Tema III1 Teoria - ocw.unican.es · Departamento de Ing. Estructural y Mecánica •Posición: inicial, sucesivas, equilibrio ... Es el método de las velocidades relativas es el

Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.1 Análisis cinemático de mecanismos. Métodos gráficos.

Universidad de CantabriaDepartamento de Ing. Estructural y Mecánica

Capitulo IIICapitulo IIICapitulo IIICapitulo III

III 1. Análisis cinemático de mecanismos. Métodos gráficos.



CapCapCapCapíííítulo IIItulo IIItulo IIItulo IIIAnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismostico de mecanismostico de mecanismostico de mecanismos

III.1III.1III.1III.1 AnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Méééétodos grtodos grtodos grtodos grááááficos.ficos.ficos.ficos.1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón al ann al ann al ann al anáááálisis de mecanismos.lisis de mecanismos.lisis de mecanismos.lisis de mecanismos.2.2.2.2. MMMMéééétodos grtodos grtodos grtodos grááááficos de anficos de anficos de anficos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.3.3.3.3. MMMMéééétodo de las velocidades relativas.todo de las velocidades relativas.todo de las velocidades relativas.todo de las velocidades relativas.4.4.4.4. Limitaciones de los mLimitaciones de los mLimitaciones de los mLimitaciones de los méééétodos basados en velocidades todos basados en velocidades todos basados en velocidades todos basados en velocidades

relativas.relativas.relativas.relativas.III.2III.2III.2III.2 MMMMéééétodos analtodos analtodos analtodos analííííticos de anticos de anticos de anticos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.III.3.III.3.III.3.III.3. MMMMéééétodos numtodos numtodos numtodos numééééricos de anricos de anricos de anricos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.



CapCapCapCapíííítulo III: Tema 1tulo III: Tema 1tulo III: Tema 1tulo III: Tema 1AnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Méééétodos todos todos todos

grgrgrgrááááficosficosficosficos

1. Introducción al análisis de mecanismos.2. Métodos gráficos de análisis cinemático.3. Método de las velocidades relativas.

1. Formulación de velocidades y aceleraciones.2. Mecanismos con pares R.3. Mecanismos con pares R y P.4. Mecanismos con pares R y L.

4. Limitaciones de los métodos basados en velocidades relativas.





1. Introducción al análisis de mecanismos.



• Posición: inicial, sucesivas, equilibrio• Velocidad y aceleración

IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón al ann al ann al ann al anáááálisis de mecanismoslisis de mecanismoslisis de mecanismoslisis de mecanismosAnálisis Cinemático

topologíaY

geometríadel

mecanismo

Nº elementosNº pares

Síntesis

Resultado

PosiciónVelocidad

Aceleración

Dinámica

FuerzasMomentos

Métodos

• Hardware• Software• Rapidez• Precisión

Falta de generalidadImplement. ordenador

• Falta de precisión• No sistemáticos• No mecs. Complejos• Una posición

• Sencillez• Docencia

InconvenientesVentajas

Gráficos (T1)

Analíticos (T2)

Numéricos (T3)

Enfoques• Programador

• UsuarioTipos deproblemas





2. Métodos gráficos de análisis cinemático.



MMMMéééétodos grtodos grtodos grtodos grááááficos de anficos de anficos de anficos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemááááticoticoticotico

Existen fundamentalmente dos procedimientos para realizar el análisis cinemático de mecanismos gráficamente: el mel mel mel méééétodo de las velocidades todo de las velocidades todo de las velocidades todo de las velocidades relativasrelativasrelativasrelativas y el mmmméééétodo de los centros instanttodo de los centros instanttodo de los centros instanttodo de los centros instantááááneos de rotacineos de rotacineos de rotacineos de rotacióóóónnnn. La utilización y propiedades de este último ya se han estudiado en el capítulo referente al movimiento plano. Por esta razón, este capítulo se centrará en el procedimiento gráfico basado en velocidades relativas.

Es el método de las velocidades relativas es el más sencillo y general de análisis de mecanismos planos. Aunque su principal aplicación es la resolución gráfica de problemas puede ser aplicado como método analítico, aunque existen otros métodos más apropiados para este último caso. Sus limitaciones residen en el número de elementos considerados, cuando éste es grande el método carece de validez





3. Método de las velocidades relativas.1. Formulación de velocidades y aceleraciones.2. Mecanismos con pares R.3. Mecanismos con pares R y P.4. Mecanismos con pares R y L.



FormulaciFormulaciFormulaciFormulacióóóón de velocidades y aceleracionesn de velocidades y aceleracionesn de velocidades y aceleracionesn de velocidades y aceleraciones

El método de las velocidades relativas se basa en la descomposición del movimiento de un punto en movimiento de arrastre y relativo.

El punto P es el punto el cual se quiere analizar, para ello se supone un sistema de referencia absoluto xy y un sistema de referencia relativo x1x2.

El sistema de referencia relativo tiene una velocidad angular ω y la dirección de sus ejes vienen definidos por dos vectores unitarios: e1 y e2.

O

x

y

x1

x2P

ω

O’

e1e2

RRRR0

RRRR

rrrr




O

x

y

x1

x2P

ω

O’

e1e2

RRRR0

RRRR

rrrr

La descomposición del movimiento de P depende del sistema de referencia relativo seleccionado.

En principio cualquier selección es válida dando lugar a diferentes descomposiciones del movimiento. Pero es necesario tener en cuenta que no todas las descomposiciones hacen posible la resolución del problema.

Dependiendo de la descomposición seleccionada pueden obtenerse simplificaciones en el análisis que conduzcan a la resolución del problema.




O

x

y

x1

x2P

ω

O’

e1e2

RRRR0

RRRR

rrrr

∑+=+=

i

iix eRrRR 00

rarrr0

i

ii

i

ii0

i

ii

i

ii0

i

ii

i

ii00

xx

)(xx

)x(dt

d

dt

dx

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

VVVrωVeeωV

eωeV

eeRrRR

V

+=+×+=+×+=

=×++

=++=+==

∑∑

∑∑

∑∑

�

�

rωVV ×+= 0arr

La velocidad de arrastre representa la velocidad de un punto que coincide

con el P pero se mueve en un plano móvil solidario con el sistema de

referencia móvil. La velocidad Vr representa la velocidad con el que un

observador situado sobre el sistema de referencia móvil observa moverse al

punto P.




O

x

y

x1

x2P

ω

O’

e1e2

RRRR0

RRRR

rrrr

rrr

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

xxxxx

xdt

dx

dt

dx

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

VωArωωVωrαA

eωeeωωeωeωA

eeωeωVRV

A

×++××+×+×+=

=×++××+×+×+=

=+×+×+===

∑∑∑∑∑

∑∑∑

)(

)()(

)()(

0

0

02

2

��

�

[ ] corrarrrr AAAVωArωωrαAA ++=×++××+×+= 2)(0

[ ])(0 rωωrαAA ××+×+=arr

La aceleración de arrastre se corresponde con la aceleración del punto P si este se mueve solidario con el sistema de referencia móvil. La aceleración AAAAres la aceleración relativa y AAAAcor la aceleración de Coriolis.



Mecanismos con pares RMecanismos con pares RMecanismos con pares RMecanismos con pares R

M

N

Q

P

A

B

C

E

Direcc. de VVVVBVVVVA

CASO 1:CASO 1:CASO 1:CASO 1:

a)a)a)a) velocidades:velocidades:velocidades:velocidades: Se trata de determinar la velocidad del punto B conocida la velocidad del punto A y la dirección de la velocidad de B. Para ello se selecciona un sistema de referencia móvil con sus ejes paralelos a los ejes del sistema de referencia absoluto. Se plantea la siguiente ecuación vectorial:

rarrB VVV +=

0+= Aarr VV

ABωVV ×== ABr

rDarrMDBD VVV

?? +=




M

N

Q

P

A

B

C

E

Direcc. de VVVVB

VVVVA

VVVVA

VVVVB

VVVVAB

rDarrMDBD VVV

?? +=

AB

VABN =ω

ωωωωN

VVVVB




b) Aceleraciones:Aceleraciones:Aceleraciones:Aceleraciones: Se trata de determinar la aceleración del punto B conocidas todas las velocidades y el radio de curvatura de la trayectoria de B. Podemos plantear la siguiente ecuación,

corrarrB AAAA ++=ABαABωωAAA

AA

×+××=+=

=

)(tAB

nABr

Aarr

tABD

nAB

MDA

MD

tBD

nB

MDB AAAAAA

?? ++=+=

M

N

Q

P

A

B

C

E

VVVVAVVVVB

AAAAA

AAAABn

ωωωωN




3

4

Q

P

A

B

C

E

VVVVAVVVVB

AAAAA

AAAABn

ωωωωN

AAAAB

tABD

nAB

MDA

MD

tBD

nB

MDB AAAAAA

?? ++=+=

AB

tAB

N

A=α

ααααN

AAAAA2/1AAAAB4/1

n

AAAAB4/1t

AAAAB4/2n

AAAAB4/2t

AAAAB4/1┴VB

2

┴AB



Mecanismos con pares RMecanismos con pares RMecanismos con pares RMecanismos con pares RCASO 2

a) Velocidades:Velocidades:Velocidades:Velocidades: Se trata de determinar la velocidad del punto B conocida la velocidad de otros dos puntos: A y E. Para ello se selecciona un sistema de referencia móvil con sus ejes paralelos a los ejes del sistema de referencia absoluto. Se plantean las siguientes ecuaciones vectoriales,

M

N

Q

P

A

B

C

E

VVVVA

VVVVE

VVVVA

VVVVB VVVVAB

VVVVE

VVVVEB

+=

+=

ErDEarrMDB

ArDAarrMDB

VVV

VVV

???

???

VVVVB

AB

VABN =ω

ωωωωN




M

N

Q

P

A

B

C

E

VVVVA

AAAAA

AAAAA

VVVVE

AAAAE

VVVVB

AAAAE

AAAAEBn

AAAAABn

AAAAB

AAAAEBt

AAAAABt

b) Aceleraciones:Aceleraciones:Aceleraciones:Aceleraciones: En el caso de las aceleraciones se conocen las aceleraciones de A y E y las velocidades de todos los elementos. Por tanto, se puede plantear de igual forma que en el caso de las velocidades el siguiente sistema para la aceleración de B,

++=

++=

tEB

?D

nEB

MDE

MDB

??

tAB

?D

nAB

MDA

MDB

??

AAAA

AAAA

AB

tAB

N

A=α

AAAAB

ααααN




M

N

Q

P

A

B

C

E

θNMθN

θM

Direcc. de VVVVB

VVVVA

Otra forma:Otra forma:Otra forma:Otra forma: Mecanismo plano con pares R y sistema de referencia móvil con sus ejes fijos al elemento M.

MNNM θθθ −= MNMNNM

NMdt

d

dt

d

dt

dωω

θθθω −=−==

a)Velocidades: Se trata de determinar la velocidad del punto B conocida la velocidad del punto A, la velocidad angular ωωωωM, , , , y la dirección de la velocidad de B. Se plantea la siguiente ecuación vectorial,

rarrB VVV +=

ABAMDarr M

VVV +=

ABωV ×= MABMD M

ABωVMDNMDrD ×= ??

rDarrMDBD VVV

?? +=

AB

VrNM =ω

MNMN ωωω −=

VVVVA

VVVVB

VVVVBMA

Vr




M

N

Q

P

A

B

C

E

θNMθ

N

θ

M

Direcc. de VVVVB

VVVVA

AAAAA

AAAAA

AAAAnBMA

AAAAtBMA

AAAAcor

AAAAnB

AAAAtB

AAAAnr AAAAB

AAAAtr

AAAAnB

b) Aceleraciones: Se trata de determinar la aceleración del punto B conocidas todas las velocidades, la aceleración angular de M, y el radio de curvatura de la trayectoria de B. Podemos plantear la siguiente ecuación,

corrarrB AAAA ++=

rMcorMD

NMNMNMtr

nrr

MMMAMD

tAB

nABAarr

MD MM

VωA

ABαABωωAAA

ABαABωωAAAAA

×=

×+××=+=

×+××+=++=

2

)(

)(

corMD

trD

nr

MD

tAB

MD

nAB

MDA

MD

tBD

nB

MDBD MM

AAAAAAAAA +++++=+= ???

AB

tr

NM

A=α MNMN ααα −=



Mecanismos con pares R y PMecanismos con pares R y PMecanismos con pares R y PMecanismos con pares R y P

MN

Q

C

P

BE

A

VVVVA

Direcc. de VVVVB

x

x

Mecanismo plano con pares P y R y sistema de referencia móvil con sus ejes fijos en el elemento M

NM ωω =

a)a)a)a)Velocidades:Velocidades:Velocidades:Velocidades: Se trata de determinar la velocidad del punto B conocida la velocidad del punto A, la velocidad angular ωM, y la dirección de la velocidad de B. Se plantea la siguiente ecuación vectorial,

rarrB VVV +=

ABAMDarr M

VVV +=

ABωV ×= MABMD M

r?Darr

MDB

?D VVV +=

VVVVAVVVVBMA

VVVVBVVVVr

NM αα =



Mecanismos con pares R y PMecanismos con pares R y PMecanismos con pares R y PMecanismos con pares R y P

MN

Q

C

A

VVVVA

AAAAA

Direcc. de VVVVB

AAAAnB

x

x

AAAAA

AAAAB

AAAAtB

AAAAnBMA

AAAAtBMA

AAAAcor

AAAAr

P

BE


corrarrB AAAA ++=

rMcorMD

MMMAMD

tAB

nABAarr

MD MM

VωA

ABαABωωAAAAA

×=

×+××+=++=

2

)(

corMDrD

tAB

MD

nAB

MDA

MD

tBD

nB

MDBD MM

AAAAAAAA ++++=+= ???



Mecanismos con pares R y LMecanismos con pares R y LMecanismos con pares R y LMecanismos con pares R y L

MN

Q

P

B

C

E

A

F xy

R

y

y

Se considera un mecanismo plano con pares L y R y sistema de referencia móvil con su eje y paralelo a la superficie de rodadura. Es decir,

Nsist ωω =

En este caso pueden darse dos situaciones dependiendo del contacto en el par leva: rodadura pura o rodadura y deslizamiento. Se considera en primer lugar rodadura pura y a continuación rodadura con deslizamiento.

a)Velocidades: Se trata de determinar la velocidad del punto B conocida la velocidad del punto A, la velocidad angular ωM, y la dirección de la velocidad de B. Se plantea la siguiente ecuación vectorial,

VVVVADirecc. de VVVVB




MN

Q

P

B

C

E

AF

xy

R

y

y

rarrB VVV +=ABA

MDarr sist

VVV +=

ABωV ×= sistABD sist

?

rDarrDBD VVV??? +=

ErDEMDBD VVV

?? +=

AB

VarrN =ω

BFMDB

MDF NN

VVV +=??

FBωV ×= NBFN

BFBF RNVV =

AFDAMDF

MD RR

VVV?+=

FA

V AFR

R=ω

VVVVA

r?Darr

?DB

DD VVV +=

que es una ecuación que no puede resolverse como las anteriores ya que es necesario conocer más datos, por ejemplo la velocidad del punto E.

VVVVE

Direcc. de VVVVB




MN

Q

P

B

C

E

AF

xy

R

y

y


corrarrB AAAA ++=

rsistcorMD

sistsistsistAMD

tAB

nABAarrD sistsist

VωA

ABαABωωAAAAA

×=

×+××+=++=

2

)(?

corMDrD

tABD

nAB

MDA

MD

tBD

nB

MDBD sistsist

AAAAAAAA ++++=+= ????

Al igual que ocurría con las velocidades la ecuación debe ser resuelta con la ayuda del dato de la aceleración en otro punto, como por ejemplo el punto E.




MN

Q

P

B

C

E

AF

xy

R

y

y

AAAAE

tEB

?D

nEB

MDE

MD

tB

?D

nB

MDB

?? AAAAAA ++=+=

AAAAnB

corMDr

?D

tAB

?D

nAB

MDA

MDB

MD sistsist

AAAAAA ++++=

BA

AtAB

sistNsist== αα

NR FyyFyy AA =

++=

++=

tAF

?D

nAF

MDA

MDF

??

tBF

MD

nBF

MDB

MDF

??

RRR

NNN

AAAA

AAAA

FA

AtAF

RR=α

y

y

AAAAFN

AAAAAAAAAn

FRA

AAAAtFRA yyAAAAFN

AAAAFR

Condición de rodadura pura:




t

t

n

n

2

3

A2

A3

ω2

A03A02

En el caso de rodadura y deslizamiento es necesario tener en cuenta las componentes de velocidad y aceleración que aparecen el la dirección de deslizamiento. En este caso debe considerarse que en el punto de contacto la componente de la velocidad en la dirección perpendicular a la superficie de es la misma para los dos elementos. En el mecanismo de la figura se conoce la velocidad de entrada ω2 y la aceleración α2. Se pide:

•Determinar todas las velocidades y aceleraciones.

a)Velocidades.

El primer paso consiste en determinar la velocidad del punto A como perteneciente al elemento 2.

2222AAωV 0×=A

Ejemplo: rodadura y deslizamientoEjemplo: rodadura y deslizamientoEjemplo: rodadura y deslizamientoEjemplo: rodadura y deslizamiento




VVVVA2VVVVA3

VVVVr

rDAMDAD VVV

??

23+=

t

t

n

n

2

3

A2

A3

ω2

A03A02

3033

3

AA

VA=ω




t

tn

n

2

3

A2

A3

ω2

A03A02

a)Aceleraciones.

2222222 )(222

AAαAAωωAAA 00 ×+××=+= tA

MD

nA

MDA

MD

3333333??

? )(333

AAαAAωωAAA 00 ×+××=+= tAD

nA

MDA

corMD

trD

nrDA

MD

tAD

nA

MDA AAAAAAA +++=+= ????

? 2333rcor

MD VωA ×= 22




t

tn

n

2

3

A2

A3

ω2

A03A02

OA3

P32

OA2

El problema reside en determinar la componente normal y tangencial de la aceleración relativa. Para ello debe aplicarse la fórmula de Euler-Savary. En primer lugar se obtiene el polo del movimiento relativo de 3 con respecto a 2 aplicando el teorema de Aronhold. Como se considera la geometría de las levas conocida, se puede conocer los centros de curvatura de las superficies.

Considerando OA2 y OA3 los centros de curvatura del elemento 2 y el elemento 3 en el punto de contacto respectivamente se puede plantear Euler-Savary Estándar y Generalizado,




ctesen11

AA

=

+ φ

332322OPPO

ctesen11

3

=

−+ φ

33232APPO

2

3

n r

r

VA

O A=

corMD

trD

nr

MDA

MD

tAD

nA

MDA AAAAAAA +++=+= ???

? 2333

E-S Estándar E-S Generalizado

t

tn

n

2

3

A2

A3

ω2

A03A0

2

OA3

P32

OA2

O3

AAAAnA3

AAAAA2

AAAAnr

AAAAcor

AAAAA3 AAAAtA3

AAAAtr





4. Limitaciones de los métodos basados en velocidades relativas.



Limitaciones de los mLimitaciones de los mLimitaciones de los mLimitaciones de los méééétodos basados en todos basados en todos basados en todos basados en velocidades relativasvelocidades relativasvelocidades relativasvelocidades relativas

Como se ha estudiado en los ejemplos anteriores, si los radios de curvatura de los pares de los elementos son conocidos o pueden determinarse también pueden determinarse las aceleraciones normales. Como consecuencia el problema puede ser resuelto tanto en velocidades como en aceleraciones utilizando el procedimiento de descomposición visto. Los mecanismos en los cuales se da esta condición se denominan “mecanismos simples”.

Si esto no sucede existiendo elementos (y pares) flotantes cuyo radio de curvatura de la trayectoria no puede ser determinado, el análisis del mecanismo no puede ser realizado con el procedimiento de descomposición en aceleraciones relativas. A este tipo de mecanismos que cumplen esta condición se dice que son “cinemáticamente complejos”.




En ambos casos la ecuación de la aceleración queda como sigue,

tBAD

nBA

MDA

MD

tBD

nBDB AAAAAA

???

3++=+=

que no puede ser resuelta mediante los procedimientos estudiados en este tema. Existen procedimientos alternativos para resolver este tipo de mecanismos mediante aceleraciones relativas (p.ej. mediante cambio de entrada, método de Hirschhern, método de Carter, Punto Auxiliar, etc.) pero quedan fuera del alcance de este tema. Estos métodos tuvieron éxito cuando no se contaba con la ayuda de los ordenadores, siendo en muchos casos el único procedimiento para resolver el análisis cinemático. Sin embargo, hoy en día gracias al desarrollo de los métodos numéricos han quedado prácticamente en desuso.




A

BB

A

Mecanismos cinemáticamente complejos

Documents

Tema III1 Teoria - ocw.unican.es · Departamento de Ing. Estructural y Mecánica •Posición: inicial, sucesivas, equilibrio ... Es el método de las velocidades relativas es el