Embed Size (px)
Citation preview
„Na mjesto boga postavl ja on jednog drugog boga, boga negacije i l i negativnog boga, vo l ju za zivot, sotonu na kojega on svodi mnoge stravicne dogadaje u svi jetu i cudovisno pokretan efekat nezadovoljstva. .. Mada je to opet na drugi nacin mitologicno, to time Schopenhauer u najmanju ruku biljezi ipak nesto sto je u Hegelovoj nega-ciji uljepsano i sto je zajemcenim uskrsnucem na uskrsnu nedelju prevagnulo" (717 — podvukao S. S.).
Zasto B l oh ni je prevrednovao i rev idirao Marksovu d i j a l ek t i ku u svetlu navedene k r i t i k e Hegelove d i ja lekt i -ke? Iz uv idanja ogromne modi zla moramo izvuci kon-sekvence za nasu s l i ku o coveku. Zar s ta l j in izam takode ne predstavl ja ostvarenje nek ih od b i t n i h potenci ja „ljud-ske pr i rode "? Ukl juc ivanje zla barem kao ravnopravne sile u dijalektiku istorije namece odgovarajucu promenu i u dijalektici ljudske prirode. To b i u marks i zmu zna-ci lo r ad ika lnu promenu ne samo u filozofskoj antropolo-giji, nego jos vise u onome sto nazivam antropologijom vlasti.
L ibera l i polaze od na jgor ih pre tpostavk i o l j u d i m a na v last i , pa zato konc ip i ra ju niz mera predostroznost i , kao sto su, na pr imer , podela i kon t ro l a v last i . Od vlasto-drzaca on i ne ocekuju nista drugo nego da svoju mod, ako mogadnu, prosire i z loupotrebe: vlast je sklona da kvar i l jude — a apsolutna vlast da i h k v a r i apsolutno (Akton). Is t ina, l ibera l i k o j i n isu presl i na socijal isticko--demokratske pozicije, n isu u stanju da predloze efikasne mere p ro t i v ut ica ja privatno-vlasnicke klase na po l i t i cku vlast.
Marks i s t i su po prav i lu polaz i l i od v r l o op t im is t i -c k i h premisa, j e r su veroval i da de u „prelaznom pe r i odu " na v last i ( i d i k t a tu r i ) b i t i citava jedna klasa, ko ja po p r v i put u i s t o r i j i nede i m a t i n ikakve interese k o j i se ne b i pok lapa l i sa opste l judsk im interesima.
Medu t im , posto j i ve l ika raz l ika izmedu p rak t i cn ih posledica preter ivanja u pes imist ickom, sa jedne strane, i o p t im i s t i ckom pravcu, sa druge strane. Pesimist icki ekstremizam moze nas navesti samo na to da preduzme-mo i neke suvisne mere predostroznost i . A ako preteramo sa op t im i zmom, onda de posledice b i t i mnogo ozbi l jn i je : nedemo preduzet i dovoljne, i l i uopste nikakve mere predostroznosti .
170
Aleksandar Kron
TEMPORALKE MODALNOSTI I KODALNI VREMEN3KI OPERATORI
1. Uvod. Neka je A iskaz; poOTatrajmo sledede rece-
n i c e :
(1) Uvek j e nuzno da A; ^
(2) Uvek j 3 mogude da A; (3) Ponekad j e nuzno da Aj
(4) Ponekad j e moguce da A.
Na§ p r v i c i l j j e da konctruiser.'.o t e o r i j u modela z a ( 1 ) -
( 4 ) . : ,
Posmatrajmo sada
{!') Nuzno j e da uvek A;
(2') Mogu(5e j e da uvek A; j
(3') Nu2no j e da ponekad A;
(4') Moguce j e da ponekad A.
Na§ drugi o i l j j e da konstruiSemo t e o r i j u modela z a ( ! ' )
- ( 4 ' ) .
PiSimo a Q , a O , s O i s O za temporalne modalnogti
"uvek je nu2no", "uvek j e moguce", "ponekad je nuzno" i
"ponekad j e mogude", redom. Pisimo Q a , O a . D s i <C>s za modalne vremenske operatore "nuzno j e uvek", "mogude
j e uvek", "nuzno j e ponekad" i "moguce ;;e pone'.:ad", r e
dom. Kako su temporalne modalnosti i modslni vremenskl
o p e r a t o r i povezeni? Da l i su (x) i (!') e l c v i v a l e n t n i ,
l - ^ i " ^ 4 ? NaS t r e d i o i l j j e da odgovorimo na ovo p i t a n j e .
2. J e z i c i . Neka X.^,3L^ i budu j e z i o i temporal-
n i h modalnosti, modalnih vremenskih operatora i jednih
i d r u g i h , redom, i neka j e 'SLe\^7.^,'X.^, X^]. ^ j e de-
f i n i s a n nad jezikom J klasicnog iskaznog raouna PC. Ne
ka A,B,C,... prelaze preko skupa F formula PC. Osnovni
s i m b o l i j e z i k a X su: V , ~~1 ( v e z n i c i ) i zagrade. Osim
171
toga, u <^ imamo aQ i aO, u ^ imamo Qa i Oa, a u
imamo i jedne i druge.
Skupovi ^^at, ^at i ?^at atomickih formula jozi-
redom, prndstavljaju najmanjo skupove
takve da ako je A6P, onda (i) r.nA,snA e^^^at, (ii)
OaA,OaA6f2at i (iii) l^^at = P^at U ^g^''• ^^'^
?^at €(<F^at, ^^at, 9^atj. Sk-upovx formula jezika X^, 32 i 0^3 oznaceni su sa fi redom. Neka je
5-6^^^, g^; tada je najmanji skup za koji va2i
(iv) ^^atcV i (v) ako U,V e 9", onda (U Vy),-i U e "F.
Pretpostavljamo dal,M,N,..., P,Q,R,..., X,Y,Z,... prela-
se preko 'p^ i 5, redom. Takodje pretpostavljamo da
su =>, A definisani pomodu V i —1, kao u PC. Po
red toga dofiniSimo:
SOA-^^JJ^ -1 aQ-iA •
aC>A<;i> . -isD-iA ' " ^'
• ' ' OBAO,, -.OanA
•sA<=>jj^ -lOa-iA.
3. Wodeli za o^-y Neka T i W oznaSavaju neprazne
disjunktne skupove i neka je S-'W partitivni skup skupa W.
Neka je f funkcija od T u ^'ff takva da je za svaki mtT
t{m.)^0. Ako je A promenljiva, onda je ili wtA ili w^^A;
dalje, w|=->A akko wtj^A i w i#AVB akko wti^A i wt^B, za bilo koji wfeW.
Cetvorka /-^j. = <CT,W,f,t= > zove se temporalna modal-na struktura (tms). Za tms f-L ^ i formule jezika de-finiSlmo:
/^^t=aDA akko Vm6TVwef(m) wt=A;
Jl ^t=^snA akko 3 m€'T Vw 6f (m) w V=A; ' '
jL(^t:.-lL akko JY^iT^L (nije /<^>=L)j
jV^tLVM akko h^^-L ili VV^tB. '''' '
Sta je intuitivno znaSenje jedne tmu? Skup T mo2emo
172
smatrati periodon vremena. Za svalci nCT postoji tacno
jedno stanje stvari w koje oe desava u m. Kedjutim, mi-
sleci 0 mfeT, ml pocmatramo sva moguca stanja stvari (mo
guce svetovo) koja se mogu ostvariti u m. Rc.zume ce, kojr.
stanja stvari mogu da se ostvare u m enpirijoko je pita-:
nje. Bududi da ne uzimamo u obzir empirijska ngraniSenja,
dopuStamo da bilo koji neprazan skup f(m) biide skup sta
nja stvari mogudih u m. Prema tome, posmatramo bilo koju-
funkciju f: T—»f W^^. I i, ' •v.:\.v\,^/, 3,,J'I,;J,;:,,I ,. .,
Pod okvirom i-( jedne tms podraztwievamo <T,W, y .
Neka je T skup svih funkcija f: T-*9v»^jZf; kaSeao da je
L valjana u H. akko za svaku f T JH ^ t: L (sL-nboliaa:
}^t=-I.). Ako je L valjana u svim okvirima, onda kai:emo da
je L valjana i pisemo ^L. »:vj:/.'•-i-.r'ji; /i'-w; .. ^s* ..H^M
4. Sistem TM. U ovom odeljku demo ak3iomat^zova^.•.
skup valjanih formula iz 9"^. DefiniSimo skup teorena
sistema TM, gde je TM aksiomatski sistem na jeziku o^^.
Prvo, aksiome su sve formule dobijene iz bilo kojo tau-
tologije E6P zamenom formula iz za iska^ne promen- >
Ijive. Drugo, prihvatamo i aksiome date slededlm shemama;
TMl SQA^^^SOA
TM2 aOA^sOA - • -trf:*-;'- ; ; v i-.'/n
:>:.: TM3 aa(A=>B)^.aaA=?anB - ' 3 x
TM4 aD(A^B)=>.sOA^saB.
Skup T^ je najmanji slcup koji sadr2i sve aksiome i aatvo-
ren je za modus ponenr. (MP) i sledede pravilo:
. r- N^ ako je A tautologija u PC, onda aDA^-T^.
Lako se dokr.zujc .>
Teorema 4.1 Ako L&T^, onda *=L.
Pre nego Sto iskaSemo i dokaJemo teoremu potpunosti
za TM, primetimo da u TM va2i standardna teorema deduk-
cije, zahvaljujudi dinjenici da je svaka iG^F, noJalizo-
173
vana (tj. cv ako jnvljanje iskazne promenljive u L je u
polju delovaaija aO ili s U ) i da nijedna Le^^ ne sadr-
2i iterisano modalnosti (ni a O ni s D ne mogu se javiti
u polju delo-'/a. , T. a Q ili s D ) . Citaocu treba da su poz-
nati pojmovi izvodljivoati (h) i neprotivrecnih i majcsi-
malno neprot ivrecnih skupova formula. Todsecamo da se
svaki neprot ivre£an 3kup formula jezika J moze proSiriti
do nokog n.aksimalno neprotivrecnog (mn) skupa. To vazi i
za neprotivrecne skupove f o m u l a mnogih drugih iskaznih
sistema uklj-ucujuci M T .
Ceorema 4 . 2 Ako je skup H C 'F^ neprotivreSan, onda
postoji t m 3 takva da je /<_t=L za svalcu L S H . :
Dckaz. Konstruisaceno tms koja ima traSeno svojstvo.
Neka jo T ' sKup nenegativr.ih celih brojeva i neka je ff'
simp svili mn skupova formula jezika J . Pretpostavimo da
je H dat i nek a je G^.'^-]^ skup koji sadrzi H . Bududi
da je G mn s k u p , ili je S O A 6 G ili je -i S O A C G . Ako je
" I S O A I G , otida na osnovu T M 2 i svojstava skupa G zaklju-
Sujemo da je l a O A t G . Dakle, s D n A f r G , pa na osnovu
Till s O l A f e C . Prema tome, sa svaku formulu A 6 P ili je
aOA€:G ili je s O - i A 6 G . Bududi da je P prebrojiv skup,
postoji prebrojivo mnogo formula oblika S O A u G .
Prebrojmo sve Slanove skupa G oblika s<;>A ili s Q A
i neka E bude jedna takva enumeracija. Za svaki m€ T '
definisimo fsmiliju skupova formula jezika J prema -
slededem receptu: i , : * > " : , ; i , i , , ! i :\ BJ; :IIS -.-::•>
( 1 ) ako je u E oblika s O A , onda su Slanovi
( 1 . 1 ) sKup w ' r r [ A } U ( C | a a c e G ] }
( 1 . 2 ) za svaku aOaec, skup W " = { B } U ^ C | a Q C e G J .
• ( 2 ) Ako L u E ima oblik s D A , onda su Slanovi I m m
( 2 . 1 ) za svaku a O B e o , skup m"' = { A , B ^ U ^ C | a D C e c } .
<'•'1 Dokazademo da je svaki Elan skupa I neprotivre£an.
174
( 1 . 1 ) Ako je w ' protlvrecan, onda pootojo C^,...,C^
<£ w ' takve da C^,.,.,C^1—^A. Koristedi svojstva PC, N^,
'i",13 i definiciju s<C>A, doknzujomo Gl \s<C>A, pa jc G pro-
tivre£an.
( 1 . 2 ) Ako je w" protivrecan, onda postoje C^,...,C^,
B 6 w " takve da C^,...,C^I iB. Sada kao u (l.l) sledi G (-
- I S O B . Na osnovu T M 2 i svojstava G dokazujemo Gl l a O B ,
pa je G protivre5an. , j, ,
( 2 . 1 ) Ako je w'" protivreSan, onda postoje C^,...,C^^,
B C - W ' " takve da C^,...,C^,Ay iB. Na osnovu svojstava PC,
i TM3 dokazujemo G h a D (A=>-iB). Na osnovu TM4, G H
s n A = > s D - i B , pa uz MP i definiciju a O A sledi G V - - i a O B ;
dakle, G je protivreSan.
Time je dokazano da je svalci clan skupa 1 ^ neprotiv-
recan. Za svaki " 6 1 ^ postoji mn simp koji sadrzi w . Neka
za proizvoljan m 6 T ' J ^ C W bude r.ajmanji skup takav da
za svaki 7/61 postoji ta£no jedan mn skup u J koji sa-m m
dr2i w . Na osnovu aksiome izbora, za svalci m & T ' postoji
takav J , J iCf. Jasno je da smo talco definisali funkoiju m m
f : a;'-»9w' takvu da je f ' ( m ) = J ^ .
Za svaki m & T ' , svaki w £ J ^ i svaku iskaznu promen-
Ijivu p definiSimo
w b'p akko p 6 w .
Lako je dokazati da za svaku A e P vazi A ^ w ed<.ko w(='A.
Dakle, X » = <"T'fV,",f', fe'> je t m s . Na osnovu konstru-
kcije H-'^,, primencn standardnih metoda, moze se dokaza
ti da je IfeG akko K ' ^ . t ' L , pa dakle, za svaku L e H ,
Jl(_' , t='L. Time je teorema dokazana.
Posledica ove teorene je ^ , ,i
Teorema 4.3 Ako t= L, onda L & T ^ . »
5 . Modeli za o^-^. Neka su T i W kao u prethodnom o-
deljku i neka je A skup funkcija g: T — t a d a je M.^
175
'li.,
r:-^!,'*, Aji-V" 1. odalna vremonslca gtnilrtura (mts). Za mts
i za svaku formulu iz dofiniSimo:
A C ^ - D a A akko V g £ A V m 6 T g(m) V= A
t=OaA akko B g e A V m e T g ( m ) b A
' ' " " JH^- t^-iP akko nije P ( JM^ P) '
M/<^^V\/Q akko / < A ^ ^
Iti-tui-tivna In-terpre-tacija mts je slededa: skup T je peri
od vremena a W skup mogudih stanja stvari koja mogu nast-
ati u periodu T . Opet, u svaJ-:om m & T ostvaruje se ta5no
jedno s'.anje stvari. Punkcija g 6 A daje nam niz stanja
stvari. U stvari, kodomen funkcije g je skup stanja stva
r i , "pa ako je T uredjen b i n a m o m relacijom "ne kasnijo
od", onda je kodomen fvmkoije g niz koji moSemo zvati
tok dogadjaja. Dakle, A se moze posmatrati kao skup to-
kova dogadjaja mogudih u T . Opet, empirijsko je pitanje
koji su tokovi dogadjaja mogudi u T .
/ { ^ t=naA znadi da u svakom toku dogadjaja g i u
svakom njegovom trenutku A je istinita u stanju stvari
koje nastaje u torn trenutku.
/ ( ^ t ^ < ^ a A znaci da postoji mogudi tok dogadjaja u
T takav da u svakom njegovom trenutku m A je istinita u
stanju stvari koje nastaje u m . * ' - •-• • • •
Znaoenje -i P i A t ^ l ^ P V Q je ocigledno.
U nastavku, bududi da ne uzimamo u obzir nikakva em-
pirijska ogranidenja, dozvoljavamo da svaki tok dogadjaja
bude mogud u T . Dakle, pretpostavljano da je A sloip 3vih
funkcija g: T—>W. U torn slucaju piSemo A umesto i
kazemo da je P valjana u A(= <T,W,t=^ > akko M >=P. P je
valjana (t^P) alcko je P valjana u svim okvirima.
6. Sistem M T . U ovom odeljku aksiomatizovademo skup
valjanih formula iz MT je odgovarajuci aksiomatskl
sistem na jezik-u X . DefiniSimo skup T teorema sistema
176
M T . Prvo, aksiome su sve formule dobijene iz bilo koje
tautologije B€-p zamenom formula iz ^ za iskazne pro-
menljive. Drugo, prihvatamo i aksiome date slededim she-
mama: _ • 1.1
MTl •sA=><>sA , 3 r : . . . , ^ C ]v 3
„.f:,..;- MT2 < > a A = > O s A , . • - - ; . . - „ : ; . . ' . r i j i ; ' 'SJ: i:o!'' A s O
MT3 • a ( A = > B ) ^ . a a A = > a a B r - - - ! , a . - v f ;
MT4 • a ( A = > B ) = > . O s A z ^ D s B .
Skup Tg je najmanji skup koji sadrzi sve aksiome 1
zatvoren je za MP i sledede pravilo:
s ako je A tautologija u PC, onda Q a A f e T g . 's
Teorema 6.1 Ako P e T g , onda ^ P . * o , ^ i J ,
Teorema 6.2 Ako je skup HC'Tj neprotivreSan, onda
postoji mts takva da b P za svaku P 6 H .
Dokaz. Konstruisademo mts koja ima traSeno avojatvo.
Neka au T ' i W kao u t m s . Pretpostavimo da je dat H 1
neka je G C T ^ mn skup koji sadrzi H . Mo2e se pokazati da
Cr ima prebrojivo mnogo Slanova oblika O s A . Prebrojmo sve
Slanove G oblika <0>sA ili - O a A i neka E bude jedna takva
enumeracija. Prebrojmo i sve Slanove G oblika Q s A 1 n e
ka E ' bude jedna takva enumeracija. Za svaki m€:T' defi
niSimo familiju skupova formula jezika J prema slede
dim pravilima:
(1) ako je P_ u E oblika O a A , onda au Slanovi I
(1.1) skup w^ = { A ^ U [ c | n a C e G } ;
(1.2) za svaku n s B ^ u E ' skup w ^ = ^ B '^ (J^C | O a C 6 G } ;
(1.3) akup w ^ 5 = { c | n a C 6 G } ;
(2) ako je P_ u E oblika O a A , onda su Slanovi I m m
(2.1) za svaku OaB^ u E ' skup w ^ = { A , B } U { C |
o,;j ^ a a C e G ] , UK..- v J . - 1 ' " :: J > : (2.2) skup w \ Dokazademo da je svaki Slan skupa I ne protivreSan.
177
(1.1) Ako je protivredan, onda za neke C^,...,Cj^
^"m Koristedi svojstva PC, N^, MT3 i de
finiciju <^sA dokazujemo Gl lO^A, pa je G protivrecan.
(1.2) Ako je w' protivredan, onda za neke C ,...,C n Ik
6w^ C^,...,Cj^H-lB. Koristedi PC, N^, MT3 i definiciju
<^sA dokazujemo Gl i<>sB. Dakle, na osnovu MTl i svoj
stava G, Gl--insB, pa je G protivredan. (1.3) je odigledno neprotivredan.
(2.1) Ako je w' protivrecan, onda za neke C.,..., m,n 1 C,,€w' C, ,...,C, ,B\—lA. Koristedi PC, N i MT3 doka- K m,n J. K ^
zujemo G h •a(B=>-IA) . Na osnovu MT4, G I-•sB=>ns-i A,
G \-DsnA, pa na osnovu definicije DsA, Gl--i<>aA. Da
kle, G je protivredan.
(2.2) Kao u (1.1) ovog dokaza dobijamo Gh-iOsA, pa
na osnovu MT2 Gh-i<C>aA. Dakle, G je protivredan. i
Za svaki postoji mn skup koji sadrSi w'. Za
mtT' neka Jj^^W bude skup mn skupova formula iz P ta -
kav da za svaki w'&I^ postoji tadno jedan mn skup u
koji sadrzi w'; taj clan skupa takodje je oznacen sa
w'. Za svaki meT' definiSimo funkciju g : T'—•J^ na •»•»
slededi nadin,
(1) Ako je P^ u E oblika OsA, onda je g"'(-£) = Wg za
svaki Hl<m;
(1.1) ^(m) = w'; ^ .. • t <..l! m
(1.2) ako je E' beskonadna, onda je g (m+n)=w^ za
svaki ntT';
(1.3) ako je E' konadna i je poslednji dlan E',
!v onda je g (m+C) = w£za sve l^£<n i /
1^}' ^(m+-e)=Wj5 za£>n; •
(2) ako je P^ u E oblika OaA, onda je g°(.£) = w^ za
sve l<£<m; (2.1) ako je E' beskonadna, onda je g'''(m4-n) =. wT ^ za
178
sve nfeT'; *' - '• • ^ • ^ ' iS
(2.2) ako je E' konadna i je poslednji clan E',
onda je g'"(m-t-.£) = w' . za sve l-^l<n i g^(m-t-l) * . c = w za 'l>n.
m
Neka je A'={g |m6T']; jasno je da je svaki elem
ent g'e-A' funkcija od T' u W. Ako t=' definisemo kao
u tms, onda je M'^ .= < 1',A', t^'> mts. Lako je po-
kazati da je P€G akko J^' ^, t'P. Dakle, za svaku P€H
Posledica ove teoreme je ' '
Teorema 6.3 Ako t=P, onda je PST^
Postoji odigledna veza izmedju TM i MT. Neka je
h: 5-^—funkcija takva da je h(aaA) = aaA, h(saA)
= a8A, h(-iL)=-ih(L) i h(LVM)=h(L)Vh(M). Trivijalno
je da je h izomorfizam i da je L&l^ akko h(L)e-T2.^
7. Modeli za 0^3. Neka su T, W, f, A i ^ kao do
sada; tada je M. . •= <C T,W,f, A , komblnovana struk-
tura (cs). Odigledno, <T,W,f, t:> je tms dok je
=<T,W,A,t:> mts. Za cs A^^ ^ i proizvoljnu X €. ?^
definiSimo -
ako je xe'F^at, onda je TV^ akko f^^i^X
ako je X^Fj^'*' Je A^,' ^bX akko \= X ''^
/{f'^NXVY akko ^l=X ili ^t=Y.
Neka je T kao u Odeljku 3 i neka je 5 skup svih
funkcija g: T—»W. X je F-valjana u okviru At=<:T,ff,
akko "2^^ svaku f (: ^. X je valjana akko je X
valjana u svakom okviru /t."'-'^-'
8. Sistem TMT. U ovom odeljku aksioraatizovademo skup
valjanih formula iz S-^. Neka je TMT odgovarajudi sistem.
Aksiome i pravila sistema TMT su aksiome i pravila iz TM
i MT. Neka je T, skup teorema sistema TMT. Odigledno, va-
179
21 • ,• Teorema 8.1 Ako XtT^, onda )=X.
Teorema 8.2 Za svaki neprotivredan skup HC po
stoji cs IH^ ^ takva da ^ b X za svaku X6H.
Dokaz. Neka je G mn skup koji sadr2i H. Kao Sto zna-
mo, postoji okvir /!= < T,'.V, t= > , fvmkcija f: T—•<?WN0
1 skup A nekih f\inkcija T —»W tako da je t=X za sva
ku Xe-GH?^ 1 t=X za svaku XfeGO 3^. Indukcljom se
mo2e pokazatl da za svaku X &
Teorema 8.3 Ako t= X, onda X^T^. J-^
9. Specijalni modeli za y U cs ^ skup A
sadrzi sve funkcije g: T—»1Y. Umesto A mo2emo posmatrati
neki drugi skup takvih funkcija. Neka je A^= [g: T-» W )
Vm6T g(m) ef(m)].
Teorema 9.1 Za svaku f: Aj+0.
Dokaz. Teorema je jedna od fomulaclja aksiome izbo
ra.
Teorema 9.2 Za svaki neprazan skup A funkcija g:
T—»W postoji fvinkcija f: T—»9wNJ!f takva da Je A =A^.
Dokaz. Za dati skup A definiSimo f: T-**? WN 0 ova-
ko: za svaki mC-T f(m) = ^g(m)lg€:A}- Za ovako deflnisanu
funkciju f jasno je da je A = A^. §tavi§e, za dati A
funkcija f je jedinstvena.
Teorema 9.3 Vm eTVw6:w3g6Af. g(m)=w.
Dokaz. Prema 9.1 postoji gfeA^; za date mfeT 1 wCW
definiSimo g' ovako: g'(m')=g(m') za svaki m'^im 1 g'(m)
=:w. Jasno je da je g'eAf Teorema 9.4 Za svaku specijalnu cs (scs), <*
(1) VmeTVw6f(m) WNA akko VgeA^VmeT g(m)MA
(2) 3m€TVwef(m) wt=A akko VgeA^HmfeT g(m)t: A.
Dokaz. Pretpostavimo (a) Vm€TVwef(m) w t^A 1 (b)
36tAj3m€T g(m)V5tA, recimo, gQ^A^, f i gQCm)
180
VjtA. Dakle, \/n(:f(.m^) w kA. Kako je gQ(mQ)e f(mg) prema
deflnicijl skupa A imamo kontrndikciju.
Pretpostavimo (c) Vg6A^Vm€:T g(m) t=A 1 (d).3meT
3w£f(m) wt^A, recimo, 11^61, w^efCm^) 1 w^V^A. Na osn
ovu 9.3 postoji gp€ A^ takva da je gQ(mQ) = WQ. Dakle,
gQ(mQ)t^A, Sto je suprotno pretpostavcl (c). ..' ..
Pretpostavimo (e) 3m€:TVw£f(m) wt:A, recimo m^t
T 1 Vw6f(mQ) wbA, 1 (f) 3g€A^Vm€:T g(m) IT^A, reci
mo g^eA^ 1 VmeT e^im)^^; dakle, e^(ra^)W-k. Kako je
gQ(mQ)6 f(m^), imamo kontradikciju.
Pretpostavimo (g) Vg€Aj3m€:T g(m)t=A i (h) Vm
€T3w6f(m) wt^A. Na osnovu aksiome izbora 1 (h) posto
ji ggfeAf takva da je Vm6T g^MUA-t Sto je suprotno
(g). 10. Sistem ST. U ovom odeljku akslomatizovademo skup
formula iz f-^ koje su valjane u odnosu na scs. ST je od
govarajudi aksiomatski sistem. Aksiome 1 pravila sistema
TUT su aksiome 1 pravila sistema ST; nove sheme aksloma
su: " ' •
• STl anA=i>DaA
ST2 •aA=>anA ' ; ,' ~^ „ . • • . 1 u;
ST3 snA=»OsA
ST4 OsA=>sDA.
Neka je skup teorema sistema ST.
Teorema 10.1 Ako X^l^, onda (u odnosu na scs).
Dokaz. Jedlnl zanlmljivl sludajevi su ST1-ST4.
STl Pretpostavimo da postoji scs M.. A takva da
Kf^^ \^aOA=>aaAj dakle, JU^WaDA i M^ ^OaA. Da
kle, Vm€-TVwfef(m) wtrA 1 3g£Af.3m€:T g(m) t)4A, sup
rotno 9.4 (1). Slldno se dokazuju ST2-ST4. '
181
Teoremcv 10.2 Ako Je okup H C F^ neprot ivreSan (u od
nosu na ST), onda postoji scs H. A takva da iV. A
1=X za sVQku X£H. -
Dokaz. Ileka je G C^Vj mn skup i HCG} na osnovu 4.2
postoji tms M.^ takva da za svaku xeonF^, JV^t:X akko
XtG. Na osnovu 9.1 Aj. je neprazan, pa prema tome posto
ji scs A /, . Pokazimo da je t= X akko XtOH?^,.
' f f ^ Neka je X = naA; na osnovu ST1-ST2 aDA=>DaA, DaA^i^aaA GG. Dakle, DaAfeG akko aDAGG akko H^.^ AQK akko
Neka je X = <0*aA; na osnovu ST3-ST4 <> aA=>aOA,aO A
=>6aA€;G. Dakle, OaAtG akko a<>A6 G akko A^t=aOA ak
ko M . »= DaA.
Koristedi indukciju lako se dokazuje pi - A ^ ^ akko xeo.
Posledica ove teoreme je
Teorema 10.3 Ako t=X (u odnosu na scs), onda X6T^.
11. Odgovor na trede pitanje. Odgovor na trede pita
nje zavisi od definicije valjanosti. Jasno je da su u ST
(i) i (i') ekvivalentni, iG{l,...,4}, jer aQACt-QaA,
aOAO<C>aA, sDA^^DsA i s^AOOsA pripadaju skupu T^.
§taviSe, ova ekviv.alencija ekvivalentna je aksiomi izbora
(to se vidi iz 9.4 i 10.3).
U TMT (i) i (i') nisu ekvivalentni, kao Sto de se
videti iz slededih teorema..
Teorema 11.1 Postoji A. * takva da A, -t^'aDp T:5>Dap.
Dokaz. Za svaku promenljivu p postoje mn skupovi w^
i takvi da je pf-w^^ i -ipfeWg. Neka je T = {l}, neka je
W = {w^,W2^, neka je f(l)r:^Wj^^, g(l)=W2 iA-^g]. Ja-
182
sno je da je At^KaQp i IJ^Oap.
Teorema 11.2 Postoji A^ takva da jeAj. Oap =i)aap. .;• ••• ''. ^ - '
Dokaz. Neka su T, V, i w, kao do sada, neka je
f(l) = ^W2^ i g(l) = w^
Na slidan nadin se dokazuju sledece dve teoreme.
Teorema 11.3 Postoji A ^ ^ takva da je /.
sDp=^Osp. , ,r ^, n. A,,,
Teorema 11.4 Postoji/(^ ^ takva da je
• sp^sDp.
U TMT se dokazuju sledede slabe ekvivalencije.
Teorema 11.5 Za svaki okvir A, aOA je F-valjana
u il akko je DaA valjana u jk (t j. A^ ^DaA).
Dokaz. Pretpostavimo da je aDA P-valjana u A i
da DaA nije valjana \i M » tada je
(a) VferVm6TVwef(m) w|=A, .(A« (b) 3 g€:A3m€T g(m)H^A. (.1) Bududi da je ( •:.il:^L »l IJ-'J'S'
(c) Vg6£3f6 rVm€:T g(m)e:f(m),
iz (a) i (b) izvodimo kontradikciju.
Pretpostavimo da je DaA valjana u A 1 da aQA ni
je r -valjana u JW.; tada je '..mc • , JA-ir tt.: (d) VgeAVmfeT g(m) t=A, (e) 3f 6 r3meT3wef(m) wtjtA.
Izaberimo f^ 6 T, m^eT, WQ€rfQ(mQ) tako da je n^tJ^A. Na
osnovu 9.3 postoji g 6 A takva da je ;, v- {d}' (f) go(n'o)=''o- -•(>-
Iz (d), (e) i (f) izvodimo kontradikciju.
Teorema 11.6 Za svaki okvir A, SQA je F-valjana
u M akko je DsA valjana u M. •> o.
Dokaz. Pretpostavimo da je SQA H-valjana VL M ^
da DsA nije valjana n H ; tada je , , .
183'
(a) V f f r 3 m € T V w 6 f ( m ) wt»A, ,
(b) B e f e A V n i f e T g(in)kjtA. . r ; n r < - ; ; 7
Neka Je E Q G A t a k v a da j e , " . ^ mvi', - t c l i / ' :
( c ) V m 6T gQ(m)btA.
Heka J e A = ^gQ^; na osnovu 9.2 p o E t o j i f €: T t a k v a da j e
A = Z\ f . Dak l e ,
(d) V m e T f(in) = { gQ (m) } , '.U 8'
pa j e l a k o i z v e s t i k o n t r a d i k o i j u .
P re tpostav imo da j e D s A v a l j a n a u i da S Q A n i j e
H - v a l j a n a ; t a d a j e
(e ) V g e A 3 m f e T g(in)t=A.
( f ) 3f& r V m & T B w e f (m) wVstA. )-l,c.
Neka j e f € r P t a k v a da j e
(g) VmeiBwefgdn) W)/A. J - * 6
Na osnovu aksiome i z b o r a ,
(h) . H g e A V m e T 3!wefQ(in) (g(m) = wAwt?fA) .
Sada j e l a k o i z v e s t i k o n t r a d i k c i j u .
Zavr§i<5emo ova r a z m a t r a n j a dokazu jud i dve z a n i m l j i v e
t eo reme .
Teorema 1 1 . 7 Za s v a k i o k v i r ako j e a O A P - v a -
I j a n a u onda j e O a A v a l j a n a u
Dokaz. P re tpos tav imo da j e a O A P - v a l j a n a \i M i ia.
O a A n i j e v a l j a n a u X ; t a d a j e
( a ) ( a ) V f & r V m e T 3 w e f ( m ) w t^A,
(b) V e 6A3ffl€:T g (m )^A . I .«:..? l i v e ; i r : o
Neka j e fc f t a k v a da j e ^•g ( 1 )
( c ) Vm ^ T 3 w e f Q (m ) w ^ A .
K o r i s t e i i aksiomu i z b o r a kao u prethodnom dokazu , i z v o d i -
ino k o n t r a d i k c i j u .
Teorema 1 1 . 8 V a l j a n o s t formule <C> aA u ne p o v l a S i
P - v a l j a n o s t formule a O A \x jU.
Dokaz. Lako j e n a d i k o n t r a p r i m e r z a sup ro t an i s k a z .
184
•, ) • ^ I" •.: t *
I'
. • j i . t
U N U T A R N J A I S P O L J N A S L O B O D A
N E B O J S A POPOV
Serbija, Bosna i Hercegovina izbavice se vremenom od Turaka i osloboditi: ali ako narod u ovim zemljama ne pocne ot-resati od sebe sujeverije i ne iskoreni onu drevnju i bogomrsku vrazdu i mrzost na zakon, oni cedu sami sebi b i t i Turci i m u -Citelji.
Dositej Obradovic
O Jugoslaviji se cesto govori kao o necemu izmedu: Istoka i Zapada, Severa i Juga, Azije i Evrope; Atlantskog i Varsavskog pakta; tradicionalizma i modernizma, patri-jarhalnog i gradanskog drustva, kapitalizma i socijalizma. To podjednako vazi za obe Jugoslavije, s t im sto se ova druga, pod uticajem vladajuce ideologije, posmatra u sklopu ,,prelaznog perioda", tako da se time dodatno po-jacava ovo „izmedu". Izvesnu smutnju unose i oni ideo-lozi koji svoju naciju posmatraju izvan celine Jugoslavije, smestaju je u priv acniji kontekst, a preostale naci-je ostavljaju u onome manje privlacnom. Kada se tome doda njen geopoliticki polozaj (kao konstanta), kako se to obicno kaze „na vetrometini", onda je slika jos mut-nija, pogotovo kada se, sto je bio slucaj s prvom Jugos-lavijom, veci broj susednih drzava javija s „revizionisti-ckim zahtevima" prema njenim granicama. Uz sve to, „ve-like sile" pokazuju interesovanje za njen opstanak tek to-liko da suparnicku stranu drze na nesto vecem odsto-janju.
m I
