos.� Desplazamiento, velocidad y aceleración.� Ondas Planas.
III. Desplazamientos de las ondas (uP, uS)
� Funciones potenciales del desplazamiento y dela fuerza.
� Expresiones analíticas del desplazamientp.� Geometria del desplazamiento de las ondas P y S.� Funciones potenciales particulares.
IV. Propiedades de las ondas al cambiar de medio depropagación.
� Principio de Fermat y Ley de Snell� Reflexión y refracción en la superficie de
discontinuidad de dos medios líquidos.� Rayo de incidencia normal (i=0). Incidencia crítica (ic)
V. Propagación de los rayos sísmicos. Trayectorias ytiempos de llegada
SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA Tema II.
Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas.
I. Introducción
II. Mecánica de un medio elástico.� Ecuación del desplazamiento en un medio
elástico, isótropo, homogéneo e infinito.Ecuación de Navier.
� Ecuación de ondas: Ondas P y ondas S.� Solución de la ecuación de ondas. Frentes de onda y
rayos.� Desplazamiento, velocidad y aceleración.� Ondas Planas.
III. Desplazamientos de las ondas (uP, uS)
� Funciones potenciales del desplazamiento y dela fuerza.
� Expresiones analíticas del desplazamientp.� Geometria del desplazamiento de las ondas P y S.� Funciones potenciales particulares.
IV. Propiedades de las ondas al cambiar de medio depropagación.
� Principio de Fermat y Ley de Snell� Reflexión y refracción en la superficie de
discontinuidad de dos medios líquidos.� Rayo de incidencia normal (i=0). Incidencia crítica (ic)
V. Propagación de los rayos sísmicos. Trayectorias ytiempos de llegada
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS: ONDAS INTERNAS
Objetivo: Estudiar las ideas más fundamentales de la elasticidadaplicada al estudio de la propagación en el interior de la Tierra delas ondas sísmicas
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO.
2.2.1 Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo,homogéneo e infinito. Ecuación de Navier.
2ª Ley de Newton:r r rFdV TdS
d
dtdV
VSV+ = ∫∫∫ ρυ
F: Fuerzas por unidad de volumenT: Vector de Esfuerzos (fuerza/superficie)
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
rTdS
S∫
T: se puede expresar en términos del tensor de esfuerzos de acuerdo con la Ecuación de Cauchy: Ti ij j= τ υ
Sustituyo y Aplico T. Gauss� τ ν∂τ
∂ij j
ij
jVS
dSx
dV= ∫∫Sustituyo y agrupo todo como una integral de volumen �
∂τ
∂ρ
υρ
∂υ
∂ν
∂υ
∂
ij
j
i
i i
j
i
jxF
d
dt t x+ = = +
2.2.1 Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo,homogéneo e infinito. Ecuación de Navier.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
Ecuaciones de un Medio Elástico
Relación esfuerzos y deformaciones:(Ecuación Constitutiva)
eu
x
u
xij
i
j
j
i
= +
1
2
∂
∂
∂
∂
Si el medio es elástico: Ley de Hooke: τ ij ijkl klC e=
La cte es un tensor de cuarto rango que debido a la simetría tiene 21 elementos distintos. Isotropía � que sólo dos son idptes �τ δ λ µij ij kk ije e= + 2 λ y µ coef. de Lamé
Si el medio es homogéneo� λ y µ son ctes.µ: módulo de cizalla o rigida y relaciona los esfuerzos ydeformaciones cortantes o de cizalla
µτ
ij
ij
ije=
2
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
Ecuaciones de un Medio Elástico
λ µ= −K2
3K: coeficiente volumétrico o de compresibilidad
KP
conV
Ve e e
u
x
u
x
u
x=
−= = + + = + +
θµ θ
δ ∂
∂
∂
∂
∂
∂; 11 12 13
1
1
2
2
3
3
Relación entre elongaciones y contracciones en dos direcciones perpendiculares lo da el coeficiente de Poisson:
σλ
λ µ=
−=
+
e
e
22
11 2( )0 < σ < 1/2
Para la corteza y manto de la Tierra σ = ¼ � λ = µ
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS
Ecuaciones de un Medio Elástico∂τ
∂ρ
υρ
∂υ
∂ν
∂υ
∂
ij
j
i
i i
j
i
jxF
d
dt t x+ = = +
eu
x
u
xij
i
j
j
i
= +
1
2
∂
∂
∂
∂τ δ λ µij ij kk ije e= + 2F = 0 (No F.Ext)
Ec: Navier
2
222
2
22
t
u
t
uu)u()(
∂
∂=ω×∇β−θ∇α
∂
∂ρ=∇µ+⋅∇∇µ+λ
rrrr
rrrrr
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Aplico el operador divergencia �∇ = =+2
2
2
2
1 2θ
α
∂ θ
∂α
λ µ
ρtcon;
Aplico el operador rotacional � ∇ = =22
2
2
1ω
β
∂ ω
∂β
µ
ρtcon;
Son ecuaciones de onda: La 1º representa una perturbación elástica de cambio de volumen sin cambio de forma (onda longitudinal) con velocidad α (Ondas P )La 2ª representa cambios de forma sin cambio de volumen (ondastransversales, su velocidad es β (onda S)Ambas son llamadas Ondas Internas: Propuestas por Poisson(1830) yStokes (1849).
ωωωω =∇×u
2.2.2 Ecuación de ondas: Ondas P y S.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Expresión en función de φ y ψψψψ
u = ∇∇∇∇φ + ∇∇∇∇×ψψψψ
2
2
22
2
222
2
2
22
2
222
t
1
t
t
1
t
∂
ψ∂
β=ψ∇⇒
∂
ψ∂=ψ∇β
∂
φ∂
α=φ∇⇒
∂
φ∂=φ∇α
rr
rr
u = uP + uSuP = ∇∇∇∇φ
uS = ∇∇∇∇×ψψψψ
2.2.2 Ecuación de ondas: Ondas P y S.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
)t,x(ftc
1)t,x(f
x 2
2
22
2
∂
∂=
∂
∂Ecuación de ondas monodimensional
2
222
2
2
22
2
22
2
22
ckcon0)x(Rk
dx
)x(Rd
RkRcdx
)x(Rd
dx
)x(Rd
)x(R
c
ω==+
−=
ω−=⇒ω−=
0)t(Ttd
)t(Td
)t(Ttd
)t(Td
td
)t(Td
)t(T
1
22
2
22
22
2
2
=ω+
ω−=⇒ω−=
)tkx(i)tkx(i eBeA)t,x(f ω+ω− +=
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
f(x,t) = f(x-ct) + f(x+ct) Solución General.
Soluciones particulares)tkx(ieC)t,x(f ε+ω−=
f (x,t) = C cos[k (x-ct)+ε]f (x,t) = A cos (kx-ωt)+ B sen (kx-ωt)
C2 = A2 + B2 ε = tan-1 (B/A)
ε+
−
λπ=
T
tx2cosC)t,x(f
Fase: ξ = k ( x – ct) + ε
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Frentes de onda y Rayos
{ })t)x(Sk(iexpA)t,x(f jj ε+ω−=
kt
k)x(S 1j
ε−
ω=
kt
k)x(S 2j
ε−
ω=y
i
ii
xS
xS
n
∂∂
∂∂
= : Orientación del Rayo
3
3
2
2
1
1
x
Sxd
x
Sxd
x
Sxd
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂:Trayectoria de los rayos.
∆S / ∆t = ω / k = c :Velocidad de fase
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Ondas de varias frecuencias
∫∞+
∞−ω
ω−
ω
ωω
π= dt)x(S
)(ciexp)(F
2
1)t,x(f ii
)(ie)(A)(Ii)(R)(F ωΦω=ω+ω=ω
∫+∞
∞−
ω−=ω dte)t(f)(F ti
2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2.4 Desplazamiento, Velocidad y Aceleración
ε+
−ω= t
c
xcosA)t,x(u
ε+
−ωω=
∂
∂= t
c
xsenA
t
)t,x(u)t,x(v
ε+
−ωω−=
∂
∂= t
c
xcosA
t
)t,x(v)t,x(a 2
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2.5 Ondas Planas
S(x1 , x2, x3 ) = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 :Ecuación del frente de onda
2
2
223
2
22
2
21
2
t
f
c
1
x
f
x
f
x
f
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂f(xj, t) = A exp {i kj xj - ωt + ε}
)}txn(kiexp{A jj ε+α−=φ α
)}txn(kiexp{B jjkk η+β−=ψ β
)}txn(kiexp{)n,n,n(kiA)u,u,u(u
)})txn(kiexp{A(u
jj321P3
P2
P1
Pk
jjP
ε+α−==
ε+α−∇=φ∇=
αα
α
rrr
)}txn(kiexp{
)}nBnB(),nBnB(),nBnB{(ki
)u,u,u(u
u
jj
211213313223
S3
S2
S1
Sk
S
η+β−
−−−=
==
ψ×∇=
β
β
rrr
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.2.5 Ondas Planas
La onda P se propagaen la dirección del rayo.Onda longitudinal.
La onda S se propagaperpendicularmente a la dirección del rayo.Onda transversal.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
u A i k x tk
P
k j j= − +exp [ ( ) ]α ν α ε
u B i k x tk
S
k j j= − +exp [ ( ) ]β ν β η
r r ru con= ∇ + ∇ × ∇ ⋅ =φ ψ ψ; 0
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
Los potenciales φ y ψψψψ son soluciones de la ec. de onda en la forma:
∇ =22
2
1φ
α
∂ φ
∂ t∇ =2
2
2
1rr
ψα
∂ ψ
∂ t
Si φ y ψψψψ funciones armónicas en el tiempo: φ(xi, t) = φ(xi)exp(jωt)
( )∇ + =2 2 0kα φ ( )∇ + =2 2 0k iβ ψ Ec. de Helmholtz
En función de los cosenos directores:{ }φ ν α εα= − +A i k x tj jexp ( )
{ }( , , ) ( , , ) exp ( )ψ ψ ψ ν β ηβ1 2 3 1 2 3= − +B B B i k x tj j
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
Onda P
Onda S
� u = uP + uS con uP = ∇φ y uS=∇×ψψψψ
De las anteriores ecuaciones se deduce que:.- Los desplazamientos de las ondas P son longitudinales
coincidentes con la dirección de propagación..- Los desplazamientos de las ondas S están en un plano normal
a la dirección de propagación.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
En Sismología se acostumbra a referir los componentes de los desplazamientos de las ondas P y S con respecto a un sistemade ejes geográficos en la dirección Norte(X1), Oeste(X2) y zénit(X3).
tgSH
SVε =
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
La relación entre la dirección del rayo νi con los cosenos directores:
ν1 = sen i cos αν2 = sen i sen αν3 = cos i
• La componente SV y la onda P se mueven en el plano de incidencia.• La componente SH es normal a éste en el plano horizontal.
Si un rayo se propaga en el plano de incidencia (x1 , x3) �
ux x
u uP SV
11 3
1 1= − = +∂φ
∂
∂ψ
∂u
x xu u
P SV
33 1
3 3= − = +∂φ
∂
∂ψ
∂u u
SH
2 =
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S
Si las ondas se propagan en la dirección positiva de x1 y x3 �
φ αα= + −A ik seni x ix texp ( cos )1 3
ψ ββ= + −B ik seni x ix texp ( cos )1 3
u C ik seni x ix t2 1 3= + −exp ( cos )β β
Luego eligiendo un sistema de ejes en el que el rayo estécontenido en el plano (x1, x3) se simplifica la solución demuchos problemas de propagación de ondas ya que de estaforma se pueden estudiar por separado los desplazamientosen el plano de incidencia (P y SV) y normales a él (SH),
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIODE PROPAGACIÓN
Ley de Snell:cos cos cos '
'
cos '
'
ε
α β
ε
α β= = =
f f2 sólidos
2 líquidos
Medios líquidos (sólo onda P)M
M’
ρ
ρ’
φ α
αα
α
= + − +
+ − −
A ik ex senex t
A ik ex senex t
o exp (cos )
exp (cos )1 2
1 3
φ αα' ' exp (cos ' ' ' )'= − −A ik e x sene x t1 3
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Definiendo los coeficientes de reflexión V=A/Ao y deTransmisión W=A/Ao �
Vtg e tg e
tg e tg e=
−
+
ρ ρ
ρ ρ
' '
' Wtg e
tg e tg e=
+
2ρ
ρ ρ' '
Si la incidencia es normal � e = π /2
V =−
+
α ρ αρ
α ρ αρ
' '
' 'W =
+
2α ρ
α ρ αρ
'
' '
Bajo contraste de densidades � V 0 y W 1 Mucha Transmisión
Alto contraste de densidades � V 1 y W 0 Mucha Reflexión
2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIODE PROPAGACIÓN
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Si α’ > α � ∃ Angulo límite para los rayos transmitidos ec, llamado ángulo crítico � cos ec = α / α’
El rayo se llama refractado crítico y se propaga paralelo a la superficie de separación.
Para ángulos e < ec toda la energía se refleja y no existen rayos transmitidos al medio M’
2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIODE PROPAGACIÓN
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Para deducir la ecuación fundamental que regula la trayectoriade un rayo sísmico aplicamos el principio de Fermat:
senip
ν=
i: ángulo con la vertical en un puntov : velocidad en dicho puntop: parámetro del rayo
v=cte� i=ctev=cambia� i=cambia
Tierra: � v=cambia con la profundidad
Conocidas v(z) y x, se puede obtenerla distancia recorrida a lo largo del rayo S,la profundidad máxima h y el tiempo t que tarda en llegar la onda.
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Capas planas de velocidad constanteSi la dist. epicentral < 500 km � Rayos sólo penetran corteza yparte superior del manto. Consideramos la corteza formada por capasplanas de v = cte.
1) Rayo Directo2) Rayo Reflejado en la base de la capa3) Rayo Refractado Crítico a lo largo de
la superficie superior de medio
tx
v11
= tv
Hx
21
222
4= + t
x
v
H v v
v v32
22
12
1 2
2= +
−
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS
Variación continua de la velocidad con la profundidad
En el interior de la Tierra (sobre todo el manto) la velocidadvaría de forma continua con la profundidad.
Sdz
i
z
= ∫ cos0
x tg i dzpdz
p
h h
= =−
∫ ∫2 20 2 20 η
tdz
i
dz
p
h h
= =−
∫ ∫2 20
2
2 20ν
η
ηcos
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Trayectoria deRayos que aumentacon la profundidad
Domocrona
Curva (p,x) correspondiente
Variación continua de la velocidad con la profundidad
Variación continua de la velocidad con la profundidadSegún la figura anterior:
Consideremos dos rayos contiguos de parámetros p y p+dp, que llegan a distancias x y x-dx, si el recorrido del frente de onda alo largo del rayo de parámetro p en un dt es : ds = v dt �
senids
dxv
dt
dx= = Y, por tanto,
dt
dx
sen i
vp= =
Hay una relación entre la pendiente de la domocrona y p.Cuando i=90º (pto más profundo del rayo con velocidad vh)
dt
dxp
vh
= =1
La pendiente de la domocrona es la inversa de la velocidad máxima que alcanza el rayo.
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Variación continua de la velocidad con la profundidad
Asumiendo una distribución de aumento lineal de la velocidadcon la profundidad, en la corteza y manto de la Tierra: v = vo +kz��La trayectoria de rayos es circular con radio igual a h+vo/k,luego la expresión del tiempo con la distancia será:
tk
senhkx
vo
= −2
21
Medio esférico
Para estudiar comportamiento de ondas sísmicas en el interiorde la Tierra, se ha de considera un medio esférico � La distancia entre dos puntos se toma como la distancia angular∆ y las domocronicas son ahora (t, ∆)
2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA
Rayos en un medioesférico de velocidadconstante
Domocrona:Curva limitada al intervalo0 < ∆ < π
Sea una esfera homogénea de radio R y velocidad cte v:
tR
vsen=
2
2
∆
Medio esférico
Trayectoria de unrayo en regiones esféricasde velocidad constante(V1 < V2 < V3)
seni
v
sen f
v
1
1 2
=
Triángulos PQO y SQO
r seni r sen f2 2 1= �
�r seni
vp=
Medio esférico
Trayectoria de un rayo en un medio esférico de velocidadque aumenta de forma continua con la profundidad a lo largodel radio
ds dr r d2 2 2= + ( )∆ r seni
vp= Usando L.Snell�
�r
v
d
dsp
2 ∆= Además�
ds
dr p=
−
η
η2 2
d
dr
p
r p
∆=
−
12 2η
Medio esférico
Elementos de un rayoen un medio esféricode velocidad variable.
Integrando a lo largo del rayo desdeLa superficie (ro) al punto más profundo (rp):
∆ =−
∫22 2
p
r
dr
prp
ro
ηS
dr
prp
ro
=−
∫22 2
η
η
tdr
prp
ro
=−
∫22 2
η
ν η∆: Distancia angular a la queaflora el rayo cuyo pto más profundoestá a r = rp del centro.t: tiempo de recorrido.S: Distancia recorrida a lo largo del rayo
Medio esférico
Rayos DomocronaDistribución de laVelocidad con el Radio
Aplicación de la fórmula de Herglotz-Wiechert
La distancia rp corresponde al pto del rayo donde i=90º�r
vp
dt
d
p
p
p= = =η∆
� cosh ln−
=
∫ 1
1 1
pd
r
r
o
o ηπ∆
∆ Fórmula deHerglotz-Wiechert
Resuelta la integral v1 se obtiene de: vr
dt
d
11
1
=
∆ ∆
Inversión:Determinaciónde la distrib.de velocidadesen el interior de la Tierraa partir de lostiempos de llegada
Medio esférico