If you can't read please download the document
Upload
silvia-done
View
34
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
cxncv
Citation preview
FACULTATEA DE MATEMATIC
TEME PENTRU GRADUL DIDACTIC I
Seria 2015-2017
Nr.
crt
Conductor / Tema Nume
candidat
1. Aplicaii ale calculului diferenial i integral n fizic, biologie, economie i chimie Calculul diferential si integral apare in programa scolara a ultimilor ani de liceu. Multe
fenomene din fizica, biologie, economie, etc pot fi descrise cu ajutorul ecuatiilor
diferentiale. Studiul acestor ecuatii inlesneste o mai buna intelegere si predictie a
fenomenelor descrise de acestea. De fapt, ceea ce se urmareste este procesul de modelare
matematica, proces care conduce la formularile prin intermediul ecuatiilor diferentiale.
Prin abordarea acestei teme, candidatul are prilejul de a intra in contact cu latura
aplicativa a matematicii.
2. Numere complexe n geometrie Tratarea problemelor de geometrie cu ajutorul numerelor complexe se apropie de
geometria analitica dar, spre deosebire de aceasta - care ofera un tratament pur algebric,
numerele complexe imbina cele doua caractere:geometric si algebric al problemelor.
Lucrarea propusa ofera posibilitatea de aprofundare a celor doua discipline fundamentale
in formarea elevilor: geometria si algebra.
3. 4 Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie Vor fi discutate pentru nceput chestiuni legate de dezvoltarea istoric a noiunii de
numr complex, forma algebric a numerelor complexe, interpretarea geometric a
numerelor scrise sub form algebric, precum i forma trigonometric a numerelor
complexe.
Se vor prezenta rezultate i proprieti geometrice care se pot caracteriza cu ajutorul
numerelor complexe. Astfel, aceste relaii i proprieti geometrice vor fi traduse n
limbajul numerelor complexe. O importan deosebit va fi acordat caracterizrilor
greite din manualele de liceu (de exemplu cea a conciclicitii).
n fine, se vor prezenta pe larg consideraii metodice legate de aplicaiile numerelor
complexe n geometrie. Se va insista asupra importanei i a locului pe care tema tratat
l ocup n programa de liceu.Vor fi menionate tipurile de probleme de geometrie care
se pot rezolva n mod natural prin metodele discutate. O parte a acestor probleme se
trateaz n cadrul orelor de matematic de la clas, ns cea mai mare parte a lor este
potrivit mai ales pentru abordarea n cadrul cercurilor de elevi i a centrelor de
excelen. Lucrarea vine n completarea materiei de clasa a X-a.
4. Inducia matematic n geometrie Inducia complet reprezint una din cele mai utile metode de demonstraie din
matematic. Dei este mai puin folosit n geometrie, totui exist numeroase i
importante aplicaii ale metodei i n aceast ramur a matematicii. Se vor prezenta principiul induciei matematice, variantele metodei induciei matematice,
precum i tipuri de rezultate matematice demonstrate cu ajutorul a cestei metode. Se vor
investiga mai multe tipuri de rezultate i proprieti geometrice care se pot demonstra
utiliznd metoda induciei matematice. Astfel, se va insista pe calculul, demonstraia,
construcia, aflarea locurilor geometrice prin inducie, inducia dup numrul
dimensiunilor. Se vor trata pe larg numeroase aspecte metodice legate de aplicaiile
induciei matematice n geometrie, insistndu-se pe importana i locul pe care tema l
ocup n programa clasei a IX-a sau n pregtirea concursurilor colare. Vor fi menionate
tipurile de probleme de geometrie care se pot rezolva n mod natural prin metoda induciei
matematice. O parte a acestor probleme se trateaz n cadrul orelor de matematic de la
clas, ns cea mai mare parte a lor este potrivit mai ales pentru abordarea n cadrul
cercurilor de elevi i a centrelor de excelen.
5. Transformri geometrice Transformrile geometrice nu apar, n mod explicit, n programa colar actual. Noiunile
de simetrie, translaie, omotetii sunt folosite ns n matematica colar (triunghiul isoscel
are o ax de simetrie, triunghiul echilateral trei, cercul o infinitate, triunghiurile asemenea
sunt omotetice, etc). n cadrul temei, se urmrete o introducere riguroas a principalelor
transformri geometrice (simetrii, translaii, omotetii, inversiuni) precum i a rolului pe
care acestea l au n introducerea i aprofundarea unor teme din programa colar.
6. Utilizarea calcului vectorial i analitic n rezolvarea problemelor de geometrie Programa colar pentru geometrie n liceu se bazeaz n special pe utilizarea calculului
vectorial i analitic (mai puin). n cadrul acestei teme se va face o introducere riguroas a
elementelor de calcul vectorial i geometrie analitic i se va evidenia rolul utilizrii
acestor tehnici n rezolvarea unor probleme de geometrie.
7. Inecuaii i inegaliti n matematica preuniversitar Dac relaia matematica de egalitate este, in general, mai usor asimilata de catre
elevi, relatia de inegalitate reprezinta, in schimb, un prag important si nu tot timpul usor
de parcurs, in intelegerea unor concepte mai avansate. In matematica, relatie de ordine
intre numerele reale este introdusa progresiv si apoi pe baza ei sunt propuse metode de
rezolvare a unor inecuatii (cu grad din ce in ce mai rigicat de complexitate) si, de
asemenea, sunt studiate o serie de ingalitati remarcabile.
Scopul acestei lucrari este acela de a urmari evolutia, in cadrul programei de
matematice de gimnaziu si de liceu, a notiunilor si tehnicilor legate de relatia de ordine pe
axa numerelor reale. Astfel, ne propunem ca, plecand de la primele tehnici algebrice
simple de rezolvare a unor inecuatii sau de demonstrare a unor inegalitati, sa descriem
traseul teoretic necesar lucrului cu inegalitati si inecuatii din ce in ce mai complexe. In
finalul prezentarii teoretice, puternicul instrument de studiu oferit de calculul diferential,
va fi trecut in revista si aplicat in diverse contexte. Un capitol de consideraii metodice va
fi rezervat, pe final, prezentrii unor aspecte legate de locul relatiei de inegalitate n
programa colar.
8. Sisteme liniare i aplicaii
Studiul sistemelor de ecuatii liniare reprezinta o tema de mare importanta in
matematica preuniversitara, fiind un instrument foarte mult utilizat pentru modelarea unor
probleme concrete. De aceea, acest studiu este facut gradat, incepand cu clasa a VII-a si
este finalizat in clasa a XI-a cand, pe baza instrumentului oferit de calculul matricial este
posibila descrierea unei metode complete de rezolvare. Desi in aparenta reprezinta o tema
marginala, sistemele de ecuatii liniare isi dovedesc de foarte multe ori utilitatea si de
aceea parcurgerea cu atenie, pricepere i tact a acelor locuri din cadrul materiei privitoare
la acest subiect constituie o piatr de ncercare pentru fiecare profesor n efortul de a oferi
elevilor accesul la un grad ridicat de corelare a noiunilor i rezultatelor matematice
parcurse.
Lucrarea propusa are in vedere discutarea cadrului general de lucru pentru
sistemele liniare studiate n matematica scolar si descrierea unor metode ce nu se
regasesc in programa standard. Multiple aplicatii ale sistemelor liniare vor fi de asemenea
discutate, iar un capitol final va fi dedicat prezentrii unor aspecte metodice legate de
subiectul lucrarii.
9. Conceptul de izomorfism in algebra Se trateaza conceptul de izomorfism in diverse structuri algebrice:
grupuri, inele, corpuri, spatii liniare. Se pot mentiona si demostra
teoremele de izomorfism pentru diverse structuri algebrice. Se vor da
exemple si diverse aplicatii ale acestui concept. Se pun in evidenta
aplicatii metodice ale temei, prin intermediul unor proiecte didactice.
10. Divizibilitate in inelul polinoamelor Se introduce inelul polinoamelor cu coeficienti intr-un corp comutativ, se
introduc notiunile de divizibilitate, cmmmc, cmmdc, polinom ireductibil,
criterii de ireductibilitate si se studiaza diverse proprietati. Se
demonstreaza faptul ca este un inel euclidian (are loc teorema impartirii
cu rest). Se pun in evidenta aplicatii metodice ale temei, prin intermediul
unor proiecte didactice.
11. Scheme clasice de probabilitate cu aplicaii la programa de gimnaziu i liceu Elemente de teoria probabilitilor se fac att la gimnaziu, ct i la liceu. Aceste noiuni
sunt necesare pentru a nelege mai bine o serie de modele ale fenomenelor naturale i
sociale i pentru a stabili o serie de identiti combinatorice.
12. Extreme de funcii de una sau mai multe variabile reale Extremele pentru funcii i pentru diverse mrimi se gsesc aproape n orice domeniu al
vieii. Aceste noiuni sunt de mare importan i se regsesc n toat programa colar.
13. Funciile Gamma si Beta ale lui Euler. Aplicaii Functiile Gamma si Beta, introduse n matematic de ctre Leonard Euler, iniial pentru a
a extinde unele functii definite pe multimea numerelor naturale la multimea numerelor
reale (de exemplu funcia factorial), apar n mod natural n numeroase ramuri din
matematic: analiza matematic, teoria probabilitilor, ecuaii difereniale, etc.
Lucrarea ofer astfel prilejul candidatului de a aprofunda idei si metode clasice de analiz
matematic, ce completeaz armonios informatiile cuprinse in programa de liceu.
14
. Soft matematic n matematica preuniversitar
Scilab este un limbaj de programare de nivel nalt, orientat ctre calculul tiinific. Prin
aceast lucrare, propunem candidatului identificarea capitolelor din matematica de liceu
ce pot fi abordate din punct de vedere calculatoriu, numeric, studiul algoritmilor adecvai
de aproximare i implementarea acestora n Scilab. Se pot avea n vedere diferite ramuri
din matematica studiata n coala: algebr (calculul cu aproximatie al rdcinilor
ecuatiilor algebrice, rezolvarea numeric a sistemelor liniare etc.), analiza matematic
(calculul numeric al integralelor definite, interpolare, grafice de funcii, etc.), geometrie
(reprezentarea grafic a diferitelor obiecte geometrice), etc.
15 Inele de polinoame: proprieti algebrice i aritmetice Polinoamele i ecuaiile polinomiale sunt prezente n programa colar att la gimnaziu
ct i la liceu. Astfel, lucrarea poate include studiul, att din punct de vedere
didactic ct i din cel al formalismului algebric, al urmtoarelor subiecte:
- rdcini ale polinoamelor de gradul 1 i 2
- metode de determinare a rdcinilor polinoamelor de gradul 3 i 4
- divizibilitatea polinoamelor, polinoame ireductibile, descompunerea polinoamelor
n factori ireductibili
- inelul polinoamelor ca exemplu fundamental de inel; construcie, proprieti
- studiul comparativ al inelelor de polinoame cu coeficieni n corpul R, respectiv C.
Candidatul este ncurajat s formuleze exerciii i probleme legate de aceste aspecte,
de diferite grade de dificultate.
16 Curbe algebrice n plan O curb algebric plan este mulimea punctelor P(x; y) din plan ale cror coordonate
verific o ecuaie polinomial n dou nedeterminate f(x; y) = 0. Astfel de curbe pot fi
ntlnite n programa colar att la algebr i geometrie (dreapta n plan, graficele
funciilor de gradul 1 i 2, cercul, conicele) ct i la analiz matematic (grafice ale
funciilor polinomiale). Tema propus presupune un studiu unitar al acestora, cu metode
algebrice i, eventual, analitice. Se vor avea n vedere urmtoarele aspecte:
- tipuri de ecuaii ale curbelor studiate
- proprieti de regularitate
- dreapta sau dreptele tangente ntr-un punct
- proprieti de intersecie
- proprieti aritmetice (puncte cu coordonate numere ntregi)
Candidatul este ncurajat s formuleze exerciii i probleme legate de aceste aspecte,
de diferite grade de dificultate.
17 Inegaliti geometrice
Lucrarea va avea patru pri. n prima parte se va face o prezentare (nu foarte detaliat) a
axiomatici lui Hilbert. n a doua parte se vor prezenta problemele cu inegaliti cele mai
cunoscute care se gsesc n manualele colare. n partea a treia vor fi prezentate probleme
de inegaliti geometrice cu un grad sporit de dificultate. Ultima parte va fi de metodic
(proiecte de lecii, teste de evaluare etc.).
18 Aplicaii ale algebrei liniare n geometrie
Lucrarea va avea patru pri. n prima parte se va face o prezentare a noiunii de vector
liber i proprieti ale lor, precum i noiuni de baz ale geometriei analitice. n partea a
doua se vor rezolva probleme de geometrie elementar n plan i n spaiu cu ajutorul
vectorilor. Problemele abordate vor fi n primul rnd cele simple, care se gsesc n
manuale, iar apoi vor fi i probleme deosebite. n partea a treia se vor prezenta probleme
de geometrie sintetica rezolvate analitic. Ultima parte va fi de metodic (proiecte de lecii,
teste de evaluare etc.).
19 De la operaia de msurare la noiunea de integral Masurarea lungimilor, ariilor si volumelor, precum si a celorlalte marimi
fizice, sugereaza notiunea abstracta de masura. (Procesul de comparare a obiectului de
masurat cu unitatea de masura se regaseste in proprietatea de aditivitate a masurii.) Se va
arata cum calculul masurii unor obiecte geometrice complicate impune introducerea
notiunii de integrala ca instrument eficace de evaluare.
20 Cum introducem numerele ntregi i raionale Lucrarea are in vedere o introducere motivata a numerelor intregi negative si a numerelor
rationale, precum si a calculelor cu acestea, pentru elevii de gimnaziu. Se vor propune
probleme a caror rezolvare complicata si ingenioasa prin folosirea doar a numerelor
naturale devine un calcul de rutina prin folosirea numerelor noi.
21 Inegaliti, inecuaii
I. Preliminarii
- construcia mulimilor numerice , , ,
- funcia de gradul 2, funcia exponenial, funcia logaritmic
- funcii trigonometrice
- principiul induciei matematice
II. Inegaliti
- inegaliti fundamentale (inegaliti cu module; inegalitatea mediilor, Cauchy-Schwarz, Minkowski, Cebev, Bernoulli, Hlder, Jensen)
- inegaliti aritmetice (metode de rezolvare: substituii, puteri asemenea etc.) - inegaliti algebrice (metode de generare: substituii n inegaliti cunoscute: nsumri etc.; metode de rezolvare: transformri i utilizarea inegalitilor
fundamentale, simetria (n inegalitate), inducia, monotonia,
concavitatea/convexitatea etc.
III. Addendum
- inegaliti geometrice (n triunghiuri) - inegaliti trigonometrice
IV. Inecuaii
- inecuaii polinomiale (semnul funciei, tabel de variaie) - inecuaii iraionale (raionalizare, substituie) - inecuaii exponeniale (proprieti, substituii) - inecuaii logaritmice (proprieti, substituii)
V. Consideraii metodice
Impactul temei: perfecionarea abilitilor de calcul; cunoaterea tehnicilor de aproximare
etc.
Plan de lecie/cercetare. Probleme alese.
Bibliografie
- D.S. Mitrinovi, Elementary Inequalities, P. Noordhoff, 1964. - A. Engel, Probleme de matem , Ed. Gil, 2006. - L. Panaitopol, A. Gica, , Ed. Gil, 2006. - C. Nstsescu, C. Ni, C. Vraciu, , Ed. Didactic i
Pedagogic, 1993
- INTERNET: www.math.md/school 22 Ecuaii algebrice
I. Preliminarii
- mulimile numerice , , , , (prezentare general).
- polinoame: , ,X X X (construcie, proprieti).
II. Ecuaii algebrice
- ecuaii algebrice de grad 4 (deducerea formulelor de rezolvare)
- numrul rdcinilor unei ecuaii algebrice (ir Rolle, ir Sturm)
- marginile rdcinilor unei ecuaii algebrice
- ecuaii cu coeficieni n (rdcinile raionale)
- ecuaii cu coeficieni n
III. Ecuaii diofantice
- ecuaia 0ax by c
- ecuaia 2 2 2x y z
V. Consideraii metodice
- rolul matematicii, aplicaii ale ecuaiilor algebrice, plan de lecie/cercetare, probleme
alese.
Bibliografie
- L. Panaitopol, I.C. Drghicescu, , Ed. Albatros
(Sinteze Lyceum), 1980.
- C. Nstsescu, C. Ni, C. Vraciu, , Ed. Didactic i
Pedagogic, 1993
- C. Nstsescu, , Ed. Academiei, 1979.
- C. Nstsescu et al., Bazele algebrei, Ed. Academiei, 1986
- Cursuri de algebr Univ. Iai, etc.
23 Elemente remarcabile asociate unui triunghi Triunghiul este figura central a geometriei sintetice i principalul obiect geometric al
matematicii colare. Ca atare, prezenta lucrare are o importan deosebit pentru
perfecionarea cadrelor didactice. Astfel, se va avea n vedere pe lng punctele,
segmentele, dreptele i cercurile clasice din geometria triunghiului, o serie de configuraii
remarcabile.
24 Geometria euclidian a conicelor Conicele sunt obiecte geometrice de natur algebric, mai precis curbe de gradul II, din
acest punct de vedere fiind cele mai simple obiecte de acest tip exceptnd dreptele. Astfel,
lucrarea va contribui n mod esenial la mbogirea bagajului teoretic i practic al elevilor.
Un aspect estenial este prezentarea unor aplicaii ale teoriei conicelor n alte domenii,
cum ar fi astronomia, fizica, arhitectura .a., precum i prezena lor n viaa cotidian.
25 Aplicatii ale integralelor in mecanica si geometrie Prezenta lucrare isi propune sa prezinte o serie de notiuni si rezultate referitoare la
geometria maselor (masa, centrul de masa, tensorul de inertie) precum si calculul ariilor si
volumelor unor corpuri de rotatie. Sunt discutate aplicatii atat ale integralei Riemann cat si
o serie de aplicatii simple ale integralelor duble, triple si de suprafata. Metodele de calcul
si aplicatiile prezentate in lucrare sunt exemplificate in probleme practice concrete.
26 Elemente de mecanica si aplicatii in geometria euclidiana Lucrarea are ca obiectiv tratarea unor aspecte de mecanica care sunt aplicate in geometria
euclidiana, in special geometria triunghiului. Se introduc mai intai o serie de elemente de
algebra vectoriala, sisteme de forte si reprezentarea fortelor prin vectori, momentul unei
forte si notiunea de torsor. Dupa care se prezinta elemente de geometria maselor si teoria
reducerii sistemelor de forte. Aceste aspecte sunt aplicate in geometria triunghiului si sunt
discutate semnificatiile mecanice ale unor proprietati geometrice.
27 Elemente de teoria numerelor in matematica de gimnaziu i liceu va cuprinde: Principii ( extremal, Dirichlet, cascadei etc.), Funcii
aritmetice, Congruene i clase de resturi, Teoreme (Fermat, Euler, Wilson), Ecuaii
diofantice( liniare, ptratice pitagorice, Pell etc., de ordin superior Teorema Lagrange)
, Resturi ptratice ( simbolul Legendre), Ordinul unui element (Gaussianul) , Teste de
primalitate i distribuia numerelor prime.
va fi dedicat abordrii acestui subiect n matematica colar, i se va
acorda o atenie special aplicaiilor dedicate elevilor capabili de performan, cu
nuanarea diferitelor probleme specifice diverselor grupe de vrsta( elevi de gimnaziu,
clasele IX- X, clasele XI-XII).
28 Aproximarea numeric a soluiilor ecuaiilor algebrice neliniare Tema de fata are drept obiectiv principal tratarea ecuatiilor algebrice neliniare.
Vor fi amintite in acest sens:
- principalele tipuri de ecuatii care se predau la nivelul gimnazial si liceal;
- notiuni generale asupra ecuatiilor (domeniu de definitie, transformari, multimea de
solutii); etc.
Pentru inceput, se va pune in evidenta legatura dintre polinoame si ecuatii
algebrice (coeficienti, grad, radacini - Teorema lui Bezout, Teorema fundamentala
a algebrei (D'Alambert-Gauss), Teorema Abel-Ruffini, radacini multiple, relatii
intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viete), rezolvarea ecuatiilor algebrice de grad 4 (ecuatii binome, trinome, reciproce,
etc.), ecuatii algebrice cu coeficienti intregi si reali). De asemenea, vor fi prezentate o
serie de rezultate privitoare la separarea radacinilor unei ecuatii algebrice
oarecare (sirul lui Rolle) precum si calculul aproximativ al radacinilor reale ale unei
ecuatii algebrice neliniare (metoda injumatatirii intervalului, metoda corzii, etc.)
Nu in ultimul rand, se va avea in vedere prezentarea unor notiuni cu privire la
"instruirea asistata de calculator" in vederea predarii-invatarii notiunilor referitoare la
aproximarea numerica a solutiilor unei ecuatii neliniare - utilizarea unor metode grafice
pentru rezolvarea ecuatiilor, de exemplu.
29 Un alt fel de geometrie in plan: geometria taxicab Descriere:
- elemente de baza in geometria euclidiana;
- alte functii "distanta" pe R2: caz special:
p,q puncte in plan; d1(p,q) = |xp-xq| + |yp-yq|
- definirea unor elemente fundamentale bazandu-ne pe aceasta distanta
(cerce, geodezica, mediatoare)
- Studiul unor obiecte geometrice in aceasta geometrie, in analogie
cu geometria euclidiana.
- applicatii (distanta d1 se mai numeste distanta Manhattan)
Bibliografie:
1. Eugene F. Krause,
Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry
Dover Publication, 1987
2. Marvin Jay Greenberg -Euclidean and Non-Euclidean Geometries, 3-rd edition.
Published by Freeman and Co. 2008
30
Numere complexe, numere duale si aplicatii in geometrie
Descriere:
- corpul numerelor complexe;
- numere duale; acestea extind numerele reale adaugand un element nilpotent e
(i.e. care satisface e*e=0); se obtine o algebra asociativa, comutativa cu unitate;
- reprezentari cu ajutorul matricilor;
- proprietary algebraic ale numerelor complexe si a numerelor duale;
- transformari geometrice exprimate cu ajutorul numerelor complexe si al numerelor
duale;
Bibliografie:
Nicolae Mihileanu, Utilizarea numerelor complexe n geometrie, Editura Tehnic, 1968.
(120 pagini)
Mircea NEAGU si Alexandru OANA, Geometrie superioara in plan si in spatiu,
Ed. Univ. Transilvania, Brasov, 2008
W. B. Vasantha Kandasamy, Florentin Smarandache, Dual numbers, Zip Publishing,
Ohio, 2012
E. Pennestri; R. Stefanelli (2007) Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual
Numbers, Multibody System Dynamics 18(3):32349.
31 iruri i serii de funcii Scop: Prezentarea unor aspecte teoretice i practice relativ la irurile i seriile de funcii i
a unor aplicaii ale acestora cum ar fi: calculul unor numere remarcabile, calculul
logaritmilor naturali, calculul integralelor definite, definirea funciilor elementare,
determinarea soluiilor unor ecuaii difereniale, etc.
Subiectul reprezint o continuare a cursurilor de Analiz matematic predate n liceu i
furnizeaz o mare diversitate de subiecte pentru cercurile de elevi i centrele de excelen.
Organizare (pe capitole): Introducere, iruri de funcii, Serii de funcii, Serii de puteri,
Serii Fourier, Aspecte metodice.
Bibliografie iniial:
1. Precupanu A., Bazele analizei matematice, Editura Universitii Al. I. Cuza, Iai, 1993.
2. Sirechi Gh., , vol. I i II, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti,1985.
3. Rudner V. i Nicolescu C., Probleme de matematici speciale, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982.
32 Puncte de extrem i aplicaii Scop: Numeroase probleme din diverse tiine, din tehnic, din economie, din viaa
social, etc, conduc la necesitatea determinrii valorilor optime ale unui anumit proces,
adic a valorilor minime sau maxime ale acestuia. Scopul lucrrii
const n prezentarea metodelor mai des utilizate pentru determinarea punctelor
de extrem ale funciilor de una sau de mai multe variabile.
Subiectul reprezint o continuare a cursurilor de Analiz matematic predate n liceu i
poate furniza teme pentru cercurile de elevi.
Organizare (pe capitole): Introducere, Probleme elementare de minim i maxim, Puncte
de extrem ale funciilor de o variabil real, Puncte de extrem ale funciilor de mai multe
variabile, Aspecte metodice.
Bibliografie iniial:
1. Mihu C., Dne T., , Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982.
2. Precupanu A., Bazele analizei matematice, Editura Universitii Al. I. Cuza, Iai, 1993.
3. Sirechi Gh., , vol. I i II, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti,1985.
4. Sfichi R., , Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1990.
5. Udrite C., Tnsescu E., , Editura Tehnic, Bucureti, 1980.
33 Inele de matrice Matricele constituie obiecte centrale ale algebrei, fiind intalnite in special in conexiune cu
operatorii liniari. Ele au aplicatii multiple atat in algebra, cat si in alte domenii, precum
geometria, analiza matematica, mecanica, ... etc.
Lucrarea de fata vizeaza constructia inelului matricelor patratice de ordin n cu
coeficienti ntr-un corp comutativ K, studiul proprietatilor acestuia si evidentierea
izomorfismului cu inelul endomorfismelor unui K-spatiu liniar de dimensiune n. O atentie
deosebita este acordata studiului anumitor invarianti asociati matricelor: determinant,
polinom caracteristic, valori proprii, vectori proprii, ... etc. De
asemenea, sunt investigate cateva clase importante de matrice, precum matricele
simetrice/antisimetrice, matricele ortogonale, matricele nilpotente, ... etc.
Tema propusa este in mod evident conectata cu matematica preuniversitara, in care
matricele, determinantii si sistemele de ecuatii liniare sunt prezente in mod curent.
Referinta bibliografica: Volf, A. C., Algebra liniara, Editura Universitatii "Al. I. Cuza",
Iasi, 2002.
34 Algebre polinoamiale, monoidale si aplicatii Polinoamele sunt printre obiectele matematice care se regasesc in practic toate
ramurile matematicii. O intelegere completa a semnificatiei si importantei polinoamelor,
la un nivel conceptual superior, este strict necesara unui profesor de matematica. Lucrarea
va trata constructia algebrelor polinomiale (sau, mai general, a algebrelor monoidale i
grupale), proprietatile lor. Concepte importante in teoria algebrelor polinomiale clasice
(ireductibilitate, legaturi cu extinderile de corpuri, teoria numerelor etc.) vor avea un loc
in aceasta lucrare. Tema ofera si posibilitatea de includere de aplicatii didactice variate si
importante, polinoamele (sub diverse denumiri) avand un rol central in toata algebra de
gimnaziu si liceu.
35 Teorema mpririi cu rest i aplicaii Teorema mpririi cu rest este un rezultat cu implicaii profunde n structura
aritmetic a inelelor. Se vor studia inelele euclidiene (cu prototipurile clasice: inelul Z,
inele de polinoame cu coeficieni ntr-un corp, anumite inele de ntregi ptratici). Se vor
expune rezultate interesante de aritmetic i teoria numerelor bazate pe teorema mpririi
cu rest, algoritmul Euclid, lema chinez a resturilor. Aceast tematic se regsete n
diverse forme la mai multe niveluri n matematica preuniversitar i n problemele de la
concursuri de matematic.
36 iruri i serii de numere reale
Se vor discuta urmtoarele noiuni i rezultate:
- rur mrgnt, rur monoton, iruri convergente, iruri Cauchy, criteriul lui Cauchy
de convergen, subrur, lema lui Casaro, iruri celebre (al lui Euler, al lui Fibonacci, al
lui Catalan etc.)
- serii convergente, serii divergente, serii clasice (geometric, armonic, armonic
generalizata)
- criterii de convergen pentru serii cu termeni pozitivi i pentru serii cu termeni oarecare
- aplicaii in fizic (micarea oscilatorie), n biologie (irul lui Fibonacci)
Se susine modul n care studiul irurilor pregtete nelegerea de ctre elevi a noiunii de
limit care sta la baza ntregii analize mateatice
37 Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie Subiectul face legatura dintre notiuni de trigonometrie, calcule cu numere complexe,
geomentrie analitica si algebra. Se opereaza de asemenea cu functii avand domeniul si
codomeniul in multimea numerelor complexe. Capitolul I Structurile algebrice de corp
comutativ si spatiu liniar real pentru numerele complexe. Interpretarea geometrica a sumei
si produsului a doua numere complexe. Radacinile de ordinul n ale unitatii. Ecuatia
dreptei prin doua puncte si ecuatia cercului exprimate in planul complex. Aplicatii n
algebra, geometrie si trigonometrie. Capitolul al II-lea
Transformari geometrice in plan. Grupul izometriilor. Transformari neizometrice:
omotetia, inversiunea. Aplicatii folosind simetria, translatia, omotetia, inversiunea.
Transformari omografice. Capitolul al III-lea Consideratii metodice
Bibliografie selectiva.
1. BRANZEI, D., COL., Planul si spatiul euclidian, Editura Academiei, Bucuresti, 1986
2. E. Popa, Introducere in teoria functiilor de o variabila complexa, Ed. Univ. Al.I.Cuza Iasi, 2000
38 Arii si volume in geometria elementara Functiile arie si volum sunt partial studiate in gimnaziu (liceu), punandu-se accent pe aria
suprafetelor poligonale, a sectorului de cerc, volumul poliedrelor si al corpurilor rotunde.
In liceu apar aplicatii ale integralei definite in calculul ariei subgraficului unor functii, ori
a volumului unor corpuri de rotatie. Aceasta lucrare are ca scop studiul
functiei arie, definita pe multimea suprafetelor plane masurabile, cat si tratarea teoriei
elementare a volumelor. Accentul se va pune pe probleme care se rezolva cu ajutorul
ariilor/volumelor si pe aspectele metodice privind predarea acestor notiuni in
gimnaziu/liceu.
39 De la geometria triunghiului la geometria tetraedrului In matematica gimnaziala geometria triunghiului si a tetraedrului ocupa un loc de baza.
De aceea aprofundarea unor proprietati ale acestor obiecte geometrice este extrem de
utila. Prin metoda analogiei, se generalizeaza principalele proprietati ale triunghiului la
tetraedru. Pornind de la liniile importante in triunghi si punctele lor de concurenta, se
introduc planele si dreptele importante in tetraedru si se studiaza intersectia acestora.
Analog se introduc tetraedre particulare si se studiaza proprietatile lor esentiale. Se poate
face o paralela intre relatiile metrice in triunghi si relatiile metrice in tetraedru, intre
diferite probleme de loc geometric celebre ale triunghiului, respectiv ale tetraedrului.
40 Proprieti ale funciilor derivabile pe intervale. Abordri interdisciplinare Lucrarea va conine o prezentare metodico-tiinific a teoremelor fundamentale ale
calculului diferenial: teorema lui Rolle, teorema lui Fermat, teorema lui Cauchy, teorema
lui Lagrange, consecinele teoremei lui Lagrange, puncte de extrem, aplicaii ale
derivatelor. Vor fi vizate abordri interdisciplinare privind o serie de domenii, cum ar fi:
geometrie, algebr, economie, fizic, chimie, biologie.
41 Din universul trigonometriei Lucrarea va evidenia cteva aspecte interesante ale funciilor trigonometrice, viznd serii
de numere reale i produse infinite, dar i aplicaii ale trigonometriei n algebr, analiz,
geometrie, fizic, astronomie.
42 Funcii convexe Abordarea acestei teme de sinteza ofera posibilitatea verificarii experientei la catedra si a
nivelului atins de profesor in cristalizarea stilului didactic si in pregatirea metodico-
stiintifica. Va fi un studiu dedicat problematicii functiilor convexe/concave, cu punerea in
evidenta a interpretarii geometrice, exemple, caracterizari, determinarea intervalelor de
convexitate/concavitate, realizari de grafice de functii, punerea in evidenta a unor
reciproce ale teoremelor lui Lagrange si Cauchy, etc. De asemenea, vor fi demonstrate
diverse inegalitati remarcabile, cum ar fi inegalitatea mediilor generalizate, inegalitatea lui
Young, inegalitatea lui Holder etc., precum si unele inegalitati geometrice.
43 Puncte de extrem. Aplicatii Abordarea acestei teme de sinteza ofera posibilitatea verificarii experientei la catedra si a
nivelului atins de profesor in cristalizarea stilului didactic si in pregatirea metodico-
stiintifica. Problematica punctelor de extrem apare la toate clasele, incepand cu clasa a
VII-a, la toate disciplinele matematice: algebra, analiza matematica si geometrie. Pe langa
abordarea teoretica (in cadru general, pentru functii de mai multe variabile reale), vor fi
vizate si aplicatiile remarcabile ale punctelor de extrem in diverse probleme practice.
44 Funcii derivabile Derivabilitatea este un capitol important al analizei matematice, cu numeroase aplicaii n
matematic, dar i n alte tiine. Din acest motiv el ocup un loc central n materia
predat ultimelor dou clase de liceu.
Prin aceast lucrare ne propunem o trecere n revist a rezultatelor fundamentale
din acest domeniu. Se dorete ca teoria s fie nsoit de probleme ct mai reprezentative,
prezentate gradat din punct de vedere al dificultii, de la aplicaii imediate la subiecte de
concurs, selectate din surse ct mai variate. O seciune ar putea fi dedicat unor modele
matematice ale anumitor procese reale, descrise cu ajutorul ecuaiilor difereniale.
Capitolul final va cuprinde consideraii metodice legate de predarea noiunii de
derivabilitate n coal.
45 Funcii monotone
Scopul lucrrii este de a realiza o sintez a rezultatelor legate de proprietatea de
monotonie a unei funcii i a aplicaiilor acestora (puncte de extrem, demonstrarea unor
inegaliti, etc.), precum i de a pune n eviden conexiunile dintre funciile monotone i
alte clase importante de funcii (continue, derivabile, etc.). De asemenea, urmrim s
selectm din manulalele scolare, din culegeri i chiar din subiectele date n cadrul
diferitelor concursuri probleme care s arate utilitatea acestor noiuni. Lucrarea se va
ncheia cu un capitol dedicat aspectelor metodice legate de acest subiect.
46 Ecuatii functionale pentru unele functii elementare Aceasta lucrare are ca scop introducerea si rezolvarea unor ecuatii functionale simple, de
una sau doua variabile (e.g., ecuatiile Cauchy, Jensen, dAlembert etc), care au drept
solutii functii elementare, e.g.: functia liniara, functia exponentiala, functia logaritm sau
functiile trigonometrice. Pentru abordarea acestui subiect este necesara o recapitulare a
notiunilor de functii continue/discontinue, functii injective, surjective, bijective, functii
convexe, functii trigonometrice si proprietatile acestora. In functie de abilitatile
candidatului, pot fi discutate si unele ecuatii functionale mai dificile, propuse la olimpiade
si concursuri de matematica.
47 Scheme clasice de probabilitate si aplicatii Aceasta lucrare va contine consideratii teoretice si probleme aplicative legate de calculul
probabilitilor pentru evenimente aleatoare definite pe un camp finit de probabilitate.
Pentru abordarea lor cu succes, este necesar o recapitulare a unor notiuni studiate in
liceu, e.g.: operaii cu mulimi, elemente de combinatorica (aranjamente, permutri,
combinri, combinari cu repetitie), progresii etc. Schemele clasice studiate in lucrare vor
fi: binomiala (Bernoulli), multinomiala, hipergeometrica, geometrica, schema lui Poisson.
De asemenea, pot fi discutate si unele paradoxuri din Teoria Probabilitatilor ce au legatura
cu aceste scheme de probabilitate. Pentru fiecare schema in parte vor fi propuse si
rezolvate cateva exercitii si probleme relevante. In functie de abilitatile candidatului, pot fi
abordate si chestiuni legate de simulare pe computer (eventual, folosind aplicatia
MATLAB) a evenimentelor discutate.
48 Tabelarea functiilor reale prin interpolare Lagrange Cunoscand valorile unei functii reale in n puncte distincte, se poate determina valoarea
functiei intr-un alt punct, pe baza interpolarii Lagrange, care determina un polinom de
grad n-1 ce pastreaza in cele n puncte neschimbate valorile date ale functiei.
49 Calculul inverselor matricelor nesingulare prin eliminare gaussiana Metoda eliminarii (a lui Gauss) permite scrierea matricei sub forma unui produs matriceal
intre o matrice inferior triunghiulara cu 1 pe diagonala si o alta, superior triunghiulara,
ceea ce conduce la calculul inversei matricei initiale ca un produs intre inversele celor
doua matrice din descompunere.