Tema Seminar429124185

Tem Algebr Liniar i Geometrie Analitic Lect. Dr. Adrian Sandovici

1

Tem Algebr Liniar i Geometrie Analitic

1. Artai c:

a) ,,n este spaiu vectorial; b) vectorii neee ,,, 21 formeaz o baz n n , unde

0,0,0,0,11 e , 0,0,,0,1,02 e ,, 1,0,0,0,0 ne .

2. S se cerceteze liniar dependena urmtorului sistem de vectori:

1,3,1,21 v , 1,0,2,12 v , 0,3,1,13 v

n 4 . Acest sistem formeaz o baz n 4 ?

3. n 4 se dau vectorii:

1,2,1,11 v , 1,0,1,12 v , 1,1,0,03 v , 0,2,2,14 v .

i) S se arate c acetia formeaz o baz.

ii) Se cer coordonatele vectorului 1,1,1,1v n aceast baz.

4. Fie aplicaiile

22: f , 22121 3,2, xxxxxfxf

22: g , 11221 4,, xxxxxgxg .

a) S se arate c acestea sunt aplicaii liniare.

b) S se determine gf i fg i s se verifice c sunt aplicaii liniare.

5. Fie aplicaia liniar

33: f , 32321321321 3,2,2,, xxxxxxxxxxxfxf .

a) S se arate c f este inversabil i s se determine inversa sa 331 : f .

b) S se verifice c 1f este tot o aplicaia liniar.


2

6. Fie XXf 34 RR: definit prin XPPPf 4R, , unde P reprezint

derivata formal a polinomului P .

a) S se arate c f este aplicaie liniar.

b) S se scrie 2,1~

f adic matricea lui f n raport cu bazele canonice

4321 ,,,,1 XXXX din X4R i respectiv 322 ,,,1 XXX din X3R . c) S se determine fKer i fIm .

7. Fie un spaiu vectorial V , 3dim V i VVf : ,

111111111

~f ,

unde 321 ,, eee . S se determine fKer i fIm .

8. Fie aplicaia liniar 22: T , 21121 3,, xxxxxTxT . S se arate c 2T (aplicaia identic).

9. Determinai matricea A n fiecare din cazurile urmtoare:

a)

1308

2001

23T

TA ;

b) TTT AA 112302132 .

10. Se consider matricele

201

a ,

8351

90B ,

111107014

C , 720 d .

Verificai care dintre urmtoarele produse au sens i n acest caz efectuai-le: ad , da ,

BC , CB , Bd , dB , Cd , dC , aC , Ca , 2C , dBC , dCB , adC , adBC , adCa , 2a .


3

11. Se consider aplicaia XXT 22 RR: , definit prin PXPT 14 . Se cere:

a) S se arate c T este o aplicaie liniar.

b) S se scrie matricea asociat lui T relativ la baza canonic 2,,1 XX a spaiului vectorial X2R .

c) S se determine TKer i TIm .

12. Fie V un spaiu vectorial, 3dim V , T un endomorfism al lui V i 321 ,, eee o baz a lui V astfel nct

111111111

~T .

a) S se determine vectorii i valorile proprii asociate endomorfismului T .

b) S se verifice dac T este diagonalizabil i apoi s se determine o baz a spaiului n

raport cu care matricea asociat lui T are forma diagonal canonic.

13. Se consider aplicaia XXT 22 RR: , definit prin PXPT 14 . Se cere:

d) S se arate c T este o aplicaie liniar.

e) S se scrie matricea asociat lui T relativ la baza canonic 2,,1 XX a spaiului vectorial X2R .

f) S se determine valorile proprii i subspaiul vectorilor proprii corespunztori.

g) S se decid dac T este diagonalizabil sau nu i n caz afirmativ s se scrie

forma diagonal a matricei i s se precizeze baza relativ la care matricea are

forma diagonal.

14. S se arate c funcia 22:, , definit prin

2212122122111 ,,,,3225, yyyxxxyxyxyxyxyx

este un produs scalar.


4

15. n spaiul vectorial euclidian real ,, cu baza 21,ee astfel nct 11 e ,

42 e ,

4

, 21

ee

se consider vectorul 21 5eex . S se calculeze x .

16. n spaiul vectorial euclidian real 3 se consider vectorii

3,0,11 a , 0,1,12 a , 1,1,13 a .

a) S se verifice dac 3211 ,, aaa constituie o baz a lui 3 . b) S se ortonormeze sistemul de vectori 321 ,, aaa .

17. S se arate c transformarea

33: T , ,,,,, 321321 uuuxxxTxT

unde

3213

3212

3211

32

32

31

32

31

32

31

32

32

xxxu

xxxu

xxxu

este ortogonal n 3 cu produsul scalar uzual.


5

18. Sa se determine transformarea ortogonala care transforma punctele ,1,7A ,4,7B 1,3C

respectiv in punctele ,5

16,52

A ,5,2B 0,2C .

19. Determinati vectorii si valorile proprii ai transformarii ortogonale care reprezinta

simetria fata de dreapta 2

2: yxd .

20. Fie 3:f o form ptratic a crei expresie analitic n raport cu baza canonic a

lui 3 este

3221 xxxxxf .

a) S se scrie matricea lui f n raport cu baza canonic a lui 3 i expresia analitic

a polarei lui f n raport cu aceeai baz.

b) Folosind metoda lui Gauss s se determine o expresie canonic pentru f i o

baz a lui 3 n raport cu care f are aceast expresie canonic.

c) S se precizeze signatura lui f .

21. Folosind metoda Jacobi aflai expresia canonic i baza n care se realizeaz aceasta

pentru forma ptratic

3:f , 3231212221 22224 xxxxxxxxxQ 22. Folosind metoda valorilor proprii determinai expresia canonic i baza n care se

realizeaz aceasta pentru forma ptratic

3:f , 3121232221 44465 xxxxxxxxf , S se precizeze signatura lui f .

23. Se consider un segment AB i punctele 1M i 2M care mpart segmentul n trei pri

egale. Dac M este un punct oarecare n afara segmentului, s se exprime vectorii 1MM

i 2MM n funcie de vectorii aMA i bMB .


6

24. S se determine astfel nct vectorii

kjiv 3221 , kjiv 2 , kjv 243

s fie coplanari. Cu astfel determinat s se descompun 1v dup direciile vectorilor 2v i

3v .

25. S se calculeze 133221 32 vvvvvv tiind c

bav 31 , bav 32 i bav 3 , iar 92a , 3

2b i

3, ba .

26. S se gseasc un vector x coliniar cu kjia 2 i care satisface condiia

3 ax .

27. Cunoscnd dou laturi jiAB 43 , jiBC 5 ale unui triunghi s se

calculeze lungimea nlimii sale CD .

28. S se determine astfel ca volumul paralelipipedului construit pe vectorii

kjia 32 , kjib 2 , jic 2 s fie egal cu 5 .

29. Se dau vectorii

kjiOA 3412 , kjiOB 4123 , kjiOC 432 .

a) S se afle lungimile laturilor ABC .

b) S se arate c AOC este dreptunghic i OAB este isoscel.

c) S se calculeze produsul scalar BCAB .


7

30. Se consider vectorii a i b astfel nct 6

, ba . tiind c 3a i 2b s se

calculeze:

a) ba ,

b) baba 2 . c) S se verifice dac punctele

1,0,31M , 4,2,02M ,

3,34,13M

sunt coliniare.

31.S se calculeze distana de la punctul 1,1,30 M la planul

04520422: zyx .

32. S se calculeze distana de la punctul 1,1,1A la dreapta

31

11

21: zyxd .

33. S se calculeze unghiul urmtoarelor plane

01354:1 zyx i 094:2 zyx .

34. S se scrie ecuaia planului determinat de punctele

0,1,31M , 2,7,02M , 5,1,43M .

35. Se d un tetraedru ABCD definit de punctele 0,0,3A , 0,4,2B , 0,1,3 C ,

5,0,0D . S se scrie ecuaiile feelor, muchiilor i ale nlimilor tetraedrului ABCD .

Documents

Tema Seminar429124185