Tema2 3 Simplificacion de funciones FC GII.ppt …serdis.dis.ulpgc.es/~gii-fc/material_clases_teoria/Tema2/...Funciones incompletamente especificadas En algunas situaciones hay combinaciones

2. 2. Simplificación de funcionesSimplificación de funcionesb l Mét d db l Mét d d K hK hbooleanas: Método de booleanas: Método de KarnaughKarnaugh

Funciones incompletamente especificadasCircuitos con salida múltiple

Fundamentos de los ComputadoresGrado en Ingeniería Informática

IntroducciónIntroducción

La efectividad de la simplificación booleana no debe depender de nuestra habilidad usando leyes y reglas

Es necesaria la utilización de una metodología Es necesaria la utilización de una metodología sistemática para simplificar las funciones booleanas

Los objetivos de este tema son: Definir el concepto de función incompletamente especificada Introducir la necesidad de minimizar de forma conjunta las

funciones correspondientes a circuitos con salida múltiple

Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 2

Estructura del temaEstructura del tema

Introducción

Funciones incompletamente especificadas

Circuitos con salida múltiple

Resumen y bibliografía


Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas

En algunas situaciones hay combinaciones de las variables de entrada que no están permitidas

Dado que estas combinaciones no ocurren nunca, se las d id té i i dif t f tpuede considerar como términos indiferentes a efectos

de calcular el valor de la salida

Esto significa que a la celda del mapa de Karnaugh Esto significa que a la celda del mapa de Karnaugh correspondiente a un término indiferente le podemos

i 0 1 úasignar tanto un 0 como un 1, según convenga


Indiferencias en la suma de productosIndiferencias en la suma de productos

Los términos indiferentes se representan con una X, por ejemplo:A B C D CD

F(A,B,C,D) = ∑(7,8,9) + ∑x(0,10,11,12,13,14,15)

0 0 0 00 0 0 10 0 1 0

ABCD

0010110100

x

X00

0)1)2) 0 0 1 0

0 0 1 10 1 0 00 1 0 1

00

01 1

x0000

2)3)4)5)

0 1 1 00 1 1 11 0 0 0

11

01

11 x x x x

10

)6)7)8)

1 0 0 11 0 1 01 0 1 1

1

10 1 1 x xXX

)9)

10)11)

1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1 ABC + ABCD

XXXX

12)13)14)1 )


1 1 1 1 ABC + ABCDX15)

Indiferencias en la suma de productosIndiferencias en la suma de productos

Los términos indiferentes pueden aprovecharse para simplificar la función si suponemos que valen 1A B C D CD0 0 0 00 0 0 10 0 1 0

ABCD

0010110100

x

0)1)2)

X000 0 1 0

0 0 1 10 1 0 00 1 0 1

00

01 1

x2)3)4)5)

0000

0 1 1 00 1 1 11 0 0 0

01

11 x x x x

1)6)7)8)

11

0

1 0 0 11 0 1 01 0 1 1 10 1 1 x x

)9)

10)11)

1XX

1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1 A + BCD

12)13)14)1 )

XXXX


1 1 1 1 A + BCD15) X

Indiferencias en el producto de sumasIndiferencias en el producto de sumas

En un producto de sumas también puede haber términos indiferentes:A B C D CD

F(A,B,C,D) = ∏(6,7,8,9) + ∏x(0,10,11,12,13,14,15)

0 0 0 00 0 0 10 0 1 0

ABCD

0010110100

x

0)1)2)

X110 0 1 0

0 0 1 10 1 0 00 1 0 1

00

01 0

x

0

2)3)4)5)

1111

0 1 1 00 1 1 11 0 0 0

000

01

11 x x x x

0 0)6)7)8)

1 0 0 11 0 1 01 0 1 1

0

10 0 0 x x

)9)

10)11)

XX

1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1 (A+B+C)(A+B+C)

12)13)14)1 )

XXXX


1 1 1 1 (A+B+C)(A+B+C)15) X

Indiferencias en el producto de sumasIndiferencias en el producto de sumas

Los términos indiferentes pueden aprovecharse para simplificar la función si suponemos que valen 0A B C D CD0 0 0 00 0 0 10 0 1 0

ABCD

0010110100

x

0)1)2)

X110 0 1 0

0 0 1 10 1 0 00 1 0 1

00

01 0

x

0

2)3)4)5)

111

0 1 1 00 1 1 11 0 0 0

01

11 x x x x

0 0)6)7)8)

000

1 0 0 11 0 1 01 0 1 1 10 0 0 x x

)9)

10)11)

0XXX1 1 0 0

1 1 0 11 1 1 01 1 1 1 A (B+C)

12)13)14)1 )

XXXX


1 1 1 1 A (B+C)15) X


Introducción





Circuitos con salida múltipleCircuitos con salida múltiple

Con frecuencia, los circuitos digitales tienen múltiples salidas, cada una representada por funciones lógicas diferentes pero que dependen de las mismas entradasp q p

Si se simplificaran las funciones por separado no se Si se simplificaran las funciones por separado no se tendría la seguridad de obtener el circuito mínimo, ya

d i f i lque puede que varias funciones se solapen

Por lo tanto hay que simplificar las funciones de forma conjunta intentando buscar términos comunes a lasconjunta, intentando buscar términos comunes a las funciones para minimizar el circuito total


Método de Método de KarnaughKarnaugh para para multimulti--funcionesfunciones

La minimización de multifunciones usando el método de Karnaugh puede realizarse generando los mapas para cada función individual y para combinaciones de ellasy p

P j l i it t lid d Por ejemplo, un circuito con tres salidas puede simplificarse dando los siguientes pasos: Buscar los términos que sean comunes a las tres funciones Buscar los términos que sean comunes a dos de las funciones q

y que no estén cubiertos en el paso anterior Buscar los términos que aparecen únicamente en una funciónBuscar los términos que aparecen únicamente en una función

y que no estén cubiertos en el paso anterior


Simplificación de Simplificación de multimulti--funcionesfunciones

Aquí podemos ver un ejemplo de 3 funciones:

0001

00 01 11 10

1

ABCD

1011110

1F1

11111

1

F1(A,B,C,D) = ∑(5,6,9,12,13,14,15)

0000 01 11 101

ABCD

011110

F2 111 1

F2(A,B,C,D) = ∑(0,4,8,9,11,12,13,15) 11

1

10

0000 01 11 10AB

CD

1

1

11

000111

F3

11 111 11

F3(A,B,C,D) = ∑(3,5,6,7,13,14,15)


10

Simplificación de Simplificación de multimulti--funcionesfunciones

Se calculan los productos posibles de las funciones

0001

00 01 11 10

1

ABCD

10001

00 01 11 10ABCD

En cada producto h d l01

1110

1F1

11111

1

011110

F1F2 1111

hay que detectar las combinaciones que

ABCD

0000 01 11 101 00

00 01 11 10ABCD no se cubren en

productos superiores 011110

F2

1 111 11

1 011110

1F1F3

1111

p pque los incluyan

10

0000 01 11 10AB

CD

1 11

1

10

0000 01 11 10AB

CD

0000 01 11 10AB

CD

000111

F3

11 111 11

000111

F2F3 11

000111

F1F2F3 11


103

10 10

Simplificación de multiSimplificación de multi--funcionesfunciones

La función F1 no tiene ningún término que sólo aparezca en ella

ABCD

10110100AB00

1011010000

01 1 1F

11 1 1 1 1F1

10 1



En la función F2 existen términos que sólo aparecen en ella, por lo que debemos cubrirlos obteniendo la mínima expresión posiblep p

ABCD

10110100AB00

101101001

01 1 CD + ADF11 1 1 1

CD + ADF2

10 1 1 1



En la función F3 existen términos que sólo aparecen en ella, por lo que debemos cubrirlos obteniendo la mínima expresión posiblep p

ABCD

10110100AB00

101101001

01 1 11ACDF

11 1 1 1ACDF3

10



El producto de funciones F1F2 tiene términos comunes a las dos funciones pero que no aparecen en las tres, así que se cubren obteniendo la mínima expresión posibleq p p

ABCD

10110100AB00

10110100

01F F ACD + ABC

11 1 1 1F1 F2 ACD + ABC

10 1



El producto de funciones F1F3 tiene términos comunes a las dos funciones pero que no aparecen en las tres, así que se cubren obteniendo la mínima expresión posibleq p p

ABCD

10110100AB00

10110100

01 1F F BCD + BCD

1

11 11 1F1 F3 BCD + BCD

10



El producto de funciones F2F3 no tiene términos que sean comunes a las dos funciones pero que no aparezcan en las tresp

ABCD

10110100AB00

1011010000

01F F

11 1 1F2F3

10



El producto de funciones F1F2F3 tiene términos comunes a las tres funciones, por lo que hay que cubrirlos obteniendo la mínima expresión posiblep p

ABCD

10110100AB00

1011010000

01F F F ABD

11 1 1F1F2F3 ABD

10



A partir de los mapas anteriores podemos obtener las expresiones de las tres funciones

ACD + ABCF1 = + BCD+ BCD + ABDF1F2 F1F3 F1F2F3

F CD AD ACD ABC ABDF2 = CD + ADF

+ ACD+ ABCF F

+ ABDF F FF2 F1F2 F1F2F3

F = ACD + BCD+ BCD + ABDF3 = ACDF3

+ BCD+ BCDF1F3

+ ABDF1F2F3


3 1 3 1 2 3


Todos los términos de la expresión obtenida para la función F1 son necesarios, ya que cada uno de ellos es el único que cubre al menos una de las combinacionesq

F1(A,B,C,D) = ∑(5,6,9,12,13,14,15)

ACD + ABCF1 = + BCD+ BCD + ABD

1( , , , ) ∑( , , , , , , )

ACD + ABCF1 + BCD+ BCD + ABD

ACD 9 13 BCD 5 13 ABD 13 15ACD 9,13 BCD 5,13 ABD 13,15

ABC 12,13 BCD 6,14



Los dos primeros términos de la función F1 son necesarios, ya que cada uno de ellos es el único que cubre al menos una de las combinaciones

Estos dos términos son suficientes para cubrir todas las combinaciones por lo que los demás no son necesarioscombinaciones, por lo que los demás no son necesarios

F2(A,B,C,D) = ∑(0,4,8,9,11,12,13,15)2( , , , ) ∑( , , , , , , , )

F2 = CD + AD + ACD+ ABC + ABD

CD 0 4 8 12 ABD 13 15

2

ACD 9 13CD 0,4,8,12

AD 9 11 13 15

ABD 13,15ACD 9,13

ABC 12 13Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 23

AD 9,11,13,15 ABC 12,13


Todos los términos de la expresión obtenida para la función F3 son necesarios, ya que cada uno de ellos es el único que cubre al menos una de las combinacionesq

Tres de los términos coinciden con los de la función F1, por lo que no se necesitarán puertas lógicas adicionalespor lo que no se necesitarán puertas lógicas adicionales

F3(A B C D) = ∑(3 5 6 7 13 14 15)

F3 = ACD + BCD+ BCD + ABD

F3(A,B,C,D) ∑(3,5,6,7,13,14,15)

ACD 3 7 BCD 6 14

F3 = ACD + BCD+ BCD + ABD√ACD 3,7

BCD 5 13

BCD 6,14

ABD 13 15√ √


BCD 5,13 ABD 13,15


Introducción





ResumenResumen

La expresión minimizada de un circuito será aquella que requiera un menor número de puertas y, por tanto, requerirá un menor coste de implementación, sufrirá un q pretardo menor y consumirá menos energía

El método de Karnaugh permite obtener, de forma sistemática, la función lógica mínima que representa , g q pun circuito digital

Este método permite trabajar con funciones incompletamente especificadas y con funciones de p p ysalida múltiple, aprovechando sus características particulares para minimizar aún más las funciones


particulares para minimizar aún más las funciones

BibliografíaBibliografíaPrincipios de Diseño Digital

Capítulo 4Capítulo 4Daniel D. GajskiPrentice Hall 1997Prentice Hall, 1997

Fundamentos de Sistemas Digitales (7ª edición)Capítulo 4Thomas L. Floyd

i ll 2000Prentice Hall, 2000

Sistemas Electrónicos DigitalesSistemas Electrónicos DigitalesCapítulo 3Enrique MandadoMarcombo, 1991


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