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_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 2

Calificación:

CÁLCULO II. Ejercicio de Examen Final

Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización

FECHA: 12/06/12 TIEMPO RECOMENDADO: 40 m Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Se considera la función real de variables reales

3 3

2 2 si ( , ) (0,0)

( , )

0 si ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

1. Estudiar su continuidad. 2. Calcular las derivadas parciales en un punto genérico ( , )x y y en particular en el punto (0,0) . Obtener (0,0)f .

3. Estudiar la diferenciabilidad de la función ( , )f x y . En particular analizar si es diferenciable en el punto (0,0)

4. Calcular la derivada direccional (0,0)uD f , siendo cosu i sen j un vector unitario. Calcular también (1,1)vD f siendo

v i j .

5. Dado el punto (1,1,1)P de la gráfica de ( , )f x y , hallar utilizando técnicas de optimización la mínima distancia de dicho

punto al plano 2 2 1x y z . Comprobar que se trata de un mínimo absoluto.

NOTA: Los apartados 1, 2, 3 y 4 valen en conjunto 1,5 puntos. El apartado 5 vale 1 punto. Sólo puntúan los resultados que vayan acompañados de justificaciones teóricas.

RESULTADOS

1. CONTINUIDAD La función ( , )f x y es continua ( , ) (0,0)x y . Ya que se trata del cociente de 2 funciones continuas. Estudiemos la continuidad

en el punto (0,0)

3 3 33 3

3 3

2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0 0

Acotado

coslim lim lim cos 0

cosx y

senx ysen

x y sen

La función es continua en (0,0).

2. DERIVADAS PARCIALES

2 2 2 3 3 4 2 2 3

2 22 2 2 2

2 2 2 3 3 4 2 2 3

2 22 2 2 2

3 2 3 2( , )

3 2 3 2( , )

x

y

x x y x x y x x y xyf x y

x y x y

y x y y x y y x y yxf x y

x y x y

3

2

0 0

3

2

0 0

0( ,0) (0,0)

(0,0) lim lim 1

(0,0)

0(0, ) (0,0)

(0,0) lim lim 1

xh h

yk k

hf h f hf

h hf i j

kf k f kf

k k

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3. DIFERENCIABILIDAD La función ( , )f x y es diferenciable ( , ) (0,0)x y ya que se trata del cociente dos funciones diferenciables. La función aunque

es continua en (0,0) pero las derivadas parciales en (0,0) no lo son por lo que no se verifica la condición suficiente de diferenciabilidad, por tanto hay que utilizar el criterio que da la condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad.

2 2( , ) (0,0)

( , ) (0,0) (0,0) ( 0) (0,0) ( 0)lim 0

x y

x y

f x y f f x f y

x y

3 3

2 2

2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

( , ) (0,0) (0,0) ( 0) (0,0) ( 0)lim lim

x y

x y x y

x yx y

f x y f f x f y x y

x y x y

2 2 3 2 2

2 2

3/2 3( , ) (0,0) 02 2

cos coslim lim cos cos

x y

xy yx sen sensen sen

x y

Como el límite no es 0 la función no es diferenciable en (0,0) .

4. DERIVADA DIRECCIONAL

Al no ser diferenciable ( , ) en (0,0)f x y para calcular (0,0)uD f se debe hacer, de acuerdo con la definición, mediante límite.

3 3 3

23 3

0 0

cos

( cos , ) (0,0)(0,0) lim lim cosu

sen

f sen fD f sen

Sin embargo ( , )f x y es diferenciable en (1,1) por lo que se puede usar (1,1) (1,1)v

vD f f

v

1 1 1 1 1 1 1

(1,1) (1,1) (1,1) ; (1,1) (1,1)2 2 2 2 2 2 2

x y v

vf f i f j i j D f f i j i j

v

5. DISTANCIA Si no se exigiese realizar el problema mediante técnicas de optimización resultaría

0 0 0

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 1 4( , )

32 2 1

Ax By Cz Dd P

A B C

Mediante optimización se exige que sea mínima la distancia de un punto genérico ( , , ) al punto (1,1,1)x y z P

2 2 2( 1) ( 1) ( 1)d x y z Al sustituir la z del plano: 1 2 2z x y y teniendo en cuenta que la raíz es una función

creciente que tiene los mismos extremos que el radicando se obtiene como función a optimizar:

2 22 2 2 2 2( , ) ( 1) ( 1) 1 2 2 1 ( 1) ( 1) 4h x y d x y x y x y x y

2( 1) 8( ) 0 10 8 2 1Punto crítico:

2( 1) 8( ) 0 8 10 2 9

x

y

h x x y x yx y

h y x y x y

Se comprueba que es un mínimo relativo mediante el test de las derivadas segundas

1010 81 1

8 , 36 0 ; 10 0 MÍNIMO RELATIVO8 109 9

10

xx

xy xx

yy

h

h H h

h

Intuitivamente se observa que el mínimo relativo debe ser un mínimo absoluto ya que debe haber un punto en el plano que

esté más cerca del punto (1,1,1)P de la superficie.

2 2 2

1

5 1 1 5 1 1 5 49Sustituyendo en ( , ) se obtiene , , 1 1 1

1 9 9 9 9 9 9 9 3

9

x

z f x y z Q d

y

      

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Calificación:  

CÁLCULO II.  Final convocatoria ordinaria de Junio 

 

Tema 3: Funciones vectoriales          

 

FECHA: 12/06/12                      TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora          Puntuación/TOTAL: 2,5/10  

 

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO 

 Una partícula se mueve a lo largo de una curva γ(t)=r(t) definida por:     Para el instante t=1, determinar: 

a) Su velocidad, rapidez y aceleración (0,5 puntos) b) Los vectores tangente, normal y binormal a la trayectoria en ese instante (1 punto) c) La curvatura y la torsión de la curva en ese punto (1 punto) 

  RESULTADOS 

  

   

   

3

2 3

:2 ( ) , ,3

R R

t t t t t

γ

γ

+ →

⎛ ⎞→ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

      

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_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería                            Prof. Ramón Rodríguez   Página 2 de 2  

 

 O bien,                    

O bien,              

¡¡ BUEN TRABAJO !! 

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes 

 

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )

3 2 3 32 2

2 2 2

2 2 22 2 2

4 3

32 2

6,12, 12(́ ) (́1) 1 2 2( ) (1) , , , ya que:'( ) '(1) 3 3 3324

8 16 8 16 8 162 2 1 4 2 1

2 1 2 1 2 2 1(́ ) , ,

2 1 2 1 2 1

2 8 4 8, 2 1 2

T t TN t NT t T

t t t t t t t tt t t

t t tT t

t t t

t t t

t t

− − − −⎛ ⎞= ⇒ = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ − + − −⎜ + + + ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− +=

+ +( ) ( )

( )

3

3 32

8 6 4 2

32

4 8, 1 2 1

64 128 96 32 4'( )2 1

t t

t

t t t tT tt

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ + + +=

+

2 1 2( ) ( ) ( ) , ,3 3 3

B t T t xN t −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

3(́ ) (́1) 18 / 3 2( ) (1)(́ ) (́1) 3 9

T t Tk t k

r t r= ⇒ = = =

( )2

(́ )· ´́ ( ) ´́ (́ ) 8 2( ) (1)36 9(́ ) ´́ ( )

r t r t r tt

r t r tτ τ

×= ⇒ = =

×

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_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2

Calificación:

CÁLCULO II. Examen Final Convocatoria Ordinaria

Tema 4: Integración Múltiple

FECHA: 12/06/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Hállese el momento de inercia de un disco homogéneo de radio unidad con respecto a un eje perpendicular a él y pasando por su circunferencia. Nota: Se recomienda tomar el eje en el origen de coordenadas, pero no es absolutamente necesario hacerlo así.

RESULTADOS

¡¡ BUEN TRABAJO !!

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes

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Ejemplos 4 (p.1025) y (p. 1031) del Capítulo 15 del Libro de Texto Se toma como eje de giro el situado en el origen de coordenadas y perpendicular al plano donde se sitúa el disco (eje ). Entonces, el momento de inercia con respecto a este eje de giro es:

∬ ( ) ( )

Donde ( ) es la densidad en cada punto (constante al ser el disco homogéneo) y:

( ) es el cuadrado de la distancia del punto de coordenadas ( ) al eje situado en el origen.

El dominio plano de integración es el círculo limitado por la circunferencia ( ) . Dada la geometría del dominio

de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la ecuación de la circunferencia queda:

Entonces, el momento de inercia pedido viene dado por:

∬ ( ) ∫ ∫

∫ [ ]

∫

∫

∫ (

)

∫ (

( ))

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_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería

Calificación:

EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria

Tema 5: Cálculo Vectorial

FECHA: 12/06/12 TIEMPO RECOMENDADO: 30 Minutos Puntuación / Total: 2.5 / 10

ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº ENUNCIADO PUNTUACIÓN RESULTADO

4

Calcule de dos formas distintas el trabajo que realiza una partícula sometida al campo de fuerzas:

F(x,y,z) = (y-z)i+(z-x)j+(x-y)k cuando da una vuelta sobre la trayectoria descrita por la intersección de las superficies:

x2+4y

2=1

z=x2+y

2

2,5 Puntos

SOLUCION

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