Tema Torsion

Resistencia de Materiales

TORSINDeformaciones en un rbol circularUn momento de torsin o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal.

Su efecto es de inters primordial en el diseo de ejes de transmisin, utilizados ampliamente en vehculos y maquinaria.______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa

Esfuerzo cortante en barras de seccin circular debido a momento torsor

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t: Esfuerzo cortante en el punto de inters de la seccin transversalr: distancia medida desde el centro hasta el punto de intersJ: Momento polar de inercia de la seccin transversal

ngulo de giro en barras circulares sometidas a momento torsor

q: ngulo de giro de una seccin B respecto a una seccin AT: Par torsor al que est sometido la barra circularJ: Momento polar de inercia de la seccin transversalG: Mdulo de rigidez del materialLAB: Longitud de la barra entre las secciones A y B





Relaciones entre par torsor, potencia y velocidad angular

w: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)T: Par torsor al que est sometido la barra circularP: Potencia

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaTorsin

Se puede ilustrar qu ocurre fsicamente cuando un momento de torsin se aplica a un eje circular hecho de un material muy elstico, como el hule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotacin en el plano del momento. Las lneas longitudinales se convierten en hlices que intersectan siempre con el mismo ngulo a los crculos transversales.______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa

Extraeremos a continuacin una porcin cilndrica y consideraremos un pequeo elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porcin. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra.______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa

Observemos la figura.

Si el ngulo g es muy pequeo, se puede establecer:

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Donde AA es el arco que recorre el punto A al deformarse la barra debido a torsin, es el ngulo de giro (en radianes) entre dos secciones transversales separadas una longitud L, es el radio de la porcin cilndrica considerada y g es la deformacin cortante, en radianes.Ley de Hooke para TorsinDe forma similar al caso de esfuerzos normales, existe tambin una relacin proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango elstico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones. Matemticamente, podemos expresar dicha relacin como sigue:

Donde t es el esfuerzo cortante, g es la deformacin cortante y G es el mdulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad (E) de la siguiente forma:

Siendo n el mdulo de Poisson.


Para realizar la deduccin de una expresin que nos permita hallar la distribucin de esfuerzos cortantes en una seccin transversal debido a un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:

- Las secciones circulares permanecen como tales.

- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.

- Las lneas radiales permanecen rectas an despus de la deformacin.

- El eje est sometido a la accin de pares torsores.

- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elstico del material.

______________________________________________________________________________Universidad nacional del SantaEsfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsinSi recordamos la relacin de deformacin establecida anteriormente:

Notaremos que para una deformacin dada, los valores de q y L se mantienen constates, de forma que g vara linealmente con r.

Podemos establecer entonces el valor mximo de la deformacin g :

Luego:

Y, finalmente:______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa

Recordando que la deformacin se realiza en el rango elstico del material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresin y nos queda:

Aplicar la primera condicin de equilibrio nos aportar una informacin que ya conocemos: la variacin del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la seccin. Estudiaremos entonces que sucede con la segunda condicin de equilibrio:

Sacando de la integral los trminos constantes, nos queda:


Donde la integral resultante es una propiedad de rea conocida como momento polar de inercia (J). Podemos rescribir entonces la expresin de la forma:

Recordando que anteriormente se estableci que:

Sustituimos esto en la expresin anterior y nos queda:______________________________________________________________________________Universidad Nacional del Santa

Para un rbol circular hueco el momento polar de inercia J es:

Finalmente, obtenemos lo siguiente:______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaFacultad de IngenieraDepartamento Acadmico de Energa y Fsica

Ntese que, para barras de seccin circular, la variacin del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la seccin.Por otro lado, como se estudi en el captulo anterior, el esfuerzo cortante debe actuar tambin en otro plano perpendicular al de la seccin transversal para conseguir el equilibrio del elemento diferencial.

De forma similar al caso de carga axial, podemos utilizar expresiones referidas a estas deformaciones para resolver casos estticamente indeterminados.Nos interesa entonces determinar una expresin que relacione el par torsor T con el ngulo de giro entre secciones transversales q.

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaEjes estticamente indeterminadosComo observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una barra produce una rotacin relativa entre secciones transversales que se encuentren separadas por una longitud L.

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaJuntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer lugar, encontramos que podemos relacionar el ngulo q con la deformacin cortante g mediante la expresin:

En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:

Finalmente, la ecuacin que relaciona el par torsor con el esfuerzo cortante, determinada recientemente:

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaSi sustituimos las expresiones resultantes del despeje de g y t en la ley de Hooke, obtendremos:

Finalmente, para barras de seccin circular:

Esta ecuacin resulta de gran utilidad en casos donde las condiciones de esttica resultan insuficientes para determinar las cargas en distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsin.

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaObservemos el caso mostrado en la figura.En ella se presentan dos barras solidarias, de seccin transversal circular, empotradas en sus extremos y sometidas a un par torsor T en su unin.

La condicin de equilibrio que puede establecerse es la siguiente:

Notemos que tenemos una ecuacin y dos incgnitas (TA y TC). Un segunda relacin se obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para poder establecer esta relacin, es necesario primero definir los pares torsores al que estn sometidos los segmentos AB y BC.______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaEn primer lugar, estudiemos el tramo AB.El torsor aplicado sobre este segmento se define realizando un corte en la estructura justo antes del punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda entonces:

Luego, aplicamos un procedimiento similar para el siguiente tramo. Al realizar un corte justo antes del punto de aplicacin del siguiente torsor, obtenemos:

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaLa condicin de deformacin que debe cumplirse es la siguiente:

Donde qB/A es el ngulo que gira la seccin B respecto a la A y qB/C es el ngulo que gira la seccin B respecto a la C. Ntese que deben ser iguales; entonces:

Sustituyendo TAB y TBC, obtenemos la segunda ecuacin que necesitamos para resolver el sistema:

El trabajo mecnico desarrollado por fuerzas F actuando tangencialmente a los elementos dl del rbol circular de dimetro D=2r es:

La potencia mecnica P se define como:

Entonces de la relacin anterior tenemos:

De donde:

T= par torsor = velocidad angular

______________________________________________________________________________Universidad Nacional del SantaEn el diseo de estos sistemas, emplearemos dos relaciones principalmente. La primera, es la expresin matemtica que indica la potencia que comunica un eje una polea:

Donde P es la potencia transmitida, w es la velocidad angular y T el torsor al que est sometido el eje, la polea el engranaje.

EJEMPLO1:Para el eje cilndrico hueco que se muestra en la figura:

Cual es el mayor torque que puede aplicrsele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa.Cual es el valor mnimo correspondiente del esfuerzo cortante?

SOLUCIN:a) como

De donde:

25b) El esfuerzo cortante mnimo lo podemos deducir del grfico siguiente:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:EJEMPLO:El eje vertical AD est unido a una base fija en D y sometido a los torques indicados. Un hueco de 44 mm de dimetro ha sido perforado en la porcin CD del eje. Sabiendo que todo el eje est hecho de acero con G = 80 GPa, determine el ngulo de torsin en el extremo A.

SOLUCIN:En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de seccin uniforme y con torque interno constante, adems el sistema est en equilibrio, luego:Podemos hacer un corte entre A y B, entonces:

Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar

No hay torque aplicado en C entonces :

El ngulo de torsin en A ser:

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