Univerzitet u Nisu

Prirodno - matematicki Fakultet

Departman za fiziku

Temperaturna zavisnost karakteristikapoluprovodnickih lasera

Master rad

Student:

Marija GrofulovicMentor:

Prof. dr Zoran Pavlovic

Nis, oktobar 2014.

Sadrzaj

1 Uvod 3

2 Osnovni pojmovi i osobine laserskog zracenja 42.1 Istorijat otkrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Podela lasera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Osobine laserskog zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Primena poluprovodnickih lasera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Fizicki osnovi rada lasera 93.1 Interakcija elektromagnetnog zracenja sa materijom . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Dipolna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Vremenski zavisna teorija perturbacije. Verovatnoca prelaza . . . . . . . . . 113.4 Apsorpcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Stimulisana emisija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Ajnstajnovi koeficijenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.7 Inverzna naseljenost u poluprovodnickim

materijalima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.8 Sistem sa dva diskretna nivoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.9 Inverzna naseljenost kod sistema sa tri energetska nivoa . . . . . . . . . . . . 213.10 Inverzna naseljenost u sistemu sa cetiri

energetska nivoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.11 Sirina i oblik spektralne linije laserskog zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.11.1 Prirodna sirina spektralne linije. Lorentzov profil . . . . . . . . . . . 243.11.2 Gaussov profil spektralne linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.12 Opticki rezonatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.12.1 Fabry-Perotov opticki rezonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Prakticne metode za dobijanje inverzne naseljenosti 334.1 Gasni laseri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Laseri cvrstog stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Tecni laseri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.1 Organometalni laseri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Laseri sa organskim bojama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Poluprovodnicki laseri 375.1 Poluprovodnicki laseri sa p-n spojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Gustina struje praga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Temperaturna zavisnost praga za lasersku emisiju . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

2

5.4 Izlazna snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5 Temperaturna zavisnost direktne karakteristike

p-n spoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.6 Termo-opticki efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.7 Spektralne karakteristike lasera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Merenje temperaturne zavisnosti karakteristika poluprovodnickih lasera 486.1 Temperaturna zavisnost strujno-naponske

karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Temperaturna zavisnost spektralne karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Temperaturna zavisnost izlazne snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7 Zakljucak 61

Literatura 62

Glava 1

Uvod

Laseri zasigurno predstavljaju jedno od najznacajnijih otkrica proslog veka. Ono sto laserecini tako znacajnim medu mnostvom drugih izvora svetlosti, su svakako izvrsna svojstvazracenja lasera koja omogucavaju veliku primenu u nauci i tehnici.

Poluprovodnicki laseri su zbog malih dimenzija i pristupacnosti prosirili primenu ovihuredaja, tako da danas cine deo nase svakodnevnice. Laseri male snage (crveni laseri) koristese za opticko skladistenje i za ocitavanje podataka na razlicitim medijumima (CD, DVD), dokplavi laseri omogucavaju efikasnije skladistenje podataka od DVD tehnologije (Blue Ray).Crveni laseri se takode koriste kao nivelari, markeri ili indikatori. Poluprovodnicki laseri sekoriste u optickoj fiber komunikaciji, kao meraci razdaljine, kod laserskih stampaca, skenerai bar-kod citaca, u hirurgiji i dermatologiji.

Siroka primena poluprovodnickih lasera zahteva stabilnost rada i nepromenljivost svojs-tava lasera. Zbog toga je od velikog interesa poznavanje uticaja spoljasnih faktora, poputpromene temperature, na rad lasera. Neocekivane promene u talasnoj duzini ili u intenzitetulaserskog zracenja mogu imati katastrofalne posledice.

U ovom radu su izlozeni fizicki osnovi rada lasera sa posebnim osvrtom na rad polupro-vodnickih lasera. Takode su dati teorijski modeli koji objasnjavaju uticaj temperature nalasersku emisiju. Jedna glava posvecena je eksperimentalnom odredivanju uticaja tempera-ture na karakteristike lasera i poredenju rezultata merenja sa teorijskim modelom.

Rad se sastoji iz sedam glava, od kojih su centralnih sest podeljene na poglavlja.U Glavi 2 izlozene su osnovne cinjenice o laserima, kao sto su istorijat otkrica, podela

lasera, osobine njihovog zracenja i primena.U Glavi 3 ovog rada, dati su fizicki osnovi rada lasera, pri cemu je najvise paznje

posveceno poluprovodnickim laserima.Glava 4 sadrzi sazetak principa rada lasera kod kojih aktivnu sredinu ne cine poluprovod-

nici. Pritom su razmatrani istorijski znacajniji predstavnici lasera, dok mnoge druge vrstelasera u ovom radu nisu razmatrane.

Glava 5 je posvecena poluprovodnickim laserima. Centralni deo ove glave cine laseri sap-n spojem i temperaturna zavisnost karakteristika ovih lasera.

U Glavi 6 izlozeni su dobijeni rezultati eksperimentalnog odredivanja uticaja tempera-ture na karakteristike poluprovodnickog lasera. Pri tom su odredene temperaturne zavisnostistrujno-naponske karakteristike, spektralne karakteristike i zavisnost izlazne snage od tem-perature. Dobijeni rezultati merenja zavisnosti strujno-naponske karakteristike od promenetemperature pokazali su dobro slaganje sa teorijskim modelom koji je izlozen u Glavi 5.

Ovom prilikom se srdacno zahvaljujem mentoru prof. dr Zoranu Pavlovicu na pomoci ismernicama tokom izrade ovog rada.

3

Glava 2

Osnovni pojmovi i osobine laserskogzracenja

2.1 Istorijat otkrica

Laser je uredaj koji proizvodi zracenje procesom stimulisane emisije. Sam naziv je engleskiakronim za ”Light Amplification by Stimulated Emmision of Radiation”- pojacanje svetlostistimulisanom emisijom zracenja. Laser je nastao kao pokusaj prosirenja zracenja masera(Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) na infracrveni ili vidljivideo spektra elektromagnetnog zracenja.

Albert Einstein je dao teorijske osnove fizike lasera objavivsi 1917. godine rad ”O kvant-noj teoriji zracenja”. Eksperimentalna potvrda postojanja fenomena stimulisane emisijeusledila je 1928. godine od strane R. Ladenburga i H. Kopfermanna. Ipak, metodi i kon-cepcije potrebne za realizaciju lasera jos uvek nisu bile razvijene. Naucnicima (Valentin A.Fabrikant) je od 1940. bila poznata cinjenica da sistem pobudenih atoma moze pojacatizracenje. Willis E. Lamb i R.C. Retherford su demonstrirali stimulisanu emisiju zracenja uspektru vodonika 1947. godine. Alfred Kastler, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1966,je predlozio metod opticke pobude koji je eksperimentalno potvrden dve godine kasnije odstrane Brossela, Kastlera i Wintera.

Prvi maser napravili su naucnici Charles Hard Townes, James P. Gordon i Herbert J.Zeiger 1953. godine. Gotovo istovremeno su nezavisno od njih sovjetski naucnici NikolayBasov i Aleksandr Prokhorov napravili maser koji je za razliku od Townesovog lasera mogaoda radi u kontinualnom rezimu koristeci vise od dva energetska nivoa. Godine 1964. CharlesH. Townes, Nikolay Basov, i Aleksandr Prokhorov dobili su Nobelovu nagradu za rad u poljukvantne elektronike koji je doveo do postizanja pojacanja zracenja na principu rada lasera imasera.

Schawlov i Townes su razmatrali u svojim teorijskim radovima mogucnost izgradnjeuredaja slicnog maseru koji bi radio u infracrvenom i vidljivom delu spektra. Realizacijaove ideje usledila je 1960. godine kada je fizicar Theodore H. Maiman konstruisao rubinskilaser. Grupa naucnika okupljena oko Ali Javana konstruisala je 1961. godine prvi gasni,helijum-neonski laser.

Do koncepta poluprovodnickih lasera prvi su dosli Basov i Javan 1961. godine predlozivsidobijanje stimulisane emisije u poluprovodniku rekombinacijom nosilaca u p-n spoju. RobertHall je 1962. demonstrirao rad prvog lasera sa laserskom diodom koja je bila izradena odgalijum arsenida i koji je emitovao svetlost talasne duzine 850nm (bliska infracrvena svetlost).Prvi pouprovodnicki laser koji je radio u vidljivom delu spektra napravili su Nick Holonyak

4

5

1962. u pulsnom modu. Ovaj laser je zahtevao hladenje do temperature od 77K. Buduciuslovljen razvojem tehnike poluprovodnickih materijala, razvoj poluprovodnickih lasera jebio dosta usporen. Oni se nisu mogli praviti od silicijuma koji se u to vreme vec dostakoristio u tehnici. Veliki problem su predstavljale visoke struje praga koje su ogranicavalerad lasera na impulsni rezim i to na kriogenim temperaturama. Veliki iskorak je ucinjen1969. godine sa pojavom heterostruktura. Naime, p-n spoj se u poluprovodnickim laserimazamenio velikem brojem poluprovodnickih slojeva razlicitog sastava cime je omogucen rad ukontinualnom rezimu na sobnoj temperaturi.

Prvi tecni laser napravljen je 1963. godine, a 1966. Sorokin i Lempicki dobijaju laserskiefekat na organskim bojama. Zhores Alferov, u USSR-u, i Izuo Hayashi i Morton Panishu USA su nezavisno napravili poluprovodnicki laser koji je radio na sobnoj temperaturi ukontinualnom rezimu rada.

2.2 Podela lasera

Postoji vise podela lasera izvrsenih na osnovu razlicitih kriterijuma. Ovde cemo spomenutisledece dve podele lasera:

1) prema vrsti aktivne sredine;

2) prema nacinu pobude.

Prema vrsti aktivne sredine laseri se cesto dele prema agregatnom stanju iste, pa takopostoje gasni, tecni i cvrsti laseri. Gasni laseri mogu biti atomski (He-Ne, Cs, ...), molekulski(CO2,N2, ...) i jonski (Ar, Kr, ...). Tecni laseri imaju aktivnu sredinu u tecnom agregat-nom stanju. Laseri na organskim bojama spadaju u ovakve lasere. Cvrsti laseri mogu imatikristalnu (rubinski, YAG, poluprovodnicki, ...) ili amorfnu (stakleni, plasticni) aktivnu sred-inu.

Prema nacinu pobude, lasere mozemo podeliti na cetiri osnovne vrste:

-injekcioni laseri

-laseri sa optickom pobudom

-laseri sa elektronskom pobudom

-laseri sa lavinskim probojem

Takode mozemo naciniti podelu lasera i prema rezimu njihovog rada. Naime, postojelaseri koji rade u impulsnom i oni koji rade u kontinualnom rezimu. Kontinualni laseriemituju zracenje konstantne snage tokom vremena. Mnogi gasni laseri, npr. HeNe i Arrade u kontinualnom rezimu. Primeri cvrstih lasera koji rade u kontinualnom rezimu suNd3+ i Ti3+:Al2O3. Impulsni laseri proizvode kratke opticke pulseve koji traju nekolikonanosekundi (10−9s) do nekoliko femtosekundi (10−15s). Mnogi tecni i cvrsti laseri rade uimpulsnom modu, npr. Nd:YAG, Ti:Al2O3 i laseri na bojama.

2.3 Osobine laserskog zracenja

Laseri se medu ostalim izvorima svetlosti izdvajaju visokim stepenom monohromaticnosti,koherentnosti, usmerenosti i sjajnosti.

Sirina spektralne linije laserskog zracenja velika je samo nekolikoHz, pa se zbog toga kazeda laseri zrace svetlost jedne odredene talasne duzine. Naravno, to je idealizacija koja nalazisvoje opravdanje u cinjenici da zracenje ostalih svetlosnih izvora ima mnogo sire spektralnelinije.

6

Koherentnost laserskog zracenja moze biti prostorna i vremenska. Da bi objasnili pojamprostorne koherencije, posmatrajmo dve tacke P1 i P2 koje u trenutku t = 0 pripadaju jednomtalasnom frontu, tj. fazna razlika izmedu elektricnih polja u tim tackama, u trenutku t = 0 jejednaka nuli. Ako razlika izmedu faza u tackama P1 i P2, ne odstupa od nule ϕ2(t)−ϕ1(t) = 0i za t > 0, kazemo da postoji prostorna koherentnost.

Posmatrajmo sada faznu razliku polja u tacki P , ϕ(t+τ)−ϕ(t) u dva razlicita vremenskatrenutka. Ukoliko je fazna razlika nezavisna od vremena t, postoji vremenska koherentnostu toku vremena τ . Ako ovo vazi za ma koju vrednost τ , vremenska koherentnost je potpuna,a ukoliko ovo vazi samo za τ < τ0, elektromagnetni talas poseduje parcijalnu vremenskukoherentnost. U tom slucaju se τ0 naziva vremenom koherencije elektromagnetnog talasa utacki P . Vremenska koherentnost je povezana sa osobinom monohromaticnosti: kod laserakoji rade u kontinualnom rezimu vreme koherencije je povezano sa sirinom linije laserskogzracenja

τ0 =1

∆ν.

Prema tome, izrazena vremenska koherentnost laserskog zracenja usko je povezana samonohromaticnoscu.

Usmerenost laserskog snopa javlja se kao posledica cinjenice da je aktivna sredina laserasmestena u otvorenoj rezonatorskoj supljini. Kao posedica toga, stimulisana emisija javlja seu pravcu normalnom na ogledala gde su gubici usled difrakcije najmanji. Emitovani laserskizrak skrece za odredeni ugao koji je u idealnom slucaju odreden difrakcijom, ta osobinanaziva se divergencijom laserskog snopa. Ugao divergencije monohromatskog zraka talasneduzine λ dat je izrazom

θd = β

(λ

2r

),

pri cemu β predstavlja numericki koeficijent cija vrednost zavisi od prostorne raspodelepolja, a 2r je dijametar zraka. Na primer, laser koji zraci u vidljivoj oblasti spektra, recimoλ = 500nm i ciji je dijametar zraka 2r = 1cm, divergirace za ugao θd ≈ λ/2r ≈ 5× 10−5rad.Ovo znaci da ce se laserski zrak prosiriti posle propagacije od L = 1km na dijametar r+θL ≈6cm.

Sjajnost laserkog zracenja posledica je sposobnosti laserskog oscilatora da emituje zracenjevelike snage u malom prostornom uglu. Sjajnost izvora zracenja definise se kao snaga izracenasa jedinicne povrsine u jedinicnom prostornom uglu:

B =P

∆S∆Ω,

gde je P izracena snaga zracenja, ∆Ω je prostorni ugao, i ∆S je povrsina svetlosnog izvora.Sjajnost lasera kod kojeg je prostorni ugao ∆Ω odreden uglom divergencije θd, data je izrazom

B =

(2

βπλ

)2

P.

7

2.4 Primena poluprovodnickih lasera

Poluprovodnicki laseri imaju siroku primenu u razlicitim oblastima nauke i tehnike. Laserimale snage (crveni laseri) se koriste prilikom skladistenja i ocitavanja podataka u CD1 ple-jerima. U ovim uredajima se postize skladistenje 650MB podataka na povrsini jednog diskakoriscenjem AlGaAs cije zracenje ima talasnu duzinu od 780nm. Snimanje podataka vrsi setako sto se laserskim snopom ostavlja otisak na fotoosetljivoj povrsini diska. Binarni kodse ostvaruje paljenjem i gasenjem lasera, tako da binarnu nulu oznacava ostecena povrsinadiska, a jedinicu neostecena. Citanje podataka se vrsi detekcijom reflektovanog zraka, stoomogucava razlika u koeficijentu refleksije ostecene i neostecene povrsine.

Slika 2.1: Levo: unutrasnjost CD plejera. Desno: crveni laser u CD plejeru.

Mogucnosti CD plejera su prevazidene kod DVD uredaja koji koriste lasere tipa AlGaInPsa talasnom duzinom zracenja od 640nm. DVD uredaji postizu vecu mogucnost skladistenjapodataka. Crveni laseri se koriste kao markeri ili indikatori, i kod pobude Yb:Yag lasera.Cink-selenid (ZnSe) laseri su prvi laseri sa zracenjem u plavom i zelenom delu spektra (460-520nm), dok su kasnije otkriveni GaN laseri postigli zracenje u plavom i ultraljubicastomdelu spektra. Plavi laseri se takode koriste za skladistenje podataka (Blue Ray) i do petputa vece kolicine od DVD uredaja.

Crveni poluprovodnicki laseri se koriste kod POF komunikacija koje se koriste za lokalnemreze zbog kratkog dometa. Kada je potrebno postici veci domet u optickoj komunikaciji,koriste se laseri na bazi InP sa talasnom duzinom od 1.55µm zbog minimalnih gubitaka.Upotreba lasera je znacajna u komunikacijama zato sto se signali mogu slati bez gubitakatako da se ocuva njihov kvalitet.

Laserski stampaci su vec dugo u upotrebi kao najbrzi i najefikasniji. Kod laserskihstampaca se koriste poluprovodnicki AlGaAs laseri sa talasnom duzinom od 760nm (infracr-vena oblast spektra).

Poluprovodnicki laseri se takode koriste kod bar-kod citaca. Laserski zrak se odbija odkoda, a promenu u izmenjenom zraku detektuje svetlosni detektor.

Laserske diode se koriste u medicini i u stomatologiji. Razlozi za to su brojni, a jedan odnjih je mala velicina poluprovodnicih lasera i lakoca koriscenja. Poluprovodnicki laseri talas-nih duzina od 800-980nm koriste se za tretiranje mekog tkiva zato sto se svetlost spomenutihtalasnih duzina efikasno apsorbuje u hemoglobinu. Poluprovodnicki laseri su veoma vazniza brzo postizanje kontrole krvarenja jer laserski zrak odmah zatopi krajeve krvnih sudova.

1Compact disc.

8

Lasersko zracenje ne ostecuje okolno tkivo i vreme potrebno za oporavak posle intervencije jeminimalno. Veoma su znacajni za operacije na malim povrsinama tkiva, odnosno za precizneoperacije gde se koriste kao laserski skalperi.

Laseri visoke snage imaju veliku primenu u procesima proizvodnje. Njihove karakteristikeomogucavaju efikasno zavarivanje, lemljenje, secenje i obradu povrsina. Laseri snage odnekoliko desetina vati predstavljeni su devedesetih godina proslog veka i odmah se poceloraditi na usavrsavanju ovih lasera sa ciljem da zamene cvrste lasere i CO2 lasere.

Slika 2.2: Levo: upotreba laserske diode prilikom varenja. Desno: obrada povrsina laseromvisoke snage.

Zavarivanje i lemljenje predstavljaju termicke procese koji se koriste za pridruzivanjematerijala, odnosno za ostvarivanje elektricnih i mehanickih kontakata. Laseri se u ovimprocesima koriste vec duzi niz godina. Osnovni princip rada ovih procesa je apsorpcijalaserskog zracenja u blizini kontakta materijala i pretvaranje energije zracenja u toplotnuenergiju. Snage lasera potrebne za spajanje polimera su u opsegu od 10W do 200W sagustinom snage oko 103W/cm2. Za zavarivanje se koriste laseri snage od 10W do kW igustine snage 103 − 104W/cm2.

Lasersko zracenje se od sedamdesetih godina proslog veka koristi za secenje u industrijskojproizvodnji, sto omogucava velika energija skoncentrisana u laserskom zraku kojim se lakomanipulise. Secenje laserom omogucava tanke, precizne i brze rezove u odnosu na drugekonvencionalne tehnike.

Slika 2.3: Upotreba laserske diode visoke snage za secenje celika.

Tretiranje povrsina je najkasnije zapoceta upotreba lasera u industrijskoj proizvodnji.Prednosti koriscenja lasera u odnosu na ostale konvencionalne metode je manje zagrevanjezbog lokalizovanosti laserskog zraka. Poluprovodnicki laseri se koriste za depoziciju slojevai za kaljenje.

Glava 3

Fizicki osnovi rada lasera

3.1 Interakcija elektromagnetnog zracenja sa

materijom

Dejstvo elektromagnetnog zracenja na materiju razmatracemo tako sto cemo posmatratijedan atom sredine u spoljasnjem elektromagnetnom polju. Pri ovome, koristicemo tzv.poluklasicni pristup koji se zasniva na tome da atomski sistem tretiramo kvantnomehanicki,dok elektromagnetno polje posmatramo kao klasicno polje. Atom moze da interaguje sazracenjem na tri nacina (slika 3.3). Prvi nacin predstavlja spontani prelazak atoma iz eksc-itovanog stanja u stanje sa nizom energijom uz emisiju fotona. Ovaj proces se naziva spon-tanom emisijom i desava se bez prisustva spoljasnjeg polja. Drugi proces do kog dolazi priinterakcij zracenja sa materijom je stimulisana emisija, veoma znacajna jer se na njoj za-sniva rad lasera. Stimulisana emisija predstavlja emisiju fotona pod dejstvom spoljasnjegzracenja. Sistem moze da apsorbuje fotone spoljasnjeg polja pri cemu dolazi do prelaza iznizeg u stanje sa visom energijom.

Klasicno elektromagnetno polje opisuje se Maxwellovim jednacinama:

divE =ρ

ε

divB = 0

rotE = −∂B∂t

rotB = µ0j +1

c2∂E

∂t.

Najjednostavnije resenje Maxwellovih jednacina je harmonijski ravanski talas:

E(r, t) = E0(ω)n sin(k · r − ωt+ δω) (3.1.1)

B(r, t) = E0(ω)ω−1(k × n) sin(k · r − ωt+ δω) (3.1.2)

U prethodnim izrazima, ω je ugaona frekvenca zracenja frekvence ν = ω/2π, k je

talasni vektor i δω je realna konstantna faza. Amplituda elektricnog polja je E0 i imapravac jedinicnog vektora n koji se naziva vektorom polarizacije. Elektromagnetni talas je

9

10

transverzalni talas, i kao sto se i iz samih izraza za polja to vidi, vektori E i B su u svakomtrenutku medusobno normalni i normalni na vektor k.

Potpuno monohromatsko zracenje je idealizacija koja realno ne postoji, ali se svakozracenje moze predstaviti preko vektora jacina elektricnog i magnetnog polja koji su su-perpozicije monohromatskih ravanskih talasa. Primer takve superpozicije u kojoj svaki talasima isti pravac prostiranja i isti vektor polarizacije n je

E(r, t) = n

∫ ∞

0

E0(ω) sin(k · r − ωt+ δω) dω

Isto vazi i za vektor jacine magnetnog polja. Ukoliko je zracenje blisko monohromatskom,amplituda E0 ima ostar pik oko neke vrednosti ω = ω0. Zracenje usijane niti ili zagrejanoggasa potice od zracenja pojedinacnih atoma koji nezavisno emituju zracenje. Pri opisivanjutakvog zracenja, u integralu po ω bi faza δω imala potpuno proizvoljnu raspodelu i takvozracenje nije koherentno. Zracenje svih izvora osim lasera je upravo takvo. Ukupna gustinaρ i intenzitet nekoherentnog zracenja je prema tome

ρ =

∫ ∞

0

ρ(ω) dω

I =

∫ ∞

0

I(ω) dω

pri cemu je ρ(ω) spektralna gustina energije, a I(ω) spektralni intenzitet zracenja. Ovevelicine su u vezi sa karakteristikama polja zracenja:

ρ(ω) =1

2ϵ0E

20(ω) (3.1.3)

I(ω) = ρ(ω)c = ~ωN(ω)c/V (3.1.4)

pri cemu je N(ω) broj fotona u zapremini V . Nacin izvodenja jednacina (3.1.3) i (3.1.4)nalaze se u literaturi [2]. Vidimo da je neophodno za proucavanje kako koherentnih, tako inekoherentnih zracenja, prouciti interakciju monohromatskog ravanskog talasa sa atomima,cija su posledica makroskopski efekti.

U daljim razmatranjima zanemaricemo uticaj magnetnog polja na atome, jer je pri malimbrzinama magnetni deo Lorentzove sile zanemarljivo mali u odnosu na elektricni.

3.2 Dipolna aproksimacija

Kvantnomehanicki tretman interakcije materije sa elektromagnetnim poljem moze se po-jednostaviti primenom dipolne aproksimacije. Naime, ispostavlja se da je talasna duzinazracenja mnogo veca od dimenzija atoma, do tri reda velicine. Prema tome, elektromagnetnopolje mozemo smatrati uniformnim u delu prostora koji zauzima atom i svuda ima vrednostjednaku vrednosti polja u koordinatnom pocetku koji zbog lakseg racunanja smestamo ujezgro. Koristeci izraz (3.1.1) dobijamo

E(t) = E0(ω)n sin(−ωt+ δω) = −E0(ω)n sin(ωt− δω). (3.2.5)

11

Smatracemo da jezgro atoma ima beskonacno veliku masu u odnosu na elektron i kaosto je spomenuto, dejstvo magnetnog polja zanemarujemo u odnosu na dejstvo elektricnog.Prema tome, izraz za Lorentzovu silu glasi

F (t) = eE0(ω)n sin(ωt− δω). (3.2.6)

Sila elektricnog polja data u (3.2.6) je konzervativna sila i moze se dobiti preko skalarnog

potencijala W : F = −∇W . VaziW = eE · r,

odnosno

W = −E · D, (3.2.7)

gde je D elektricni dipolni moment jednoelektronskog atoma i iznosi D = −er. Dipolnaaproksimacija je aproksimacija koja podrazumeva da se interakcija izmedu elektromagnetnogzracenja i sistema moze predstaviti izrazom (3.2.7) i da je elektricno polje nezavisno odpolozaja.

Energiju interakcije W mozemo razmatrati kao korekciju osnovnog hamiltonijana atoma,tako da je ukupni hamiltonijan:

H = H0 +W (r, t).

Osnovni hamiltonijan sistema je hamiltonijan atoma bez dejstva perturbujuceg pojazracenja

H0 = − ~2

2m∇2 − Ze2

4πϵ0r.

3.3 Vremenski zavisna teorija perturbacije. Verovatnoca

prelaza

Opste resenje Schrodingerove jednacine

i~∂Ψ(r, t)

∂t= [H0 +W (r, t)]Ψ(r, t)

mozemo predstaviti preko vodonicnih talasnih funkcija ψk na sledeci nacin:

Ψ(r, t) =∑k

ck(t)ψk(r)e−iEkt/~,

pri cemu sumiranje vrsimo po svim diskretnim i kontinualnim stanjima. U slucaju da jefunkcija Ψ(r, t) normirana, vazice ∑

k

|ck(t)|2 = 1,

na osnovu cega nam je jasno da koeficijente ck(t) mozemo interpretirati kao verovatnocu dase sistem nade u stanju k u trenutku t. Koristeci vremensku zavisnu teoriju perturbacija,nalazimo da je

12

cb(t) = (i~)−1∑k

H ′bk(t) exp

[i(Eb − Ek)t

~

]ck(t),

gde je

H ′bk(t) = ⟨ψb|H ′(t)|ψk⟩ =

∫ψ∗b (r)W (r, t)ψk(r) dr. (3.3.8)

H ′(t) u (3.3.8) predstavlja perturbaciju osnovnog hamiltonijana, sto je u problemu kojise obraduje energija interakcije atoma sa elektromagnetnim zracenjem W (r, t).

Pretpostavimo da se sistem u pocetnom trenutku nalazio u stanju opisanom talasnomfunkcijom ψa sa energijom Ea i da je spoljasnje elektromagnetno polje pocelo da deluje nasistem u trenutku t = 0. Drugim recima, na osnovu toga sto znamo u kojem se stanju nalaziosistem do trenutka t = 0, zakljucujemo da je ck(t ≤ 0) = δka. Koristeci (3.3.8), (3.2.7) i(3.2.5)

cb(t) = (i~)−1

∫ t

0

H ′ba(t

′) exp

[i(Eb − Ea)t

′

~

]dt′, b = a,

cb(t) = (i~)−1E0(ω)⟨ψb|n · D|ψa⟩∫ t

0

sin(ωt′ − δω) exp

[i(Eb − Ea)t

′

~

]dt′. (3.3.9)

Zanimljiv rezultat dobicemo pri racunanju integrala po t′ u izrazu (3.3.9):

∫ t

0

sin(ωt′ − δω)eiωabt

′dt′ =

1

2e−iδω

[1− ei(ωba+ω)t

ωba + ω

]− 1

2eiδω

[1− ei(ωba−ω)t

ωba − ω

], (3.3.10)

gde smo uveli oznaku

ωba = (Eb − Ea)/~. (3.3.11)

Obratimo paznju na vrednost integrala (3.3.10). Pri prelazima u infracrvenoj oblastispektra |ωba| ima vrednosti reda velicine 1012 s−1 do 1014 s−1, dok u vidljivoj oblasti ima i vecevrednosti, tako da imenilac u uglastim zagradama (3.3.10) ima velike vrednosti. Vrednostiizraza u uglastim zagradama su, prema tome, zanemarljive osim ako je ωba ≈ ±ω. Ukolikoje ωba ≈ −ω izraz u prvoj zagradi nece biti zanemarljiv, a uzevsi u obzir (3.3.11) sledi daje tada Eb ≈ Ea − ~ω, sto znaci da je emitovan foton energije ~ω ≈ Ea − Eb pod uticajempolja. Ovaj uslov, dakle odgovara stimulisanoj emisiji. Ukoliko je ωba ≈ ω, finalna energijaatoma je Eb ≈ Ea + ~ω odakle zakljucujemo da je dodatnu energiju ~ω ≈ Eb − Ea doneoapsorbovani foton. Ovo je apsorpcija, drugi proces izazvan dejstvom spoljasnjeg polja naatom.

3.4 Apsorpcija

Pocnimo od drugog sabirka u (3.3.10) koji opisuje apsorpciju. Verovatnoca nalazenja atomau stanju b, posto se inicijalno nalazio u stanju a je na osnovu (3.3.9) i (3.3.10)

13

|cb(t)|2 =1

2(E0(ω)/~)2|⟨ψb|n · D|ψa⟩|2F (t, ωba − ω), (3.4.12)

gde je

F (t, ω) =1− cos ωt

ω2, ω = ωba − ω (3.4.13)

Pomocu izraza (3.1.3) i (3.1.4) dobijamo E20(ω)/2 = I(ω)/cϵ0, te mozemo izraz (3.4.12)

napisati u sledecem obliku

|cb(t)|2 =I(ω)

~2cϵ0cos2 θ|Dba|2F (t, ω), (3.4.14)

gde smo koristili oznaku θ za ugao izmedu pravca polarizacije n i elektricnog dipolnog mo-menta D = −er. Takode smo uveli oznaku Dba koja ima znacenje

Dba = ⟨ψb|D|ψa⟩ = −e∫ψ∗b (r)rψa(r) dr. (3.4.15)

Spoljasnje zracenje nikad nije monohromatsko, zbog cega verovatnocu za ekscitovanjeatoma iz stanja a u stanje b pomocu zracenja intenziteta I(ω) racunamo na sledeci nacin

Pba(t) =

∫ ∞

0

|cb(t)|2 dω =1

~2cϵ0cos2 θ|Dba|2

∫ ∞

0

I(ω)F (t, ω) dω. (3.4.16)

Na slici 3.1 prikazan je grafik funkcije F (t, ω) odakle vidimo da ova funkcija ima ostar piku ω = 0, odnosno ω = ωba. S obzirom na to da se I(ω) sporo menja duz sirine pika F (t, ω),I(ω) mozemo zameniti sa I(ωba), i tako I(ω) izlazi iz integrala (3.4.16). Time dobijamojednostavniji izraz

Pba(t) =I(ωba)

~2cϵ0cos2 θ|Dba|2

∫ ∞

−∞F (t, ω) dω. (3.4.17)

14

Slika 3.1: Funkcija F (t, ω) za fiksirano t.

Oblast integraljenja u (3.4.17) prosirili smo na oblast (−∞,+∞) sto je moguce zbog togasto je integrand veoma mali osim u oblasti ω ≈ ωba. S obzirom na∫ ∞

−∞F (t, ω) dω = t

∫ ∞

−∞

sin2 x

x2dx = πt,

dobijamo vrednost verovatnoce Pba(t)

Pba(t) =πI(ωba)

~2cϵ0cos2 θ|Dba|2t. (3.4.18)

Sada je jednostavno odrediti brzinu promene verovatnoce prelaza, odnosno promenu verovatnoceprelaza po jedinici vremena za apsorpciju u dipolnoj aproksimaciji

Wba =dPba(t)

dt=πI(ωba)

~2cϵ0cos2 θ|Dba|2. (3.4.19)

Ukoliko zracenje nije polarizovano, i ukoliko je pored toga i izotropno, vektor polarizacije ceimati proizvoljnu orijentaciju. U takvom slucaju cos2 θ u (3.4.19) mozemo zameniti srednomvrednoscu koja iznosi 1/3

Wba =πI(ωba)

3~2cϵ0|Dba|2. (3.4.20)

Efikasni presek za apsorpciju σba dobija se na sledeci nacin

σba =(~ωba)Wba

I(ωba). (3.4.21)

Efikasni presek se moze definisati kao verovatnoca prelaza u jedinici vremena po jednomatomu, Wba podeljenoj sa incidentnim fluksom fotona I(ωba)/~ωba.

15

3.5 Stimulisana emisija

Da bi dobili brzinu promene verovatnoce prelaza za stimulisanu emisiju u dipolnoj aproksi-maciji poci cemo od prvog sabirka (3.3.10) i ponoviti postupak iz prethodnog poglavlja.Dakle, posmatramo prelaz atoma iz stanja sa energijom Eb u stanje nize energije Ea, dokojeg dolazi pod dejstvom zracenja. Brzina promene verovatnoce prelaza za stimulisanuemisiju je onda

Wab =πI(ωba)

~2cϵ0cos2 θ|Dab|2, (3.5.22)

gde je θ ugao izmedu vektora polarizacije i elektricnog dipolnog momenta, dok je Dab oznakauvedena na sledeci nacin

Dab = ⟨ψa|D|ψb⟩ = −e∫ψ∗a(r)rψb(r) dr. (3.5.23)

Jasno je na osnovu (3.5.23) i (3.4.15) da vazi

Dab = D∗ba,

|Dab|2 = |Dba|2.

Uporedivsi (3.4.19) sa (3.5.22), vidimo da vazi jednakost izmedu sledecih velicina

Wab = Wba. (3.5.24)

Dakle, usled istih polja zracenja, broj prelaza iz stanja a u stanje b sa visom energijom,bice jednak broju deekscitacija iz stanja b u stanje a u jedinici vremena. Napomenimo da smorazmatrali nedegenerisane nivoe. Rezultat (3.5.24) je konzistentan sa principom detaljnogbalansa koji nam je poznat iz termodinamike. Princip detaljnog balansa kaze da ukolikoimamo zatvorenu zapreminu u kojoj se nalaze atomi i zracenje u termalnoj ravnotezi, brojprelaza iz a u b bice jednak broju prelaza iz b u a.

Efikasni presek za stimulisanu emisiju dobija se dobija se tako sto podelimo ~ωabWab

intenzitetom zracenja I(ωab)

σab = σba. (3.5.25)

3.6 Ajnstajnovi koeficijenti

Albert Einstein je 1916. predlozio postojanje tri procesa koji ucestvuju u formiranju linijskihspektara: apsorpcija, spontana emisija i stimulisana emisija. Svakom od ovih procesa on jepridruzio odgovarajuci, tzv. Ajnstajnov koeficijent. Ajnstajnovi koeficijenti za spontanuemisiju, stimulisanu emisiju i apsorpciju predstavljaju meru verovatnoce da do tih procesadode.

Posmatrajmo zapreminu u kojoj se nalaze istovrsni atomi i elektromagnetno zracenje utermalnoj ravnotezi na apsolutnoj temperaturi T . Sa a i b oznacicemo dva nedegenerisanaenergetska stanja Ea i Eb, i neka je Ea < Eb. Broj atoma koji pri jedinici vremena predu izstanja a u stanje b usled apsorpcije zracenja frekvence ω = ωba = (Eb−Ea)/~, proporcionalanje ukupnom broju Na atoma u stanju a i spektralnoj gustini energije zracenja:

16

Nba = BbaNaρ(ωba). (3.6.26)

Bba je Ajnstajnov koeficijent za apsorpciju.Pritom, vazi i:

Nba =WbaNa. (3.6.27)

Izjednacivsi (3.6.26) i (3.6.27) i iskoristivsi (3.1.4), sledi

Bba =Wba

ρ(ωba)=

cWba

I(ωba).

Verovatnoca prelaza za apsorpciju je poznata na osnovu razmatranja teorije perturbacijeu dipolnoj aproksimaciji, a na osnovu nje i brzina njene promene. Koristeci (3.4.20), sledi

Bba =π

3~2ϵ0|Dba|2. (3.6.28)

Analogno sa (3.6.26), broj atoma sredine koji u jedinici vremena predu iz stanja b ustanje a je

Nab = AabNb +BabNbρ(ωba). (3.6.29)

U (3.6.29) uvedeni su koeficijenti za spontanu emisiju Aab i za stimulisanu emisiju Bab. Sobzirom na to da se spontana emisija desava bez ikakvog dejstva spoljasnjeg polja, drugomrecju spontano, u (3.6.29) u sabirku koji opisuje doprinos brzini od strane spontane emisije,ne figurise spektralna gustina zracenja.

Ukoliko se sredina nalazi u ravnotezi sa zracenjem, vazice

Nba = Nab.

Izjednacavanjem (3.6.29) i (3.6.26), dobija se odnos broja atoma u stanju a i u stanju b

Na

Nb

=Aab +Babρ(ωba)

Bbaρ(ωba). (3.6.30)

Raspodela broja atoma po energetskim stanjima mora biti data Bolcmanovom raspode-lom

Na = Nbe−(Ea−Eb)

kT = Nbe~ωbakT , (3.6.31)

gde je k Bolcmanova konstanta, a T apsolutna temperatura. Iz izraza (3.6.31) sledi da je uravnoteznim uslovima inverzna naseljenost koja podrazumeva veci broj atoma u ekscitovanimstanjima od broja atoma u nizim stanjima, je nemoguc zbog Bolcmanovog eksponencijalnogfaktora. Kako se inverzna naseljenost postize za potrebe dobijanja koherentne svetlosti ulaserima i maserima, bice objasnjeno u narednim glavama.

Koristeci se izrazima (3.6.30) i (3.6.31), dobija se spektralna gustina energije zracenjaizrazena preko Ajnstajnovih koeficijenata:

ρ(ωba) =Aab

Bbae~ωbakT −Bab

. (3.6.32)

Gustina energije zracenja nam je takode poznata preko Plankovog zakona

17

ρ(ωba) =~ω3

ba

π2c31

e~ωbakT − 1

. (3.6.33)

U cilju nalazenja Ajnstajnovih koeficijenata uporedicemo izraze (3.6.32) i (3.6.33). Jasnoje da mora da vazi

Bab = Bba (3.6.34)

Aab =~ω3

ba

π2c3Bab. (3.6.35)

Jednakost Ajnstajnovih koeficijenata za stimulisanu emisiju i za apsorpciju (3.6.34) jevec dobijena u dipolnoj aproksimaciji koriscenjem vremenski zavisne teorije perturbacija.Ova jednakost se moze generalizovati i za degenerisana stanja, ukoliko su ga i gb degeneracijeenergetskih nivoa Ea i Eb, (3.6.34) postaje

gaBba = gbBab.

Novi rezultat koji sada dobijamo je brzina promene verovatnoce za spontanu emisijuW s

ab ≡ Aab

W sab =

ω3ba

3πc3~ϵ0|Dba|2,

sto smo dobili pomocu izraza (3.6.34), (3.6.35) i (3.6.28).

3.7 Inverzna naseljenost u poluprovodnickim

materijalima

Termin inverzna naseljenost se odnosi na pojavu vece naseljenosti ekscitovanog stanja odnaseljenosti osnovnog. Ukoliko bi incidentno zracenje imalo frekvencu ωab, a energetski nivoEb je inverzno naseljen u odnosu na nivo Ea, stimulisana emisija ce dominirati u odnosu naapsorpciju, te ce broj izlaznih fotona energije ~ωab biti veci od broja ulaznih fotona sa tomenergijom.Takav fenomen nazivamo kvantnim pojacanjem.

18

n(E) n(E) n(E)

E E E

EV

EC

Eg

EFV

EFC EFC

EFV

a) b) c)

Valentnazona

Provodnazona

Slika 3.2: Energija u funkciji od gustine stanja u poluprovodniku.

Na slici 3.2 prikazan je grafik promene energije sa koncentracijom nosilaca. Slika a)odnosi se na nedopirani poluprovodnik u ravnoteznim uslovima na T = 0K, a osencaneoblasti predstavljaju popunjena stanja. Slika b) prikazuje inverznu naseljenost na T = 0Ki ovakvo stanje se moze postici fotoekscitacijom gde energija fotona prevazilazi energijuzabranjene zone Eg. Vidi se da u valentnoj zoni nema elektrona sa vecom energijom odFermijeve EFV , dok je provodna zona popunjena sve do EFC . Fotoni frekvence ω, takve daje Eg < ~ω < (EFC −EFV ), izazvace prelazak iz provodne u prazna mesta valentne zone stodovodi do stimulisane emisije fotona.

Slika c) prikazuje da je naseljenost stanja na odredenoj temperaturi T nesto drugacija.Nosioci naelektrisanja su u svakoj zoni medusobno u termalnoj ravnotezi. Verovatnoca daje neko stanje popunjeno u provodnoj zoni data je Fermi-Dirakovom raspodelom

FC(E) =1

1 + exp[E−EFC

kT], (3.7.36)

gde je EFC kvazi-Fermijev nivo za elektrone u provodnoj zoni. Analogno vazi za valentnuzonu.

Broj emitovanih fotona ω u procesu prelaza elektrona energije E iz provodne zone u nizaenergetska stanja E − ~ω u valentnoj zoni proporcionalan je gustini popunjenih visih stanjanC(E)FC(E) i gustini nepopunjenih nizih stanja nV (E − ~ω)[1 − FV (E − ~ω)]. Ukupnupromenu verovatnoce u jedinici vremena za emitovane fotone dobijamo integraljenjem posvim energijama:

Wem ∼∫nC(E)FC(E)nV (E − ~ω)[1− FV (E − ~ω)] dE. (3.7.37)

Na slican nacin dolazimo i do brzine promene verovatnoce prelaza za apsorpciju fotona

Wap ∼∫nV (E − ~ω)FV (~ω)nC(E)[1− FC(E)] dE. (3.7.38)

U oba slucaja je konstanta proporcionalnosti matricni element verovatnoce prelaza.

19

Da bi doslo do pojacanja neophodno je da vazi Wem > Wap, te uz koriscenje izraza(3.7.36), (3.7.37) i (3.7.38), dobijamo uslov da stimulisana emisija bude dominantan efekatu odnosu na apsorpciju za prelaze iz provodne u valentnu zonu nedopiranih poluprovodnika

EFC − EFV > ~ω.

Ako poluprovodnik sadrzi primese koriste se kvazi-Fermijevi nivoi za primese sa odgo-varajucim degeneracijama stanja.

3.8 Sistem sa dva diskretna nivoa

Kod poluprovodnickih lasera pojacanje zavisi od zonske strukture materijala i predstavljafunkciju gustine struje, temperature, frekvencije i nivoa dopiranih atoma. U cilju nalazenjaove funkcije, razmotricemo sistem sa dva energetska nivoa.

Posmatrajmo interakciju atoma sa zracenjem crnog tela temperature T cija je gustinaenergije zracenja data Plankovim zakonom (3.6.33) koji cemo ovde koristiti u drugacijemobliku, izrazenom preko frekvence ν:

ρ(ν) =8πhν3

c31

ehν/kT − 1.

Ukupna brzina promene verovatnoce prelaza sa nivoa 2 na nivo 1 u prisustvu polja

W21 = B21ρ(ν) +1

τspont, (3.8.39)

dok je brzina promene verovatnoce prelaza sa nivoa 1 na nivo 2

W12 = B12ρ(ν). (3.8.40)

τspont je vreme zivota za spontanu emisiju, a B12 i B21 su Ajnstajnovi koeficijenti zaapsorpciju i stimulisanu emisiju, respektivno. U stanju termalne ravnoteze jednake su brzineprelaza iz 1 u 2 i obratno, odnosno N2W21 = N1W12. Odnos naseljenosti je dat Bolcmanovomfunkcijom

N2

N1

=g2g1e−hν/kT , (3.8.41)

pri cemu su g1 i g2 degeneracije nivoa 1 i 2. Izjednacavanjem (3.8.39) i (3.8.40), uzkoriscenje (3.8.41) nalazimo

ρ(ν) =

1τspont

(g2/g1)e−hν/kT

B12 −B21(g2/g1)e−hν/kT(3.8.42)

20

E1

E2

E1

E2

E1

E2

a) Apsorpcija

b) Spontana emisija

c) Stimulisana emisija

Slika 3.3: Tri osnovna procesa koja se desavaju u sistemu sa dva energetska nivoa E1 i E2.Crna tacka oznacava stanje atoma. Inicijalno stanje je na levoj strani, a finalno je prikazanona desnoj.

S obzirom na to da je ceo sistem (atomi i zracenje) u termalnoj ravnotezi, gustinaenergije (3.8.42) je jednaka Plankovoj, te izjednacavanjem dobijamo vec poznat rezultatB12 = B21(g2/g1) i

B21 =c3

8πhν3τspont.

Brzina promene verovatnoce prelaza usled stimulisane emisije je

(W21)stim =c3

8πhν3τspontρ(ν), (3.8.43)

sto se moze napisati i u generalnijoj formi za nemonohromatsko zracenje

(W21)stim =

∫ ∞

−∞

c3ρ(ν ′)

8πhν ′3τspontA(ν ′) dν ′, (3.8.44)

gde je A(ν ′) normirana funkcija,∫A(ν ′) dν ′ = 1. Ukoliko je ρ(ν ′)/ν ′3 konstantno i

jednako za sve frekvence, izraz (3.8.44) postaje jednak izrazu (3.8.43).Neka se monohromatski talas prostire u vakuumu u pravcu z sa naseljenoscu nivoa N1 i

N2, promena intenziteta zracenja duz tog pravca je

21

1

Iν

dIνdz

= (N2W21 −N1W12)hν (3.8.45)

= −c2[N1(g2/g1)−N2]A(ν)

8πν2τspont.

odnosno, intenzitet se eksponencijalno menja sa rastojanjem

Iν(z) = Iν(0)e−g(ν)z,

gde je

g(ν) = −dIνdz

Iν=c2[N1(g2/g1)−N2]A(ν)

8πν2τspont. (3.8.46)

Funkcija A(ν) se najcesce u eksperimentima aproksimira Gaussovom ili Lorentzovomkrivom.

U poluprovodnickom laseru je teorijski model pojacanja zracenja komplikovaniji nego stoje to slucaj sa sistemima sa dva energetska nivoa.

3.9 Inverzna naseljenost kod sistema sa tri energetska

nivoa

Posmatrajmo jedan sistem sa tri energetska nivoa, cija je sema prikazana na slici 3.4. Ovakavsistem je vazan za postizanje inverzne naseljenosti, odnosno pojacanja zracenja kod rubinskoglasera. Neka su energije nivoa E1, E2 i E3 i naseljenosti odgovarajucih stanja N1, N2 iN3. Pretpostavicemo da su svi prelazi medu nivoima dozvoljeni i koristicemo formalizamAjnstajnovih koeficijenata uz standardne oznake, pri cemu A oznacava spontanu emisiju,i B indukovane prelaze, apsorpciju i stimulisanu emisiju. Neka je broj atoma u sistemuN0 = N1 +N2 +N3. Promene naseljenosti su

N3 = B31ρ(ν31)N1 − (B13ρ(ν13) + A13 + A23)N3 (3.9.47)

N2 = B21ρ(ν21)N1 − (B12ρ(ν12) + A12)N2 + A23N3. (3.9.48)

22

Slika 3.4: Sistem sa tri energetska nivoa.

U stacionarnom stanju ce promena naseljenosti biti jednaka nuli, te je

B31ρ(ν31)N1 = (B13ρ(ν13) + A13 + A23)N3

B21ρ(ν21)N1 = (B12ρ(ν12) + A12)N2 + A23N3

Eliminisuci N3, dobijamo

N2

N1

=

(B31ρ(ν31)A23

B13ρ(ν13) + A13 + A23

+B21ρ(ν21)

)· (A12 +B12ρ(ν12))

−1. (3.9.49)

U praksi je obicno koeficijent A23 dominantan u odnosu na druge prelaze, na osnovu cegamoze se uprostiti prethodni izraz:

N2

N1

≈ B31ρ(ν31) + B21ρ(ν21)

A12 +B12ρ(ν12)(3.9.50)

N2 −N1

N2 +N1

≈ B31ρ(ν31) + B21ρ(ν21)− A12 −B12ρ(ν12)

B31ρ(ν31) +B21ρ(ν21) + A12 +B12ρ(ν12). (3.9.51)

Uzecemo sada u obzir jednakost Ajnstajnovih koeficijenata B12 = B21 i cinjenicu da jenaseljenost N3 nivoa E3 mala u odnosu na N2 i N1

N0 ≈ N1 +N2.

Konacno se dobija

N2 −N1

N0

≈ B31ρ(ν31)− A12

B31ρ(ν31) + A12 + 2B21ρ(ν21)> 0, (3.9.52)

sto daje potreban uslov da dode do inverzne naseljenosti u ovakvom sistemu

23

B31ρ(ν31) > A12 (3.9.53)

sto u sustini znaci da verovatnoca ekscitacije cestica sa nivoa 1 na nivo 3 treba biti veca odverovatnoce deekscitacije sa nivoa 2 na nivo 1. Drugim recima, brzina povecanja naseljenostinivoa 3 treba da je veca od brzine smanjivanja naseljenosti nivoa 2. Posto atomi sa nivoa 3prelaze na nivo 2, to ce dovesti do brzeg punjenja nivoa 2, zbog cega ce se njegova naseljenostpovecati i u jednom trenutku postace veca od naseljenosti nivoa 1.

Primer lasera koji koristi prethodno opisan nacin postizanja inverzne naseljenosti je ru-binski laser, cije aktivne cestice su joni hroma Al2O3:Cr

3+. Ovaj laser emituje na sobnojtemperaturi dve bliske linije talsnih duzina 692,8nm i 694,3nm. Aktivna sredina ovog laserase opticki pobuduje pomocu jakog izvora energije. Joni hroma brzo prelaze u najvise stanjesa energijom E2 koje je nestabilno, sa vremenom zivota 10−8 s. Iz ovog stanja joni prelazeu metastabilno stanje sa energijom E1. Kako je vreme zivota ovog stanja mnogo vece, ujednom trenutku doci ce do inverzne naseljenosti i stvorice se uslovi za stimulisanu emisiju.

3.10 Inverzna naseljenost u sistemu sa cetiri

energetska nivoa

Kod sistema sa cetiri energetska nivoa, atomi aktivne sredine pobudivanjem prelaze sa nivoa1 na nivo 4. Prelazi na osnovno stanje su zabranjeni, a prelaz 4 → 3 je dozvoljen, brz inije radijativan, sto znaci da se energija ne emituje u formi zracenja vec se predaje kristal-noj resetki u vidu zagrevanja. Nivo 2 je daleko od osnovnog, kratkoziveci je i ima uloguposrednika. Za funkcionisanje ovakvog sistema potrebno je da su okupirani nivoi 1 i 3, stoje moguce kada su veliki koeficijenti A34 i A12. Na taj nacin je omoguceno brzo praznjenjenivoa 4 i 2 zbog cega se naseljenosti N4 i N2 mogu zanemariti u poredenju sa N1 i N2.Naseljenost nivoa opisana je tada

N3 ≈ B41ρ(ν41)N1 − A23N3, (3.10.54)

odakle za stacionarno stanje dobijamo

N3

N1

≈ B41

A3

(3.10.55)

Ovakav sistem je efikasniji od sistema sa tri nivoa jer je inverznu naseljenost dovoljno posticiu odnosu na nivo 2 a ne u odnosu na osnovni, nivo 1. Zbog toga ovakav sistem zahteva manjiutrosak energije pri pobudi sistema.

Primer lasera koji koristi ovaj nacin postizanja inverzne naseljenosti je Nd:YAG- itrijum-aluminijum-granat koji spada u cvrste lasere. Aktivne cestice u ovom laseru su joni Nd3+.Ovaj laser emituje svetlost talasne duzine 1061nm, a tacna hemijska formula je Nd:Y3Al5O12.

24

Slika 3.5: Sistem sa cetiri energetska nivoa.

Dakle, da rezimiramo princip rada lasera. Spoljasnje polje pobuduje atome u vise stanje idovodi do inverzne naseljenosti. Neki atomi se spontano vrate u nize stanje pri cemu emitujufotone koji dalje mogu da izazovu stimulisanu emisiju. Ovi fotoni mogu biti apsorbovani odstrane atoma u osnovnom stanju, te je stoga potrebno da naseljenost visih stanja bude vecada bi doslo do pojacanja svetlosti. Da zracenje ne bi prerano napustilo sistem, koristi serezonator koji najcesce predstavlja sistem ogledala od kojih je jedno slabo propusno.

3.11 Sirina i oblik spektralne linije laserskog zracenja

Profilom linije nazivamo zavisnost intenziteta zracenja od frekvence ili talasne duzineI = I(ω). Osnovni parametar profila spektralne linije je polusirina1. Oblast spektraogranicena polusirinom naziva se centralna oblast linije, a spoljne oblasti se nazivaju krilimalinije. Ovde ce biti opisani najcesci oblici profila, Lorentzov i Gaussov.

Ukoliko se sistem koji posmatramo sastoji od atoma koji medusobno interaguju, sirinalinije ce se ispoljiti zbog razlicitih fizickih efekata u zavisnosti od toga da li se atomi krecuili miruju. Ukoliko atomi miruju, sirina spektralne linije se naziva prirodnom, a ukoliko sekrecu razlicitim brzinama, dolazi do Doplerovog prosirenja linije.

3.11.1 Prirodna sirina spektralne linije. Lorentzov profil

Postojanje prirodne sirine linije opisuje se kvantno mehanickim efektima. Naime, apsorp-ciona linija ce imati odredenu sirinu jer i pocetni i krajnji energetski nivo imaju odredenesirine u skladu sa Heisenbergovom relacijom neodredenosti. U svakom od pobudenih stanjaatom ima ograniceno vreme boravka, sto ima za posledicu neodredenost energije

∆E∆t ≥ ~.

Energija kvanta emitovanog usled prelaza izmedu stanja sa konacnim prirodnim sirinama,mora imati izvesnu neodredenost koja ce biti jednaka zbiru neodredenosti tih stanja. Neo-

1FWHM, Full Widht at Half Maximum. Polusirina linije predstavlja interval frekvence ili talasne duzinekoji odgovara polovini maksimuma spektralne linije.

25

dredenost frekvence prelaza, odnosno prirodna sirina linije moze se dobiti na osnovu sledecegizraza

∆ν12 =1

2π

(1

τ1+

1

τ2

).

Razmotrimo ovaj problem malo detaljnije koriscenjem kvantno-mehanickog pristupa.Posmatrajmo sistem opisan talasnom funkcijom u kojoj figurisu dve amplitude verovatnoce:

ca(t) i cb(t) i neka je sistem u pocetnom trenutku bio u cistom stanju a tako da je ca(0) = 1i cb(0) = 0. Amplituda cb(t) se sa vremenom povecava, a kako je ukupna verovatnocanalazenja sistema u stanju a ili b jednaka jedinici: |ca(t)|2 + |cb(t)|2 = 1, amplituda ca(t) cese smanjivati. U jednom trenutku, postace dominantni prelazi iz b u a, odnosno: ca(t) cese povecavati, a cb(t) ce se smanjivati. Kada atom spontano prelazi iz stanja b u stanje adolazi do emisije fotona frekvence ω. Postoji veoma mala verovatnoca da ω odstupa od ωab.Zbog ovoga se ovaj sistem ne sastoji samo od dva dobro definisana energetska stanja, vec sejavlja i veoma uzak interval kontinuuma energije. U ovom slucaju, inicijalno stanje je stanjeb i ono se ”prazni”, a finalna stanja zajedno cine dobro definisano stanje atoma a i energijafotona koja uzima vrednosti iz uske oblasti oko ~ωab. Ovakvo finalno stanje nije koherentnoi verovatnoca nalazenja sistema u stanju b ce opadati sa vremenom. To se moze i pokazati.

Neka je W sba brzina promene verovatnoce spontanog prelaza iz stanja b u stanje a i neka

je nezavisna velicina od vremena. Onda je verovatnoca Pb(t+dt) nalazenja atoma u stanju bu trenutku t+dt jednaka proizvodu verovatnoca Pb(t) nalazenja atoma u stanju b u trenutkut i verovatnoce da do prelaza nije doslo tokom intervala vremena dt koja iznosi (1−W s

abdt).

Pb(t+ dt) = Pb(t)(1−W sabdt), (3.11.56)

odnosno

Pb(t+ dt)− Pb(t)

dt= −W s

abPb(t). (3.11.57)

Neka je sistem u pocetnom trenutku bio u stanju b, sto nam daje pocetni uslov Pb(0) = 1potreban za resenje diferencijalne jednacine (3.11.57)

Pb(t) = e−W sab = e−t/τ , (3.11.58)

gde je τ vreme zivota stanja b i vazi

τ =1

W sab

.

S obzirom na to da je Pb(t) = |cb(t)|2, uz ogranicenje da je cb(t) realna velicina, mozemo dauzmemo da je

cb(t) = e−t/2τ ,

tako da je za t ≥ 0 komponente totalne talasne funkcije koja opisuje pocetno stanje b glasi

Ψb(r, t) = cb(t)ψb(r)e−iEbt/~ = ψb(r) exp

[−iEb − i~/2τ

~t

], (3.11.59)

gde je ψb(r) vremenski nezavisna atomska talasna funkcija, svojstvena funkcija osnovnoghamiltonijana. U odsustvu spoljasnjeg polja zracenja, ekscitovano stanje b bi imalo tacnoodredenu energiju Eb i odgovarajuca talasna funkcija bi bila

26

Φb(r, t) = ψb(r)e−iEbt/~.

Φb(r, t) je stacionarno stanje i predstavlja resenje jednacine

i~∂

∂tΦb(r, t) = EbΦb(r, t). (3.11.60)

Ukoliko se uzme u obzir i zracenje do kojeg dolazi pri prelazu iz stanja b u a, talasnafunkcija koja opisuje sistem Ψb(r, t) ne opisuje stanje sa dobro definisanom realnom energi-jom, odnosno Ψb(r, t) nije svojstveno stanje operatora energije

i~∂

∂tΨb(r, t) =

(Eb − i

~2τ

)Ψb(r, t) (3.11.61)

Ono sto se zakljucuje iz ovog razmatranja je da stanje sa kojeg se vrse prelazi ne moze daima dobro definisanu energiju, sto objasnjava razmazanost energetskih nivoa. Svaka talasnafunkcija se, pak, moze predstaviti kao superpozicija svojstvenih stanja operatora energije. Utom cilju pisemo

exp

[−iEb − i~/2τ

~t

]= (2π~)−1/2

∫ ∞

−∞a(E ′) exp[−iE ′t/~] dE ′. (3.11.62)

Da bi odredili a(E ′) iskoristicemo Diracovu delta funkciju

δ(E − E ′) = (2π~)−1

∫ ∞

−∞exp

[−i(E − E ′)t

~

]dt, (3.11.63)

tada je

a(E) =

∫ ∞

∞a(E ′)δ(E − E ′) dE ′ = (2π~)−1

∫∫a(E ′)e−iE′t/~eiEt/~ dtdE ′ (3.11.64)

= (2π~)−1/2

∫ ∞

0

e−i(Eb−i~/2τ)t/~eiEt/~ dt, (3.11.65)

gde smo za donju granicu u integralu uzeli 0 zbog toga sto se smatra da je Ψb(t < 0) = 0.Konacno, resavanjem (3.11.64) dobija se

a(E) = (2π~)−1/2 −i~Eb − E − i~/2τ

. (3.11.66)

Verovatnoca da pocetno stanje b ima odredenu energiju E je srazmerna |a(E)|2, pri cemu je

|a(E)|2 = ~2π

1

(Eb − E)2 + ~2/4τ 2. (3.11.67)

Da bi energija bila ocuvana, svojstvena vrednost energije E mora biti jednaka zbiruenegija koju ce imati atom posle prelaza i energije fotona

E = Ea + ~ω,

gde se pretpostavlja da finalno stanje ima dobro definisanu energiju Ea i da nije ”razmazano”.Velicina |a(E)|2 odreduje raspodelu intenziteta kao funkciju kruzne frekvence spektralnelinije emitovane pri prelazu b→ a:

27

|a(E)|2 = ~2π

1

(Eb − Ea − ~ω)2 + ~2/4τ 2. (3.11.68)

Profil linije koji se na ovaj nacin dobija naziva se Lorentzovim profilom i proporcionalanje funkciji f(ω)

f(ω) =Γ2/(4~2)

(ω − ωba)2 + Γ2/(4~2), (3.11.69)

gde je ωba = (Eb −Ea)/~ i Γ = ~/τ . Polusirina Lorentzovog profila je Γ/~, a velicina Γ imadimenzije energije i naziva se prirodnom sirinom linije.

0,5

1

-2

+2

f( )

Slika 3.6: Lorentzov profil linije.

Prirodna sirina energijskih nivoa atoma je veoma mala. Na primer, sirina nivoa 2p atomavodonika energije E = −3, 40eV je Γ = 4 × 10−7eV . Izmerena sirina spektralnih linija jeobicno mnogo veca od prirodne sirine linije, sto je posledica drugih fizickih fenomena.

Klasicni prikaz pojave prirodne sirine spektralnih linija zasniva se na aproksimaciji elek-trona u atomu prigusenim oscilatorom. U jednacini oscilovanja oscilatora javlja se priguseniclan zbog gubitka energije posredstvom radijacije:

x+ γx+ ω20x = 0.

ω0 je karakteristicna ugaona frekvenca oscilatora,m je njegova masa, γ je prigusenje. Ukolikoje prigusenje slabo γ ≪ ω0, resenje jednacine kretanja oscilatora je

x(t) = a0eγ2t cos(ω0t).

Centralna frekvencija posmatranog prelaza ν0 dobija se preko karakteristicne kruznefrekvence oscilatora ω0, ν0 = ω0/(2π). Ovo zracenje nije monohromatsko jer se kod prigusenogoscilatora amplituda eksponencijalno smanjuje, ali se moze pomocu Fourier analize pred-staviti superpozicijom monohromatskih oscilacija amplitude A(t)

28

A(t) =√a0 exp

[−(

1

2τ+ iω0

)t

],

zatim se primenom Fourier transformacije odreduje spektar

F (ω) =

∫ ∞

−∞= A(t)eiωt dt =

√a0

[1

2τ− i(ω − ω0)

]−1

.

Funkcija gustine verovatnoce prelaza u zavisnosti od frekvence data je na sledeci nacin

P (ω) = |F (ω)|2 = 4τ 2a01 + (2τ)2(ω − ω0)2

.

Normiranjem izraza prethodnog dobija se Lorentzov profil linije

I(ν) =(γ/4π)2

(ν − ν0)2 + (γ/4π)2,

gde je I(ν0) = I0 intenzitet u centru raspodele na frekvenciji ν0.

3.11.2 Gaussov profil spektralne linije

Ukoliko se atom krece, svetlost koju emituje ce promeniti talasnu duzinu sto je posledicaDopplerovog efekta. Ukoliko se emitujuci atom krece nerelativistickom brzinom υ, talasnaduzina emitovane svetlosti je

λ = λ0

(1± υ

c

)(3.11.70)

gde je λ0 talasna duzina svetlosti koju emituje atom u mirovanju. Znak + odgovara slucajuu kojem se posmatrac udaljava, dok znak − odgovara priblizavanju posmatraca. Ugaonafrekvenca ω = 2πc/λ je povezana sa ω0 = 2πc/λ0 na sledeci nacin:

ω = ω0

(1± υ

c

)−1

≈ ω0

(1∓ υ

c

)(3.11.71)

Uzmimo konkretan primer zagrejanog gasa temperature T , koji emituje zracenje. Brojatoma dN sa brzinama u intervalu (υ, υ + dυ) dat je Maxwellovom raspodelom:

dN = N0 exp(−Mυ2/2kT )dυ (3.11.72)

pri cemu je k Boltzmannova konstanta, M je masa atoma i N0 je konstanta. Intenzitet emi-tovane svetlosti u intervalu frekvenci (ω, ω+dω) srazmeran je broju atoma sa odgovarajucimbrzinama. Prema tome, raspodela intenziteta po frekvencama prikazana je Gaussovomraspodelom

I(ω) = I(ω0) exp

[−Mc2

2kT

(ω − ω0

ω0

)2], (3.11.73)

sto sledi iz izraza (3.11.71) i (3.11.72).Kada je poznat profil spektralne linije, jednostavno je izracunati polusirinu

∆ωD =2ω0

c

[2kT

Mlog 2

]1/2.

29

Dakle, polusirina Gaussove linije povecava se sa temperaturom i sa frekvencijom, a sma-njuje sa povecanjem mase atoma.

Ova dva profila linije su uporedena na slici 3.7. Vidimo da Gaussov profil opada mnogobrze sa udaljavanjem od ω = ωba.

Slika 3.7: Lorentzov (isprekidana linija) i Gaussov (puna linija) profil linije.

3.12 Opticki rezonatori

Najefikasnije medusobno delovanje elektromagnetnog zracenja i materije postize se kada sematerijal stavi u rezonator.

Razmotricemo prvo ponasanje elektromagnetnog zracenja u rezonatoru. U tom cilju,posmatrajmo rezonator oblika supljeg paralelopipeda stranica X, Y i Z, pri cemu zidoverezonatora smatramo idealno provodnim. U realnim uslovima mnogi materijali se mogusmatrati takvim jer je skin efekat jako izrazen i polja gotovo da ne prodiru u materijal, tesu njihove jacine jednake nuli. Elektromagnetni talasi koji nastaju u rezonaotoru morajubiti stojeci jer je rezonator ogranicen sa svih strana. Ukoliko je u rezonatoru vakuum, zaeletromagnetno polje u njemu vazice Maxwellove jednacine

divE = 0 (3.12.74)

divB = 0

rotE = −∂B∂t

rotB =1

c2∂E

∂t.

S obzirom na to da zracenje unutar rezonatora ima oblik stojeceg talasa, resenja Maxwellovihjednacina ce imati oblik

30

E(r, t) = E0(r)e−iωt (3.12.75)

B(r, t) = B0(r)e−iωt (3.12.76)

E0(r) i B(r) predstavljaju amplitude polja koje se pronalaze iz sistema (3.12.74). Kada seiskoriste izrazi (3.12.76) i (3.12.76), od sistema jednacina (3.12.74) sledi

divE0 = 0 (3.12.77)

divB0 = 0 (3.12.78)

rotE0 = iωB0 (3.12.79)

rotB0 = − iωc2E0. (3.12.80)

Nalazenjem rotora jednacina (3.12.79) i (3.12.80), dobijaju se diferencijalne jednacine iz kojihmozemo dobiti amplitude polja:

∆E0 +ω2

c2E0 = 0

∆B0 +ω2

c2B0 = 0.

Za dalje resavanje ovog sistema, neophodno je iskoristiti granicne uslove, koji kazu da jerazlika tangencijalnih komponenti elektricnog polja, kao i normalnih komponenti magnetnogpolja na granicnoj povrsini dve supstancijalne sredine mora biti jednaka nuli. U slucaju kojirazmatramo, ovi granicni uslovi svode se na

ET = 0

BN = 0

jer su jacine polja u zidovima jednake nuli.Elektromagnetni talas je transverzalni talas, sto znaci da su jacine polja normalne na

pravac prostiranja talasa. Ukoliko se za pravac prostiranja talasa odabere z-osa, razlikujuse:

-transverzalni elektricni talas ili TE talas-transverzalni magnetni talas ili TM talas-glavni ili transverzalni elektromagnetni talas, TEM talasKod TE talasa, Ez = 0, kod TM talasa je Bz = 0 i kod TEM talasa su oba ova uslova

ispunjena.Daljim resavanjem sistema, nalazimo jednacine amplituda polja koje su kvantovane,

odnosno zavise od prirodnih brojeva n1, n2 i n3:

Ex(r) = A1 cosn1πx

Xsin

n2πy

Ysin

n3πz

Z

Ey(r) = A2 sinn1πx

Xcos

n2πy

Ysin

n3πz

Z

Ez(r) = A3 sinn1πx

Xsin

n2πy

Ycos

n3πz

Z

dok je amplituda data izrazom

31

E0 = Ex(r)ex + Ey(r)ey + Ez(r)ez.

Analogno se dobija i za vektor magnetne indukcije. Moguce vrednosti frekvencije zracenjasu

ωn1,n2,n3 = cπ

√(n1

X

)2

+(n2

Y

)2

+(n3

Z

)2

, (3.12.81)

pri cemu svaka uredena trojka prirodnih brojeva n1, n2 i n3 predstavlja jedan mod oscilovanja.

3.12.1 Fabry-Perotov opticki rezonator

Fabry-Perotov opticki rezonator je oblika paralelopipeda cije su naspramne stranice poli-rane i imaju koeficijente refleksije R1 i R2. Iako je najjednostavniji po konstrukciji, Fabry-Perotov rezonator se koristi samo kod lasera malih dimenzija (L < 1cm), jer je neophodnoda ogledalske strane budu savrseno paralelne. Zbog toga su pogodni za koriscenje kodpoluprovodnickih lasera. Kod poluprovodnickih lasera, polirane stranice su normalne na p-nspojeve. Gornju i donju stranu cine p i n slojevi razlicitih tipova poluprovodnika, a preostaledve strane nisu polirane.

L

z

Slika 3.8: Fabry-Perotov rezonator.

Pojacanje praga laserske akcije zavisi od karakteristika rezonatora, R1 i R2. Ako je αkoeficijent apsorpcije unutar supljine, L je rastojanje izmedu poliranih povrsina, uslov izkojeg dobijamo pojacanje praga glasi

R1R2e2L(g−α) = 1.

Odatle sledi

gth = α +1

Lln

1√R1R2

. (3.12.82)

Prvi clan u (3.12.82) predstavlja unutrasnje gubitke u materijalu rezonatora, dok drugi clanpredstavlja gubitke usled refleksije ogledala.

Razmotrimo modove oscilacija koji odgovaraju velikim brojevima, pri cemu cemo uzetiu obzir da se supljina proteze u pravcu z-ose. Ukoliko je n3 veliki broj, tj. ukoliko je

32

n3

Z≫ n1

X+n2

Y,

iz (3.12.81) mozemo zakljuciti da je onda

ω ≈ πcn3

Z,

dok je razlika u frekvencama susednih oscilacija

∆ω ≈ πc

Z. (3.12.83)

Za relativnu promenu sirine imamo

∆ω

ω≈ 1

n3

.

Pasivnim optickim rezonatorom nazivaju se rezonatori u kojima se ne nalazi optickosredstvo, takvi kakve smo do sada razmatrali. Ukoliko se izmedu poliranih povrsina nalazisredina sa indeksom prelamanja n, relevantne jednacine se menjaju. Ukoliko se u toj sredinimoze ostvariti nekom spoljasnom pobudom inverzna naseljenost i stimulisana emisija, ondaje rezonator aktivan.

Za Fabry-Perotov rezonator je veoma vazno da su polirane ravni paralelne, jer se usuprotnom nece ostvariti pojacanje. Svetlosni talasi koji polaze iz neke tacke u unutrasnjostirezonatora, pojacace se prolazeci kroz sistem sa mnogo pobudenih atoma zbog stimulisaneemisije. Dolazeci do poliranih povrsina, talasi se reflektuju nazad u sistem, nastavljajucipritom pojacanje. Medutim, ako ne putuju strogo paralelno osi sistema ili ako ogledala imajudefekte, doci ce do otklona, pa se talasi gube iz sistema. Samo talasi koji nisu otklonjenimogu nastaviti pojacanje u sistemu.

Frekventna razlika dvaju susednih modova u aktivnom Fabry-Perotovom rezonatoru za-visice od indeksa prelamanja sredine u supljini. Izraz (3.12.83) vazice i ovde, s tim stouvodimo korekciju: umesto duzine rezonatora Z = L koristicemo Z = Ln, imamo

∆ω =πc

Ln,

sto vazi za svaki rezonator ispunjen aktivnom sredinom.

Glava 4

Prakticne metode za dobijanjeinverzne naseljenosti

Postoji vise nacina za postizanje inverzne naseljenosti, a odabir metode zavisi pre svega odmaterijala koji je potrebno pobuditi. Cesto je moguce iskoristiti vise nacina pobude istogmaterijala. Tada se primenjuje najefikasniji ili najpogodniji za dati eksperiment ili primenu.

U poluprovodnickim materijalima inverzna naseljenost se moze postici prolaskom strujekroz materijal, optickom pobudom ili bombardovanjem elektronima. U raznim primenama jenajjednostavnija i najprakticnija metoda pobudivanja i istovremenog modulisanja laserskogzracenja prolaz struje kroz poluprovodnicki p-n spoj.

4.1 Gasni laseri

Da bi se odrzala inverzna naseljenost izmedu dva energetska stanja, neophodno je efikasnopobuditi elektrone atoma, jona ili molekula na gornji nivo, a posle deekscitacije sto brzedepopulisati donji energetski nivo. Kod gasnih lasera problem depopulacije donjeg laserskognivoa resava se uglavnom na dva nacina.

Ispostavlja se da najjednostavniji nacin depopulacije donjeg laserskog nivoa, spontanomemisijom, nije efikasan. Naime, verovatnoca za spontanu emisiju je proporcionalna verovatnociza apsorpciju, (3.6.35). Broj apsorpcija ce biti veliki jer je populacija osnovnog stanja mnogoveca od populacije visih energetskih nivoa, pa ce emitovani foton biti brzo apsorbovan odstrane atoma u osnovnom stanju. Nakon nekog vremena, uspostavlja se ravnoteza izmeduprocesa populacije i depopulacije nivoa, broj elektrona na donjem laserskom nivou postajekonstantan i vreme boravka elektrona se znatno produzava u odnosu na vreme zivota izolo-vanog atoma. Ovo povecenje populacije donjeg laserskog nivoa predstavlja problem, te sepribegava drugim nacinima depopulacije donjeg laserskog nivoa.

Prvi od nacina depopulacije donjeg laserskog nivoa koji se cesto koristi kod gasnih laserapredstavljen je na slici b). Izmedu donjeg laserskog nivoa i osnovnog stanja nalazi se inter-medijarni nivo na koji je dozvoljen spontani prelaz i na taj nacin omoguceno njegovo efikasnopraznjenje. Depopulacija intermedijarnog nivoa se postize neelasticnim sudarima sa drugimatomima ili zidovima suda u kojem se gas nalazi. Relaksacija usled neelasticnih sudara morabiti efikasna da donji laserski nivo ne bi postao metastabilan. Ovo se ostvaruje izboromlaserske cevi sa malim precnikom i za zidovima koji manje reflektuju. Nedostatak cevi ma-log dijametra je ogranicena efektivna zapremina materijala, a samim tim i ogranicena snagalasera. Ovaj nacin depopulacije donjeg laserskog nivoa koristi se kod lasera sa plemenitim

33

34

gasovima.

Druga mogucnost odrzavanja donjeg nivoa depopulisanim prikazana je na slici c). Prelazise desavaju u jonima ili atomima nastalim disosovanjem molekula gasova. Koncentracijaatom ili jona u osnovnom stanju je zanemarljiva jer se procesom rekombinacije oni efikasnouklanjaju. Donji laserski nivo se prazni spontanom emisijom, ali on ne postaje metastabilan.Primeri ovog tipa lasera su gasni laseri sa atomskim kiseonikom, azotom, hlorom, jodom,jonski laseri sa argonom, kriptonom i ksenonom, itd. Poboljsanje kod ovog tipa lasera ogledapovecanju aktivne zapremine lasera, sto omogucava dobijanje velikih snaga.

Ener

gija

Osnovno stanje Osnovno stanje Osnovno stanje

molekula

Gornji laserski nivo

Laserski prelaz

Spontana emisija

Osnovno stanje

RekombinacijaNeelastični

sudari

atoma

a) b) c)

Slika 4.1: Sematski prikaz depopulacije donjeg energetskog nivoa.

Kod gasnih lasera se opticka pobuda primenjuje kod molekulskih gasova, tj. kada postojesiroke apsorpcione trake. Kod atomskih i jonskih lasera je ovaj nacin pobude neefikasan. Dabi ovaj nacin pobude bio efikasan, svetlosni izvor koji vrsi pobudu bi morao da intenzivnoemituje preko uske spektralne linije koja je u koincidenciji sa prelazom pomocu kojeg sepobuduje laser. Kod gasnih lasera se cesto za pobudivanje koristi molekularni CO2 laser.Kod gasnih lasera je najcesci nacin pobude sudarna ekscitacija. Ovaj nacin pobude seostvaruje u u laserskim cevima sa ugradenim elektrodama na koje se dovodi elektricni napon.Pod dejstvom elektricnog polja dolazi do jonizacije gasa u cevi. Slobodni elektroni, koji supokretljiviji od jona, se sudaraju na svom putu izmedu elektroda sa cesticama gasa. Prilikomneelasticnih sudara, elektroni predaju deo energije cestici (jonu, atomu ili molekulu) sa kojomsu se sudarili, koja prelazi u pobudeno stanje. Sudarna ekscitacija je mnogo efikasnija odopticke pobude. Razlog tome je sirok energetski spektar koji se moze primeniti za pobuduzeljenog energetskog nivoa i na taj nacin stvoriti inverzna naseljenost. Ponekad se inverznapopulacija na jednoj vrsti atoma (molekula) pobuduje i stvara indirektno u mesavini gasova.Neelasticnim sudarima sa elektronima se pobuduje jedna komponenta gasne mesavine, kojapredaje energiju drugoj komponenti kod koje se stvara inverzna naseljenost (He-Ne i CO2

laseri).

35

4.2 Laseri cvrstog stanja

Uze posmatrano, pod laserima cvrstog stanja se podrazumeva klasa lasera kod kojih seinverzna naseljenost u cvrstoj aktivnoj sredini ostvaruje optickom pobudom. Sire gledano,u lasere cvrstog stanja spadaju i poluprovodnicki laseri koji najcesce koriste elektronski iliprolaz struje kao nacin pobudivanja i laseri sa F-centrima koji se pobuduju primenom drugoglasera.

Kao aktivni materijal lasera cvrstog stanja koriste se dielektrici, osim u slucaju polu-provodnickih lasera. Gotovo jedini nacin pobude kod ovih materijala je opticka pobuda.Primeri cvrstih lasera koji se opticki pobuduju su kristalni laseri: rubinski i Nd:YAG laser;i amorfni laseri na bazi stakla: laser na staklu sa neodimijumom.

Najefikasniji svetlosni izvori (ksenonske, zivine lampe, elektricni lukovi, itd.) zrace usirokim spektralnim oblastima. Da bi se takvi svetlosni izvori upotrebili za pobudu aktivnesredine, potrebno je da aktivni materijal apsorbuje zracenje u sto siroj oblasti spektra.Inverznu naseljenost, pak, treba ostvariti na prelazu koji ima sto manju spektralnu sirinu,da bi zracenje lasera bilo monohromatsko.

Ovaj uslov zadovoljavaju kristali dielektrika dopirani prelaznim elementima. Spoljasnjielektroni ovih elemenata zaklanjaju opticke elektrone od dejstva kristalne resetke, pa suopticki prelazi slicni onima kod slobodnih jona u gasovima na niskom pritisku, gde sumedusobne interakcije male. Visi energetski nivoi nisu zasticeni spoljasnjim ljuskama, padolazi do Starkovog1 efekta. Ukoliko se elektroni sa osnovnog stanja mogu putem apsorpcijezracenja prebaciti na ove prosirene nivoe, opticka pobuda se moze ostvariti i sa efikasnimsirokopojasnim svetlosnim izvorima.

Uticaj spoljasnjeg polja na spektar aktivnog jona u kristalnoj resetki zavisi od zaklon-jenosti optickih elektrona tog jona okolnim ljuskama. Kod elemenata grupe gvozda, optickielektroni su 3d elektroni i oni su zasticeni samo jednom spoljasnjom ljuskom. Spektar ovihjona u kristalu se mnogo razlikuje od spektra slobodnih jona. Takode se dosta razlikuju spek-tri istih jona u razlicitim kristalnim resetkama, pa je i klasifikacija energetskih nivoa povezanasa simetrijom kristalnog polja. Posto su opticki elektroni 4f kod lantanida zasticeni sa dvespoljasnje ljuske, njihov spektar u dielektricnim kristalima slicni su spektrima slobodnih jonau gasovima. Slican je slucaj sa spektrima jona aktinida ciji 5f elektroni su zaklonjeni sa dveljuske od dejstva spoljasnjeg polja. Zbog ovog svojstva se neodimijum koristi kao laserskimaterijal i ima priblizno istu talasnu duzinu u nekoliko razlicitih kristalnih resetki. Mozese koristiti dopiran u staklima, pa cak i rastvoren u tecnostima (npr. u selenoksihloriduSeOCl2).

4.3 Tecni laseri

Aktivna sredina u tecnom agregatnom stanju je pogodna zbog toga sto su tecnosti, kaoi gasovi, opticki homogeniji nego materijali cvrstog stanja. Veliku pogodnost predstavljai mogucnost hladenja cirkulacijom kroz hladnjak. Najpre su razvijeni organometalni ilihelatni laseri 1963, dok je razvoj organskih i neorganskih tecnih lasera usledio kasnije. Prvitecni laser sa organskim bojama otkriven je 1966. godine prilikom istrazivanja stimulisanogRamanovog rasejanja u organskoj boji. Prvi tecni laser sa radom u kontinualnom rezimukonstruisan je 1970. godine. Od svih tipova tecnih lasera najvazniji su tecni laseri saorganskim bojama zbog mogucnosti podesavanja talasne duzine laserske emisije.

1Usled dejstva elektricnog polja okolnih jona, dolazi do cepanja nivoa posmatranog jona.

36

4.3.1 Organometalni laseri

Najpoznatiji redstavnik ove vrste lasera je europijum helatni laser TTA (europijum tenoltri-fluoroacetonat). Aktivni jon je Eu3+ koji se nalazi u molekulu helata2. Posto su valentnielektroni europijuma u helatu zasticeni spoljasnjim elektronskim ljuskama, spektar europi-juma ne zavisi od okoline, tj. od rastvaraca u koji je helat rastvoren. Ekscitovani helatnimolekul predaje apsorbovanu energiju brzom neradijativnom izmenom ugradenom jonu eu-ropijuma. Ovim je omoguceno da se opticki pobudi spektralno uzana linija Eu3+ prekosirokopojasnih apsorpcionih traka helatnog molekula. Inverzna naseljenost se ostvaruje nanivou 5D0, dok se donji laserski nivo 7F2 veoma brzo prazni neradijativnim prelazom uosnovno stanje.

Radi postizanja znatnijih pojacanja, europijum helatni laseri rade na niskim temperat-urama do 120K, gde je spektralna sirina laserskog prelaza manja. Kod helatnih lasera setalasna duzina laserske emisije ne moze podesavati jer je metalni jon izolovan od spoljasnjihuticaja, te se na talasnu duzinu ne moze uticati. Helatni laseri zbog toga, a i zbog cinjeniceda rade na izuzetno niskim temperaturama, imaju samo teorijski znacaj.

4.3.2 Laseri sa organskim bojama

Jedna od najvaznijih osobina ovih lasera je mogucnost promene talasne duzine kontinualnou sirokom talasnom intervalu. Drugi laserski materijali poseduju relativno uzane laserskeprelaze, dok organske boje poseduju fluorescentne trake siroke i do 200nm. Ovi laseri pokri-vaju blisku infracrvenu, vidljivu i blisku ultravioletnu oblast spektra. Kao rastvarac organ-skih boja mogu se upotrebiti tecnosti i plastike sa dispergovanom bojom.

Boje koje se koriste kao aktivna supstanca u ovom tipu lasera spadaju u ciklicna jedinjenjasa jednim ili vise ugljenikovih atoma zamenjenim azotom ili kiseonikom. Pored toga, sveboje imaju proste radikale (metil, etil ili amino) vezane na razlicitim polozajima za prsten.Svi molekuli organskih boja koje se primenjuju za lasere imaju slican dijagram energetskihnivoa. Najstabilnija jedinjenja ove vrste imaju singletno osnovno stanje, dok pobudenjastanja mogu biti i singleti i tripleti.

Kod nekih lasera se talasna duzina zracenja moze promeniti menjanjem temperature.Tako se na primer, talasna duzina rubinskog lasera moza promeniti sa 694.3nm na 693.4nmusled promene temperature sa 300K na 77K. Medutim, mogucnosti ovakvog nacina promenetalasne duzine su veoma skromne. Kod tecnih lasera je moguce promenom koncentracije bojeili promenom rastvaraca promeniti talasnu duzinu laserske emisije. O detaljima mehanizmamenjanja talasne duzine kod tecnih lasera upucujemo citaoca na literaturu [7].

2Helati predstavljaju hemikalije koje formiraju rastvorne, kompleksne molekule sa pojedinim metalnimjonima, inaktivirajui te jone tako da oni ne mogu da normalno reaguju sa drugim elementima ili jonima iproizvode precipitate ili naslage.

Glava 5

Poluprovodnicki laseri

Poluprovodnicki laseri imaju mnoge zajednicke osobine sa ostalim laserima pri cemu po-drazumevamo osnovne osobine laserske svetlosti. Ipak, poluprovodnicki laseri se izdvajajusvojim karakteristikama koje ih cine veoma korisnim za upotrebu u raznim delatnostima.Ono sto ih izdvaja su sledece osobine:

Poluprovodnicki laseri su kompaktni i malih dimenzija, manjih od milimetra. Aktivnisloj je uzak, sirine manje od mikrometra. Divergencija laserskog zraka je veca u odnosu naostale lasere.

Kod ostalih lasera kvantni prelazi nastaju izmedu atomskih diskretnih nivoa, dok kodpoluprovodnika prelazi su uslovljeni zonskom energetskom strukturom materijala.

Prostorna i spektralna karakteristika laserskog snopa poluprovodnickih lasera je veomazavisna od osobina p-n spoja, kao sto su sirina zabranjene zone i opticke osobine materijala(indeks prelamanja, koeficijent refleksije).

p

n

Slika 5.1: Osnovna struktura injekcionog p-n lasera.

Postoji vise vrsta poluprovodnickih lasera razlicitih po svojoj strukturi. Izlaganja unarednim poglavljima odnose se na lasere sa p-n spojem (slika 5.1), pa cemo stoga na ovommestu spomenuti veoma znacajne lasere sa heterostrukturom. Aktivna oblast u kojoj sestvara inverzna naseljenost je veoma tanka kod p-n lasera i struja praga je visoka. Nize strujepraga i kontinualni rezim rada na sobnim temperaturama postizu se kod lasera sa duplom

37

38

heterostrukturom (slika 5.2). Kod ovih lasera se jedan sloj sa malom sirinom zabranjene zone(npr. za GaAs je Eg = 1.5eV) nalazi izmedu dva sloja dopirana n, odnosno p primesama,koja imaju velike sirine zabranjene zone (npr. kod AlGaAs je Eg = 1.8eV), sto dovodido formiranja energetske barijere koja zadrzava injektirane elektrone i supljine u aktivnomsloju. Materijali koji se stavljaju u blizinu p-n spoja imaju razlicite indekse prelamanja.Indeks prelamanja aktivnog materijala (kod GaAs je n = 3.6) je obicno veci od indeksaprelamanja dodatog materijala (npr. AlGaAs n = 3.4) sto dovodi do formiranja struktureslicne talasovodu u kojem je skoncentrisano lasersko zracenje. Zbog ovoga kod lasera saheterostrukturom nema prodiranja zracenja u p i n oblasti kao sto je to bio slucaj kod laserasa p-n spojem. Odvodenje toplote se postize postavljanjem podloge od GaAs na bakarnu iliolovnu plocicu, cime se resava problem temeraturne zavisnosti struje praga.

n-GaAs

p-GaAs

n-Ga Al As1-x x

p-Ga Al As1-y y

Aktivni sloj GaAs

Slika 5.2: Laser sa duplom heterostrukturom GaAs-GaAlAs.

5.1 Poluprovodnicki laseri sa p-n spojem

Konstrukcija lasera zahteva metod ekscitacije elektrona iz nizeg u vise energetsko stanje,inverziju naseljenosti koja ce obezbediti efikasnu stimulisanu emisiju i rezonatnu supljinukoja ce obezbediti kvantno pojacanje.

Osnovna struktura injekcionih lasera sa p-n spojem prikazana je na slici 5.1. Obe stranespoja, p i n, su jako dopirane, tako da je kvazi-Fermijev1 nivo unutar provodne i valentnezone. Naspramne ispolirane strane su normalne na p-n spoj. Drugi par paralelnih strananormalnih na p-n spoj je hrapav, sto smanjuje rasipanje laserske svetlosti.

1Za kvazi-Fermijev nivo se u fizici cvrstog stanja odomacio naziv imref, tj. ”fermi” napisano unazad. Toje Fermijev nivo koji odgovara stanjima elektrona posebno u valentnoj i posebno u provodnoj zoni, kada jestanje ravnoteze naruseno.

39

Najcesce koriscen metod pobude kod poluprovodnickih lasera je injekcija elektrona isupljina u p-n spoju, dok je Fabry-Perotov rezonator najcesci.

5.2 Gustina struje praga

Na slici 5.3 dat je energijski dijagram p-n spoja koji se primenjuje za poluprovodnickelasere. Na slici je sa EC obelezen pocetak provodne zone, a sa EV pocetak valentne zone.Poluprovodnik sa leve strane je n-tipa, sto se postize dopiranjem donorskim necistocama.Popunjena je cela provodna zona sve do Fermijevog nivoa EF . Poluprovodniku sa desnestrane dodate su akceptorske necistoce koje dodaju pozitivne nosioce, supljine2.

Ukoliko nije doveden napon na p-n spoj, elektroni prelaze na levu stranu sve do pojavepotencijalne V barijere koja ce zaustaviti dalji tok elektrona. Dalji prelaz elektrona nap stranu poluprovodnika ostvaruje se dovodenjem napona na p-n spoj. Primenjeni naponizaziva redukciju potencijalne barijere, pa elektroni mogu da teku preko vrha potencijalnebarijere na p stranu. Odatle elektroni prelaze na prazna stanja u valentnoj zoni uz emisijufotona sa energijom priblizno jednakoj Eg. Moguci su i prelazi izmedu provodne zone iakceptorskog nivoa koji se nalazi blizu vrha valentne zone. U ovom slucaju je energija fotonamanja od Eg. Moguc je i protok supljina prema n strani, pri cemu se supljine rekombinuju saelektronima, uz emisiju fotona. Ukoliko je primenjeni napon dovoljno visok, moze postojatioblast u blizini p-n spoja sa inverznom naseljenoscu nosilaca. Ova oblast je vrlo tanka (redavelicine 1µm), tako da se maksimalno pojacanje zracenja nalazi u ravni p-n spoja.

Pri niskoj struji javlja se spontana emisija u svim pravcima. Sa porastom struje raste ipojacanje, dok se ne ostvari uslov za pojavu laserskog efekta, sto je ostvareno kada svetlosnitalas prede svoj put kroz supljinu bez slabljenja. To vodi do uslova koji daje kriticnu vrednostpojacanja

R exp[(g − α)L] = 1,

odnosno

gth = α +1

Lln

(1

R

), (5.2.1)

gde je g pojacanje po jedinici duzine, α je koeficijent slabljenja usled apsorpcije i rasejanja,L je duzina rezonatora, i R je koeficijent refleksije krajeva rezonatora (tacnije, R =

√R1R2

za razlicite refleksivnosti krajeva rezonatora).

Za gustinu struje vazi

J

d=qn

τ, (5.2.2)

pri cemu je τ odgovarajuce vreme zivota, a d je sirina aktivne oblasti. Korisreci (3.8.46),(5.2.1) i (5.2.2), uz uslove da je N2 = n i N1 = 0, dobijamo da je gustina struje praga na 0Kdata izrazom

2Tacnije bi bilo reci da akceptorske primese dodaju manjak elektrona, sto se manifestuje kao visak pozi-tivnih nosiaca naelektrisanja. Otuda naziv ”supljine”.

40

Jth =8πqn2ν2d∆ν

ηc2

[α +

1

Lln

(1

R

)]=

1

β

[α +

1

Lln

(1

R

)]=

gthβ

(5.2.3)

pri ovom smo koristili 1/∆ν umesto A(ν), n je indeks prelamanja poluprovodnika i η jekvantna efikasnost. Ovaj izraz vazi samo pri temperaturi od 0K, jer smo pretpostavili daje nizi nivo prazan, N1 = 0. Ova jednacina je izvedena pomocu modela sa dva energetskanivoa.

Iz dobijenog izraza mozemo zakljuciti da je za efikasan laser, odnosno za malu strujupraga potrebno da sirina linije bude uska, kvantna efikasnost visoka, dugacka rezonatorskasupljina i mali gubici. Koeficijent β predstavlja faktor pojacanja, g = βJth.

Slika 5.3: Dijagram energetskih zona lasera sa p-n spojem. Srafirane oblasti oznacavajustanja popunjena elektronima.

5.3 Temperaturna zavisnost praga za lasersku emisiju

Gustina struje praga je na niskim temperaturama konstantna i povecava se sa porastom kon-centracije primesa. Na visim temperaturama otkriveno je da je gustina struje praga priblizno

41

srazmerna trecem stepenu temperature. Ovaj rezultat je u dobrom slaganju sa teorijskimmodelima. Temperatura na kojoj srazmernost sa T 3 pocinje povecava se sa koncentracijomprimesa. Sa povecanjem temperature raspodela elektrona postaje nedegenerisana, tako da seu aktivnoj oblasti spoja mogu dogoditi prelazi elektrona na niza i na visa energetska stanjana energiji fotona laserske emisije. Zbog toga se pri datoj gustini struje smanjuje pojacanje,pa ce gustina nosilaca naelektrisanja morati da se poveca. Pri velikim koncentracijamanosilaca, ovaj efekat postaje znacajan tek na vecim temperaturama.

Na slici 5.5 su prikazani rezultati merenja zavisnosti gustine struje praga od temperaturei od koncentracije primesa.

Medutim, za deo temperatura od 0C do 100C mozemo predstaviti temperaturnu zav-isnost struje praga u sledecem obliku:

Jth = J0 exp(T/T0), (5.3.4)

gde je T0 vazan parametar koji karakterise osetljivost laserske diode na promenu temperaturei cesto se naziva temperaturnim koeficijentom praga. Za diode sa AlGaAs, T0 je obicnoizmedu 120K i 190K, dok je za InGaAs izmedu 45K i 75K. Iz toga mozemo zakljuciti da jeInGaAsP temperaturno zavisniji od AlGaAs. Vrednosti T0 odredeni na osnovu podataka saslike 5.4 iznose 110K za AlGaAs, a za InGaAs T0 iznosi 50K.

T(K)

Slika 5.4: Temperaturna zavisnost gustine struje praga za AlGaAs i InGaAs SQW laserskudiodu [9].

42

Slika 5.5: Uticaj temperature i koncentracije necistoca na gustinu struje praga [16].

Iz (5.3.4) je jasno da ln(Jth/J0) linearno raste sa porastom temperature, dok iz koeficijentapravca krive nalazimo T0.

5.4 Izlazna snaga

Jedna od fundamentalnih karakteristika laserkih dioda je odnos izmedu izlazne snage i struje.Cesto koriscen izraz koji daje zavisnost izlazne snage od struje, u kojem parametre pred-stavljaju karakteristike laserskog rezonatora dat je jednacinom:

P = ηinEgln[1/(R1R2)]

2αL+ ln[1/(R1R2)](J − Jth).

Diferencijalna kvantna efikasnost definisana je kao povecanje izlaznog zracenja usledpojacanja struje:

ηs =dP/hν

dI/q=dP

dI(5.4.5)

ηs = ηinln[1/(R1R2)]

2αL+ ln[1/(R1R2)](5.4.6)

ηin predstavlja unutrasnju kvantnu efikasnost, L je duzina rezonantne supljine, R1 i R2 surefleksivnosti ogledalskih povrsina rezonatora.

U skladu sa izrazom (5.4.5) moze se odrediti diferencijalna kvantna efikasnost pomocukoeficijenta pravca grafika P = f(I).

43

5.5 Temperaturna zavisnost direktne karakteristike

p-n spoja

Polazeci od izraza

IF = I0(eV/VT − 1), (5.5.7)

sledi da je pad napona na laserskoj diodi dat relacijom

VF = IFR + VT ln

(IFNd

qSn2i (Dp/τp)1/2

+ 1

)(5.5.8)

S je povrsina p-n spoja, ni je sopstvena koncentracija nosilaca, Dp koeficijent difuzijesupljina, τp vreme zivota supljina, R je suma svih kontaktnih i rednih otpornosti, ND kon-centracija primesa, IF struja direktno polarisane diode, T je apsolutna temperatura, k jeBoltzmannova konstanta i q je naelektrisanje elektrona. Velicina VT naziva se termickimpotencijalom i iznosi

VT = kT/q. (5.5.9)

Sa promenom temperature dolazi do promene osnovnih karakteristika poluprovodnika,kao sto su sirina zabranjene zone poluprovodnika, sopstvena koncentracija, pokretljivost ivreme zivota nosilaca. Pri ovom razmatranju, zanemaricemo temperaturnu zavisnost ukupneotpornosti sto je opravdano time sto je promena otpornosti sa temperaturom mnogo manjaod promena drugih velicina. Uvodimo i pretpostavku da je struja diode konstantna sapromenom temperature.

Temperaturna zavisnost pokretljivosti supljina data je izrazom

µp(T ) = µp0(T0)

(T

T0

)−k2

, (5.5.10)

gde je T0 = 300K, µp0 je pokretljivost supljina na sobnoj temperaturi T0, a konstanta k2iznosi k2 = 2, 2 za supljine. Funkcija zavisnosti vremena zivota od temperature data je nasledeci nacin

τp(T ) = τp0(T0)

(T

T0

)m2

, (5.5.11)

gde konstanta τp0 predstavlja vreme zivota nosilaca (supljina) na sobnoj temperaturi, i m2 =2, 8.

Zavisnost sopstvene koncentracije nosilaca od promene temperature glasi

ni(T ) = A1T3/2 exp

(−Eg(T )

2kT

). (5.5.12)

Direktni napon p-n spoja predstavlja funkciju termickog potencijala, sopstvene koncen-tracije nosilaca, koeficijenta difuzije supljina i vremena zivota, koji su temperaturno zavisnevelicine. Prema tome,

dVF (T )

dT=∂VF∂VT

dVTdT

+∂VF∂ni

dni

dT+∂VF∂Dp

dDp

dT+∂VF∂τp

dτpdT

. (5.5.13)

Pri diferenciranju koeficijenta difuzije, napomenucemo to da je koeficijent difuzije funkcijasledecih velicina

44

Dp = VTµp, (5.5.14)

sledi da je

dDp

dT=

d

dT(VTµp)

=∂Dp

∂VT

dVTdT

+∂Dp

∂µp

dµp

dT. (5.5.15)

Da bi dobili rezultat izraza (5.5.13), potrebno je znati na koji nacin se menja sirinazabranjene zone u funkciji temperature, jer ce nam taj podatak biti potreban pri diferen-ciranju (5.5.12). Mnogi eksperimenti su pokazali da se sirina zabranjene zone smanjuje sapovecanjem temperature. Postoji vise semiempirijskih relacija koje opisuju promenu zabran-jene zone sa temperaturom, dok teorijski modeli koji objasnjavaju ovu pojavu, promenusirine zabranjene zone pripisuju interakciji elektrona sa fononima. Mi cemo ovom prilikomkoristiti najcesce koriscenu Varshnijevu relaciju koja glasi

Eg(T ) = Eg0 −αT 2

T + β. (5.5.16)

Eg0 predstavlja sirinu zabranjene zone na temperaturi T = 0K, a α i β su konstante kojezavise od materijala.

Na osnovu (5.5.9) i (5.5.8) jednostavnim diferenciranjem dobijamo potrebne izraze

∂VF∂T

= ln

(IFNd

qSn2i (Dp/τp)1/2

)(5.5.17)

dVFdT

=k

T(5.5.18)

Pomocu (5.5.12) i (5.5.8) dobijamo

∂VF∂ni

=−2VTni

(5.5.19)

dni

dT= ni(T )

(3

2

1

T

αβ

2k(T + β)2+

Eg0

2kT 2

)(5.5.20)

Na osnovu (5.5.8) i (5.5.11) imamo

∂VF∂τp

=VTτp

(5.5.21)

dτpdT

= τpm2

T. (5.5.22)

Konacno, koristeci izraze (5.5.17), (5.5.19) i (5.5.21) dobijamo krajnju vrednost izraza (5.5.13):

dVF (T )

dT=

k

qln

(IFNd

qSn2i (Dp/τp)1/2

)(5.5.23)

− k

q

(3 +

αβT

k(T + β)2+Eg0

kT

)− k

2q(1− k2) +

k

q

m2

2.

45

U literaturi se cesto navodi samo prvi sabirak sa desne strane izraza (5.5.23). Uzevsiu obzir temperaturne zavisnosti pokretljivosti i vremena zivota nosilaca, dobili smo nestoslozeniji izraz koji pokazuje uticaj promene temperature na poluprovodnicki materijal.

U generalnom slucaju, izraz u kojem je zavisnost sirine zabranjene zone od temperaturenepoznata funkcija, glasi:

dVF (T )

dT=

k

qln

(IFNd

qSn2i (Dp/τp)1/2

)(5.5.24)

− k

q

(3−

TE ′g(T )− Eg(T )

kT

)− k(1− k2)

2q+km2

2q.

Rezultat (5.5.23) je dobijen koriscenjem Varshnijeve relacije (5.5.16). U generalnomslucaju, mozemo upotrebiti neku drugu aproksimaciju promene sirine zabranjene zone satemperaturom i pozvati se na izraz (5.5.24).

5.6 Termo-opticki efekat

Promena indeksa prelamanja sa temperaturom, dn/dT , naziva se termo-optickim efektomi prisutan je kod svih transparentnih materijala ukljucujuci dielektrike, poluprovodnike iorganske materijale. Vrednost dn/dT moze biti pozitivna (npr. poluprovodnici) i negativna(npr. polimeri), sto zavisi od osobina datog materijala kao sto su koncentracija nosilacanaelektrisanja N i polarizabilnost α, koje same zavise od temperature. Funkcionalna zavis-nost indeksa prelamanja od polarizabilnosti i koncentracije nosilaca data je relacijom

n =

√1 +

Nα

ϵ0. (5.6.25)

Sa povecanjem temperature, dolazi do sirenja materijala, pa samim tim i do povecanjakoncentracije. Povecanje koncentracije dovodi do smanjenja polarizacije, tj. do smanjenjadielektricne konstante. Promenu indeksa prelamanja racunamo na sledeci nacin

dn(N,α)

dT=

∂n

∂N

dN

dT+∂n

∂α

dα

dT. (5.6.26)

Uz koriscenje (5.6.25) dobijamo

dn(N,α)

dT=

1

2ϵ0

(αdN

dT+N

dα

dT

). (5.6.27)

S obzirom na to da se koncentracija obicno smanjuje sa povecanjem temperature, dN/dTima najcesce negativnu vrednost, dok se polarizabilnost uglavnom povecava sa povecanjemtemperature, te je dα/dT pozitivno. Prema tome efekti promene koncentracije i polarizabil-nosti uticu na termo-opticki efekat.

Gusto pakovane kristalne strukture, poput poluprovodnika, imaju dominantan prvi efekat,sto vodi do negativne vrednosti dn/dT .

46

5.7 Spektralne karakteristike lasera

Spektralne karakteristike lasera predstavljaju veoma vazan podatak o odredenom laseru.U primenama lasera, promene spektralnih karakteristika uslovljene temperaturom moguda dovedu do katastrofalnih posledica. Smatra se da do promene u spektru dolazi zbogpovecanja curenja nosilaca iz aktivnog sloja na visim temperaturama i zbog pojacane neradi-jativne rekombinacije na defektima u aktivnom sloju.

λ [nm]

I [a

.u.]

Slika 5.6: Temperaturna zavisnost spektra lasera [4]

47

λ[n

m]

T [C]

Slika 5.7: Uticaj temperature na talasnu duzinu maksimuma spektra lasera [4].

Naime, brojni eksperimenti su pokazali da usled povecanja temperature dolazi do sma-njenja intenziteta zracenja i do povecanja talasne duzine emisije lasera (slike 5.6 i 5.7).

Glava 6

Merenje temperaturne zavisnostikarakteristika poluprovodnickih lasera

U ovom poglavlju ce biti izlozeni opisi merenja strujno-naponske karakteristike i spektralnekarakteristike poluprovodnickog lasera, sa uticajem promene temperature, kao i analiza do-bijenih rezultata. Izlazna snaga lasera odredena je na osnovu izmerenih vrednosti struje inapona i procenjen je temperaturni uticaj.

Poluprovodnicki laser koji je koriscen u eksperimentima ima diodu sa heterostrukturom:p sloj AlGaAs, n sloj od GaAs, i p sloj od AlGaAs. Talasna duzina na kojoj zraci jeλ = 650nm (crveni laser), a izlazna snaga lasera je Pout ≤ 5mW. Na osnovu postojecihmodela strujno-naponskih karakteristika, napravljen je softverski program za izracunavanjenjihove temperaturne zavisnosti. Rezultati merenja dobijeni u ovom eksperimentu, pokazujudobra slaganja sa teorijskim modelom.

Slika 6.1: Laser sa duplom heterostrukturom AlGaAs/GaAs.

48

49

Slika 6.2: Dijagram energetskih zona AlGaAs/GaAs lasera.

6.1 Temperaturna zavisnost strujno-naponske

karakteristike

Na laserskoj diodi poluprovodnickog lasera izvrseno je merenje temperaturne zavisnostistrujno-naponske karakteristike. Pomocu temperaturske komore, laserska dioda je zagre-vana i pomocu uredaja Precision Semiconductor Parameter Analyzer Agilent 4156C merenesu vrednosti struje i napona na temperaturama od 30C, 50C, 70C i 90C. Merenje tem-perature je vrseno pomocu racunara, kao i upravljanje uredajem Agilent 4156C, ParameterAnalyzer. Dobijeni rezultati su ocitavani pomocu racunara. Blok sema uredaja za merenjestrujno-naponske karakteristike i promene temperature prikazana je na slici 6.3, a eksperi-mentalna postavka na slikama 6.4 i 6.5.

50

PC

Digitalnitermometar

Termopar

tip KLaser

Temperaturna komorasa regulacijom temperature

Paremeter AnalyzerAgilent 4156C

Slika 6.3: Blok sema uredaja za merenje temperaturne zavisnosti strujno-naponske karak-teristike poluprovodnickog lasera.

Slika 6.4: Eksperimentalna postavka za odredivanje uticaja promene temperature na strujno-naponske karakteristike poluprovodnickog lasera.

51

Slika 6.5: Parameter Analyzer kojim su vrsena merenja.

Slika 6.6: Traser Sony Tektronix 370 (levo) i izmerena strujno-naponska karakteristikapomocu trasera (desno).

Na slici 6.7 prikazana je strujno naponska karakteristika laserske diode na T = 30C,dok su na slici 6.8 prikazane karakteristike na razlicitim temperaturama. Sa slike se vidi dastruja naglo raste pri naponima vecim od napona praga.

52

1,6 1,8 2,0 2,2 2,40,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

I F ( m

A )

VF ( V )

Slika 6.7: Strujno-naponska karakteristika laserske diode poluprovodnickog lasera na tem-peraturi T = 30C.

1,6 1,8 2,0 2,2 2,40,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

90oC 70oC 50oC

30oC

I F ( m

A )

VF ( V )

Slika 6.8: Strujno-naponske karakteristike laserske diode na temperaturama od 30C, 50C,70C i 90C.

53

30 40 50 60 70 80 903

4

5

6

7

8

IF / T = 0.07557 mA/ oC

VF = 1.9 V

I F ( m

A )

T ( oC )

Slika 6.9: Promena struje lasera sa temperaturom pri konstantnom naponu VF = 1.9V .

Rezultati merenja su pokazali da struja laserske diode na visoj temperaturi raste brzesa naponom. Odnosno, dolazi do pada napona direktno polarisanog lasera pri konstant-noj struji. Ovo se objasnjava temperaturnom zavisnoscu zabranjene zone poluprovodnika.Naime, sirina zabranjene zone se smanjuje sa povecanjem temperature, (5.5.16), sto jepotvrdeno brojnim eksperimentima. Osim zabranjene zone, od temperature zavise i pokretlji-vosti kao i vremena zivota nosilaca, (5.5.10) i (5.5.11).

30 40 50 60 70 80 90

1,72

1,74

1,76

1,78

1,80

1,82

1,84

VF / T = 0.00175 V/ oC

IF = 1.0 mA

VF (

V )

T ( oC )

Slika 6.10: Promena napona lasera sa temperaturom, pri struji IF = 1mA.

54

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Vf

( V )

I f(A

)

90 Co

30 Co

Slika 6.11: Strujno-naponska karakteristika laserske diode na temperaturama T = 30C(crveni simboli predstavljaju eksperimentalno odredene vrednosti, linijom je predstavljenateorijski dobijena kriva) i T = 90C (zelenim simbolima su predstavljene eksperimentalnodobijene vrednosti, a linijom teorijski dobijena kriva).

Na slici 6.9 prikazane su izmerene vrednosti struje sa promenom temperature, pri cemuje vrednost napona konstantna i iznosi VF = 1.9V . Vidimo da struja raste sa porastomtemperature. Na slici 6.10 je prikazana zavisnost izmerenog napona od temperature pristruji I = 1mA. Sa ove slike se vidi da struja monotono opada sa porastom temperature.

Za izracunavanje strujno-naponskih karakteristika koriscen je izraz (5.5.8). Osnovnitehnoloski i geometrijski podaci koji su korisceni za izracunavanje direktne strujno-naponskekarakteristike crvenog lasera talasne duzine λ = 650nm su prikazani u tabeli. Ovi podacisu preuzeti iz postojece navedene literature za crveni GaAs laser i treba imati u vidu da sunjihove brojne vrednosti aproksimativne.

Sopstvena koncentracija nosilaca, ni 1, 79 · 106 cm−3

Sirina zabranjene zone na T=300K, Eg 1, 42 eVKoncentracija primesa epi slojeva, Na 8, 6 · 1019 cm−3

Koncentracija primesa epi slojeva, Nd 1, 0 · 1018 cm−3

Pokretljivost nosilaca, µp 60cm2/VsPokretljivost nosilaca, µn 2300cm2/VsVreme zivota nosilaca, τp 2, 5 · 10−9 sVelicina peleta, S 0, 4 cm·0, 2 cm= 0, 08cm2

Debljina n-epi sloja, Dn 1, 2µmSuma kontaktnih i rednih otpornosti, Rk ≈ 1Ω

Eksperimantalno dobijene strujno-naponske karakteristike potvrduju tacnost teorijskog mod-ela izlozenog u poglavlju 5.3. Na slici 6.11 prikazane su merene i proracunate vrednosti natemperaturama T = 30C i T = 90C. Merene vrednosti ne slazu se najbolje u pocetnom

55

delu rasta karakteristike. Uzrok tome je nesavrsenost teorijskog modela u kojem nije uzetau razmatranje heterostruktura u laserskoj diodi.

6.2 Temperaturna zavisnost spektralne karakteristike

Spektralne karakteristike laserske diode poluprovodnickog lasera merene su pomocu uredajaSpectrometer Ocean Optics HR2000+CG. Blok sema eksperimentalne postavke korisceneza merenje temperaturnog uticaja na spektralnu karakteristiku lasera, data je na slici 6.12.Eksperimentalna postavka prikazana je na slikama 6.13 i 6.14.

Laser

Digitalnitermometar

Termopartip K Izvor za

napajanje

Grejač

Senzor

Spektrometar

Slika 6.12: Blok sema uredaja za merenje temperaturne zavisnosti spektralnih karakteristikapoluprovodnickih lasera.

Merenja su pokazala da se sa povecanjem temperature smanjuje intenzitet laserskogzracenja (slika 6.15). Takode je uoceno da na visoj temperaturi laser zraci na vecoj talasnojduzini, sto se vidi na grafiku na slici 6.16. Ovo je uslovljeno temperaturnom promenomosnovnih fizickih i geometrijskih osobina poluprovodnickih lasera.

Dobijeni eksperimentalni podaci su pokazali da se promena talasne duzine laserskogzracenja sa temperaturom, moze smatrati linearnom, sto se vidi na slici 6.17. Odstupanje odlinearne zavisnosti talasne duzine od temperature posledica je nepreciznosti prilikom merenjatemperature.

56

Slika 6.13: Eksperimentalna postavka za merenje spektralnih karakteristika pri promenitemperature.

Slika 6.14: Poluprovodnicki laser iz eksperimentalne postavke.

57

90 Co

70 Co

50 Co

30 Co

Slika 6.15: Temperaturna zavisnost spektralnih katrakteristika.

30 Co

40 Co

70 Co

90 Co

100 Co

Slika 6.16: Normirana temperaturna zavisnost spektralne katrakteristike.

58

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110652

654

656

658

660

662

664

666

668

670

672

nm

T [C]

Slika 6.17: Promena talasne duzine u zavisnosti od temperature.

Ova pojava se objasnjava ”curenjem” nosilaca iz aktivnog sloja na visokim temperatu-rama i neradijativnom rekombinacijom na defektima u aktivnom sloju.

6.3 Temperaturna zavisnost izlazne snage

Izlazna snaga poluprovodnickog lasera izracunata je na osnovu merenih vrednosti struja inapona pri razlicitim temperaturama. Pri tom su dobijene karakteristike koje se odlicnoslazu sa modelima.

Izlazna znaga zavisi od izmerene struje I prema relaciji

Pout = ηhν

q(I − Ith). (6.3.1)

η predstavlja unutrasnju kvantnu efikasnost koja je data izrazom,

η =1

1 + τrr/τnr,

pri cemu je τrr srednje vreme zivota radijativne rekombinacije i τnr srednja vreme zivotaneradijativne rekombinacije.

Struja praga Ith je data izrazom

Ith = I0eT/T0 . (6.3.2)

T0 je karakteristicni parametar koji ima dimenziju temperature i u ovom slucaju iznosiT0 = 60C.

Na slici 6.18 prikazana je promena izlazne snage Pout sa strujom na temperaturama 30C,50C, 70C i 90C. Vrednost izlazne snage i struje praga odredene su na osnovu izraza (6.3.1)i (6.3.2).

59

0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,0280,030

0,032

0,034

0,036

0,038

0,040

0,042

0,044

30 oC 50 oC 70 oC 90 oC

Pou

t ( W

)

I ( A )

Slika 6.18: Zavisnost izlazne snage Pout od struje I na temperaturama 30C, 50C, 70C i90C.

30 40 50 60 70 80 9030

32

34

36

38

40

Pou

t ( m

W )

T ( o C )

Slika 6.19: Promena izlazne snage Pout sa temperaturom, pri konstantnoj vrednosti strujeI = 20mA.

60

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-3

T (o

C )

I t h

(A

)

Slika 6.20: Eksperimentalno odredene vrednosti struje praga (simboli) i teorijski dobijenirezultati (linija) u zavisnosti od temperature.

Na slici 6.19 prikazana je promena izlazne snage Pout sa temperaturom. Vidimo daje promena opticke snage od 1.5mW u rasponu temperature od 60C relativno mala, pamozemo zakljuciti da uticaj temperature na izlaznu snagu lasera nije veliki.

Poredenje eksperimentalno odredenih vrednosti struje praga Ith sa izracunatim vrednos-tima na osnovu izraza (6.3.2) prikazane su na slici 6.20. Vidimo da su eksperimentalnirezultati odlicno slazu sa teorijom.

Glava 7

Zakljucak

U ovom radu data je analiza osnova fizike rada razlicitih lasera, sa posebnim osvrtom nastrukture poluprovodnickih lasera. Poznato je da su karakteristike poluprovodnickih kompo-nenti zavisne od temperature, pa je poznavanje njihove temperaturne zavisnosti veoma vazno,kako sa teorijske strane, tako i za njihovo projektovanje, izradu i primenu u savremenimelektronskim sistemima. Polazeci od standarnog modela strujno-naponskih karateristika p-nspoja koji je dao Shockley, napravljen je uprosceni matematicki model strujno naponskihkarakterisika poluprovodnickog lasera. Ovaj model uzima u obzir i uticaj svih kontaktnihi rednih otponosti u okolini p-n spoja AlGaAs/GaAs lasera. Sa promenom temperaturedolazi do promene osnovnih fizickih parametara GaAs kao sto su: sirine zabranjene zone,sopstvene koncentracije, pokretljivost nosilaca, vreme zivota nosilaca, koeficijenata difuzijenosilaca, kontaktnih i rednih otpornosti, kao i geometrijskih parametara. Svi ovi parametridovode do promene osnovnih karakteristika poluprovodnickih lasera. Prema tome, promenatemperature dovodi do promena kod strujno-naponske karakteristike, izlazne snage laserkogzracenja, efikasnosti zracenja, spektralne karakteristike, vremena ukljucenja i iskljucenja ifrekventne karakteristike. U ovom radu detaljno je izvrsena teorijska i eksperimentalna anal-iza strujno naponskih-karaktristika i spektralnih karakteristika poluprovodnickih lasera.

Na osnovu dobijenih teorijskih, numericki proracunatih i eksperimentalnih rezultata vidise da:a) Dolazi do pada napona u direktu pri konstantnoj struji sa porastom temperature kodpoluprovodnickog lasera.b) U isto vreme, pri konstantom naponu sa porastom temperature dolazi do porasta strujekod poluprovdnickog lasera.c) Struja praga lasera raste sa promenom temperature.d) Sa porastom temperature dolazi do porasta talasne duzine emitovane svetlosti lasera.e) Izlazna snaga emitovane svetlosti opada sa porastom temperature.f) Sirina spektralne zavisnosti emitovane svetlosti lasera se povecava a maksimum opada saporastom temperature.g) Slaganje numericki dobijenih vrednosti strujno-naponskih karakteristika je sasvim dobrosa izmerenim vrednostima sa promenom temperature u opsegu od 30C do 90C.

Sve ove promene uslovljene su uglavnom zavisnoscu sirine zabranjene zone GaAs od tem-perature i promenom geometrijskih parametara peleta lasera. Poznavanje uticaja tempera-ture na karakteristike poluprovodnickih lasera je veoma bitno, kako za potrebe tehnologijeizrade, tako i za primenu u savremenim elektronskim sistemima. Shodno tome, ova temabice uvek veoma zanimljiva oblast istrazivanja.

61

Literatura

[1] F. Bachmann, P. Loosen, R. Poprawe, High Power Diode Lasers. Technology and Applications,Springer, New York, 2007.

[2] B. H. Bransden, C. J. Joachain, Introduction to quantum mechanics, Longman scientific &Technical, New York, 1988.

[3] W. W. Chow, S. W. Koch, Semiconductor-Laser Fundamentals. Physics of the Gain Materials,Springer, Verlag, Berlin, Heidelberg, 1999.

[4] E. Farsad, S. P. Abbasi, A. Goodarzi, M. S. Zabihi, Experimental Parametric Investigation ofTemperature Effects on 60W-QCW Diode Laser, World Academy of Science, Engineering andTechnology 5 (2011) 802

[5] S. O. Kasap, Principles of Electronic Materials and Devices, McGraw-Hill, New York, 2006.

[6] W. Koechner, M. Bass, Solid-State Lasers : A Graduate Text, Springer Verlag, New York,2003.

[7] N. Konjevic, Uvod u elektroniku. Laseri, Naucna knjiga, Beograd, 1981.

[8] S. Lugomer, M. Stipancic, Laser. Fizikalne osnove, konstrukcija i primjena, Igkro ”Svjetlost”-OOUR Zavod za udzbenike, Sarajevo, 1977.

[9] S. Q. Mawlud, Bias-Voltage Dependance on Termoelectric Cooler Coefficient for Al0.7Ga0.3Asand In0.2Ga0.8As SQW Laser Diode, Tikrit Journal of Pure Science 16 (4) 2011

[10] D. Meschede, Optics, Light and Laser, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA ICCM, Wein-heim, 2007.

[11] Z. Pavlovic, T. Jovanovic Uticaj temperature na I-V karakteristike ”Body drain” diode VDMOStranzistora snage, No.47 ETRAN 1995, Zlatibor.

[12] K. P. O’Donnell, X. Chen, Temperature dependence of semiconductor band gaps, Appl. Phys.Lett. 58 (1991) 2924

[13] P. K. Sarswat, M. L. Free, A Study of Energy Band Gap Temperature Relationships forCu2ZnSnS4 Thin Films, Physica B 407 (2012) 108

[14] Q. Shan, Q. Dai, S. Chhajed, J. Cho, F. Schubert, Analysis of thermal properties of GaInNlight-emitting diodes and laser diodes, Journal of Applied Physics 108 (2010) 084504

[15] N. Soboljev, Laseri i njihova buducnost, Vojnoizdavacki zavod, Beograd, 1972.

[16] S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Springer-Verlag, New York London SydneyToronto, 1969.

62

63

[17] F. Trager (ed.), Springer Handbook of Lasers and Optics, Springer, New York, 2007.

[18] A. Yariv, Quantum Electronics, John Wiley & Sons, New York Chichester Brisbane TorontoSingapure, 1989.