23
1. Introducción Concepto de transitorio Orden del circuito 2. Transitorios de primer orden Respuesta natural Respuesta transitoria en continua Respuesta transitoria en alterna 3. Transitorios de segundo orden Circuitos básicos Respuesta natural Respuesta ante escalón (continua) Respuesta a onda sinusoidal Tema 13: Transitorios de 1 er y 2º orden

Tema transitorios

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Page 1: Tema transitorios

1. Introducción

• Concepto de transitorio

• Orden del circuito

2. Transitorios de primer orden

• Respuesta natural

• Respuesta transitoria en continua

• Respuesta transitoria en alterna

3. Transitorios de segundo orden

• Circuitos básicos

• Respuesta natural

• Respuesta ante escalón (continua)

• Respuesta a onda sinusoidal (alterna)

4. Ejemplos de aplicación

Tema 13: Transitorios de 1er y 2º orden

Page 2: Tema transitorios

V(t)

t=0

Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.

Los transitorios son debidos a elementos que almacenan energía: Bobinas y condensadores.

Introducción. Concepto de transitorio

Page 3: Tema transitorios

Resistencias y

FuentesCeq

Resistencias y

FuentesLeq

Resistencias y

FuentesCeq1

Ceq2

ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que tenga el circuito.

Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden

Resistencias y

FuentesLeq1

Leq2

Resistencias y

FuentesLeq

Ceq

Introducción. Orden del circuito

Page 4: Tema transitorios

CVC(t)ReqResistencias

CVC(t)

Req vista desde el condensador

0(0)cv V

e( ) R ( )c q cv t i t

( )( ) cc

dv ti t C

dt

e

( ) 1( ) 0

Rc

cq

dv tv t

dt C

/( ) tcv t A e

eR q C

0A V

Cte de tiempo

El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔV=V0-V∞

/0( ) t

cv t V e

Cálculo de la constante, A:

0(0)cv V

/( ) tcv t A e

Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Respuesta natural

Condiciones iniciales

Page 5: Tema transitorios

CVC(t)

Req

V

CircuitoActivo

CVC(t)

Thévenin visto desde el condensador

Resistencias Y Fuentes

/0( ) ( ) tX t X X X e

0(0)cv V

e e

( ) 1 1( )

R Rc

cq q

dv tv t V

dt C C

/0( ) ( ) t

cv t V V V e

eR q C Cte de tiempo

( )cv V

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

El condensador evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial

Para un t=τ se alcanza un 63% del salto (ΔV=V∞-V0)

Única para el circuito

/ /0( ) (1 )t t

cv t V e V e

Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero

Transitorios de primer orden. Respuesta en continua

Page 6: Tema transitorios

CircuitoActivo

CVC(t)

Thévenin visto desde el condensador

Resistencias Y Fuentes

/( ) 2 cos( ) tX t X t K e

0(0)cv V

e e

( ) 1 1( ) ( )

R Rc

c caq q

dv tv t V t

dt C C

/( ) 2 cos( ) t

cv t V t K e

eR q C Cte de tiempo

/tK e

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

Vc(t)

Única para el circuitoCálculo de la constante, K:

0(0)cv V

(0) 2 coscv V K

0 2 cosK V V

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna

Page 7: Tema transitorios

L

iL(t)

Geq

0(0)Li I

0A I

e( ) ( )L q Li t G v t

( )( ) LL

di tv t L

dt

e

( ) 10L

Lq

di ti

dt G L

/( ) tLi t A e

eqG L Cte de tiempo

La bobina se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial I0 hasta 0

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔI=I0-I∞

Resistencias L

Geq vista desde la bobina

iL(t)

Cálculo de la constante, A:

/( ) tLi t A e

0(0)Li I

/0( ) t

Li t I e

Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Respuesta natural

Condiciones iniciales

Page 8: Tema transitorios

CircuitoActivo

L

Norton visto desde la bobina

Resistencias Y Fuentes

iL(t)

Geq L

iL(t)

i

/0( ) ( ) tX t X X X e

0(0)Li I

e e

( ) 1 1( )Lc

q q

di tv t I

dt G L G L

Cte de tiempo

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

iL(t

)

I0

I∞

La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

( )Li I

Para un t=τ se alcanza un 63% del valor salto

/ /0( ) (1 )t t

li t I e I e

Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero

Única para el circuito

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

Transitorios de primer orden. Respuesta en continua

eqG L

Page 9: Tema transitorios

( )Li t

/( ) 2 cos( ) tX t X t K e

CircuitoActivo

L

Norton visto desde la bobina

Resistencias Y Fuentes

iL(t)

0(0)Li I

.e e

( ) 1 1( ) ( )Lc LR P

q q

di tv t i t

dt G L G L

/( ) 2 cos( ) tLi t I t K e

Cte de tiempo

Geq L

iL(t)

Icc(t)

Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanente

/tK e

Respuesta natural=transitorio

Única para el circuito

Cálculo de la constante, K:

(0) 2 cosli I K

0 2 cosK I I 0(0)Li I

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna

eqG L

Page 10: Tema transitorios

Resistencias y

FuentesC

L

00

( )(0) cL

t

dv ti I C

dt

2e

2

R( ) ( ) 1 1( ) ( )qC C

g

d v t dv tVc t V t

dt L dt LC LC

• RLC serie: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en serie.

0(0)cv V

• RLC paralelo: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en paralelo.

ReqL

iL(t)

Ig(t)C

VC(t)

L C

Resistencias y

Fuentes

2

2e

( ) ( )1 1 1( ) ( )

RL L

gq

d i t di tVc t i t

dt C dt LC LC

0(0)Li I 00

( )(0) L

Ct

di tv V L

dt

Condiciones iniciales

VC(t)

Req

C

L

Vg(t)

iL(t)

Condiciones iniciales

Equivalante Thévenin

visto desde el cjto. LC Leq

Ceq

Equivalante Norton visto desde el cjto. LC

Leq Ceq

Transitorios de segundo orden. Circuitos básicos

Page 11: Tema transitorios

2 21 2 0,S S

2 202 0S S

Respuesta natural

2202

( ) ( )2 ( ) 0

d X t dX tX t

dt dt

1 21 2( ) S t S tX t K e K e

e

e

0

R,

2constante de amortiguamiento α

1,

2R

1frecuencia de resonancia ,

q

q

para RLC serieL

para RLC paraleloC

para RLC serie y paraleloLC

Polinomio característico

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) S t S tX t K e K e

Respuesta Sobre amortiguada

1 2S S 0

1 2( ) ( ) tX t K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

1 dS j 2 dS j 0

1 2( ) os( )tdX t K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

Transitorios de segundo orden. Respuesta en ausencia de fuentes

Page 12: Tema transitorios

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) S t S t

cV t V K e K e

Respuesta Sobreamortiguada

t

X(t

)

0V

V

( )cV t

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete: V∞

1 21 1 2 2

( ) ( ) S t S tc cI t dV tK S e K S e

C dt

01

01 2 2

1 1

/

V VK

I CS S K

0 1 1 2 2/I C K S K S En forma matricial:

0 1 2V V K K

Page 13: Tema transitorios

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete: V∞

1 1 2

( ) ( )( )t tc cI t dV t

K e K t K eC dt

01

02

0 1

/1

V VK

I CK

0 1 2/I C K K

En forma matricial: 0 2V V K

1 2S S

0

1 2( ) ( ) tcV t V K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

0V V

( )cV t

Page 14: Tema transitorios

Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete: V∞

1 2 1 2

( ) ( )( ) os( )t tc c

d d d

I t dV tK e sen t K K e c t K

C dt

0

0

1 1

/d

V VX

I CY

0 1 2 1 2/ osdI C K senK K c K

En forma matricial: 0 1 2osV V K c K

1 dS j 2 dS j

0

1 2( ) os( )tc dV t V K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

0V

V

( )cV t

1 2osX K c K 1 2Y K senK2 2

1K X Y

2 ( / )K arctg Y X

Page 15: Tema transitorios

Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) 2 cos( ) S t S t

cV t V t K e K e

Respuesta Sobreamortiguada

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete:

1 21 1 2 2

( ) ( )2 ( ) S t S tc cI t dV tV sen t K S e K S e

C dt

01

1 2 2 0

2 cos1 1

/ 2

V VK

S S K I C V sen

0 1 1 2 2/ 2I C V sen K S K S

En forma matricial: 0 1 22 cosV V K K

2 cos( )V t

( )cV t

1 21 2

S t S tK e K e

Page 16: Tema transitorios

1 1 2

( )( ) 2 ( ) ( )t tcc

dV tI t C V sen t K e K t K e

dt

01

2 0

2 cos0 1

1 / 2

V VK

K I C V sen

0 1 2/ 2I C V sen K K

En forma matricial: 0 22 cosV V K

1 2S S

0

1 2( ) 2 cos( ) ( ) tcV t V t K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna

( )cV t

1 2( ) tK t K e

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete: 2 cos( )V t

Page 17: Tema transitorios

1 2 1 2

( )( ) 2 ( ) ( ) os( )t tcc d d d

dV tI t C V sen t K e sen t K K e c t K

dt

0

0

1 1 2 cos

/ 2d

V VX

Y I C V sen

0 1 2 1 2/ 2 osdI C V sen K senK K c K

En forma matricial: 0 1 22 cos osV V K c K

1 dS j 2 dS j

0

1 2( ) 2 cos( ) os( )tc dV t V t K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

1 2osX K c K 1 2Y K senK

2 21K X Y

2 ( / )K arctg Y X

Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna

1 2os( )tdK e c t K

Determinación de K1 y K2:

Condiciones iniciales: V0 e I0

Rég. permannete: 2 cos( )V t

Page 18: Tema transitorios

50 V

Interruptor

4

0.1 H

t = 0

R = 4 R = 2.5 R = 7.5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

14

16

18

20

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)t 0.025 s

t 0.013 s

t 0.04 s

i = 50/4 = 12.5 A

L/R 0.1/4 0.025 s

i = 50/2.5 = 20 A

L/R 0.1/2.5 0.04 s

i = 50/7.5 = 6 A

L/R 0.1/7.5 0.013 s

Motor de CC

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

Circuito de primer orden

Influencia de la resistencia:

R afecta a la cte. de tiempo y a I∞

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

Transitorio de arranque de un motor CC

Page 19: Tema transitorios

50 V

Interruptor

4

0.1 H

t = 0

L = 0.1H L = 0.2H L = 0.05H

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

L → 0

i = 50/4 = 12.5 A

L/R

Influencia de la bobina:

L afecta a la cte. de tiempo

Motor de CC

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

Circuito de primer orden

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

t 0.025 s

t 0.0125 s

t 0.05 s

Transitorio de arranque de un motor CC

Page 20: Tema transitorios

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e de

l prim

ario

(A

)

1er Orden 2º Orden

Conmutación

2

12 VInterruptor cerrado

1F

1 100

5 mH

R/2L 200

0 1/LC 14142 << 0 Subamortiguado

Interruptor abierto

Circuito de primer ordenCircuito de segundo orden serie

2 20 0d

Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

Page 21: Tema transitorios

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-150

-100

-50

0

50

100

150

Tiempo (s)

Ten

sión

del

prim

ario

del

tran

sfor

mad

or (

V)

Conmutación Régimen permanente final

Pico de tensión: chispa en la bujía

R = 2 R = 4 R = 0.5

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado

R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden

τ=L/R

0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018 0.0185 0.019

-300

-200

-100

0

100

200

300

Tiempo (s)

Te

nsi

ón

de

l pri

ma

rio

de

l tra

fo (

V)

2 20 0d

Influencia de la resistencia:

Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

Page 22: Tema transitorios

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

Tiempo (s)

Ten

sión

del

sec

unda

rio d

el tr

afo

(V)

L = 5 mH L = 7.5mHL = 2.5mH

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado

R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden

τ=L/R

0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018

-1

-0.5

0

0.5

1

x 104

Tiempo (s)

Te

nsi

ón

de

l se

cun

da

rio

de

l tra

fo (

V)

Influencia de la bobina:

Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio

Page 23: Tema transitorios

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e de

l prim

ario

(A

)

L = 2.5mH R = 4 C = 0.5F

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado

R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden

τ=L/R

Influencia de R, L y C en el transitorio de 1er orden:

Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio