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Temperatura ed Energia Cinetica (1) · PDF file 2008-03-22 · La probabilità che uno stato elettronico di energia E sia occupato da un elettrone è data dalla funzione: F(E) = k

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  • Corso Fisica dei Dispositivi Elettronici Leonello Servoli

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    Temperatura ed Energia Cinetica (1) •La temperatura di un corpo è legata alla energia cinetica media dei suoi componenti. Per un gas perfetto si ha: Ek = ½ me vm2 ;  Ek = 3/2 kT ;

    k = costante di Boltzmann = 8,62 10-5 eV/°K ;

    Questa relazione vale per i valori medi, tuttavia le molecole di un gas non hanno tutte la stessa energia cinetica anche se hanno tutte la stessa energia cinetica media.

     l’energia cinetica di una singola molecola ha una sua distribuzione probabilistica (Maxwell-Boltzmann).

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    Legge di Maxwell-Boltzmann

    Distribuzione delle velocità per un gas di elettroni all’interno di un materiale

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    Temperatura ed Energia Cinetica (2) Quindi:

     ad ogni temperatura T la probabilità di trovare una particella con una velocità superiore ad un valore prefissato è non nulla.

    E applicando questo concetto agli elettroni in un materiale:

     ci saranno elettroni con energia cinetica superiore all’energia necessaria per passare dalla banda di valenza a quella di conduzione ad ogni temperatura.

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    Coppia elettrone-lacuna (1)

    Quando un elettrone ha sufficiente energia, spezza il legame con l’atomo di appartenenza e passa nella banda di conduzione.

    elettrone

    lacuna

    Banda di conduzione

    Banda di valenza

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    Coppia elettrone-lacuna (2) L’atomo privo di un elettrone acquisisce una carica netta positiva (a) e rimane un “buco” (lacuna) nella configurazione ottimale.

    La lacuna può essere colmata da un elettrone di un atomo vicino (b), che tuttavia diventerà lui adesso portatore di una lacuna.

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    Coppia elettrone-lacuna nel silicio

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    Moto Elettrone-lacuna nel silicio

    . elettrone di conduzione

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    Semiconduttore intrinseco

    Quando il numero delle impurità è piccolo rispetto al numero di coppie elettrone-lacuna dovute all’agitazione termica.

     una concentrazione di impurità inferiore a 1010 cm-3.

    Domanda: Da cosa dipende la concentrazione?

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    Concentrazione dei portatori (1)

    Dipende da vari ingredienti ed è funzione dell’energia E che stiamo considerando. Servono:

    • F(E) = probabilità che uno stato sia occupato da un elettrone;

    • N(E) = funzione di densità di stati permessi;

    La concentrazione allora è: C(E) = F(E) x N(E)

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    La probabilità che uno stato elettronico di energia E sia occupato da un elettrone è data dalla funzione:

    F(E) =

    k = Costante di Boltzmann = 8.62x10-5 eV/K

    T = Temperatura assoluta

    EF = Energia di Fermi = quando F(E) = 0.5

    Distribuzione di Fermi-Dirac

    1 + e(E-EF)/kT

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    Funzione di Fermi

    (1)A T=0°K: se E>EF  F(E) = 0; nessuna probabilità di avere elettroni di energia E.

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    Funzione di Fermi (2)

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    Funzione di Fermi (3)

    Distribuzione della probabilità di avere un elettrone al di sopra dell’energia di Fermi a temperatura T = 0°K

    Distribuzione della probabilità di avere un elettrone al di sopra dell’energia di Fermi a temperatura T > 0°K

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    n = NC e ; NC = 2.8 x1019 cm-3

    p = NV e ; NV = 1.0 x1019 cm-3

    Concentrazione dei portatori (2)

    (-EC-EF)/kT

    (-EF-EV)/kT

    Integrando in energia le curve precedenti si ottiene la densità volumetrica (portatori /cm3) di carica:

    per gli elettroni e per le lacune:

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    Concentrazione dei portatori (3)

    Per avere la concentrazione totale dei portatori si devono unire i due pezzi:

    Legge di azione di massa:

    np = ni2 = NCNVe(-Eg/2kT)

    Con Eg = EC-EV.

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    Concentrazione dei portatori (4)

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    Per il silicio a temperatura ambiente: ni = 1.45x1010 cm-3  1 elettrone per 1012 atomi (circa 1.x1022 atomi in 1 cm-3)

    Per un isolante: n = 1.x106 cm-3 Per un conduttore: n = 1.x1022 cm-3

     Praticamente nessuna corrente:

    i = ni q /(1 secondo) = 2.x10-9 A = 2 nA

    Concentrazione dei portatori (5)

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    Drogaggio dei semiconduttori (1) Per avere correnti maggiori si introducono delle impurità nel cristallo (drogaggio).

    Le impurità sono di due tipi:

    tipo n (impurità che cedono un elettrone)

    (atomi donatori: As, Sb, etc.)

    tipo p (impurità che prendono un elettrone)

    (atomi accettori: B, In, etc.)

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    Struttura del silicio drogato p o n

    Boro

    Arsenico

    Struttura del silicio con impurità di tipo n e p.

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    Drogaggio dei semiconduttori (2)

    Valgono le stesse relazioni trovate per i semiconduttori intrinseci A n si sostituisce ND = concentrazione dei donatori Valori tipici di ND sono: 1015-1017 cm-3

    ED = energia di ionizzazione per un atomo donatore

    Elettroni provenienti dall’atomo donatore n = ND + ni

    p = ni

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    Livelli di un semiconduttore drogato

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    Drogaggio dei semiconduttori (3)

    1x1015 cm-3

    Temperatura ambiente

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    Trasporto dei portatori (1)

    Moto di elettroni in un cristallo senza (a) e con (b) campo elettrico.

    Modulo della velocità di un elettrone in un cristallo in funzione del tempo.

    v

    t

    vn = - µn E = velocità di deriva

    vn

    F = m a  a = F/m  v = a t ; ma non è così.

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    Densità di corrente (1) Prendiamo un conduttore di forma cilindrica di sezione A e immaginiamo che in esso ci sia una distribuzione uniforme di portatori di carica.

    Se applichiamo un campo elettrico E, otteniamo una velocità di deriva vd = L/T.

    A

    LVuol dire che i portatori contenuti nel cilindro di lunghezza L attraversano la superficie A in un secondo.

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    Densità di corrente (2) Allora se N è il numero di portatori presenti nel cilindro lungo L e la carica di ogni portatore è q, la corrente che fluisce attraverso A nel tempo T è data da:

    I = (qN)/T = (qN)(L/T)/L = (qNvd)/L

    Si definisce densità di corrente la corrente per unità di area:

    J = I/A = (qNvd)/(LA) ;

    La densità dei portatori di carica è: n = N/(LA)

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    Densità di corrente (3) Quindi: J = (qNvd)/(LA) = q n vd= σv vd

    con: σv = densità volumetrica di carica.

    ρ = resistività del materiale = 1/ σ

    R = L/(σ A) = ρ (L/A). = resistenza del materiale.

    I = JA = A σ E = (σ A E L)/L = (σ AV)/L = V/R.

    J = q n vd = q n µ E = σ E

    con σ = conducibilità.

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    Densità di corrente (4) Per esempio: dato un parallelepipedo di silicio drogato di dimensioni: 3 mm x 100 µm x 50 µm con una concentrazione di donatori di 5x1014/cm3 a 300°K.

    Se il parallelepipedo è attraversato da una corrente di 1 µA quali sono le concentrazioni di portatori e la caduta di potenziale lungo il parallelepipedo?

    n = ND = 5x1014/cm3 ; p = (1,45x1010)2/(5x1014)=4,2x103/cm3 σ = 1,60x10-19x5x1014x1.5x103 = 0.12 (Ωcm)-1

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