Temel Kavramlar

Temel Kavramlar

Sıfır tertip yüklemler mantığı Birinci tertip yüklemler mantığı –bilgi

ifadeetme biçimi Niceleyiciler Mantıksal Çıkarım Kuralları Çözülüm yöntemi

Temel kavramlar 0-tertip yüklem veya önerme hesabı

(propositional calculus) veya önermeler mantığı Her cümle, önerme simgesi denen bir simge ile ifade

edilir: Ali iyi öğrencidir Fatma çok iyi öğrencidir Ahmet’in babası Mehmet’tir

Bu cümleleri uygun olarak A,F,M ile ifade edebiliriz A,F,M- önerme simgeleridir ve gerçek değerler (doğru veya

yanlış) alıyorlar 0- tertip yüklemin ifade gücü zayıftır.

Önermeler mantığının artı ve eksi yönleri

Önermeler mantığı tanımlayıcıdır (declarative)Önermeler mantığının anlamı bağlamdan bağımsızdır (context-independent)

(doğal dilde anlam bağlama bağlıdır)Önermeler mantığının ifade gücü doğal dilden farklı

olarak çok sınırlıdırÖrneğin, bunu söylemek mümkün değil: “kuyular, komşu karelerde rüzgarlara neden oluyor“; bunun için her kare için bir cümle yazmak zorundayız

Önermeler mantığı düzenseldir (compositional): B1,1 P1,2 ‘nin anlamı B1,1 ve P1,2’ ‘nin

anlamlarından alınıyor

Birinci tertip mantık (First Order Logic-FOP)

Önermeler mantığı dünyanın olgulardan oluştuğunu varsayıyor

Birinci tertip mantık ise doğal dilde olduğu gibi dünyanın nesnelerden, ilişkilerden,işlevlerden oluştuğunu varsaymaktadır:İlişkiler (fiil ve fiil birleşmeleri): kırmızıdır, kardeşidir, … ‘dan büyüktür, …

aralığındadır, …

İşlevler (verilmiş nesne için tek bir “değer” veren ilişki) : en iyisi, üçüncüsü, babası…

Nesneler (isim ve isim birleşmeleri): insanlar, atlar, sayılar, renkler, oyunlar,savaşlar…

Birinci Tertip mantık - Örnek

Nesneler: kişi,taç, kişi kral, sol bacaklar

İlişkiler:

Kardeşidir

Başındadır

işlevler :

Sol bacağıdır

Birinci Tertip Mantık-Temel unsurlar Sabitler (nesnelere uygun)(Constants): KralJohn,2,… Yüklemler (ilişkilere uygun)(Predicates) Kardeş İşlevler (işlevlere uygun) Sqrt, SolBacağıdır,... Değişkenler x, y, a, b,... Bağlayıcılar , , , , Eşitlik = Niceleyiciler (Quantifiers) ,

Yüklemler (predicate)

Terim-nesneyi ifade eden mantıksal ifadedir; sabit-basit terimdir, işlev-karmaşık terimdir

N dereceli yüklem, yüklem adından ve n argümandan (terim) oluşmaktadır. “Ali iyi öğrencidir“ “iyi-öğrenci (ali), “öğrencidir (ali, iyi)”, öğrenci(ali, iyi)“ olarak, “Fatma çok iyi öğrencidir” ise “öğrenci(fatma, çok iyi)" gibi ifade edile bilir Genel olarak “öğrenci(X, Y)“ gibi yazmak mümkündür

“Ahmet‘in babası Mehmet’tir" babasıdır(ahmet, mehmet)" veya sadece “baba(ahmet, mehmet)" gibi ifade

edile biler.

“Ahmet‘in babası ve Ali’nin babası arkadaştırlar" arkadaş(baba(ahmet), baba(ali)).

Değişken, terim,cümleDeğişken-değeri değişe bilen simge; küçük harflerle yazılıyor

Terim = işlev (terim1,...,terimn) veya sabit veya değişken

Bölünmez cümle = yüklem (terim1,...,terimn) veya terim1 = terim2

Karmaşık cümle- bölünmez cümlelerden oluşuyor (bağlayıcılar, niceleyiciler ve değişkenler kullanmakla)

Örnek: Kardeşidir(John, Richard) ^ Kardeşidir(Richard,John) ~Kardeşidir(Solbacağı(Richard),John)

~Kral (Richard) => Kral (John)

Niceleyiciler Değişkenlerin kullanımı ifadenin gücünü arttırıyor. Değişkenler niceleyicilerle birlikte kullanıla biliyor.

Niceleyici değişkenin ifadedeki rolünü gösteriyor. Yüklemler mantığında iki tür niceleyici kullanılmaktadır: Genel (universal) (“∀ tümü için") Mevcutluk (existential) (“∃ öyle biri mevcuttur").

Birinci tertip yüklemler hesabı veya yüklemler mantığı (First order predicate calculus veya first order predicate logic- FOPL) niceleyicili değişkenlerin kullanımına izin veriyor. Ama FOPL’da yüklemler veya fonksiyonlar kullanılamaz.

Niceleyiciler için kurallar

￢∃ X p(X) = ∀X ￢ p(X) veya ∃X p(X) = ￢ ∀ X ￢p(X)

￢∀ X p(X) = ∃X ￢ p(X) veya ∀X p(X) = ￢∃ X ￢p(X)

∃X p(X) = ∃Y p(Y) ∀X q(X) = ∀Y q(Y) x y ve y x aynıdır x y ve y x aynıdır x y ve y x aynı değil

Niceleyiciler-örnekler

x y Seviyor(x,y) -“Öyle bir insan var ki, o dünyada herkesi seviyor”

x y Seviyor(x,y)- Her kişinin sevdiği bir insan var

y x Seviyor(x,y)- öyle bir insan var ki, o herkes tarafından seviliyor(dikkat edin: bu cümlede y, x’den önce kullanılmıştır)

Bir niceleyici diğer tür niceleyici ile ifade edile bilirx Bayılıyor(x,Dondurma) x Bayılıyor(x,Dondurma)x Bayılıyor(x,Brokoli) x Bayılıyor(x,Brokoli)

Niceleyiciler –örnek (devamı) F(x, y) - “x , y’den daha hızlıdır” anlamını veriyor. X ve Y, uçaklar

kümesine aittir.

x y F(x, y): “her bir x uçağı için aşağıdaki doğrudur: x , her hangi y uçağından daha hızlıdır". Daha basit dilde, “her bir uçak her bir uçaktan (kendisi de dahil olmakla!) hızlıdır".

x y F(x, y): “her bir x uçağı için aşağıdaki doğrudur: bazı y ve bazı x uçakları için x y’den daha hızlıdır". Daha basit dilde: “Her bir uçak bazı uçaklardan hızlıdır".

x y F(x, y): “öyle bir x uçağı var ki, her bir y uçağı için, x y’den hızlıdır”. Daha basit dilde: “bazı uçaklar her bir uçaktan daha hızlıdır".

x y F(x, y): “bazı x uçağı için öyle bir y uçağı var ki, x y’den hızlıdır“. Daha basit dilde: “bazı uçaklar bazı uçaklardan hızlıdırlar”

Karmaşık cümlelere örnekler

Kardeş(KralJohn,Richard) Kardeş(Richard,KralJohn)

p,c Ebeveyn(p,c)=>Evlat(c,p) g,c Dede(g,c) p Ebeveyn(g,p) Ebeveyn(p,c) s Rüzgar(s) => r Komşu(r,s) Kuyu (r)

“Haftanın her Pazartesi ve Çarşamba günleri ben Ahmetlerin evine öğlen yemeğine gidiyorum”

X ((haftanın_günü(X,pazartesi) v haftanın_günü(X,çarşamba))=>(gitmek(ben,ev_ahmet)

yemek(ben,öğlen_yemeği))))

Birisinin annesi o kişinin kadın ebeveynidir

m,c Anne(c) = m (Kadın(m) Ebeveyn(m,c)

Çıkarım kuralları

Yüklemler mantığı ifadelerinden oluşan S’ kümesini tatmin eden her bir atanmış yorum veya değişken, X’i de tatmin ediyorsa , X, S’ten mantıksal çıkarıla bilir

Modus ponens: { (P→Q) ∧ P } ⇒ Q “Eğer P formülü ile P’den Q elde edilir” önermesi doğru ise,Q de

doğrudur. p→q ve p,ise q çıkarıla bilir. Yüklemler için de doğrudur: eğer ∀X p(X) →q(X) ve p(a) ise q(a) çıkarıla bilir.

Modus tollens: {(P→Q) ∧ ￢ Q} ⇒ ￢ P “Eğer programım doğru ise o çalışmalıdır ve programım çalışmıyor”,

anlaşılıyor ki, programım doğru değil”

Zincir (Chain) kuralı (transitivity, veya syllogism kuralı): (P → Q) (∧ Q→ R) ⇒ P → R

Yerine Geçme

Yerine Geçme iki yüklem mantığı ifadesini eşleştirme işlemidir

p(X,a,b) yerine p(c, Y, Z) veya p(Z,W,X) kullanmak mümkündür

Baba (X,Y) baba(ali,fatma). baba(mehmet,akif). baba(akif,selim).

Yerine Geçme Tanıyor(ali,x) ile Tanıyor(y,z) cümlelerini eşleştirmek için aşağıdaki

yerine kullanmalar mümkündür:θ = {y/ali, x/z } veya θ = {y/ali, x/ali, z/ali}

(y yerine ali,x yerine z kullanılacak)

Θ –birleştiricidir (unifier ). Birleştirici, iki yüklemi aynı yapan yerine geçmeler kümesidir.

baba (X,Y) ve baba(U, V) yüklemleri için {X /ali, Y/fatma, U/ali, V/fatma} birleştiricidir, çünkü biz iki yüklemi, X ve U’yu “ali” sabiti ile, Y ve V’yi “fatma“ sabiti ile değişmekle aynı yapa biliriz.

{X/U, Y/V} (veya {U/X, V/Y}) en genel birleştiricidir (most general unifier unifier (MGU)) ,çünkü bu iki yüklem için tüm mümkün birleştiriciler en genel birleştiricinin özel halleridir.

Yerine Geçme

p q θ Tanıyor(Ali,x) Tanıyor(Ali,Ahmet) {x/Ahmet}}Tanıyor(Ali,x) Tanıyor(y,Fatma) {x/Fatma,y/Ali}}Tanıyor(Ali,x) Tanıyor(y,Baba(y)) {y/Ali,x/Baba(Ali)}}Tanıyor(Ali,x) Tanıyor(x,Fatma) {mümkünsüz}

Bilgi Tabanının içeriği böyledir:x kral(x) açgözlü(x) kötü(x)kral(John)kral(Richard) açgözlü(John)Açgözlü(Richard)kardeş(Richard,John)Kral (baba(John))Açgözlü(baba(John))

Genel niceleyicili “yerine koyma” işlemi

Kral(x) ve Açgözlü(x) yüklemlerini Kral(John) ve Açgözlü(y) yüklemleri ile eşleştiren θ yerine koyma işlemini kullanmış olursa bu mantıksal sonuçları alarız

Örnek: x Kral(x) Açgözlü(x) Kötü(x) aşağıdaki cümlelerle uyumludur:Kral(John) Açgözlü(John) Kötü(John)Kral(Richard) Açgözlü(Richard) Kötü(Richard)Kral(Baba(John)) Açgözlü(Baba(John))

Kötü(Baba(John)).

varlık niceleyicili “yerine geçme” işlemi

Her bir α cümlesi, v değişkeni, ve k sabiti (bilgi tabanının başka bir yerinde rastlanmayan) için:

v α yerine Subst({v/K}, α) yazmak mümkündür (Subst()-yerine geçme işlemidir)

(α cümlesini doğru yapan öyle bir v var ki, onu K sabiti ile değişmek mümkündür)

Örnek: x Taç(x) Başında(x,john) cümlesi

Taç(C1) Başında(C1,john)gibi yazılabiler

C1 - Skolem constant denen yeni sabittir

The unification algorithm

The unification algorithm

Yüklemler mantığı ve çözülüm(resolution)

Çözülüm yöntemi tersini kanıtlamaya dayanmaktadır.

Tersini kanıtlama- bilgi tabanını ve ters amacı kullanmakla null yantümcesini almaktır (zıtlık)

Tersini kanıtlamada kullanılan bilgi tabanı yantümce biçimindedir (clause form). Tersini kanıtlamada zıtlık alınırsa, esil hedef doğrudur.

Yantümceler ayrımların bağlacı gibi ifade ediliyor (CNF biçim):

(a ∧ b) ∨ c yantümce değil. (a ∨ c) (∧ b ∨ c) gibi yazılmalı idi

Tersini kanıtlama örneği

Verilen: Bir insan canlıdır Tüm canlılar ölecek. Socrates insandır. Amaç: Socrates’in öleceğinin kanıtlanması

Tersini kanıtlama örneği (devamı)

Yüklem biçimi Yantümce biçimi

1. ∀ X (kişi(X) → canlı(X) ) 1. ￢ kişi(X) canlı(∨ X)

2. kişi(socrates) 2. kişi(socrates)

3. Y (canlı(∀ Y) →ölmek(Y)) 3. ￢ canlı(Y) ölmek(Y)∨Ters amaç: Ters amaç:

￢ ölmek(socrates) ￢ ölmek(socrates)

Çözülüm ağacının oluşturulması

Bilgi Tabanı Yüklemler mantığı bilginin ifadesi için esneklik

sağlar Bilgi birimi kural veya olgu olabilirGenel not ortalaması iyi olan mezun, iyi iş bulabilir

∀X iyiGNO(X) iyi_iş(X) kuraldırAli’nin not ortalaması iyidir

iyiGNO(ali) olgudur. Olgularda ”eğer… o zaman” işlemi ve değişken

kullanılamaz. Bilgi tabanı olgular ve kurallardan oluşmaktadır.

Buna bazen veri tabanı da denir

Bilgi Tabanına örnek

Yasada deniliyor ki, saldırgan ülkeye silah satmak Amerikalı için suç sayılmaktadır. Nono ülkesi, Amerika’nın düşmanıdır ve füze silahı vardır ve bu füzelerin tümünü Amerikalı Colonel West’ten satın almıştır.

Kanıtlamalı: Colonel West suçludur

Bilgi Tabanına örnek (devamı)... Bir Amerikalının saldırgan devlete silah

satması suç sayılıyor:Amerikalı(x) Silah(y) Satmak(x,y,z)

Saldırgan(z) Suçlu(x)Nono’da bazı füzeler vardır: x Sahip_olmak(Nono,x) Füze(x):

Sahip_olmak(Nono,M1) ve Füze(M1)… tüm bu füzeleri Colonel West satmıştır

Füze(x) Sahip_olmak(Nono,x) Satmak(West,x,Nono)

Füzeler silahtır:Füze(x) Silah(x)

Amerikanın düşmanı saldırgandır Düşman(x,Amerika) Saldırgan(x)

West Amerikalıdır:Amerikalı(West)

Nono ülkesi Amerika’nın düşmanıdır Düşman(Nono,Amerika)Kanıtlamalı: West suçludur

Amerikalı(West) Füze(M1), Sahip_olmak(M1) Düşman(Nono,Amerika)

İleri zincirleme algoritması

İleri zincirleme yolu ile kanıtlama-Forward chaining proof

... Bir Amerikalının saldırgan devlete silah satması suç sayılıyor:

Amerikalı(x) Silah(y) Satmak(x,y,z) Saldırgan(z) Suçlu(x)

Nono’da bazı füzeler vardır: x Sahip_olmak(Nono,x) Füze(x):

Sahip_olmak(Nono,M1) ve Füze(M1)

… tüm bu füzeleri Colonel West satmıştır



Amerika’nın düşmanı saldırgandır Düşman(x,America) Saldırgan(x)


Nono ülkesi Amerika’nın düşmanıdır Düşman(Nono,Amerika)Kanıtlamalı: West suçludur

••

Amerikalı(West) Füze(M1), Sahip_olmak(M1) Düşman(Nono,Amerika)






… tüm bu füzeleri Colonel West satmıştır



Amerikanın düşmanı saldırgandır Düşman(x,Amerika) saldırgan(x)


Nono ülkesi Amerika’nın düşmanıdır …Düşman(Nono,Amerika)Kanıtlamalı: West suçludur

••






… tüm bu füzeler Colonel West’e satılıpFüze(x) Sahip_olmak(Nono,x) Satmak(West,x,Nono)


Amerikanın düşmanı saldırgandır Düşman(x,Amerika) Saldırgan(x)


Nono ülkesi Amerika’nın düşmanıdır …Düşman(Nono,Amerika)

•Kanıtlandı: West suçludur•

Geriye zincirleme-Backward chaining algorithm

SUBST(COMPOSE(θ1, θ2), p) = SUBST(θ2, SUBST(θ1, p))

Geriye zincirleme örneği

Suçlu(West)


Amerikalı(X) Silah(Y) Satmak(X,Y,Z) Saldırgan(Z)

Suçlu(West)







Geriye zincirlemenin özellikleri

Derinine arama ile kanıtlama Sonsuz döngülerde tam değil

Tekrarlanan altamaçlar yüzünden verimsizdir Mantıksal programlamada yaygın kullanılmaktadır

CNF biçimine dönüştürme örneği

Hayvanları seven herkes birileri tarafından seviliyor:x [y Animal(y) Loves(x,y)] [y Loves(y,x)]

1. Eliminate biconditionals and implicationsx [y Animal(y) Loves(x,y)] [y Loves(y,x)]

2. Move inwards: x p ≡ x p, x p ≡ x px [y (Animal(y) Loves(x,y))] [y Loves(y,x)] x [y Animal(y) Loves(x,y)] [y Loves(y,x)] x [y Animal(y) Loves(x,y)] [y Loves(y,x)]

CNF biçimine dönüştürme örneği (devamı)

3. Her niceleyici farklı değişken için kullanılmalıdırx [y Animal(y) Loves(x,y)] [z Loves(z,x)]

4. Skolemleştirme: her varlık değişkenin yerine skolem fonksiyonu yazılyor:

x [Animal(F(x)) Loves(x,F(x))] Loves(G(x),x)

5. Genel niceleyicileri atılıyor: [Animal(F(x)) Loves(x,F(x))] Loves(G(x),x)

6. üzere paylaştırma yapılıyor: : [Animal(F(x)) Loves(G(x),x)] [Loves(x,F(x)) Loves(G(x),x)]

Çözülümle kanıtlama-Resolution proof: yantümcelerin tanımlanması

Kısıtlamalı soruna çözüm örneği

Eğer sorunun çözümü var ise Colorable() mantıksal olarak çıkarıla bilir

Diff(wa,nt) Diff(wa,sa) Diff(nt,q) Diff(nt,sa) Diff(q,nsw) Diff(q,sa) Diff(nsw,v) Diff(nsw,sa) Diff(v,sa) Colorable()

Diff(Red,Blue) Diff (Red,Green) Diff(Green,Red) Diff(Green,Blue) Diff(Blue,Red) Diff(Blue,Green)

Bilginin ifade yolları Yapay Zekada veriler değil, bilgiler önemlidir:

Olgular Yordamlar Anlam

Bilginin ifadesinin Dört Yolu: Mantıksal ifade Anlamsal Ağlar Üretim Kuralları Çerçeveler

Anlamsal ağlar-Semantic Networks

Sebep –netice, anlamsal, işlevsel bağlantılar

Grafik ifade Graflar kolay anlaşılan ve kaydedilendir Graf bilgilerinin etkili kullanıla bilinmesi için graflar doğru

biçimlendirilmelidir (formalism)

Jason’un15, Bryan’ın 40, Arthur’un 70, Jim’in 74 yaşı var Julia kaç yaşındadır?

Daha iyi grafik ifade

Biçimlendirme aynı olduğu için biz fikir yürüte biliriz ki, Julia’’nın yaşı Bryan’la aynıdır

Biçimselliğin sınırlı sentaksisi

Bilgilerin üretim kuralları ile ifadesi-Production Rule Representations <koşul,hareket> çiftleri Vekil, koşulun bulunup-bulunmadığını

kontrol eder;Eğer koşul varsa, üretim kuralı tetiklenir ve

hareket gerçekleşir

Bilgilerin çerçevelerle ifadesi Bilgiler çerçeve (frame) içindeki katlara (slot) yazılır. Bu

katlardan bazıları yeni durumlar oluşturan hareketleri tetikler Çerçeveler kalıptır Durumlara göre dolduruluyor Çerçeveyi doldurmakla vekil, hareketi üstleniyor ve

diğer çerçeveleri çağırıyor Çerçeveler , nesne yönelik programlamadaki nesnelere

çok benzerdir

Bilgilerin çerçevelerle ifadesi (devamı)

Çerçevenin katları aşağıdaki bilgileri içere bilir: Her hangi durumda çerçeveyi seçmek için bilgi Çerçevenin diğer çerçevelerle ilişkisi Katlar doldurulduktan sonra gerçekleştirilmeli olan

işlemler Giriş verileri olmadığı zaman kullanılacak varsayım

bilgileri Boş katlar – mesele için gerekmiyorsa boş bırakılan

katlar Hiyerarşi oluşturan diğer çerçeveler

Çerçeve örneği

Documents

Temel Kavramlar