Tema 1: Electrostática * Ley de Coulomb y campo eléctrico. - Ley de Coulomb - Concepto y definición de campo eléctrico * Distribuciones de carga. Aplicaciones - Dipolo - Hilo - Anillo - Disco * Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Aplicaciones - Lámina - Cilindro - Esfera * Potencial eléctrico. - Determinación del campo a partir del potencial Aplicaciones - Dipolo - Esfera *Capacidad. Condensadores. Aplicaciones - Condensador plano-paralelo - Condensador cilíndrico - Condensador esférico. - Asociación de condensadores * Dieléctricos. * Energía potencial electrostática.

Temas 21-24 Tipler Temas 21 y 25 Alonso - Finn

Ley de Coulomb y campo eléctrico.

La atracción electrostática de cuerpos cargados eléctricamente se conoce desde la antigua Grecia.

Se observó que tras frotar el ámbar (elektron en griego), este material atraía pequeños objetos.

Sabemos que hay dos clases de carga, positiva y negativa (en el SI se miden en coulomb, C).

Cualquier fragmento de materia tiene aproximadamente cantidades iguales de cada clase. Al cargarlo (por frotamiento u otro procedimiento) esa situación de equilibrio se modifica.

Ley de Coulomb

Charles Coulomb (1736-1806)

estudió cuantitativamente la fuerza ejercida por un cuerpo cargado sobre otro.

Los resultados de sus observaciones conducen al enunciado de la ley que lleva su nombre.

Es análoga a la ley de la gravedad por la dependencia con la distancia, pero difiere en tanto en cuanto esta interacción puede ser atractiva o repulsiva según sea el tipo de carga de los cuerpos.

Campo eléctrico

Como en el caso gravitatorio, para manejar esta interacción a distancia se introduce el concepto de campo, en este caso eléctrico. La carga qi produce un campo E en todo punto del espacio, capaz de ejercer una fuerza sobre cualquier otra carga q0, y se define como:

(q0 pequeña)

Volviendo a la ley de Coulomb, se tiene

Su unidad en el SI es el Volt por metro (V/m)

Gráficamente, se pueden cuantificar a través de las líneas de campo.

0qFE

=

punto de campo P

posición de la fuente i

iP2iP

iiP r

rkqE =

Distribuciones de carga. Distribuciones discretas. Dipolo eléctrico.

El campo eléctrico asociado a una distribución de cargas puntuales es:

Caso relevante de este tipo de distribución es el dipolo electrico.

Se describe por su magnitud momento dipolar eléctrico p

Para puntos muy distantes (rp+≈ rp-≈ rp >> L), la expresión

aproximada del campo es

∑ ∑==i i

iP2iP

iiPP r

rkqEE

Lqp =

−++= −−

++

P2P

P2P

P rr

qrr

qkE

( )

−⋅≈ 3

P5P

PPdip r

pr

rpr3kE

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas.

Si los cuerpos cargados son extensos y no pueden manejarse como puntos, habremos de dividirlos en elementos de carga dq suficientemente pequeños.

El diferencial de campo a que cada dq da lugar es

donde r es la distancia desde el elemento

de carga al punto de campo. El campo neto se

obtiene mediante integración:

Según cuales sean las dimensiones relativas de los cuerpos cargados, hablaremos de distribuciones de carga en línea, en superficie o en volumen.

rrdqkEd 2=

∫ ∫== dqr

rkEdE 2

Se descompone el campo según x e y

Estas expresiones se integrarán a la

longitud L, esto es de x=x1 a x2.

Conviene cambiar de variable

lo que conduce a:

Para una línea muy larga se tendrá

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Línea cargada uniformemente .

θθ=θ

= dcscydx;seny

r 2ps

p

( )

2s

y

2s

2s

x

rsendxkdE

rcosdxkir

rdxkdE

θλ=

θλ=⋅

λ=

pyx21 y

k2E;0Eθ,0θ λ==⇒π→→

( ) ( )12p

y12p

x cos-cosyk-Ε;sen-sen

ykΕ θθλ=θθλ=

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Eje de un anillo cargado uniformemente.

En este caso, la simetría de la distribución permite concluir que el campo resultante ha de estar dirigido según el eje.

Su magnitud se obtendrá operando

del modo siguiente

( ) kaz

zQkE

rzQkdq

rzk

rdqzkE

rdqzk

rz

rdqkcos

rdqkdE

2/322

333z

322z

+=

===

==θ=

∫∫

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Eje de un disco cargado uniformemente.

Pasamos así a una distribución de carga en superficie. Vamos a aprovechar el resultado previo, y descomponemos el disco en anillos de

radio a y anchura da. Estos producen un

campo

La carga en dicho anillo es

e integrando a toda la superficie se llega a

Esta expresión se puede adaptar para escribir el campo generado por un plano infinito.

Bastaría con tomar b muy grande, lo que conduciría a:

( ) kaz

zdQkEd 2/322 +=

ada2dAdQ πσ=σ=

kbz

zzzk2E

222

+−σπ=

kzzk2E σπ=

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

El flujo de un campo vectorial C a través de una superficie cerrada S se define como

donde n es el vector unitario normal a la superficie. Desde un punto de vista físico, el flujo

de un campo es proporcional a la

magnitud de las fuentes del campo

englobadas por la superficie.

Para el caso específico del campo eléctrico

dicha relación viene establecida por la

ley de Gauss.

∫∫ ⋅=⋅=ΦSS

C AdCdAnC

∫∫ ε=π==⋅=Φ

S 0

encencn

SE

QkQ4dAEAdE

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

La ley de Gauss equivale a la de Coulomb. Para probarlo, es necesario recurrir al concepto de ángulo sólido, análogo tridimensional del común. Se mide en esterorradianes, y es el mismo para toda superficie que corte el cono dado. Su magnitud es la superficie de la esfera de radio unidad secada por el cono. Para el cono de apertura máxima mientras que al degenerar en una recta, se obtendría el valor mínimo, 0. Vayamos a la expresión del flujo eléctrico, y consideremos una sola carga puntual

como fuente.

22 rcosA

rrnA θ∆=⋅∆=∆Ω

π=π=Ω 4r

r42

2

Si la carga se encuentra dentro de la superficie, la apertura angular para abarcarla es la misma que para la esfera unidad, lo que llevaría a: Si la carga fuese externa, tomando pequeños conos se observaría que estos atraviesan

la superficie en dos ocasiones. Se tendrían dos contribuciones idénticas a la integral del ángulo sólido, salvo porque la componente normal del campo a la entrada y la salida de la superficie han de tener signos opuestos. Por ello, dichas contribuciones se anulan. Resumiendo, se tiene:

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

0E

qkq4ε

=π=Φ

o

enc

ext,jenc,i 0

iE

Q0qε

=+ε

=Φ ∑∑

∫ ∫∫ Ω=θ==ΦS s

2S

2E dkqrcosdAkqAd·r

rkq

Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Lámina uniformemente cargada.

Esta distribución es simétrica respecto al plano Z. Una traslación arbitraria según X o Y, no modifica la distribución de cargas y, además cualquier eje ortogonal al plano Z es también un elemento de simetría, por lo cual: Por ello, si se toma una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica

notablemente la resolución de este problema: Para puntos externos al plano, el campo será: Mientras que en su interior

)z(E)z(E;k)z(E)r(E −−==

az,a2AdvQ;az,z2AdvQ

A)z(E2

Venc

Venc

E

>ρ=ρ=<ρ=ρ=

=Φ

∫∫

kzzaka)az(E

00 ερ=

ερ±=>

kz)az(E0ε

ρ=<

Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Cilindro uniformemente cargado.

Para esta distribución una traslación arbitraria o un giro según el eje Z no altera la distribución de cargas. Además cualquier eje ortogonal al Z es de simetría, por lo cual:

Nuevamente, al tomar una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica notablemente la resolución de este problema: donde a es ahora el radio del cilindro cargado. Se llega así a que, en el interior: Mientras que en el exterior

R)R(E)r(E =

aR,LaQ;aR,LRdvQ

RL2)R(E2

enc2

Venc

E

>ρπ=<ρπ=ρ=

π=Φ

∫

R2

R)aR(E0ε

ρ=<

RR2

a)aR(E0

2

ερ=>

R a

Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Esfera uniformemente cargada.

Para este tipo de distribución, una rotación en torno a cualquier eje que pase por el centro del sistema deja todo inalterado:

Las superficies de integración elegidas ahora serán esferas concéntricas a la distribución: con R radio de la distribución de carga. Para el interior de esfera se tiene: Y en el exterior

r)r(E)r(E =

Rr,R34Q;Rr,r

34dvQ

r4)r(E

3enc

3

Venc

2E

>πρ=<πρ=ρ=

π=Φ

∫

r3

r)Rr(E0ε

ρ=<

rr3

R)Rr(E 20

3

ερ=>

Potencial eléctrico.

La fuerza eléctrica es conservativa y, al igual que en el caso de la gravitatoria, esto permite manejar una función energía potencial U asociada a ella. Para una variación diferencial dl en el lugar de aplicación de la fuerza sobre una carga puntual, dU viene definida por

Este incremento de energía es proporcional a la magnitud de la carga desplazada, al

igual que la fuerza eléctrica depende de la carga sobre la que se mide. Así como introdujimos el campo eléctrico, definimos la función potencial eléctrico:

La unidad de potencial en el SI será J/C, que tiene por nombre volt (V). Consideremos el caso de una carga puntual. Es habitual tomar como origen de potencial un punto muy alejado del sistema. Entonces:

ldEqldFdU

⋅−=⋅−=

∫∫ ⋅=⋅−=−=∆⇒⋅−==a

b

b

aab ldEldEVVVldE

qdUdV

P0P2

0P2

0P r4

qrdr

4qldr

r4qVV

πε=

πε=⋅

πε=− ∫∫

∞∞

∞

Potencial eléctrico.

r4q)r(V

0π ε=

Vamos a aprovechar el ejemplo de la carga puntual para describir la representación gráfica cuantitativa del potencial escalar.

Los campos escalares se representan mediante curvas equiescalares. La tasa de cambio de la magnitud escalar entre dos superficies se fija. En el caso del potencial eléctrico de la carga puntual, las curvas equipotenciales son esferas. Vemos que estas superficies son normales a las líneas de campo eléctrico. Esto es así por la propia definición del potencial:

Eld,0dVsildEdV

⊥=⇒⋅−=

ddEd lEd lEldEd V −=⇒−=θ−=⋅−= t at a nc o s

Potencial eléctrico. Determinación de E a partir de V.

Vamos a analizar con más detalle la definición del potencial eléctrico:

Para un desplazamiento arbitrario, la componente de E en dicha dirección es la derivada direccional del potencial electrostático. Además, el máximo incremento de V seobservará para un desplazamiento precisamente en la dirección del vector campo eléctrico, pero en sentido opuesto a este. Matemáticamente, esos dos resultados se traducen en que el campo eléctrico es, salvo por el sentido, el gradiente del potencial eléctrico.

VE ∇−=

Podemos determinar las componentes del campo eléctrico, por ejemplo, en cartesianas, si analizamos desplazamientos paralelos a los ejes X, Y y Z sucesivamente:

zyx

zzz

yyy

xxx

ud zd Vu

d yd Vu

d xd VE

d zd VEd zEldEd V

d yd VEd yEldEd V

d xd VEd xEldEd V

−−−=⇒

−=⇒−=⋅−=

−=⇒−=⋅−=

−=⇒−=⋅−=

Potencial eléctrico. Dipolo.

El potencial debido a un sistema de cargas puntuales, de acuerdo con el principio de superposición, es:

donde ri es la distancia desde la carga i-ésima hasta el punto de campo P. Volvamos al caso de un dipolo eléctrico. La expresión exacta del potencial será: La expresión asintótica para puntos de campo muy distantes (respecto a la distancia entre las cargas del dipolo) es:

∑ πε=

i i0r4qV

−πε

=πε−+

πε=

+−

+−

−+ rrrr

4q

r4q

r4qV

000

30

dip r4rpV

πε⋅≈

Potencial eléctrico. Esfera cargada uniformemente.

El potencial debido a una distribución continua de carga es: donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto de campo P. Para

distribuciones de alta simetría, la integración directa del campo será más sencilla. Veámoslo para este caso ya estudiado. Recordemos:

Con el origen de potenciales en infinito, evaluamos primero V fuera de la distribución: Para el interior, se tendrá:

∫ πε=

r4dqV

0

rr3

R)Rr(E;r3

r)Rr(E 20

3

0 ερ=>

ερ=<

P0

3

r2

0

3

P r3Rr

r3R)Rr(V

Pε

ρ=ερ=> ∫

∞

( )2P

2

00

2

R

r 0R2

0

3

rP

rR63

R

ldr3

rldrr3

RldrE)Rr(VPP

−ερ+

ερ=

=

⋅

ερ+⋅

ερ=⋅=< ∫∫∫

∞∞

Capacidad. Condensadores. Los conductores tienen portadores de carga móviles, luego en una situación estática el

campo eléctrico en su interior debe anularse. Por tanto, el potencial es constante en un conductor.

La ley de Gauss muestra que no puede haber cargas en desequilibrio en su interior. La carga neta se localizará sobre la superficie. Vamos a considerar un sistema formado por un solo conductor (esférico por simplificar). La carga Q se distribuirá uniformemente sobre su superficie, lo que implicará: La razón entre la carga y el potencial que adquiere un conductor aislado es su capacidad

R4QV

r4Q)Rr(Vr

r4Q)Rr(E

0conductor

02

0

πε=

πε=>⇒

πε=>

R4VQC 0πε==

Capacidad. Condensadores.

Es más común hablar de capacidad cuando nos referimos a condensadores. Un

condensador es un dispositivo formado por dos conductores (placas) que adquieren cargas de igual magnitud y signo opuesto. El cociente entre la magnitud de la carga de las placas y la diferencia de potencial entre ellas es, al igual que en el caso del conductor aislado, constante para una geometría fija

La unidad de capacidad en el SI es el farad (F). Esta unidad, desde un punto de vista práctico, es demasiado grande (una esfera

conductora debería tener un radio R≈9·109 m para que su capacidad fuese unitaria), por lo que habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el microfarad (1 µF=10-6 F), el nanofarad (1 nF=10-9 F) y el picofarad (1 pF=10-12 F).

En la expresión de la capacidad de la esfera conductora, se ve que dimensionalmente la

permitividad del vacío ε0 es un cociente entre capacidad y longitud.

VQC

∆=

m/F10854,8 120

−⋅≈ε

Capacidad. Condensadores. Condensador plano-paralelo.

En este tipo común de condensador, las placas son dos láminas metálicas planas (delgadas) paralelas, separadas una distancia (d) mucho menor que las dimensiones que definen el área (A) de dichas placas.

Entonces, las placas son, a efectos prácticos, asimilables a dos planos

cargados muy extensos (indefinidos). El campo producido por tal distribución, vimos que es:

Superponiendo los efectos de las dos placas, se tiene que en la región

entre placas: Así pues, la capacidad del condensador de placas paralelas es:

( ) ( ) ( )kA2

Qk2

kk2E00

±ε

=±εσ=±σπ=

AQd

AQdzldk

AQVk

AQE

0

dz

z 0

dz

z 00

0

0

0

0ε

=ε

=⋅ε

=∆⇒ε

= ∫∫++

dA

AQdQ

VQC 0

0

ε=

ε

=∆

=

Capacidad. Condensadores. Condensador cilíndrico.

En este caso las placas son dos cilindros conductores coaxiales, uno de radio R1 y otro de radio interno R2, ambos de longitud L (L>>R1, R2). Con esta condición, las distribuciones de carga son prácticamente cilindros indefinidos cargados uniformemente en superficie.

De aquí derivamos la diferencia de potencial entre las placas y la capacidad: o la capacidad por metro

RRL2

Q)R(ELlQQ

Rl2)R(E

0enc

E

πε=⇒

=

π=Φ

)R/Rln(L2

VQC⇒)R/Rln(

L2Q

RdR

L2Qld·

RL2QV

12

012

0

R

R0

R

R 0

2

1

2

1

πε=

∆=

πε=

πε=

πε=∆ ∫∫

)R/Rln(2

VL/Q

LC

12

0πε=

∆=

Capacidad. Condensadores. Condensador esférico.

Las placas son ahora dos esferas conductoras concéntricas, la interior de radio R1 y la exterior de radio interno R2. Las cargas se distribuirán uniformemente en superficie. En la zona intermedia:

De aquí pasamos a la diferencia de

potencial y la capacidad:

RR4

Q)RrR(E 20

21 πε=<<

( )

( )12

210

R

R 210

12

2102

0

R

R2

0

RRRR4

VQC

RR4RRQ

R1

R1

4Q

RdR

4Qld·R

R4QV

2

1

2

1

−πε

=∆

=

πε−=

−

πε=

πε=

πε=∆ ∫∫

Capacidad. Condensadores. Asociaciones de condensadores.

Asociación en paralelo De la definición de capacidad: Asociación en serie Y de la relación entre las tres magnitudes:

V)CC(QQQVCQVCQ

212122

11 ∆+=+=∆=∆=

∑=⇒

+==∆

i ieq21eq C1

C1

C1

C1Q

CQV

+=+=∆

=

=

2121

22

11

C1

C1QVVV

CQV

CQV

∑=⇒+

==∆i

ieq21eq

CCCC

QCQV

Dieléctricos.

En un material dieléctrico o aislante, a diferencia de un conductor, no se dispone de portadores de carga capaces de desplazarse libremente bajo la acción de un campo.

Vemos abajo el efecto de un campo eléctrico para sustancias no conductoras, bien

apolares (izquierda) o polares. En cualquiera de los dos casos, el resultado es el mismo: las cargas positivas tienden

a desplazarse siguiendo el campo, mientras las negativas lo tienden a hacer en el sentido inverso: las moléculas se polarizan en la dirección del campo.

Dieléctricos. Vamos a analizar la influencia de su presencia en los

fenómenos eléctricos. Consideramos para ello una situación sencilla, un condensador plano-paralelo y estudiaremos de forma semicuantitativa las variaciones que se producen en este sistema.

En las proximidades de las placas, aparece una concentración relativa de cargas en exceso del tipo opuesto al de la placa. Esto se traduce, para una carga fija en las placas, en una disminución de la intensidad del campo dentro del condensador:

donde κ (κ>1) es la constante dieléctrica del material.

κ= 0EE

Dieléctricos.

Si seguimos apoyándonos en el condensador planoparalelo, constatamos que la disminución del la intensidad del campo implica una menor diferencia de potencial entre las placas:

Esto, en la práctica, representa un incremento en la capacidad del condensador: Siendo más específicos, para el caso concreto del condensador plano: donde ε, producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio,

es la permitividad del dieléctrico. Cuando operemos con materiales aislantes, las expresiones que veníamos manejando hasta ahora se habrán de modificar, de manera que la permitividad del medio aparecerá en lugar de la del vacío. Así, por ejemplo, la ley de Gauss se expresará como:

κ∆

=κ

==∆ ∫ 00der

izq

VdEdlEV

00

CVQ

VQC κ=

∆κ=

∆=

dA

dACC 0

0ε=

κε=κ=

ε=⋅∫ enc

S

QAdE

Energía potencial electrostática.

La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que se invierte en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes entre sí hasta sus posiciones finales en el sistema.

Para dos cargas, supuesta fija la carga 1, el trabajo para llevar la 2 hasta su posición es: Si se añade otra carga al sistema, el trabajo adicional será: El trabajo neto para juntar las tres cargas es:

120

12222 r4

qq)r(VqWπε

==

πε

+πε

==230

2

130

13333 r4

qr4

qq)r(VqW

( )332211230

2

130

13

230

3

120

12

130

3

120

21

230

32

130

31

120

21

VqVqVq21

r4q

r4qq

21

r4q

r4qq

21

r4q

r4qq

21

r4qq

r4qq

r4qqW

++=

πε

+πε

+

+

πε

+πε

+

πε

+πε

=πε

+πε

+πε

=

Energía potencial electrostática.

La energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales, generalizando, es:

Para una distribución continua de carga, operaríamos del modo que ya hemos puesto

en práctica previamente: Para una distribución de carga en volumen se tendría Si fuese en superficie Este tipo de distribución aparece, en particular, para medios conductores. Entonces donde la suma se extiende ahora a los cuerpos conductores con cargas Qj y potenciales

Vj.

∑=

=n

1iiiVq

21U

∫= Vdq21U

∫ρ=ondistribuciV

dvV21U

∫σ=óndistribuciS

dAV21U

∑∑ ∫∫ =σ=σ=j

jjj S

jjjS

QV21dAV

21dAV

21U

jóndistribuci

Energía potencial electrostática.

Un condensador es un dispositivo que entra dentro de estas situaciones. Teniendo en cuenta las características específicas de estos sistemas podremos escribir:

Tomemos la última expresión en el caso del condensador plano-paralelo La energía aparece como producto del volumen del condensador (Ad) por cierta

expresión que tiene magnitud de energía por unidad de volumen. No lo probaremos, pero, de hecho, la energía electrostática de un sistema se puede evaluar alternativamente como integral de dicha densidad de energía:

( ) ( )C

Q21VC

21VQ

21)Q(VQV

21QV

21U

22

21j

jjrcondensado ∑ =∆=∆=−+==

( ) ( ) )Ad(E21Ed

dA

21VC

21U 222 ε=

ε=∆=

∫ε=espacioeltodo

2dvE21U