Temperatura ed Energia Cinetica (1) · 2008-03-22 · La probabilità che uno stato elettronico di energia E sia occupato da un elettrone è data dalla funzione: F(E) = k = Costante

Corso Fisica dei Dispositivi Elettronici Leonello Servoli

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Temperatura ed Energia Cinetica (1)•La temperatura di un corpo è legata alla energia cinetica media dei suoi componenti. Per un gas perfetto si ha:

Ek = ½ me vm2 ; Ek = 3/2 kT ;

k = costante di Boltzmann = 8,62 10-5 eV/°K ;

Questa relazione vale per i valori medi, tuttavia le molecole di un gas non hanno tutte la stessa energia cinetica anche se hanno tutte la stessa energia cinetica media.

l’energia cinetica di una singola molecola ha una sua distribuzione probabilistica (Maxwell-Boltzmann).


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Legge di Maxwell-Boltzmann

Distribuzione delle velocità per un gas di elettroni all’internodi un materiale


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Temperatura ed Energia Cinetica (2)Quindi:

ad ogni temperatura T la probabilità di trovare una particella con una velocità superiore ad un valore prefissato è non nulla.

E applicando questo concetto agli elettroni in un materiale:

ci saranno elettroni con energia cinetica superiore all’energia necessaria per passare dalla banda di valenza a quella di conduzione ad ogni temperatura.


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Coppia elettrone-lacuna (1)

Quando un elettrone ha sufficiente energia, spezza il legame con l’atomo di appartenenza e passa nella banda di conduzione.

elettrone

lacuna

Banda di conduzione

Banda di valenza


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Coppia elettrone-lacuna (2)L’atomo privo di un elettrone acquisisce una carica netta positiva (a) e rimane un “buco” (lacuna) nella configurazione ottimale.

La lacuna può essere colmata da un elettrone di un atomo vicino (b), che tuttavia diventerà lui adesso portatore di una lacuna.


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Coppia elettrone-lacuna nel silicio


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Moto Elettrone-lacuna nel silicio

.elettrone di conduzione


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Semiconduttore intrinseco

Quando il numero delle impurità è piccolo rispetto al numero di coppie elettrone-lacuna dovute all’agitazione termica.

una concentrazione di impurità inferiore a 1010 cm-3.

Domanda: Da cosa dipende la concentrazione?


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Concentrazione dei portatori (1)

Dipende da vari ingredienti ed è funzionedell’energia E che stiamo considerando. Servono:

• F(E) = probabilità che uno stato sia occupato da un elettrone;

• N(E) = funzione di densità di stati permessi;

La concentrazione allora è: C(E) = F(E) x N(E)


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La probabilità che uno stato elettronico di energia E sia occupato da un elettrone è data dalla funzione:

F(E) =

k = Costante di Boltzmann = 8.62x10-5 eV/K

T = Temperatura assoluta

EF = Energia di Fermi = quando F(E) = 0.5

Distribuzione di Fermi-Dirac

1 + e(E-EF)/kT

1


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Funzione di Fermi

(1)A T=0°K: se E>EF F(E) = 0; nessuna probabilità di avere elettroni di energia E.


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Funzione di Fermi (2)


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Funzione di Fermi (3)

Distribuzione della probabilità di avere un elettrone al di sopra dell’energia di Fermia temperatura T = 0°K

Distribuzione della probabilità di avere un elettrone al di sopra dell’energia di Fermia temperatura T > 0°K


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n = NC e ; NC = 2.8 x1019 cm-3

p = NV e ; NV = 1.0 x1019 cm-3


(-EC-EF)/kT

(-EF-EV)/kT

Integrando in energia le curve precedenti si ottiene la densità volumetrica (portatori /cm3) di carica:

per gli elettroni e per le lacune:


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Per avere la concentrazione totale dei portatori si devono unire i due pezzi:

Legge di azione di massa:

np = ni2 = NCNVe(-Eg/2kT)

Con Eg = EC-EV.


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Per il silicio a temperatura ambiente: ni = 1.45x1010 cm-3

1 elettrone per 1012 atomi (circa 1.x1022 atomi in 1 cm-3)

Per un isolante: n = 1.x106 cm-3

Per un conduttore: n = 1.x1022 cm-3

Praticamente nessuna corrente:

i = ni q /(1 secondo) = 2.x10-9 A = 2 nA



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Drogaggio dei semiconduttori (1)Per avere correnti maggiori si introducono delle impurità nel cristallo (drogaggio).

Le impurità sono di due tipi:

tipo n (impurità che cedono un elettrone)

(atomi donatori: As, Sb, etc.)

tipo p (impurità che prendono un elettrone)

(atomi accettori: B, In, etc.)


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Struttura del silicio drogato p o n

Boro

Arsenico

Struttura del silicio con impurità di tipo n e p.


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Drogaggio dei semiconduttori (2)

Valgono le stesse relazioni trovate per i semiconduttori intrinseci A n si sostituisce ND = concentrazione dei donatoriValori tipici di ND sono: 1015-1017 cm-3

ED = energia di ionizzazione per un atomo donatore

Elettroni provenienti dall’atomo donatoren = ND + ni

p = ni


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Livelli di un semiconduttore drogato


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Drogaggio dei semiconduttori (3)

1x1015 cm-3

Temperatura ambiente


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Trasporto dei portatori (1)

Moto di elettroni in un cristallosenza (a) e con (b) campo elettrico.

Modulo della velocitàdi un elettrone in un cristallo in funzione del tempo.

v

t

vn = - µn E = velocità di deriva

vn

F = m a a = F/m v = a t ; ma non è così.


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Densità di corrente (1)Prendiamo un conduttore di forma cilindrica di sezione A e immaginiamo che in esso ci sia una distribuzione uniforme di portatori di carica.

Se applichiamo un campo elettrico E, otteniamo una velocità di deriva vd = L/T.

A

LVuol dire che i portatori contenuti nel cilindro di lunghezza L attraversano la superficie A in un secondo.


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Densità di corrente (2)Allora se N è il numero di portatori presenti nel cilindro lungo L e la carica di ogni portatore è q, la corrente che fluisce attraverso A nel tempo T è data da:

I = (qN)/T = (qN)(L/T)/L = (qNvd)/L

Si definisce densità di corrente la corrente per unità di area:

J = I/A = (qNvd)/(LA) ;

La densità dei portatori di carica è: n = N/(LA)


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Densità di corrente (3)Quindi: J = (qNvd)/(LA) = q n vd= σv vd

con: σv = densità volumetrica di carica.

ρ = resistività del materiale = 1/ σ

R = L/(σ A) = ρ (L/A). = resistenza del materiale.

I = JA = A σ E = (σ A E L)/L = (σ AV)/L = V/R.

J = q n vd = q n µ E = σ E

con σ = conducibilità.


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Densità di corrente (4)Per esempio: dato un parallelepipedo di silicio drogatodi dimensioni: 3 mm x 100 µm x 50 µm con una concentrazione di donatori di 5x1014/cm3 a 300°K.

Se il parallelepipedo è attraversato da una corrente di 1 µA quali sono le concentrazioni di portatori e la cadutadi potenziale lungo il parallelepipedo?

n = ND = 5x1014/cm3 ; p = (1,45x1010)2/(5x1014)=4,2x103/cm3

σ = 1,60x10-19x5x1014x1.5x103 = 0.12 (Ωcm)-1


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Densità di corrente (5)E quindi:

∆V = (JL)/σ = (IL)/Aσ) = 0.05 V ;

Se invece di un silicio drogato avessimo preso in considerazione un silicio intrinseco:

σ = 1,60x10-19x1.45x1010x1.5x103 = 0.348x10-6 (Ωcm)-1

∆V = (JL)/σ = (IL)/Aσ) = 1380 V ;


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Trasporto dei portatori (2)Un altro fattore che contribuisce al moto dei portatori, e quindi alle correnti è quello della diffusione.

La diffusione è un fenomeno che è presente in tutte le situazioni dove c’è una situazione di disequilibrio dalpunto di vista della concentrazione di particelle libere di muoversi. In tal caso c’è la tendenza ad una redistribuzione delle particelle in modo da tendere ad una distribuzione omogenea, cioè ad una concentrazione costante.


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Trasporto dei portatori (3)

Jp = Corrente di diffusione dovuta alle diverse concentrazioni dei portatori p.

Una differenza di Concentrazione p(0) > p(x) porta ad un moto dalla zona di p(0) a quelle a concentrazione minore con conseguenteapparizione di una correntela corrente di diffusione:

Jp = qDp(dp/dx)

Dp/µp = VT = T/11600 .


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Trasporto dei portatori (4)In un semiconduttore quindi possono essere presenti contemporaneamente due contributi alla corrente:

Jp = q p µp E + q Dp (dp/dx)

Il primo dovuto ad un gradiente di potenziale (campo elettrico) ed il secondo ad un gradiente di concentrazione.


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Giunzione p-n (1)La giunzione p-n è il dispositivo formato da due semiconduttori drogati uno di tipo-p ed uno di tipo-n, messi in contatto tra di loro.

NA = concentrazione degli ioni accettori non compensatiND = concentrazione degli ioni donori non compensati

Portatori maggioritari = lacune nella zone p elettroni nella zona n

Portatori minoritari = elettroni nella zona p lacune nella zona n


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Giunzione p-n (2)

p n

E


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Giunzione p-n (3)

Concentrazione di portatori

Campo elettrico

Potenziale elettrico

Schema della giunzione p-n


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Giunzione p-n asimmetrica

Concentrazione di portatori

Campo elettrico

Potenziale elettrico

Schema della giunzione p-n

NA >> ND

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