Tema1 Redes Filtracion

7/26/2019 Tema1 Redes Filtracion

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Redes de filt ración Jesús González

Grado en Ingeniería Civil y Terri torial

Mecánica del suelo y de rocas

Curso 2015-2016

TEMA 1: REDES DE FILTRACIÓN

Jesús González

ETSI Caminos, Canales y Puertos (UPM)




ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................... 1

2. ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD........................................................................ 2

3. ECUACIÓN DE LAPLACE...................................................................................... 4

4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE...................................................... 5

5. DETERMINACIÓN DEL CAUDAL DE FILTRACIÓN .............................................9

6. RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS DE REDES DE FILTRACIÓN ............................11

7. DIBUJO DE UNA RED DE FILTRACIÓN............................................................. 20

8. SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN TERRENOS

HETEROGÉNEOS ................................................................................................ 22

9. HIDRÁULICA DE LOS POZOS ............................................................................ 23

10. BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................... 31

ANEJO I.- Soluc iones analíti cas de algunos casos s ingulares




1

1. INTRODUCCIÓN

En el tema 3 de la asignatura de Mecánica del Suelo y Rocas estudiamos la ley de

Darcy que indicaba cómo circulaba el agua en un medio poroso. En este nuevo tema

se estudia el camino que recorre el agua en el terreno. En este tema sólo se van a

estudiar unas ideas básicas sobre el tema de las filtraciones a través del terreno para

una serie de ejemplos concretos.

Para poder llevar a cabo estudiar el movimiento del agua en un medio tridimensional

se deben establecer una serie de hipótesis que permitan, al simplificar el problema,

abordar el mismo. En concreto las que se indican a continuación:

- El suelo es homogéneo

- El suelo está saturado

- Fluido incompresible

- El suelo no varía de volumen

- El flujo es laminar

- Es válida la ley de Darcy

La posible circulación de agua por el terreno puede producir diversos problemas en el

terreno, entre ellos los siguientes:

- Si se construye un túnel drenado, el flujo de agua hacia el mismo puede

producir el arrastre de partículas (erosión interna) que pueden producir

asientos en la superficie del terreno. Un fenómeno parecido se puede producir

en una excavación al amparo de unas pantallas de contención. O también en la

circulación del agua por el cimiento de una presa.

- En algunos terrenos la circulación de agua puede producir la disolución del

mismo. Por ejemplo, en el caso de los yesos. En otros casos puede producirse

una precipitación de carbonatos cambiando las características geotécnicas del

terreno.

- En otras ocasiones la presencia de agua puede generar vegetación al

aumentar la humedad del terreno. De hecho, una de las maneras de saber que

existe agua en el terreno es la aparición de vegetación.




2

- El incremento de la presión de agua en el terreno conducirá siempre a una

disminución de la tensión efectiva y, por tanto, a una disminución de la

resistencia. En ocasiones de producirá el fenómeno del sifonamiento o

levantamiento de fondo como se ha estudiado en el tema 4 de la asignatura de

Mecánica del Suelo y Rocas.

2. ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD

Como ya hemos estudiado en Mecánica de Suelos y Rocas el caudal de agua que

puede circular en el terreno viene gobernado por la ley de Darcy. Sin embargo, la

ecuación que posibilita establecer cómo circula el agua a través de un medio poroso

indeformable es la ecuación de la continuidad. Es decir, la expresión que evalúa el

caudal que entre y sale de un elemento. En el caso de que ambos caudales sean

iguales se trata de una situación permanente. En la Figura nº 1 se muestra un

elemento diferencial del suelo por el que fluye agua (las derivadas serían derivadas

parciales aunque en el dibujo, por problemas con el programa de dibujo, se indiquen

derivadas totales)).

dx

vx+dv

x

dxdx

+dv

z

dzdz

z

x

vx

vz

vz

dz

Figura nº 1.- Flujo en un elemento diferencial plano de suelo

Como punto de partida se toma este elemento diferencial plano (por sencillez no se ha

considerado volumétrico) y se calcula la diferencia entre el flujo que entra y sale por

ese elemento.

xz

z

zzzx

x

xxxzzx ddvvddvvdvdv




3

operando resulta que la diferencia entre el caudal que entra y sale por un elemento es:

elementounenflujodeliaciónvar ddvv

zx

z

z

x

x

De manera general, se puede indicar que la variación de flujo del elemento es igual a

la cantidad de agua que entra o sale por el elemento.

Y la cantidad de agua contenida en un elemento de suelo, suponiendo que éste

estuviera saturado, sería:

zx ddn

donde n es la porosidad.

Y la variación en el tiempo de la cantidad de agua del elemento sería la variación de

caudal en el elemento

zx ddnt

Igualando ambos términos se obtendría

zxx

z

z

x

x ddnt

ddvv

z

Pero como se ha comentado en la introducción de este tema se va a realizar la

consideración de que no existe cambio de volumen. Y, por tanto, no existirá variación

en el flujo de agua (la cantidad que entra en un elemento será igual a la que sale).

Esto quiere decir que el flujo es permanente. En caso contrario sería flujo transitorio.

En el estudio de las filtraciones que se va a realizar se supone que el flujo espermanente.

0vv

z

z

x

x

Un estudio análogo se podría haber realizado considerando las tres dimensiones. Así,

en vez de considerar un elemento diferencial plano se debería estudiar un elemento

diferencial volumétrico. En este caso la ecuación que se habría obtenido sería:




4

0vvv

z

z

y

y

x

x

Esta sería la ecuación de la continuidad que indicaría que en cualquier elemento

diferencial el caudal que entra es igual al que sale, no existiendo, por tanto, puntos con

surgencias o sumideros.

3. ECUACIÓN DE LAPLACE

Una vez obtenida la ecuación de la continuidad se va a realizar una transformación de

la misma hasta obtener la ecuación de Laplace que es la ecuación fundamental en el

tema de las filtraciones.

Recordando la ley de Darcy, que se cumple en cualquier dirección del terreno

tendríamos para los ejes principales considerados (x, y, z) resultaría:

xxx ikv

yyy ikv

zzz ikv

Expresando la ley de Darcy de manera vectorial

ikv

ds

hdkikv

Se debe recordar que el vector velocidad tiene la dirección opuesta al vector potencial.

Es decir, el agua se desplaza en el sentido de disminución del potencial. Ese es el

significado del signo menos de la ecuación anterior.

Y se recuerda que el valor de la carga hidráulica o potencial hidráulico es:

w

uzh

Resultaría que la velocidad según tres direcciones ortogonales se puede expresar

como:




5

x

hkv xx

y

hkv yy

zhkv zz

sustituyendo estos valores en la ecuación de la continuidad se obtiene:

0z

hk

y

hk

x

hk

2

2

z2

2

y2

2

x

Para el caso de un suelo isótropo resultaría la ecuación de Laplace:

0hz

h

y

h

x

h 2

2

2

2

2

2

2

Esta es la ecuación de Laplace que rige muchos fenómenos físicos como son el flujo

eléctrico, el potencial electrostático y la transmisión de calor.

4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE

La solución analítica sólo existe para una serie de casos concretos. Como veremos a

continuación, las soluciones serán complicadas y dependerán de las condiciones de

contorno de cada caso concreto.

Aunque la ecuación ha sido obtenida para el caso de flujo permanente se puede

emplear en movimientos transitorios cuando las velocidades son muy pequeñas y, por

tanto, las fuerzas de inercia son despreciables. Se podrían emplear en estos casos las

ecuaciones del movimiento permanente aunque la condición de contorno tendría que

irse variando. Sería un caso pseudoestático o paraestático con geometría variable.

Partimos del caso de un problema bidimensional. Como se ha demostrado en el

apartado anterior, para el caso de un suelo isótropo la filtración viene determinada por

la solución de la ecuación de Laplace:

0z

h

x

h2

2

2

2




6

La solución de esta ecuación define dos familias diferentes de curvas características,

que son ortogonales entre sí: por un lado las líneas de corriente o trayectorias de flujo

y por otro las líneas h de constante o líneas equipotenciales. Como se puede

entender, debido, a la ley de Darcy, en la dirección en la que h es constante la

velocidad será nula, tal como se puede comprobar con la ley de Darcy que relaciona

ambas variables.

ds

hdkikv

En resumen, las líneas de corriente representan en el caso de régimen permanente la

trayectoria que siguen las partículas de agua en su recorrido a través del terreno. Se

suele denominarse tubo de flujo o canal de flujo al área contenida entre dos líneas de

corriente consecutivas.

En cuanto a las equipotenciales son líneas a lo largo de las cuales el valor de la carga

hidráulica, h, es constante de tal manera que si se dispusiera un conjunto de

piezómetros a los largo de cualquiera de ellas el agua ascendería al mismo nivel en

cada uno de ellos.

Para estudiar la solución de la ecuación de Laplace en vez de la altura piezométrica

se emplea el potencial de velocidades que se define como:

hk

donde k es el coeficiente de permeabilidad y h es la carga hidráulica.

La función es la parte real de una función continua de variable compleja. Además

cumple que es una función armónica:

0zyx

2

2

2

2

2

2

La velocidad del fluido en el terreno se puede expresar en función del potencial de

velocidades de la siguiente manera:

xvx

yvy

zvz




7

Las líneas equipotenciales definidas a partir de la función no pueden cortarse entre

sí (un punto no puede tener simultáneamente dos potenciales distintos).

Además de esta función del potencial de velocidades, para obtener la solución de la

ecuación de Laplace, se debe introducir una función de flujo y,x que es una función

también armónica y conjugada con el potencial de velocidades que se acaba de

comentar. Sería la segunda función que define la solución.

Que las funciones sean conjugadas quiere decir que la condición de ortogonalidad se

cumple si y sean funciones conjugadas. Por tanto se deben de verificar las

siguientes igualdades:

xvzx

zvxz

Como se puede ver también la función de flujo cumple la ecuación de Laplace.

0zx

2

2

2

2

A continuación, mediante una sencilla demostración, se va a desarrollar el significado

físico de la función de flujo que se acaba de definir. En la Figura nº 2 se ha

representado la trayectoria de una partícula de agua. En el punto P, la partícula tendrá

una velocidad v que será tangente a la trayectoria. A partir de estos datos se quiere

conocer la ecuación de la curva que define la trayectoria.

Figura nº 2.- Trayectoria del agua

La ecuación de la tangente a la línea de flujo en el plano x, z sería:




8

x

z

x

z

v

v

d

dtg

xzzx dvdv

0dzdx zx

Según vemos en la ecuación anterior se cumple d = 0 a lo largo de la trayectoria del

agua y, por tanto, esto quiere decir que z,x = cte, o lo que es lo mismo, la familia

de curvas z,x = cte constituyen las trayectorias físicas y reales del agua a través

de la región de flujo. Por esta razón se denominan líneas de flujo o líneas de corriente.

En resumen, las líneas de corriente indican en la dirección en la que se produce el

movimiento del agua, siendo el vector velocidad, tangente a ellas en cada punto. La

circulación en sentido transversal es nula y que los puntos tienen todos el mismo

potencial, siendo por tanto, nulo el gradiente en dicha dirección.

Otra característica que deben cumplir las líneas de flujo no pueden cortarse dentro de

la región de flujo. Como es evidente, si dos líneas de flujo convergen en un punto, no

existiría paso de agua y no se cumpliría la continuidad del caudal.

Hemos visto que la solución de la ecuación de Laplace es la suma de dos familias de

curvas, que pueden obtenerse mediante la teoría de funciones de variable compleja.

La expresión buscada es del tipo:

z,xiz,x

que es una función analítica de una variable compleja w = x + iz

También se puede definir una velocidad compleja

zx vivd

d

Además de esta manera de resolver la ecuación definiendo las dos funciones

conjugadas (potencial de velocidades y ley de flujo), también se pueden emplear

métodos numéricos resolviendo la ecuación de Laplace por diferencias finitas.

En otras ocasiones la ecuación de Laplace ha sido resuelta utilizando modelos

analógicos eléctricos utilizando papeles conductores especiales que simulen el




9

terreno. En este caso la carga total se representa mediante el voltaje, la intensidad

sería la analogía de la velocidad y la conductividad correspondería a la permeabilidad.

Otra posibilidad es buscar la solución de la ecuación de la filtración mediante métodos

manuales dibujando la red de filtración a mano alzada, basándose en las propiedadesque debe cumplir la misma.

5. DETERMINACIÓN DEL CAUDAL DE FILTRACIÓN

En primer lugar se va demostrar un procedimiento que se puede aplicar si se conoce

el valor de las líneas de flujo o corriente es posible conocer el caudal que circula por el

terreno. En la Figura nº 3 se ha representado dos líneas de corriente cualquiera. Y se

ha considerado que en una determinada sección la velocidad del flujo que atraviesa

una sección vertical es vx.

El caudal que circula entre dos líneas de corriente definidas por 1 y 2 es igual a

1

2

z

z

zx dvq

y sustituyendo vx por su valor tenemos

1

2

z

z

21zdz

q

Figura nº 3.- Líneas de corriente




10

En resumen, el caudal que circula entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia

entre los valores de la función de flujo correspondientes a las mismas. Y además es un

valor constante. Sólo varía la velocidad cuando las líneas de corriente se aproximan

(aumenta) o se separan (disminuye). Es decir, cuanto la distancia entre las líneas de

corriente sea menor mayor es la velocidad a la cuál circula el agua. La dificultad de

este método es determinar el valor de las líneas de flujo. Sólo podrá realizarse en los

casos en los que se conozca la solución analítica.

Cuando no se disponga del valor de las líneas de flujo es posible determinar de

manera sencilla y rápida el caudal total si se tiene dibujada una red de filtración tal

como se indica a continuación. En la Figura nº 4 se muestra una posible red de

filtración. La distancia entre dos líneas de filtración consecutivas es a y entre dos

equipotenciales sería b.

Figura nº 4.- Red de filtración

Así el caudal que circula por dicha red de filtración, si se supone una distancia L en el

sentido perpendicular al papel sería el que se indica a continuación.

De acuerdo a la ley de Darcy, la velocidad del flujo sería

Lb

hkv

Por tanto, el caudal que pasaría por cada uno de los canales de flujo resultaría




11

Lab

hkavqi

Y la variación entre dos líneas equipotenciales consecutivas se pueden expresar como

en

Hh

El caudal total de la red de filtración será igual a la suma del caudal que circula por

cada uno de los tubos de corriente

it qnQ

Sustituyendo las expresiones anteriores en la última ecuación que define el caudal se

obtiene:

LHkb

a

n

nLa

b

nH

knSvnqnQe

tetiitit

6. RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS DE REDES DE FILTRACIÓN

En este apartado se analiza la solución analítica mediante variable compleja de

algunos casos específicos que pueden ser de aplicación al caso de obras civiles.

Red de filtración por el cimiento de una presa de hormigón

En este caso analizado se considera que la presa es impermeable. Por tanto, sería

una presa de hormigón, cimentada sobre un cimiento permeable homogéneo.

La solución analítica sería la que se indica en la siguiente expresión:

Ai

Acosa

Acosazix

O también puede expresarse como.

acosarc A




12

Figura nº 5.- Red de filtración por el cimiento de una presa de hormigón

Como cos (a+b) = cos a cos b – sen a sen b, tenemos

Aisen

Asen

Aicos

Acosazix

Recordando que: cos (ix) = cos hx; sen (ix) = i sen hx

Asenh

Aseni

Acosh

Acosazix

Igualando las partes reales y las imaginarias se obtiene:

Acosh

Acosax

Asenh

Asenaz

Curvas de = cte. Equipotenciales

Para obtenerlas elevo las expresiones anteriores de x y z al cuadrado y las resto se

obtiene:

2

2

2

2

2

a

Asen

z

Acos

x




13

Luego las equipotenciales son hipérbolas.

Curvas con = cte. Líneas de flujo

Para obtenerlas elevo las expresiones anteriores de x y z al cuadrado y las sumo se

obtiene:

2

2

2

2

2

a

Asenh

z

Acosh

x

Resultando que las líneas de flujo son elipses.

Para obtener la constante A se deben cumplir las siguientes ecuaciones de contorno.

Punto z = 0 y x = a se cumple que = 0 y = 0

Se verifica en la expresión de x

Acosh

Acosax

a = a ·1· 1

Punto z = 0 y x = -a se cumple que = -kH y = 0

Se verifica en la expresión de x

Acosh

Acosax

A

Hkcosaa

1cosarc A

Hk

de donde obtenemos la constante

Hk

A

Por tanto la solución es:




14

= x + iz = a cos

Hk

= a cos

Hki

Hk

Flujo alrededor de una pantalla impermeable

En este caso se estudia la filtración a través del cimiento alrededor de una pantalla

impermeable. En el trasdós de la pantalla, por encima del cimiento, existiría sólo agua

(no habría terreno).

Figura nº 6.- Red de filtración alrededor de una pantalla impermeable

a

zixarcsen

Hk

Operando (seno (a+b) = seno a cos b + cos a seno b) se puede despejar y obtener el

valor de x y z.

Hksenh

Hkcosax

Hkcosh

Hksenaz

Solución:a

iarcsen

Hk

= x + iz




15

Y a partir de estas expresiones se puede deducir que las líneas equipotenciales son

unas hipérbolas y las líneas de filtración unas elipses. Se deja como tarea para el

alumno su deducción

Línea de corriente

2

2

2

2

2

a

Hkhcos

z

Hkhsen

x

Elipses

Equipotenciales

2

2

2

2

2

a

Hkcos

x

Hksen

z

Hipérboles

En este caso la constante A se ha indicado en la solución. Pero se podría haber

realizado, igual que en el caso de la presa, en función de la constante A y deducir ésta

posteriormente con una condición de contorno.

Para el dimensionamiento de la pantalla nos puede interesar conocer el potencial del

agua en x = 0, es decir, en la pantalla.

a

zarcsen

Hk

a

zsenarc

Hh

Otro dato que nos interesa es el caudal en z = 0, es decir, la cantidad de agua que

existiría en el fondo de la excavación

a

xarcsenoh

Hk

Además, en el estudio de la pantalla interesa conocer el gradiente que existe en el

intradós para estudiar posibles problemas de levantamiento de fondo.

2

2

a

x

1

1

a

Hi




16

Si se quisiera estudiar el coeficiente de seguridad frente al levantamiento de fondo

resultaría:

real

critico

i

iF

y como:

w

critico

'i

2

2

w a

x1

H

a'F

Queda como trabajo del alumno la deducción de estas expresiones.

Flujo radial hacia un sumidero

Potencial de velocidades = -k h

Figura nº 7.- Red de fil tración radial hacia un sumidero

r ln A

i

e

r

eln A

i

i Ar

ln A

i Ar

ln Ai




17

Condición de contorno

= Rr

Rln AHkR

r

Rln

Hk A

= r r = 0

Soluciónr

ln

r

Rln

Hk

Cálculo del caudal (la parte imaginaria)

r Rln

Hk

A

El caudal en el túnel será la integral de todo el circulo, por tanto, = 2

r

Rln

Hk2Q

El cambio de signo de A convierte el sumidero en fuente. Cambia el sentido del flujo.

Flujo a través del cuerpo de una presa de materiales sueltos homogénea

Para determinar la red de filtración es necesario definir la superficie libre, es decir,

aquella en los que la presión intersticial es la atmosférica de manera que el potencial

varía solo por la altura. Por tanto, las líneas equipotenciales son perpendiculares a él y

el gradiente hidráulico en un punto de la misma es proporcional a la inclinación de la

línea. Una manera aproximada es determinar la parábola básica. Esa parábola básica

se puede determinar mediante el método aproximado de Leo Casagrande.

Se toma como punto de partida la definición geométrica indicada en la Figura nº 8.




18

Figura nº 8.- Determinación de la superficie l ibre

(figura tomada del Geotecnia y Cimientos II)

En primer lugar se define el punto A ya que se sitúa a una distancia del punto B de tres

décimas de la distancia BE. El punto E se obtiene proyectando verticalmente sobre la

superficie del agua, el pie del talud de aguas arriba.

Como se conoce que la parábola tiene el eje horizontal, la directriz de la misma será

vertical. Para obtener la posición de la misma, se mide, desde el punto A y en

horizontal, la distancia AF siendo F el foco (el primer punto de la base de la presa que

es drenante). (o si de prefiere se traza una circunferencia de centro en el punto A y

radio AF y para dibujar la directriz se traza una tangente vertical a dicha

circunferencia)..

Se determinan el resto de puntos de la parábola (x = ay2), de manera que la distancia

de un punto cualquiera de la parábola al foco sea igual a la distancia del punto a la

directriz.

Corregimos la entrada de la superficie libre. Para ello se parte de trazando una línea

ortogonal al contacto de la superficie del agua en el talud de aguas arriba. De esta

manera se corrige las condiciones singulares del punto B.

Además hay que hacer una corrección aguas abajo, debido al cambio de las

condiciones de contorno si la filtración emerge por el talud. Dicha corrección consiste

en mover el punto de emergencia C0 de la parábola una distancia a en la dirección




19

del talud. Este valor se puede obtener mediante la Figura nº 9 en función del ángulo

del talud (). Esta corrección está pensada para ángulo del talud superiores a 90º.

Figura nº 9.- Corrección en el talud de aguas abajo

(figura tomada del Geotecnia y Cimientos II)

Una vez definida la superficie libre, dividimos la carga del embalse (es decir, la altura

del embalse) en partes iguales.

La intersección de las líneas horizontales equidistantes con la línea de superficie libre

forma el conjunto de puntos a partir de los cuales comenzaremos a dibujar de forma

ortogonal las líneas equipotenciales.

Por ajustes graduales, trazamos las líneas equipotenciales y de corriente (ortogonales

entre si). Podemos comprobar que forman cuadrados curvilíneos inscribiendo

circunferencias.




20

7. DIBUJO DE UNA RED DE FILTRACIÓN

Como se ha comentado anteriormente mediante el dibujo de las redes de filtración es

posible conocer la solución del problema. Podemos conocer la ley de presiones

intersticiales o los caudales que circulan por el cimiento.

Para el dibujo de la red de filtración es necesario partir de unas premisas previas que

deben ser conocidas:

- Hay flujos libres y confinados. En los segundos los contornos impermeables

están fijados por elementos extraños al terreno permeable. En general, serán

flujos confinados porque existirá un límite impermeable.

- Existen dos clases de contornos: la superficie de entrada y salida del agua y

las que indican un límite impermeable. Estás últimas son líneas de corriente (el

agua circula por ese límite impermeable).

- La superficie de ingreso de agua es una línea equipotencial. Por tanto las

líneas de corriente son perpendiculares a ella.

- La superficie de salida es una equipotencial si está sumergida. En caso

contrario, la superficie está en contacto con la atmosférica, la presión sería lamisma pero la altura no por lo que el potencial sería variable. Si no estuviera

sumergida pero la cota fuera constante, evidentemente, la línea de salida sería

una equipotencial.

- En el eje de simetría hay una línea equipotencial

- Como se ha comentado anteriormente, la llamada superficie libre es aquella

línea de corriente en la que la presión es la atmosférica. Es una línea de

corriente en la que el potencial varía sólo con la altura. Las líneas

equipotenciales son perpendiculares a ella.

A partir de estas hipótesis de partida se resume de manera sucinta la metodología que

se debe emplear para dibujar una red de filtración:

1. Analizar las condiciones de contorno del problema a estudiar para localizar las

líneas de corriente o equipotenciales que constituyan la base de partida.

En el caso de pantallas impermeables:




21

- Contorno impermeable (es una línea de corriente)

- Eje de simetría (es una línea equipotencial)

- Superficie de entrada o salida (es una línea equipotencial)

2. Comenzar dibujando pocos tubos de flujo (3-4) y pocas equipotenciales

manteniendo la precaución de las intersecciones sean ortogonales.

3. Se debe de elegir que los valores de y de deben estar en una progresión

aritmética. Así, cada uno de los tubos de corriente limitados por dos líneas de

corriente sucesivas llevan el mismo caudal y entre dos líneas equipotenciales

sucesivas hay el mismo intervalo de h.

4. Para conseguir la condición anterior es necesario procurar que las áreas

contenidas por dos líneas de corriente y dos equipotenciales sean "cuadradas".

En realidad serán figuras curvilíneas pero se debe buscar que se conserva las

mismas proporciones entre sus elementos.

5. Las líneas de corriente y las equipotenciales serán suaves y no deberán

cortarse nunca dos de ellas.

6. Poco a poco se va refinando la red.

En el caso de que la filtración se produzca por suelos con distintas permeabilidades

las líneas de corriente sufrirían una refracción análoga a la de la luz. Hay que tener en

cuenta que el caudal que circule por el tubo de corriente antes y después del contacto

debe ser igual. También se debe cumplir que la pérdida de carga entre dos

equipotenciales sea igual en ambos terrenos. Esta consideración se debe tener en

cuenta cuando se dibuje la correspondiente red de filtración.

En los ejercicios que se resolverán en clase se podrá comprobar como tiene que ser el

proceso para dibujar una red de filtración. Entre otros casos, el alumno deberá saber

dibujar la ley de filtración a través del cimiento de una presa de fábrica, la filtración por

el cuerpo de una presa de materiales sueltos así como la red de filtración alrededor de

una pantalla.

Por último indicar que en geotecnia un parámetro importante es la presión intersticial

del terreno. Por ese motivo, es más interesante dibujar la red de isobaras (líneas de

igual presión intersticial) que la de altura piezométrica. Las isobaras se pueden dibujar




22

a partir de las líneas equipotenciales sin más que restar la altura geométrica de cada

punto.

8. SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN TERRENOS

HETEROGÉNEOS

Hasta ahora, hemos considerado que el terreno por el que se filtra el agua es

homogéneo. En los casos en los que el terreno no sea anisótropo, se deberá

transformar el problema real en uno “equivalente” que sí que sea anisótropo. Esta

transformación toma como hipótesis de partida que el caudal en la realidad es igual al

caudal obtenido mediante la geometría equivalente.

Para ello se deberá emplear la transformación de Samsiöe que propone realizar un

cambio de variable.

La transformación de variable propuesta por Samsiöe sería:

x

0

k

kx'x

y

0

k

ky'y

z

0

k

kz'z

Para estas nuevas variables sería como suponer que la permeabilidad equivalente del

suelo ficticio sería:

0

zyx

k

kkkk

Y se cumpliría la ecuación de Laplace para las nuevas variables auxiliares

0'z

h

'y

h

'x

h2

2

2

2

2

2

En el caso bidimensional resultaría una transformación en la variable “x” y, en cambio,

se mantendría la variable “z”. Es decir, la transformación se simplificaría mediante la

siguiente expresión:

x

z

kkx'x z'z




Y el coeficiente de permeabilidad equivalente sería

zx kkk

En resumen, en el caso de tener que estudiar una red de filtración en un terrenoanisótropo (diferente permeabilidad en horizontal que en vertical) se deberá

transformar el problema real en uno equivalente. Para ello, se deberán obtener las

nuevas coordenadas horizontales (menores que las reales). Una vez conocida la

nueva geometría se calcularía la red de filtración según lo explicado en los apartados

anteriores. Si sólo se quisiera conocer el caudal de la red de filtración, es análisis

habría terminado. En cambio, si se quisiera conocer el valor del as presiones

intersticiales habría que "deshacer" la transformación para que la red de filtración se

pueda disponer en la geometría "real".

9. HIDRÁULICA DE LOS POZOS

En el estudio de los pozos se realizan una serie de hipótesis de partida que permiten

estudiar el problema de una manera sencilla. Los criterios adoptados son:

- Acuíferos homogéneos e isótropos de capacidad indefinidos.

- Se supone bombeo en régimen permanente, es decir, la red de filtración está

estabilizada mientras dura el bombeo.

- La extensión de acuífero se considera mayor que el radio de influencia del

pozo y con capacidad inagotable.

- Se considera el radio de influencia fijo durante todo el proceso.

- Se suponen pozos completos, es decir, atravesando todo el estrato permeable

(acuífero).

9.1.- Pozo en un acuífero confinado

Un caso sencillo es el estudio de un acuífero horizontal, homogéneo y de espesor

constante ya que es encuentra confinado por dos acuiclusos (capas impermeables) y

drenado por un pozo de radio a. Ver Figura nº 10.

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