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Resistência dos Materias
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UNIDADE 1(B):
TENSÃO(CAP. 1 DO HIBBELER)
Professor: Elias Pereira da Silva
Disciplina: Resistência dos Materiais
Curso: Engenharias
TENSÃO
Vimos que a força e o momento que
atuam em determinado ponto na área da
seção de um corpo (conf. figura ao lado)
representam os efeitos resultantes da
distribuição da força que atua na área
seccionada. Determinar a distribuição das
cargas internas é de primordial importância
na resistência dos materiais. Para resolver
esse problema é necessário estabelecer o
conceito de tensão.2
TENSÃOConsidere que a seção seja
subdividida em áreas pequenas, tal
como ΔA mostrada em sombreado
escuro na figura (a). Quando se reduz
ΔA a tamanhos cada vez menores,
devem-se supor duas hipóteses em
relação às propriedades do material.
Devemos considerar que o material é
contínuo, isto é, possui continuidade
ou distribuição uniforme de matéria,
sem vazios, em vez de ser composto
por número finito de átomos ou
moléculas distintos. Além disso, o
material deve ser coeso, o que
significa que todas as suas partes
estão muito bem unidas, em vez de ter
trincas, separações ou outras falhas. 3
TENSÃOUma força típica finita ΔF, mas muito
pequena, atuando sobre sua área
associada ΔA é mostrada na figura (a).
Essa força, como todas as demais, tem
direção única, mas para as discussões
que se seguem a substituiremos por seu
três componentes, a saber, ΔFX, ΔFY e
ΔFZ, assumidos como tangentes VX e VY
e normal N à área, respectivamente.
Da mesma forma que a área ΔA tende
a zero, a força ΔF e seus componentes
também tendem a zero. Entretanto, a
relação (divisão) entre a força e a área,
em geral, tende para um limite finito.
(Vx) (Vy)
(N)
Essa relação é chamada tensão e, como observado, descreve a intensidade
da força interna sobre um plano específico (área) que passa por determinado
ponto. 4
TENSÃOTensão Normal: a intensidade da força,
ou força por unidade de área, que atua
no sentido perpendicular a ΔA é
definida como tensão normal, σ
(sigma). Visto que ΔFZ é normal à área,
então:
(Vx) (Vy)
(N)
Se a força normal ou tensão “empurra”
o elemento de área ΔA como mostrado
na figura (a), é denominada tensão de
tração, ao passo que se “puxa” ΔA é
chamada tensão de compressão.
5
TENSÃOTensão de cisalhamento: a
intensidade da força, ou força por
unidade de área, que atua tangente a
ΔA é chamada tensão de
cisalhamento, (tau). Os componentes
da tensão de cisalhamento são:
(Vx) (Vy)
(N)
Observe que o índice z em σz é usado
para indicar a direção que se afasta da
reta normal.
São usados dois índices para os componentes zx e zy. O eixo de z
especifica a orientação da área, enquanto x e y referem-se às retas de
direção das tensões de cisalhamento. 6
ESTADO GERAL DE TENSÃOSe o corpo for também seccionado por planos paralelos ao plano x-z (figura
b) e ao plano y-z (figura c), podemos então “cortar” um elemento cúbico do
volume do material. Esse elemento cúbico representa o estado geral de
tensão que atua em torno do ponto escolhido do corpo (figura d).
(d)
7
ESTADO GERAL DE TENSÃOEsse estado geral de tensão é então
caracterizado pelos três componentes que
atuam em cada face do elemento. Esses
componentes da tensão descrevem o
estado geral de tensão no ponto apenas
para o elemento orientado ao longo dos
eixos x, y, z. Caso o corpo tivesse sido
seccionado em um cubo com outra
orientação, então o estado geral de tensão
seria definido por meio de um conjunto
diferente de componentes da tensão.(d)
8
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Frequentemente os elementos estruturais ou mecânicos são compridos e
finos. Além disso, são submetidos a cargas axiais geralmente aplicadas nas
extremidades. Elementos de treliça, pendurais e parafusos são exemplos
típicos. Nesta seção vamos determinar a distribuição média de tensão que
atua na seção transversal de uma barra com carga axial, tal como a barra
mostrada na figura (a).
(a) (b)
Esta seção define a área da seção
transversal da barra e, caso todas as seções
transversais sejam iguais, a barra será
denominada prismática. Se desprezarmos o
peso da barra e a seccionarmos como
indicado, então, para o equilíbrio do
segmento inferior (figura b), a resultante da
força interna que atua na seção transversal
deverá ser igual em intensidade, oposta em
direção e colinear à força externa que atua
na extremidade inferior da barra.9
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Antes de determinarmos a distribuição média de tensão que atua na área
da seção transversal da barra, é necessário estabelecer duas hipóteses
simplificadoras referentes à descrição do material e à aplicação específica
da carga.
Hipóteses
1ª HipóteseÉ necessário que a barra pemaneça reta tanto antes
como depois de a carga ser aplicada.
Se essas duas hipóteses ocorrem, então as linhas horizontais e verticais
da grade inscrita na barra deformam-se uniformemente quando a barra
está submetida à carga (figura c).
2ª HipóteseA seção transversal deve permanecer plana durante a
deformação, isto é, durante o tempo em que a barra
muda seu volume e sua forma.
10
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Não consideraremos as regiões da barra próximas às suas
extremidades, onde a aplicação de forças externas pode
provocar distorções localizadas. Em vez disso, focalizaremos
apenas a distribuição de tensão no interior da seção média da
barra.
A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é
necessário que P seja aplicada ao longo do eixo centróide da
seção transversal e o material seja homogêneo e isotrópico.
Um material homogêneo possui as mesmas propriedades físicas e
mecânicas em todo o seu volume, e um material isotrópico possui essas
mesmas em todas as direções. Muitos materiais da engenharia podem ser
aproximados como sendo homogêneos e isotrópicos. O aço, por exemplo,
contém milhares de cristais orientados aleatoriamente em cada mm³ de seu
volume, mas, como a maioria dos problemas que envolvem esse material tem
um tamanho físico muito maior do que um simples cristal, a hipótese referente
à composição de seu material é bastante realista.
(c)
11
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Ressalte-se, porém, que o aço pode tornar-se anisotrópico
por laminação a frio, isto é, se for laminado ou forjado em
temperaturas subcríticas. Os materiais anisotrópicos
possuem propriedades diferentes em direções diferentes,
mas, apesar disso, se a anisotropia for orientada ao longo do
eixo da barra, então a barra também se deformará
uniformemente quando submetida a uma carga axial. Por
exemplo, a madeira de construção, devido aos seus grãos ou
fibras, é um material de engenharia homogêneo e
anisotrópico e, portantato, é adequado para a análise
seguinte.
(c)
12
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Visto que a barra está submetida a uma deformação
uniforme constante, como observado, então a
deformação é o resultado de uma tensão normal
constante σ (figura d). O resultado é que cada área A
da seção transversal está sujeita a uma força F = σA,
e o somatório das forças que atuam sobre toda a área da
seção transversal deve ser equivalente à força interna
resultante P na seção. Se A dA e, portanto F dF,
então, admitindo que σ seja constante, temos:
Distribuição da Tensão Normal Média
(d)
σ =P
A (1.6)13
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
A carga interna P deve passar pelo centróide da seção
transversal, visto que a distribuição da tensão uniforme
produzirá momentos nulos em torno de quaisquer eixos x e
y que passem por esse ponto (figura d). Quando essa
condição ocorre,
(d)
14
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
É evidente que existe apenas uma tensão normal em qualquer
elemento de volume do material localizado em cada ponto da
seção transversal de uma barra com carga axial. Se
considerarmos o equilíbrio na vertical do elemento (figura ao
lado), aplicando então a equação de equilíbrio de força,
teremos:
Equilíbrio
Em outras palavras, os dois componentes da tensão normal no elemento
devem ter intensidade igual, mas direções opostas. Essa condição é
denominada tensão uniaxial.15
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
A análise anterior aplica-se a elementos
submetidos tanto a tração como a compressão,
como mostrado na figura ao lado.
Interpretação gráfica: a intensidade da força
interna resultante P é equivalente ao volume sob
o diagrama de tensão; ou seja, P = σA (volume =
altura x base). Além disso, como consequência do
equilíbrio dos momentos, a resultante passa
pelo centróide do volume considerado.
Apesar de termos desenvolvido a análise para barras prismáticas, a
hipótese pode ser relaxada, de certa forma, para incluir barras levemente
cônicas. Por exemplo, pode-se demonstrar, usando a análise mais exata
da teoria da elasticidade, que em uma barra cônica de seção transversal
retangular, com ângulo de 15° entre dois lados adjacentes, a tensão
normal média calculada por σ = P/A é apenas 2,2% menor que o valor
calculado pela teoria da elasticidade.16
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Em nossa análise, tanto a força interna P como a área da seção
transversal A eram constantes ao longo do eixo longitudinal da
barra e, como resultado, a tensão normal σ = P/A também era
constante ao longo do comprimento da barra. Entretanto,
ocasionalmente, a barra pode ser submetida a várias cargas
externas ao longo de seu eixo, ou pode ocorrer uma mudança
na área de sua seção transversal. Como resultado, a tensão
normal no interior da barra pode ser diferente de uma seção
para a outra e, se a tensão normal média máxima tiver de ser
determinada, torna-se importante determinar o local onde a
relação P/A chega ao máximo. Para tal é necessário determinar
a força interna P em várias seções ao longo da barra. Portanto,
é conveniente mostrar essa variação por meio do diagrama de
força axial ou normal. O diagrama é um gráfico da força
Tensão Normal Média Máxima
normal P contra sua posição x ao longo do comprimento da barra. Segundo a
convenção de sinais, P é positivo se provoca tração no elemento e negativo se
provoca compressão. Como a carga interna é conhecida ao longo de toda a barra, a
relação máxima P/A pode então ser identificada. 17
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Pontos Importantes
18
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL
Procedimento de Análise
19
PARA EXERCITAR
Exemplo 1:
A barra da figura (a) tem largura constante de 35 mm e espessura de 10
mm. Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida
ao carregamento mostrado.
20
PARA EXERCITAR
Resolução do
Exemplo 1:
21
PARA EXERCITAR
Exemplo 2:
A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a
figura (a). Se AB tem diâmetro de 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm,
determinar a tensão normal média em cada haste.
22
PARA EXERCITAR
Resolução do
Exemplo 2:
23
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 2:
24
0,004
PARA EXERCITAR
Exemplo 3:
O bloco fundido mostrado na figura (a) é feito
de aço com peso específico de aço = 490
lb/pé³. Determinar o esforço de compressão
médio que atua nos pontos A e B.
25
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 3:
26
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 3:
27
PARA EXERCITAR
Exemplo 4:
O elemento AC mostrado na figura (a) está submetido a uma força vertical
de 3 kN. Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o
esforço de compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no
tirante AB. A haste tem uma área de seção transversal de 400 mm², e a área
de contato em C é de 650 mm².
28
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 4:
29
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 4:
30
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIAA tensão de cisalhamento foi definida na Seção 1.3 (Slide 6) como o
componente da tensão que atua no plano da área seccionada. A fim de
mostrar como essa tensão desenvolve-se, consideraremos o efeito da
aplicação de uma força F à barra da figura (a). Se seus apoios forem
considerados rígidos e F for suficientemente grande, ela provocará
deformação e falha da barra ao longo dos planos identificados como AB e
CD. O diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra
(figura b) indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada em
cada seção para manter o segmento em equilíbrio.
31
(c)
méd
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIAA tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área seccionada
que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por:
32
méd = V
A
A distribuição da tensão de cisalhamento média é
mostrada atuando sobre as seções na figura (c). Observe
que méd tem a mesma direção que V, visto que a tensão
de cisalhamento deve criar forças associadas, todas elas
contribuindo para a força resultante interna V da seção.
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIAO caso do carregamento discutido na figura anterior é um exemplo de
cisalhamento simples ou direto, uma vez que o cisalhamento é
provocado pela ação direta da carga aplicada F. Esse tipo de cisalhamento
ocorre frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam
parafusos, pinos, material de solda etc. Em todos esses casos, no entanto,
a aplicação da equação 1.7 é apenas aproximada. Uma investigação mais
precisa da distribuição cisalhamento-tensão sobre a seção crítica revela,
em geral, que ocorrem tensões de cisalhamento muito maiores no material
do que as previstas pela equação.
Apesar disso, a aplicação da equação 1.7 é aceitável para muitos
problemas de projeto e análise da engenharia. As normas de engenharia
permitem seu uso, por exemplo, quando se quer calcular as dimensões de
elementos de fixação, tais como parafusos, ou para se obter a resistência
de fixação de juntas sujeitas a cargas de cisalhamento. A propósito, na
prática ocorrem dois tipos de cisalhamento, os quais merecem tratamento
distinto. 33
A juntas de aço e madeira mostradas, respectivamente, nas figuras (a) e (c)
são exemplos de acoplamentos de cisalhamento simples e geralmente
se denominam juntas sobrepostas.
Cisalhamento Simples
Vamos supor que os elementos sejam finos e que a porca da figura (a) não
esteja muito apertada, de modo que o atrito entre os elementos possa ser
desprezado. Fazendo um corte entre os elementos, obtêm-se os
diagramas de corpo livre mostrados nas figuras (b) e (d). Como os
elementos são finos, podemos desprezar o momento criado pela força F.34
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
Então, no equilíbrio, a área da seção transversal do parafuso da figura (b)
e a superfície de fixação entre os elementos da figura (d) estão
submetidas apenas a uma força de cisalhamento simples V = F. Essa
força é usada na equação 1.7 para determinar a tensão de cisalhamento
média que atua na seção cinza-claro da figura (d).
35
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
Quando a junta é construída como mostrado na figura (a) ou (c), devem ser
consideradas duas superfícies de cisalhamento. Esses tipos de acoplamentos
são geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição.
Cisalhamento Duplo
Se fizermos um corte entre cada um dos elementos, os
diagramas de corpo livre do elemento central serão como os
mostrados nas figuras (b) e (d). Nesse caso, temos uma
condição de cisalhamento duplo. Por consequência, V =
F/2 atua em casa área seccionada e o cisalhamento deve
ser considerado quando se aplica méd = V/A.36
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
O equilíbrio de força e momento (F = 0
e M = 0) requer que a tensão de
cisalhamento que atua na face superior
do elemento seja acompanhada por
uma tensão de cisalhamento que atue
nas outras três faces (figura b).
Equilíbrio
Nesse caso, as quatro tensões de cisalhamento devem ter intensidades iguais e
ser direcionadas no mesmo sentido ou em sentido contrário uma da outra nas
bordas opostas do elemento. Essa condição é chamada de propriedade
complementar do cisalhamento e, nas condições mostradas na figura acima, o
material está submetido a cisalhamento puro. Apesar de considerar aqui um caso
de cisalhamento simples provocado pela ação direta de uma carga, mostraremos
em capítulos posteriores que a tensão de cisalhamento também pode surgir
indiretamente devido à ação de outros tipos de carga. 37
Elemento infinitesimal removido de um ponto localizado numa superfície de
uma área seccionada sobre a qual atue tensão de cisalhamentoτzy = τ’zy = τyz = τ’yz = τ
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
Pontos Importantes
38
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
Procedimento de Análise
39
do slide 37.
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA
PARA EXERCITAR
Exemplo 1:
A barra mostrada na figura (a) tem seção transversal quadrada para a qual a
profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma
força axial de 800 N ao longo do eixo do centróide da área da seção
transversal da barra, determinar a tensão normal média e a tensão de
cisalhamento média que atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e
(b) no plano da seção b-b.
40
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 1:
41
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 1:
42
PARA EXERCITAR
Exemplo 2:
A escora de madeira mostrada na figura (a) está suportada por uma haste
de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma
carga vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste na
parede e ao longo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais
está identificada como abcd.
43
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 2:
44
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 2:
45
PARA EXERCITAR
Exemplo 3:
O elemento inclinado da figura (a) está submetido a uma força de
compressão de 600 lb. Determinar a tensão de compressão média ao longo
das áreas de contato planas definidas por AB e BC e a tensão de
cisalhamento média ao longo do plano definido por EDB.
46
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 3:
47
PARA EXERCITAR
Resolução do Exemplo 3:
48