Tension Superficial

30.- Tensión superficial.

§30.1. Contacto entre varias fases (916); §30.2. Fuerzas intermoleculares. Cohesión (916);§30.3. Tensión superficial (918); §30.4. Tensión superficial y energía superficial (921);§30.5. Presión debida a la curvatura de la superficie interfasial (923); §30.6. Gotas esféricas(924); §30.7. Formación de gotas. Estalagmómetro (927); §30.8. Películas liquidas. Pompas(929); §30.9. Contacto entre dos líquidos (930); §30.10. Contacto solido-liquido-vapor.Ángulo de contacto (931); §30.11. Forma de la superficie libre de un líquido (933);§30.12. Capilaridad. Ley de Jurin (934); Problemas (936)

Ya indicábamos al comienzo de este capítulo (§29.2) que un criterio diferencialde máxima importancia entre los líquidos y los gases es la existencia, en aquéllos,de una superficie libre. En esta lección nos interesaremos por una gran variedad defenómenos que están relacionados con la existencia de una superficie libre y que seexplican a partir de las propiedades contráctiles de ésta, asociadas a una ciertatensión, denominada tensión superficial, que nos permite asimilar su comportamiento(al menos, hasta cierto punto) con el de las membranas elásticas tensas. Ese estadode tensión de la superficie libre de un líquido tiende a reducir el área de ésta a unvalor mínimo compatible con los vínculos y con las fuerzas exteriores. Veamos ahoraalgunos ejemplos de tales fenómenos.

Las gotas de lluvia o las burbujas de aire en el interior de un líquido tienden atomar la forma que ofrece una superficie mínima, i.e., la forma esférica. Cuando unlíquido fluye lentamente por el extremo de un cuentagotas, no lo hace en forma dechorro continuo, sino como una sucesión de gotas. Una aguja de coser, depositadacuidadosamente sobre la superficie del agua, origina una pequeña depresión en ellay permanece sin hundirse, a pesar de que su densidad es notablemente superior quela del agua. Algo análogo ocurre con muchos insectos acuáticos, que pueden posarsesobre la superficie del agua y moverse sobre ella, ya que su peso está compensadopor la resistencia que ofrece ésta a deformarse. Los rizos en la superficie del aguatranquila, se propagan en ella, constituyendo un movimiento ondulatorio, gracias alas características "elásticas" de la superficie libre del agua. Cuando sumergimosparcialmente en agua un tubo de vidrio, limpio y de pequeño calibre, el aguadesciende por su interior; pero si lo sumergimos en mercurio, el líquido desciende.

Todos los fenómenos citados en el párrafo anterior, y otros muchos de naturalezaanáloga, constituyen los llamados fenómenos de superficie o interfasiales que soncaracterísticos de los líquidos. De ellos nos ocuparemos en esta lección.

Manuel R. Ortega Girón 915

916 Lec. 30.- Tensión superficial.

§30.1. Contacto entre varias fases.- Cada porción homogénea de un sistemaheterogéneo recibe el nombre de fase. Así, por ejemplo, en un sistema constituido poragua (líquida) en presencia de su vapor se encuentran presentes dos fases: la faselíquida (agua) y la fase gaseosa (vapor de agua).

La superficie de contacto o de separación entre dos fases de un sistemaheterogéneo, cada una de ellas físicamente homogénea, recibe el nombre de superficieinterfasial (i.e., entre fases). En esta Lección nos interesaremos por las siguientessuperficies interfasiales: líquido-gas, líquido-líquido, líquido-sólido y sólido-gas. Enlos fenómenos que estudiaremos no nos interesaremos por el contacto sólido-sólido.

Cuando se encuentran en presencia tres fases, como ocurre cuando se depositauna gota de mercurio sobre una lámina de vidrio, en el aire, existe una línea decontacto común a las tres fases. Así, en el ejemplo indicado, esta línea de contactoes el contorno común a las tres superficies interfasiales (vidrio-mercurio, vidrio-airey mercurio-aire).

Los fenómenos de contacto más simples se presentan en la superficie de contactoentre dos fases de una misma sustancia pura (v.g., hielo-agua-vapor de agua) o desustancias puras no miscibles entre sí (v.g., alcohol-mercurio). Pero no siempreresulta fácil experimentar en esas condiciones ideales. Así, aunque el caso más simplede lámina líquida sería el del agua pura en presencia de vapor de agua saturante, lamayor parte de los experimentos se realizan en el aire con láminas de agua jabonosa,lo que permite obtener láminas muy persistentes.

§30.2. Fuerzas intermoleculares. Cohesión.- Las moléculas de los líquidosno oscilan respecto de posiciones fijas, como ocurre en los sólidos, sino que gozande cierta libertad de movimiento. Sin embargo, las distancias intermoleculares en loslíquidos son suficientemente pequeñas como para que se ejerzan fuerzas atractivasde cohesión entre las moléculas. Como resultado de estas fuerzas de cohesión, ellíquido ocupa un volumen propio determinado, aunque su forma sea la del recipienteque lo contenga, a diferencia de lo que ocurre en los gases, en los que las fuerzas decohesión son prácticamente inexistentes, por ser muy grandes las distanciasintermoleculares, de modo que los gases tienden a ocupar todo el volumen del quedispongan. Por otra parte, la existencia de las fuerzas de cohesión en los líquidosdetermina la existencia en éstos de una superficie libre y de los fenómenos asociadosa ella.

Como ya vimos en §8.7, las fuerzas intermoleculares son de naturalezaelectromagnética, ya que representan el resultado de las interacciones electromagnéti-cas entre los electrones y núcleos de los átomos de una molécula con los de las otras.Estas fuerzas no han podido ser explicadas dentro del formalismo de la MecánicaClásica y sus detalles sólo pueden comprenderse en el marco de la MecánicaCuántica. Aunque sólo sea de un modo intuitivo, trataremos de justificar la existenciade dichas fuerzas intermoleculares. Aunque las moléculas sean eléctricamente neutrasa efectos netos, cuando dos moléculas se encuentran en presencia, separadas por unadistancia suficientemente pequeña, sus distribuciones de carga se alteran, lo que dalugar a la aparición de una fuerza neta, atractiva o repulsiva, entre ambas.

§30.2.- Fuerzas intermoleculares. Cohesión. 917

Cuando la distancia intermolecular es

Figura 30.1

grande, como es el caso de los gases, la fuerzaintermolecular es atractiva, aunque extremada-mente pequeña. Esta fuerza atractiva aumentacuando se comprime el gas y se aproximan susmoléculas. Puesto que se requieren presionesextraordinariamente elevadas para comprimir unlíquido, i.e., para obligar a sus moléculas aaproximarse entre sí más de lo que correspondea su espaciamiento normal en el líquido, sededuce que las fuerzas intermoleculares sonrepulsivas y relativamente grandes para distan-cias intermoleculares ligeramente inferiores a lasdimensiones moleculares. Así pues, la intensidad de las fuerzas intermoleculares debevariar con la distancia intermolecular de un modo análogo al que se representa en laFigura 30.1. La fuerza repulsiva intermolecular es la que impide que una moléculapueda atravesar a otra; i.e., es la responsable de la impenetrabilidad de la materia.Con todo, las fuerzas atractivas intermoleculares son de corto alcance, como máximode algunos radios moleculares, de modo que el efecto de las fuerzas de cohesión sóloes perceptible a una distancia r, que llamaremos radio de acción molecular, que esdel orden de 10 (v.g., en el agua, r≈40 ).

Consideremos ahora una

Figura 30.2

molécula, tal como la O1 en laFigura 30.2, situada en el interiorde un líquido, suficientementealejada de la superficie libredel mismo como para que suesfera de acción molecular seencuentre completamente en elinterior del líquido. Todas lasmoléculas contenidas en la esfera de atracción de la molécula O1 ejercerán fuerzasde atracción sobre ésta; pero, como consecuencia de la homogeneidad isotrópica dellíquido, la distribución de fuerzas sobre la molécula O1 también será isotrópica y suresultante será nula. Sin embargo, como consecuencia de las fuerzas de atracciónintermoleculares, se ejercerá una presión a través de la esfera de acción molecular;cada capa esférica, al ser atraída por la molécula O1, comprimirá a las moléculascontenidas en las capas más interiores, lo que da lugar a la existencia de una ciertapresión interna en el punto O1 (no debemos confundir esta presión interna con lapresión hidrostática).

Si ahora consideramos una molécula, tal como la O3, situada muy cerca de lasuperficie libre del líquido (de hecho, mucho más cerca que el radio de acciónmolecular), la situación será diferente a la descrita en el párrafo anterior. En estascondiciones, habrá más moléculas atrayendo hacia el interior del líquido a lamolécula O3 que las que la atraen hacia fuera del mismo. Una situación límite se nospresentará para aquellas moléculas, como la O4, situadas en la propia superficie libredel fluido. La distribución anisotrópica de fuerzas de atracción intermoleculares sobreestas moléculas próximas a la superficie libre da como resultado la existencia de una


fuerza neta sobre las mismas, dirigida hacia el interior del fluido y que será tanto másintensa cuanto más cercana a la superficie libre se encuentre la molécula en cuestión.También en estos casos habrá una cierta presión interna, cuyo valor va disminuyendoconforme nos aproximamos a la superficie libre del líquido. En consecuencia, existeuna pequeña capa de líquido, subyacente a la superficie libre, en la que reinan unascondiciones diferentes a las que rigen en el resto de la masa líquida (por ejemplo,correspondiendo a una presión diferente, la densidad también será diferente).

De lo dicho anteriormente se deduce fácilmente que si queremos llevar unamolécula desde el interior del líquido hasta la superficie libre del mismo seránecesario realizar un trabajo contra la fuerza resultante que actúa sobre ella cuandose aproxima a dicha superficie libre. Por consiguiente, las moléculas situadas en lasuperficie libre del líquido poseen mayor energía potencial que las situadas en elinterior del mismo. La energía potencial de todas las moléculas que constituyen lasuperficie libre de un líquido, debida a las fuerzas atractivas que sobre ellas ejercenlas moléculas subyacentes, recibe el nombre de energía superficial.

De acuerdo con las leyes de la Mecánica, la energía potencial tiende a alcanzarun valor mínimo, que corresponde a la situación de equilibrio; i.e., cualquier cambioque tenga lugar espontáneamente implica una disminución de esta energía. Por tanto,la energía superficial tiende a tomar un valor tan bajo como sea posible, de modo quela superficie libre del líquido tiende a presentar la menor extensión posible, y estadisminución ocurrirá efectivamente, salvo que a ella se opongan otras fuerzas. Estadisminución tendrá lugar, no como consecuencia de la contracción de la masa líquida,sino por el paso de las moléculas superficiales hacia el interior del líquido. Elresultado de esta tendencia es la aparición de una fuerza o tensión tangencial en lasuperficie libre del líquido que intenta contraerla.

§30.3. Tensión superficial.- Por lo dicho en el epígrafe anterior, cabe imaginar

Figura 30.3

la superficie libre de un líquido en un estado de tensión tal que, si se consideracualquier línea situada en ella o delimitándola, la sustancia que está situada a un ladode dicha línea ejerce una atracción sobre la situada al otro lado; esta tensión estangencial a la superficie y actúa perpendicularmente a la línea que hemos indicado.

Podemos comprobar fácilmente que la tensión superficial se manifiesta en formade una fuerza de tipo mecánico con el simpledispositivo que se ilustra en la Figura 30.3, en elque un bucle de hilo está sujeto a un anillo dealambre. Cuando el dispositivo se sumerge enagua jabonosa, al sacarlo de ella se forma unadelgada película líquida en la que flota libre-mente el bucle, adoptando una forma irregular(Figura 30.3a). Al pinchar el interior del bucle dehilo, éste adopta la forma circular (Figura 30.3b),como si la película líquida restante tirase radial-mente de él, hacia fuera. Obviamente, antes de

pinchar el interior del bucle actuaban las mismas fuerzas; pero como había películalíquida tanto en el exterior como en el interior del bucle, la fuerza neta ejercida sobrecada porción del hilo era nula. Obsérvese que la forma circular adoptada por el hilominimiza el área de la película líquida restante.


Otro dispositivo muy adecuado para poner de manifiesto los fenómenosinterfasiales y para comenzar un estudio cuantitativo de los mismos es el que sepresenta en la Figura 30.4, consistente en un bastidor de alambre doblado en forma deU sobre el que puede deslizar sin rozamiento apreciable una corredera ligera.Sumergiendo el conjunto en agua jabonosa, conseguiremos formar una películalíquida enmarcada en el bastidor, cuya extensión podremos variar desplazando lacorredera en uno u otro sentido. Observaremos que la corredera tiende a desplazarsehacia la parte cerrada de la U; i.e., la película tiende a contraerse.

Para mantener en reposo la corredera del

Figura 30.4

dispositivo anteriormente descrito, seránecesario ejercer sobre ella una determinadafuerza F, como se ilustra en la Figura 30.4.Aunque pueda parecernos extraño, la mismafuerza F mantendrá la corredera en reposoindependientemente del área de la películalíquida, siempre que ésta permanezca atemperatura constante. Este comportamientode la película líquida difiere notablemente del de una membrana elástica (v.g., decaucho) que requerirá más fuerza al aumentar su extensión.

Aunque una película jabonosa es muy delgada, su espesor es enorme encomparación con las dimensiones moleculares, de modo que podemos considerarlaconstituida fundamentalmente por un cierto volumen de líquido limitado por doscapas superficiales o superficies interfasiales. Cuando aumentamos el área de lapelícula, tirando de la corredera, algunas moléculas situadas en el seno de la masalíquida se desplazan hacia las capas superficiales. Así, resulta fácil comprender queestas capas no están tensadas en la misma forma en que lo está una membranaelástica (por un distanciamiento entre sus moléculas), sino que el aumento de su árease debe a la emigración hacia la superficie de las moléculas contenidas en el interiordel líquido.

Sea l la separación entre las dos ramas de la U. Puesto que la película líquidatiene dos superficies interfasiales, la longitud total a lo largo de la cual actúan lasfuerzas superficiales es 2l. La tensión superficial, que representaremos por σ, sedefine como

la fuerza por unidad de longitud ejercida perpendicularmente a una líneacualquiera de la superficie.

Por tanto, en el caso que estamos considerando, será

[30.1]σ F2l

En el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), la tensión superficial se expresaen newtons por metro (N/m); en el sistema de unidades c.g.s., se expresa en dinas porcentímetro (dyn/cm). La equivalencia entre ambas unidades es

[30.2]1 Nm

1000 dyncm


Tabla 30.1

Tensión superficial de algunos líquidos puros en contacto con el aire o con supropio vapor*.

líquido t (°C) ρ (g/cm3) σ (dyn/cm)

aceite de oliva 20. 0.918 32.0

acetona 20. 0.7889 3.70

ácido clorhídrico (38%) 20. 65.75

ácido nítrico (99%) 11.9 1.503 42.7

ácido sulfúrico (99%) 20. 1.841 55.1

agua 0.20.60.

100.

0.99900.99820.98320.9584

75.672.7566.1858.9

alcohol etílico* 20. 0.791 22.75

benceno 20. 0.899 28.85

cobre 1130. 7.92 1100.

disolución jabonosa 20. 1.000 25.0

éter etílico* 20. 17.01

glicerina 20. 1.260 63.4

helio* -269. 0.12

hidrógeno* -255. 2.31

mercurio 20.70.

13.546 465.423.

neón -248. 5.50

oro 1070. 17.24 1000.

oxígeno* -183. 13.2

plata 970. 9.32 800.

tetracloruro de carbono 20. 1.5867 26.95

tolueno 20. 0.8669 28.50

yoduro de metileno 20. 3.3254 50.76


El valor de la tensión superficial de una sustancia líquida pura en contacto consu propio vapor depende de la naturaleza de la sustancia. Si el gas circundante esinerte e insoluble en el líquido y no son intensos los fenómenos de absorción, latensión superficial depende poco de la naturaleza del gas y su valor respecto al vacío(mejor dicho, respecto al vapor saturante del líquido) se puede confundir con el valorde σ con relación al gas.

El valor de la tensión superficial depende extraordinariamente de la contamina-ción de la superficie interfasial mediante cantidades mínimas de cualquier impureza.

La experiencia demuestra que la tensión superficial de los líquidos disminuye alaumentar la temperatura y que dicha disminución es, generalmente, función lineal dela temperatura, anulándose al alcanzarse la temperatura crítica, en la que el líquidoy su vapor son indistinguibles.

§30.4. Tensión superficial y energía superficial.- Es muy útil y convenienteabordar de nuevo el experimento descrito en el epígrafe anterior, ahora desde elpunto de vista energético.

Supongamos que desplazamos hacia la derecha la corredera del dispositivorepresentado en la Figura 30.4, aplicando a ella una fuerza F que compense exactamen-te a la fuerza de tensión superficial, de modo que en todo instante la corredera seencuentre en equilibrio (i.e., que no adquiera energía cinética). El módulo de lafuerza F permanecerá constante siempre que la película se mantenga a unatemperatura constante durante el desplazamiento de la corredera. Si es Δx eldesplazamiento que experimenta la corredera, el trabajo realizado por la fuerzaaplicada será FΔx y el área superficial total de la película se habrá incrementado enΔS=2lΔx. Por tanto, el trabajo realizado sobre la película por unidad de aumento desu área superficial será

[30.3]WΔS

FΔx2l Δx

F2l

Ahora bien, en virtud de [30.1], ésta es la expresión de la tensión superficial σpreviamente definida, de modo que podemos considerar σ bien sea como la fuerzapor unidad de longitud ejercida perpendicularmente a una línea cualquiera contenidaen la superficie del líquido, o como

el trabajo que hay que realizar para aumentar en una unidad el área de lasuperficie libre de un líquido.

En virtud de esta segunda definición, podemos escribir

[30.4]σ WΔS

de modo que la tensión superficial podrá expresarse en julios por metro cuadrado(J/m2) (S.I.) o en ergios por centímetro cuadrado (erg/cm2) (c.g.s.).

Sin embargo, debemos tener en cuenta que el trabajo realizado sobre una lámina líquida paraaumentar isotérmicamente su área superficial no es igual al incremento de la energía superficial de


la misma. Una teoría termodinámica

Figura 30.5

desarrollada por GIBBS1 y por HELM-HOLTZ2 explica que parte de la energíanecesaria para la formación de unanueva superficie líquida proviene de laagitación térmica molecular. Por tanto,será necesario suministrar calor al líqui-do para mantener constante su tempera-tura durante el proceso de expansión desu superficie libre; si no se le suminis-trase calor, el aumento de su superficielibre iría acompañado de un descenso detemperatura. Este fenómeno es análogoal del descenso de temperatura que

acompaña a la evaporación de un líquido. En consecuencia, el aumento de energía superficial dela lámina por unidad de incremento de su área superficial (u) será igual a la suma del trabajorealizado (σ) y del calor suministrado (que viene dado por -T(dσ/dT), de acuerdo con la teoríatermodinámica), de modo que

[30.5]u σ T dσdT

Puesto que la tensión superficial disminuye al aumentar la temperatura, dσ/dT es negativa yla energía superficial por unidad de área (u) es mayor que la tensión superficial. En la Figura 30.5 semuestra gráficamente la variación de la energía superficial por unidad de área y de la tensión super-ficial con la temperatura para el caso del agua pura; la temperatura a la que ambas se anulan es latemperatura crítica del agua (374 °C).

De acuerdo con lo anteriormente expuesto, la tensión superficial (σ) resulta ser igual a laenergía libre superficial3 por unidad de área, que es siempre inferior a la energía (total) superficialpor unidad de área (u).

Puesto que, de acuerdo con las leyes de la Mecánica, el estado de equilibrio deun sistema está caracterizado porque en él la energía es mínima, la superficie librede los líquidos tenderá a contraerse cuanto sea posible, compatiblemente con losvínculos y las fuerzas externas actuantes, a fin de minimizar la energía superficial.Esta es la interpretación energética de las propiedades contráctiles de las láminassuperficiales de los líquidos.

1 Josiah Willard GIBBS (1839-1903); físico estadounidense. Se dedicó principalmente a laTermodinámica y a la Mecánica Estadística. Fue el primero que introdujo el empleo general de lasfunciones termodinámicas características.

2 Hermann Ludwig Ferdinand von HELMHOLTZ (1821-1894); médico e investigador alemán.Es uno de los científicos más destacados del siglo XIX. Dio las bases correctas de la ley de laconservación de la energía. Realizó trabajos muy completos en el campo de la Acústica y de laÓptica. En su extensa teoría electrice completó y concluyó la teoría del electromagnetismo antiguay la de Maxwell.

3 La energía libre es una de las funciones característica de la Termodinámica. En los procesosisotérmicos reversibles, el trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema viene dado por ladisminución de la energía libre.

§30.5.- Presión debida a la curvatura de la superficie interfasial. 923

§30.5. Presión debida a la curvatura de la superficie interfasial.- Latendencia a la contracción que es característica de las superficies líquidas curvadasdetermina que la presión en el lado cóncavo de la superficie sea mayor que en el ladoconvexo. Así, por ejemplo, si consideramos una gota líquida de forma esférica, latensión superficial se traduce en una fuerza por unidad de superficie que actúaperpendicularmente a la superficie libre y que mantiene a la gota apretada. Estafuerza por unidad de superficie recibe el nombre de presión capilar.

Consideremos una superficie curvada Σ,

Figura 30.6

como se ilustra en la Figura 30.6, y tracemos unaesfera de radio dr y con su centro en el punto Ode dicha superficie. La intersección de estaesfera con la superficie Σ definirá una línea Γque será una circunferencia de centro en O yradio dr (si Σ es regular y se desprecian infini-tésimos de orden superior). El área delimitadapor esa circunferencia será dS=π(dr)2.

Dos diámetros vecinos, que formen entre síun ángulo dφ, determinan sobre la circunferen-cia dos arcos iguales, ds1=ds1′=dφdr, sobre losque la tensión superficial aplica respectivamentelas fuerzas σds1 y σds1′, de igual módulo ysentidos opuestos, que actúan tangencialmentea la superficie Σ y normalmente a los arcoscorrespondientes. Como consecuencia de lacurvatura de la superficie Σ, estas dos fuerzas tienen una resultante infinitesimaldF1 dirigida hacia el centro de curvatura de la superficie Σ en el punto O, como semuestra en la Figura 30.6, cuyo módulo es

[30.6]dF1 2σ ds1 cosβ 2σ ds1 senγ 2σ dφ dr drr1

2σ dφ (dr)2 1r1

Otro par de diámetros vecinos, perpendiculares a los anteriores, determinaránsobre la circunferencia elemental Γ otro par de arcos opuestos ds2=ds2′, a los que latensión superficial aplicará las fuerzas σds2 y σds2′, en condiciones similares a lasdescritas anteriormente, de modo que darán una resultante dF2 dirigida hacia el centrode curvatura C2, cuyo módulo será

[30.7]dF2 2σ dφ (dr)2 1r2

Puesto que las fuerzas elementales dF1 y dF2 actúan en la misma dirección (i.e.,perpendicularmente a la superficie Σ), las tensiones superficiales sobre los cuatroarcos considerados contribuyen a la acción normal en la cantidad

[30.8]dF dF1 dF2 2σ dφ (dr)2⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1r1

1r2


Si ahora designamos por R1 y R2 los radios principales de curvatura de lasuperficie Σ en el punto O, y tenemos en cuenta que para cualquier par de seccionesnormales a la superficie Σ, perpendiculares entre sí y trazadas por el punto O, setiene (teorema de Gauss)

[30.9]1r1

1r2

1R1

1R2

curvatura media de Σ en O

podremos escribir

[30.10]dF 2σ dφ (dr)2⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1R1

1R2

Integrando la ecuación diferencial [30.9] respecto a dφ, desde 0 a π/2, i.e.,sumando las acciones normales dF producidas por todos los arcos elementales (ds1,ds2) que forman la circunferencia Γ, tendremos

[30.11]dF 2σ π2

(dr)2⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1R1

1R2

σ dS⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1R1

1R2

que es la medida de la acción normal producida por la tensión superficial que actúasobre el contorno de la circunferencia elemental de radio dr. El valor de esta fuerzapor unidad de superficie, i.e., dF/dS, es la presión capilar (Δp) que actúa sobre lasuperficie libre del líquido; esto es,

[30.12]Δp σ⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1R1

1R2

Esta es la fórmula de Laplace, que relaciona la diferencia de presiones entre amboslados de la superficie libre de un líquido con la tensión superficial y la curvaturamedia de dicha superficie. Sólo en el caso de que la superficie libre sea plana (i.e.,R1=R2=∞), la presión será la misma a ambos lados de dicha superficie; en los demáscasos, la presión en la cara cóncava será mayor que en la convexa.

Puesta que la superficie libre de un líquido es una superficie de separación entredos fases fluidas y en cada una de ellas la presión debe ser constante (de acuerdo conel Principio de Pascal), la diferencia de presiones Δp=p2-p1 entre estas dos regionestambién será constante. Como la tensión superficial también es constante (si semantiene constante la temperatura), se tendrá

[30.13]1R1

1R2

cte

en todos los puntos de la superficie libre. Esto es, en el estado de equilibrio, lasuperficie libre de un líquido es una superficie de curvatura media constante.

§30.6. Gotas esféricas.- Consideremos ahora una gota líquida de formaesférica. La presión p en el interior de la gota será mayor que la presión p0 ejercida

§30.6.- Gotas esféricas. 925

por el medio circundante (v.g., la atmósfera) sobre la superficie libre de la gota.Puesto que en este caso es R1=R2=R, siendo R el radio de la gota, la fórmula deLaplace se reduce a

[30.14]Δp p p0

2σR

Podemos llegar a este mismo resultado considerando el equilibrio de cada unode los dos hemisferios en que imaginaremos dividida la gota. Así, si aislamos elhemisferio de la izquierda (Figura 30.7), la fuerza que actúa sobre el perímetro de lasección del corte, debida a la tensión superficial, será 2πRσ y estará equilibrada porla fuerza neta producida por el exceso de presión Δp=p-p0, actuando sobre el área dedicha sección, i.e., (p-p0)πR2, de modo que

[30.15]2πRσ (p p0)πR 2 ⇒ p p0

2σR

Este resultado implica que si la tensión superficial

Figura 30.7

permanece constante (ello significa temperatura constan-te), el exceso de presión en el interior de la gota es tantomayor cuanto menor sea su radio. Por consiguiente, sidos gotitas de diferentes tamaños, de un mismo líquido,se ponen en contacto, la mayor engullirá a la menor.Este fenómeno, llamado coalescencia, se presentacuando en un mismo recinto isotermo se encuentranpresentes gotitas de diferentes tamaños de un mismolíquido. El fenómeno puede explicarse también desde elpunto de vista energético, ya que el sistema tenderá a adoptar como configuraciónde equilibrio estable aquélla que corresponda a un mínimo de energía superficial, i.e.,aquélla a la que corresponde un mínimo de extensión superficial para un mismovolumen total.

La tensión superficial es uno de los factores más importantes de entre los quedeterminan el tamaño de las gotitas líquidas que forman los humos y las nieblas(aerosoles). Cuando un líquido está en equilibrio con su vapor a través de unainterfase plana, la presión de la fase gaseosa recibe el nombre de presión de vapor.La presión de vapor de una sustancia dada aumenta con la temperatura; así, laspresiones de vapor del agua a 20 °C y a 100 °C son 17.535 y 760 Torr, respectiva-mente. El equilibrio al que nos referimos es un equilibrio dinámico; i.e., durante unintervalo de tiempo dado, el número de moléculas que pasan de la fase líquida a lagaseosa (a través de la superficie interfasial) es igual al de las que pasan de la fasegaseosa a la líquida. En el caso de una superficie interfasial curvada, el equilibriointerfasial se establece cuando la presión capilar, i.e., la diferencia de presionesΔp=p-p0, es igual a la presión de vapor. Esta condición determina el tamaño de lasgotas más pequeñas que pueden permanecer sin evaporarse en una atmósfera devapor saturante.


Ejemplo I.- Diámetro de las gotitas de vapor de agua.- Conocidas la presión de vapor y la tensiónsuperficial del agua a 20 °C (pv=17.54 mmHg y σ=72.75 dyn/cm), calcular el diámetro de las gotasde agua más pequeñas que pueden permanecer sin evaporarse en una atmósfera saturada de vaporde agua a 20 °C.

Puesto que la presión capilar (Δp=p-p0) debe ser igual a la presión de vapor, en las condicionesespecificadas en este ejemplo, utilizando la fórmula de Laplace, se sigue

R 2σp p0

2 × 72.75 × 10 3 N/m17.54 × 133.326 Pa

62.2 × 10 6 m

de modo que el diámetro mínimo de las gotas será

D 124.4 µm 0.124 mm

En las gotas muy pequeñas, la presión de vapor es algo mayor que el valornormal; por ejemplo, en las gotas de agua de 0.1 µm de diámetro, la presión de vaporestá incrementada en aproximadamente un 2%. Esto hace que las gotas pequeñas nosean estables en presencia de gotas mayores; éstas crecen a expensas de las primeras(coalescencia).

En la segunda columna de la Tabla 30.2 se dan las presiones capilares, calculadas

Tabla 30.2.- Propiedades de las gotas de agua muy pequeñas.

diámetro(m)

presión capilar(atm)

presión devapor relativa

(p’v/pv)

vida media (s)

20 ˚C -20 ˚C

10-8 298. 1.26 4.6 10-6 60. 10-6

10-7 29.8 1.024 0.46 10-3 6. 10-3

10-6 2.98 1.0024 0.07 1.1

a partir de la fórmula de Laplace, para gotitas de agua a 0 °C de tres tamañosdiferentes. En la tercera columna de dicha Tabla se indica la relación existente entrela presión de vapor de las gotas y la del agua a la misma temperatura (0 °C). En lasdos últimas columnas figuran la vida media de las gotitas (i.e., el tiempo que tardanpor término medio en desaparecer completamente en una atmósfera saturada de vaporde agua) a 20 °C y a -20 °C. Obsérvese que aunque la presión de vapor de una gotitade 10-6 m de diámetro sólo exceda en un 0.2% a la del agua, sólo tarda un segundoen evaporarse, incluso a una temperatura de -20 °C. Es precisamente este mecanismode evaporación-condensación el que rige el tamaño de las gotitas en las nubesnaturales y en las cortinas de humo utilizadas durante la II Guerra Mundial.

§30.6.- Gotas esféricas. 927

Las grandes presiones de vapor de las gotitas extremadamente pequeñas hacen

Figura 30.8

posible los fenómenos de sobresaturación y de sobreenfriamiento. Así, en laatmósfera pueden existir nubes de gotitas de agua líquida a temperaturas tan bajascomo -25 °C, sin que se forme nieve. Sin embargo, si en dichas nubes se introducennúcleos de hielo de tamaño superior al crítico (1 µm), las gotitas líquidas se evaporanrápidamente y se condensan de nuevo sobre dichos núcleos de hielo.

§30.7. Formación de gotas. Estalagmómetro.- En ausencia de vínculos y defuerzas exteriores, un volumen dado de líquido adoptará la forma esférica, ya queésta es la que exhibe una superficie libre mínima. Sin embargo, las condiciones antescitadas no son fácil que se den exactamente en la práctica, aunque pueden sersimuladas con notable aproximación. Así, por ejemplo, un pequeño volumen de aceitepesado de motor que haya sido inyectado en una mezcla de alcohol y agua, cuyadensidad sea la misma que la del aceite, adoptará la forma esférica.

En la Figura 30.8 se describe otro caso interesante; las sucesivas etapas de formación de una gotade leche en el extremo de un tubo vertical. La serie de fotografías, obtenidas a gran velocidad, fuetomada por EDGERTON en el Instituto Tecnológico de Massachuset. Se observará en esta serie de


fotogramas que el proceso, examinado con detalle, es extremadamente complejo. Una característicasobresaliente del mismo es la pequeña gota que sigue a la grande. Una vez desprendidas ambasgotas, efectúan oscilaciones (Figura 30.8def) hasta que adoptan la forma esférica (Figura 30.8g) yconservarían esa forma sino fuese por los efectos derivados de la resistencia del aire. La gotafotografiada en la Figura 30.8i ha caído desde una altura de 4.27 m.

Aunque el fenómeno descrito es demasiado complejo como

Figura 30.9

para que podamos encontrar una relación sencilla entre el peso dela gota, la tensión superficial del líquido y el radio del tubo, esposible deducir una relación aproximada entre estos parámetros sisuponemos que el tamaño máximo de la gota que puede quedarsostenida por el tubo es tal que el peso de la misma iguala a lasfuerzas de tensión superficial que actúan sobre la circunferencia delestrechamiento que se muestra en la Figura 30.9. Así pues, uninstante antes de que se desprenda la gota, se verificará

[30.16]mg 2πrσ

y como el radio r del estrechamiento es proporcional al radio R deltubo, i.e., r=kR, podemos escribir

[30.17]mg 2πkRσ

lo que constituye la LEY DE TATE:

El peso de la gota que cae es proporcional al radio del tubo y a la tensiónsuperficial del líquido.

Esta ecuación proporciona la base del MÉTODO DE QUINCKE

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4A.pdf 10/11/2006 20:41:29

Figura 30.10

para la medida de la tensión superficial. Para ello se utiliza unaparato, llamado estalagmómetro, que se ha representado en laFigura 30.10, que permite el flujo lento, en forma de n gotasprácticamente idénticas, de un volumen V de fluido comprendidoentre dos marcas en el aparato. El volumen de cada una de lasgotas serás V/n y, si la densidad del fluido es ρ, la ecuación [30.15]

nos conduce a

[30.18]ρg Vn

2πR k σ

de modo que

[30.19]σ Vg2πR k

ρn

K ρn

donde K es una constante cuyo valor depende del aparato y del lugar de laexperimentación, pero que es independiente de la naturaleza del líquido utilizado.Contando el número de gotas, n′, que se forman con el mismo volumen V de otrolíquido de tensión superficial σ′ y densidad ρ′, se tendrá

[30.20]σ′ K ρ′n

§30.7.- Formación de gotas. Estalagmómetro. 929

de modo que [30.21]σσ

ρnρ n

por lo que, si conocemos σ′ (normalmente se toma el agua como patrón), podremosdeterminar la tensión superficial σ de cualquier otro líquido.

§30.8. Películas liquidas. Pompas.- Un importante grupo de películas líquidasestá constituido por aquéllas en las que el líquido forma una lámina delgada bañadapor un gas (generalmente, aire) en ambas caras; este es el caso de las pompas que sepueden formar con agua jabonosa. En estas películas líquidas tenemos que considerardos superficies libres o interfasiales. Cuando el espesor de la película es considerable-mente mayor que el alcance de las fuerzas intermoleculares (i.e., el radio de acciónmolecular, ≈10-10 m), las dos superficies interfasiales son independientes una de otra.Por el contrario, si el espesor de la película es menor que el radio de acciónmolecular, entonces la tensión superficial en cada una de las superficies interfasialestendrá un valor inferior al normal.

Podemos conseguir fácilmente una película líquida de buena calidad extendiendouna pequeña cantidad de disolución jabonosa de modo que presente una gransuperficie al aire; la adición de glicerina permite preparar películas más permanentes.Utilizando un dispositivo apropiado (v.g., una pipa de arcilla) es posible inflarpompas de jabón de hasta 50 cm de diámetro. Sir James DEWAR (1842-1927) obtuvopompas de jabón muy persistentes inflándolas en una región confinada saturada devapor de agua, a fin de evitar la evaporación.

Puesto que en una pompa de jabón existen dos caras o superficies interfasiales,la externa y la interna, de radios aproximadamente iguales, las correspondientespresiones capilares se suman y el aire contenido en el interior de la pompa seencuentra a una presión que excede en

[30.22]Δp p p0

4σR

a la del aire exterior. A este mismo resultado podemos

Figura 30.11

llegar mediante un razonamiento análogo al utilizadoanteriormente (§30.6) para la gota esférica. Cualquierplano que divida a la pompa esférica en dos hemisfe-rios determina una sección de perímetro 2πR y, comola pompa posee dos superficies interfasiales, la fuerzaejercida por la tensión superficial para mantener unidosestos dos hemisferios será 2(2πR)σ. Esta fuerza estaráequilibrada con la debida a la diferencia de presionesΔp=p-p0 del aire en el interior y en el exterior de lapompa, que actúa sobre la sección transversal de áreaπR2, de modo que

[30.23](Δp)πR 2 4πRσ ⇒ Δp 4σR


Esta diferencia de presiones puede ponerse de manifiesto mediante el sencillodispositivo que se ilustra en la Figura 30.11, que incluso nos permite determinar elvalor de σ de la disolución jabonosa empleada para producir la pompa. Para ello,basta medir el radio R de la pompa y deducir el valor de Δp a partir del desnivel hque se observa en el tubo manométrico acoplado.

La ecuación [30.19] pone de manifiesto que

Figura 30.12

cuanto mayor es la pompa menor es la presióninterior en la misma. Este hecho puede demostrarsefácilmente soplando dos pompas de jabón en losextremos del tubo de la Figura 30.12. Cuando secierra la llave A y se abren las llaves B y C, el airepasará desde la pompa más pequeña (en la que estámás comprimido) hacia la mayor, de modo que lapompa más pequeña se hará aún menor y la más

grande crecerá. Poniendo en comunicación dos pompas del mismo tamaño, se obtieneun equilibrio inestable.

Obsérvese que, cuando se inyecta aire en una pompa de jabón, disminuye lapresión en su interior, ya que aumenta el tamaño de la pompa. Así pues, el aire queintroducimos sólo contribuye al aumento de volumen de la pompa. También en estose pone de manifiesto que las películas líquidas no se comportan como las mem-branas elásticas tensas, pues es sabido que cuando hinchamos un globo de goma nosólo aumenta su volumen sino también la presión del aire contenido en su interior.

§30.9. Contacto entre dos líquidos.- La superficie de separación entre doslíquidos no miscibles, i.e., la superficie interfasial líquido-líquido, exhibe fenómenosde tensión superficial análogos a los que presentan las superficies interfasialeslíquido-gas. El origen de la tensión superficial líquido-líquido radica en que la esferade acción molecular de las moléculas de uno y otro líquido situadas en la superficieinterfasial está parcialmente ocupada por moléculas de la otra sustancia líquida, loque da lugar a la aparición de una tensión superficial que no tiene porqué ser iguala la existente en la superficie interfasial líquido-gas.

El valor de la tensión superficial líquido-líquido no puede deducirse de una formasatisfactoria a partir de la tensión superficial de cada uno de los líquidos en contactocon el aire. Los experimentos de MARANGONI, MENSBRUGGHE y QUINCKE handemostrado que la tensión superficial líquido-líquido presenta generalmente un valorinferior a la diferencia entre las tensiones superficiales líquido-aire de cada uno delos dos líquidos (REGLA DE MARANGONI); en la Tabla 30.3 presentamos algunos valoresrepresentativos.

En la Figura 30.13 mostramos la forma de la sección transversal de una gotita de

Figura 30.13

un líquido (2) depositada sobre la superficie deotro (1) de mayor densidad. Designaremos porσ1 y σ2 las tensiones superficiales normales delos líquidos respectivos (i.e., en contacto con elaire) y por σ12 la correspondiente a la interfaselíquido-líquido. Sobre cada elemento de la líneade contacto actúan las tres fuerzas, σ1ds, σ2ds yσ12ds, debidas a las tres tensiones superficiales

§30.9.- Contacto entre dos líquidos. 931

intervinientes, orientadas como se indica en la Figura 30.13. Para que exista equilibrio

Tabla 30.3.- Tensión superficial en la interfase líquido-liquido (a 20 °C) en dyn/cm.

agua-aceite de oliva 20. alcohol etílico- aceite de oliva 2.3

agua-benceno 35. mercurio-aceite de oliva 335.

agua-éter etílico 10.7 mercurio-benceno 357.

agua-mercurio 375. mercurio-éter etílico 379.

agua-tetracloruro de carbono 45.

deberá cumplirse que

[30.24]σ1ds σ2ds σ12ds 0

o sea [30.25]σ1 σ2 σ12 0

Así pues, la gotita se aplastará y ensanchará, conservando su contorno circular, hastaque se satisfaga la condición expresada por [30.20]. Obviamente, a fin de que la gotitano se extienda "indefinidamente" sobre el líquido subyacente, deberá ser

[30.26]σ1 < σ2 σ12 ⇒ σ1 σ2 < σ12

Este es el caso de algunos hidrocarburos del petróleo sobre el agua. En otros muchoscasos, como el del aceite de oliva (σ2=32.0 dyn/cm) sobre el agua (σ1=72.75 dyn/cm)a 20 °C, la tensión superficial líquido-líquido (σ12=20 dyn/cm) es tal que

[30.27]σ1 σ2 > σ12 ⇒ σ1 > σ2 σ12

de manera que la gota se extenderá sobre la superficie del agua formando una capamuy delgada (monomolecular, en muchos casos).

§30.10. Contacto solido-liquido-vapor. Ángulo de contacto.- En las

Figura 30.14

proximidades de una pared sólida, la superficie libre de un líquido sólo excep-cionalmente es plana y horizontal (Figura 30.15c). Lasección del líquido por un plano vertical tienegeneralmente una de las dos formas indicadas en laFigura 30.15ab. Este fenómeno puede explicarse consi-derando, además de la superficie interfasial líquido--gas, las superficies interfasiales sólido-líquido ysólido-gas. Con cada una de estas tres superficiesinterfasiales, que están representadas esquemáti-camente en la Figura 30.14, se asocia la tensión superfi-cial correspondiente. Utilizaremos la notaciónsiguiente:

σsl tensión superficial sólido-líquido.


σsg tensión superficial sólido-gas.σ=σlg tensión superficial líquido-gas.

Para analizar la relación existente entre la forma de la superficie libre del líquidoen la proximidad de la pared y los valores de estas tensiones superficiales,comenzaremos aislando una pequeña porción de ellas en un punto de la línea decontacto definida por la intersección de las tres superficies interfasiales, como seilustra en la Figura 30.15 para tres situaciones diferentes. La porción aislada estaría enequilibrio bajo la acción de cuatro fuerzas: tres de ellas son debidas a las tensionessuperficiales respectivas y la cuarta es la llamada fuerza de adherencia (Fa) ejercidapor el sólido sobre las moléculas próximas del líquido. Aplicando la condición deequilibrio tenemos

[30.28]Fa σ senα σsg σsl σ cosα

La primera de estas ecuaciones nos permite calcular la fuerza de adherencia a

Tabla 30.4.- Valores representativos de algunos ángulos de contacto no nulos.

líquido sólido ángulo de contacto

agua parafina 107˚

yoduro de metileno

(CH2I2)

vidrio de sosa y cal 29˚

vidrio de plomo 30˚

vidrio Pirex 29˚

cuarzo fundido 33˚

mercurio vidrio de sosa y cal 140˚

partir de las medidas de σ y del ángulo α, llamado ángulo de contacto. La segundaecuación pone de manifiesto que el ángulo de contacto, que constituye una medidade la curvatura de la superficie libre del líquido adyacente a la pared, depende delvalor de σsg-σsl.

Figura 30.15

§30.10.- Contacto solido-liquido-vapor. Ángulo de contacto. 933

Cuando σsg>σsl, como ocurre en la Figura 30.15a, es cos α >0, lo que correspondea un ángulo de contacto agudo (0≤α≤90°). En estas condiciones se dice que elmenisco es cóncavo y que el líquido moja a la pared; pero sólo diremos que la mojaperfectamente cuando sea α=0.

Cuando σsg<σsl, como se ilustra en la Figura 30.15b para el caso vidrio-mercurio--aire, es cos α <0, lo que corresponde a un ángulo de contacto obtuso (90°<α<180°),y se dice que el menisco es convexo y que el líquido no moja a la pared.

En la Figura 30.15c se ilustra un caso, que es muy aproximadamente el de plata-agua-aire, en el que σsg=σsl, de modo que cos α =0 y α=90°.

El ángulo de contacto α puede medirse de un modo

Figura 30.16

sencillo y preciso determinando el ángulo de inclinaciónque debe darse a una lámina sumergida parcialmente enel líquido para que la superficie libre de éste sea hori-zontal en las proximidades de la lámina, como se ilustraen la Figura 30.16.

El valor del ángulo de contacto depende de lanaturaleza del líquido y de la pared. Hay un ciertonúmero de líquidos a los que corresponden un ángulo de contacto nulo o casi nulocuando están en contacto con vidrio ordinario (de cal y sosa), vidrio de plomo, vidrioPirex o cuarzo fundido; tal es el caso del ácido acético, agua, alcohol etílico, éteretílico, glicerina, tetracloruro de carbono, xileno, .... En la Tabla 30.4 se muestranalgunos valores representativos de ángulos de contacto no nulos.

Las adulteraciones o impurezas presentes o añadidas a los líquidos pueden modi-

Figura 30.17

ficar considerablemente el valor del ángulo de contacto. Hoy día se conocen grannúmero de sustancias químicas de gran eficacia como agentes humectantes o deter-gentes que, al ser añadidas a un líquido, pueden modificar el valor del ángulo decontacto desde valores grandes (superiores a90°) hasta valores pequeños (inferiores a 90°).El efecto que produce uno de tales agentes alser añadido a una gota de agua depositada sobreun bloque de parafina está ilustrado en la Figu-

ra 30.17. Inversamente, también representan unpapel muy importante los llamados agentesimpermeabilizantes, que al ser incorporados aun tejido hacen que el ángulo de contacto delagua con el mismo sea superior a 90° (i.e., que el agua no moje al tejido).

§30.11. Forma de la superficie libre de un líquido.- Podemos determinar laforma de la superficie libre de un líquido en la proximidad de una pared sólida vertical asumiendoque dicha superficie sea plana y horizontal lejos de la pared.

Consideremos un líquido en contacto con una pared sólida vertical o con una lámina plana yvertical sumergida parcialmente en el mismo, tal como se ilustra en la Figura 30.18. En cualquiercaso, supondremos que la pared o lámina sea suficientemente ancha como para que podamosignorar los efectos en los bordes. En estas condiciones, la superficie libre del líquido será unasuperficie cilíndrica y una de las dos curvaturas (1/R1 o 1/R2) que aparecen en la fórmula deLaplace será nula (i.e., Δp=σ/R). La curvatura en un punto genérico P de la superficie libre será


[30.29]1R

dθds

dθdz / sen θ

senθ dθdz

En el caso de que el líquido moje a la pared (i.e., α<90°), que es el caso ilustrado en laFigura 30.18, la presión en el punto P es menor en el interior del líquido (i.e., p0-ρgz) que en elexterior (i.e., p0). Por consiguiente, la fórmula de Laplace nos permite escribir

[30.30]Δp p0 (p0 ρgz) σR

esto es, [30.31]ρgz σ senθ dθdz

ecuación diferencial que integraremos, teniendo en cuenta que lejos de la pared es z=0 y θ=0, estoes,

[30.32]⌡⌠

θ

0

senθ dθ ρgσ ⌡

⌠z

0

z dz

para obtener

Figura 30.18

[30.33]1 cosθ ρg2σ

z 2

Si el ángulo de contacto es α y designa-mos por H la flecha del menisco, particulari-zando la expresión anterior para un punto encontacto con la pared y teniendo en cuentaque en ésta es θ=π/2-α, tendremos

[30.34]1 senα ρ g2σ

H 2

que nos permitirá calcular el valor de unacualesquiera de las tres magnitudes α, σ o H a partir del conocimiento de las otras dos.

§30.12. Capilaridad. Ley de Jurin.- Sin lugar a dudas, el fenómeno asociadocon la tensión superficial que nos resulta más familiar es la elevación que experimen-ta un líquido en un tubo abierto por sus dos extremos y de pequeño diámetro internocuando su extremo inferior se sumerge en un líquido que moja la pared del tubo. Eltérmino capilaridad, utilizado para describir los fenómenos de este tipo, procede dellamar tubos capilares a tales tubos (i.e., análogos a cabellos). Los fenómenos decapilaridad constituyen un ejemplo simple de equilibrio entre las fuerzas de tensiónsuperficial (fuerzas capilares) y las fuerzas gravitatorias.

Supongamos que mantenemos el tubo capilar en posición vertical. Cuando laaltura de ascenso (h) del líquido en el tubo sea grande en comparación con el radio(r) del mismo, podremos considerar que la forma de la superficie libre del líquido enel interior del tubo (i.e., el menisco) sea prácticamente esférica, de radio R, como seilustra en la Figura 30.19. En estas condiciones, la diferencia de presiones entre ambascaras del menisco vendrá dada por la fórmula de Laplace:

§30.12.- Capilaridad. Ley de Jurin. 935

Figura 30.19

[30.35]Δp σ⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1R1

1R2

2σR

Si el líquido moja las paredes del tubo, la presiónen el líquido, debajo mismo del menisco (p), seráinferior a la del aire en el interior del tubo (p0), demodo que el líquido se elevará hasta alcanzar unaaltura (h) tal que

[30.36]Δp p0 p ρgh

donde ρ es la diferencia entre las densidades dellíquido y del aire. Combinando las expresiones [30.29]

y [30.30] se tiene

[30.37]ρgh 2σR

y teniendo en cuenta que los radios r del tubo y R del menisco están relacionados porr=R cosα, escribiremos finalmente

[30.38]h 2σ cosαρgr

que es la LEY DE JURIN para el ascenso capilar y que establece que el ascenso de unlíquido en un tubo capilar al que moja (α<90°) es directamente proporcional a latensión superficial del líquido y al coseno del ángulo de contacto e inversamenteproporcional a la densidad del líquido y al radio del tubo.

También podemos llegar a

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4B.pdf 10/11/2006 20:45:47

Figura 30.20

establecer la ley de Jurin a partirde las condiciones de equilibrioentre las fuerzas de tensión super-ficial que actúan sobre elperímetro o línea de contorno delmenisco, que proporcionan unafuerza ascensional que vale (2πr)σcosα (Figura 30.20 izq.) y el peso dela columna de líquido que as-ciende por el interior del tubo, quees ρ(πr2h)g, lo que nos conducede nuevo a la expresión [30.32].

La ley de Jurin también esaplicable al descenso o depresión capilar que se presenta cuando el tubo capilar sesumerge parcialmente en un líquido que no lo moja (Figura 30.20 dcha.). En estascondiciones, por ser 90°<α<180°, tendremos cosα<0 y h<0, lo que representa un des-censo respecto al nivel del líquido fuera del tubo capilar.


La expresión [30.32] nos permite determinar el valor de la tensión superficial (σ),si conocemos el valor del ángulo de contacto (α), a partir de una medida simple delascenso del líquido en un tubo capilar bien calibrado. En realidad, el ángulo decontacto presenta valores tan inciertos y variables que la expresión [30.32] tan sólo esutilizable para líquidos que mojan perfectamente al capilar (i.e., α=0).

Aunque la ley de Jurin ha sido deducida para un tubo capilar de sección circular,los fenómenos capilares se presentan en cualquier estructura tubular o porosa,cualquiera que sea su geometría. En estas condiciones, el ascenso o la depresióncapilar seguirán siendo proporcionales a σ cosα/ρgr, donde r será alguna dimensióntípica; únicamente cambiará el coeficiente numérico (que es igual a 2 en el caso deltubo de sección circular). Así pues, el movimiento de los líquidos por los pequeñosespacios libres de los materiales fibrosos o porosos es también un fenómeno capilar.Buenos ejemplos de ellos son la absorción del alcohol o del petróleo por una mecha,la absorción de la tinta por un papel secante, el humedecimiento gradual y completode un tejido o de una esponja parcialmente sumergidos en un líquido, o de un terrónde azúcar depositado sobre una capa de café, ... y otros muchos fenómenos que nosresultan familiares. La elevación capilar del agua en los pequeños poros del suelo lahace aflorar a la superficie; la pérdida de agua por evaporación en la superficie delterreno se retarda por la labranza, que suelta el suelo y reduce la acción capilar.

Problemas

30.1.- Uno de los

Prob. 30.1

métodos más sim-ples que puedenemplearse paradeterminar la ten-sión superficial deun líquido consisteen medir la fuerzanecesar ia pararetirar un anillo deplatino de la super-ficie del líquido,como se ilustra en la figura adjunta. a) Cal-cular el valor de dicha fuerza para el caso deun anillo de 30 mm de diámetro y de que ellíquido sea agua a 20 °C. b) ¿Por qué seemplea el platino como material para el anillo?

30.2.- Para determinar la tensión superficial dela glicerina a 20 °C, se suspende un pequeñocilindro de vidrio, de 1.5 cm de diámetro y3 cm de altura, cerrado por su base inferior, deuno de los platillos de una balanza hidrostática

y se tara el otro platillo hasta equilibrar labalanza. A continuación, se sumerge parcial-mente el cilindro en glicerina a 20 °C, hasta lamitad de su altura exactamente; en estas condi-ciones, la balanza se desequilibra. Para resta-blecer el equilibrio de la balanza, deben aña-dirse pesas, por un valor de 3.035 g, al platillodel que está suspendido el cilindro. Con estosdatos, calcular la tensión superficial de laglicerina a 20 °C.

3 0 . 3 . - E l

Prob. 30.3

d ispos i t ivoque se mues-tra en lafigura adjuntaestá formadop o r d o scilindros hue-cos y cerra-d o s , d evidrio, unidos por sus bases mediante unavarilla muy ligera y delgada. El cilindro

Problemas 937

inferior se ha lastrado a fin de que el disposi-tivo pueda flotar en el agua como se muestraen la figura de la izquierda. Sin embargo, sisumergimos el dispositivo tal como se muestraen la figura de la derecha, puede permanecerflotando en esta nueva posición. Demostrarque para que esto sea posible deberá cumplirseque h=2σ/ρgr.

30.4.- Calcular el incremento de energía libresuperficial que tiene lugar cuando se pulverizaun litro de agua en gotitas de 1 mm de diáme-tro.

30.5.- Cuando 1 cm3 de mercurio cae al suelodesde una altura de 1 m se fracciona en gotitasque, por término medio, tienen un diámetro de0.5 mm. Calcular la fracción de la energíacinética que se emplea en el fraccionamiento.

30.6.- Dos varillas idénticas, de 1.5 g de masa

Prob. 30.6

cada una de ellas, están unidas por sus extre-mos mediante dos hilos flexibles de iguallongitud y de peso despreciable. El conjunto sesumerge en una disolución jabonosa de modoque cuando se le extrae de ella se forma unapelícula delgada entrelas varillas y los hilos.A continuación, sesujeta horizontalmenteuna de las varillas y sedeja que la otra cuel-gue. Se observa que lapelícula jabonosa adop-ta la forma que semuestra en la figuraadjunta, tomando loshilos la forma de arcos de circunferencia de24 cm de radio, siendo la anchura mínima dela película igual a 9 mm. Calcular la tensiónsuperficial de la disolución jabonosa y latensión en los hilos.

30.7.- Dos anillos coaxiales de alambre, de4 cm de diámetro, se mantienen separadosentre sí, a una cierta distancia, con una burbujacilíndrica de disolución jabonosa entre ellos ycon burbujas que son secciones esféricas enambas bases del cilindro. Calcular el radio decurvatura de las esferas.

30.8.- Cada una de las seis patas de un insecto

Prob. 30.8

que permanece apoyado sobre la superficie delagua de un estanque (a 20 °C) produce unadepresión casi esférica en la misma, de 1 mmde radio, como se ilustra en la figura adjunta,en la que φ=30°. a) Calcular la fuerza debidaa la tensión superficial que actúa sobre cadapata del insecto. b) ¿Cuánto pesa el insecto?

30.9.- Determinar el diámetro máximo quepuede tener una bolita de acero bien engrasada(densidad, 7.8 g/cm3) para que pueda flotar enel agua a 20 °C.

30.10.- Determinar la presión de vapor de aguaen el interior de las burbujas que se forman a10 cm de profundidad en una masa de agua a100 °C, a fin de que dichas burbujas no secolapsen bajo la acción de la presión exteriora las mismas. Hacer los cálculos correspon-dientes a los radios de 0.1 µm, 1 µm, 10 µm,0.1 mm y 1 mm.

30.11.- Con la ayuda de un cuentagotas, sevierten 30 gotas de agua destilada (a 20 °C)que pesan en total 1.350 g. Con el mismocuentagotas, se vierten otras 30 gotas de unlíquido problema, que pesan 0.594 g en total.Calcular la tensión superficial del líquidoproblema.

30.12.- En un recinto en el que la presión esp0, se ha formado una pompa de jabón deforma esférica y radio r, cuya presión interiores pi=2p0. A partir de estas condiciones, vamosreduciendo la presión en el recinto hasta quep0′=0. Encontrar la nueva presión interior pi′ yel nuevo radio de la pompa, asumiendo que latensión superficial y la temperatura perma-nezcan constantes durante el proceso.

30.13.- Para determinar la tensión superficialde una disolución jabonosa, se utiliza el dispo-sitivo que se muestra en la Figura 30.11. Eldiámetro de la pompa esférica formada en elextremo del tubo es de 1 cm, el líquidomanométrico utilizado es agua y el desnivelentre las dos ramas manométricas es 2.7 mm.¿Cuánto vale σ?

30.14.- Un recipiente está terminado por untubo capilar de 0.1 mm de diámetro interior,como se ilustra en la figura adjunta. Cuando elrecipiente contiene agua a 20 °C se observaque ésta no fluye a través del capilar a menos


que el nivel h de su super-

Prob. 30.14

ficie libre alcance un ciertovalor crítico. Calculardicho nivel.

30.15.- El dispositivo que

Prob. 30.15

se muestra en al figuraadjunta se utiliza paradeterminar la tensión su-perficial (MÉTODO DE JAE-GER). Este aparato consisteen un tubo, doblado haciaabajo, por el que se insufla aire a presión conla finalidad de que burbujee en el extremo desalida, de radio r, sumergido a una profundi-dad h por debajo de la superficie libre del

líquido problema, midiéndose con un manóme-tro la presión mínima del aire en el tubonecesaria para mantener el burbujeo. a) En-contrar una expresión que nos permita deter-minar el valor de la tensión superficial dellíquido a partir de los siguientes parámetros:radio interno (r) del extremo de salida deltubo, profundidad (h) de inmersión del mismo,densidad (ρ) del líquido problema, densidad(ρm) del líquido manométrico y desnivel (hm)entre las ramas del manómetro. b) Aplicaciónn u m é r i c a : r = 0 . 4 0 m m , h = 3 . 5 m ,ρ=0.926 g/cm3 y hm=48 mm de agua a 20 °C.

30.16.- Un tubo en forma de U, cuyas dosramas tienen distinta luz, una capilar de0.2 mm de diámetro interno y la otra de 1 cmde diámetro interno, se mantiene en posiciónvertical y se llena parcialmente de mercurio a20 °C. Calcular el desnivel entre las superfi-cies libres del mercurio en ambas ramas deltubo. Repetir los cálculos anteriores para elcaso de que el tubo contenga agua a 20 °C.

30.17.- La ecuación [30.33], referente a laforma de la superficie libre de un líquido enlas proximidades de una pared sólida y verti-cal, también puede deducirse considerando queel elemento de volumen de forma prismática,de base Δx y altura z (Figura 30.18) está soste-nido por encima del nivel normal del líquidopor las fuerzas debidas a la tensión superficial

que actúa sobre los bordes de la superficielibre de dicho elemento de volumen. Utilizareste procedimiento para reencontrar las ecua-ciones [30.33] y [30.34].

30.18.- a) Calcular el ascenso capilar del aguaa 20 °C junto a una pared vertical de vidrio. b)Calcular el descenso capilar del mercurio a20 °C por una pared vertical de vidrio.

30.19.- Consideremos un recipiente prismático

Prob. 30.19

en forma de cuña, como se ilustra en la figuraadjunta, siendo muy pequeño el ángulo θformado por las caras de la cuña. Demostrarque el perfil de la superficie libre del líquidoque se dibuja en las caras de la cuña es unarama de hipérbola equilátera.

30.20.- ¿En qué relación deberán encontrarselos radios de dos tubos capilares, de vidrio,para que al introducirlos en agua destilada (a20 °C) y en yoduro de metileno (a 20 °C),respectivamente, los líquidos alcancen lamisma altura en sendos tubos?

30.21.- ¿Qué corrección deberá aplicarse a lalectura de un barómetro de mercurio cuyo tubotiene un diámetro interno de 6 mm?

30.22.- ¿Cuál deberá ser el diámetro internomínimo del tubo de un barómetro de mercuriopara que los efectos de capilaridad representenmenos del 0.1% de la altura de la columnabarométrica?

30.23.- Se dispone de un barómetro de mer-curio cuyo tubo tiene un diámetro interno de4 mm. En un determinado instante, la presiónatmosférica vale 980 mbar. a) ¿Cuál sería laaltura de la columna barométrica si no hubiesefenómenos de tensión superficial? b) ¿Cuál esla lectura (no corregida) del barómetro? c)Calcular el diámetro interno mínimo de untubo barométrico para que la corrección pordepresión capilar sea inferior a 0.5 mm.

30.24.- a) ¿Hasta qué altura ascenderá el aguapor el interior de un tubo capilar, abierto porsus dos extremos, de 0.006 mm de diámetrointerior, que está parcialmente sumergido enagua (a 20 °C) y en posición vertical? b)Supongamos que el tubo sobresalga tan sólo20 cm sobre la superficie libre del agua en el

Problemas 939

depósito. ¿Se verterá el agua por el extremosuperior del tubo capilar?

30.25.- Una supuesta máquina de movimientoperpetuo consiste en un tubo capilar que semantiene verticalmente con su extremo inferiorsumergido en un gran recipiente de agua ycuyo extremo superior está doblado haciaabajo. Por efecto de la capilaridad, el agua as-ciende por el tubo hasta alcanzar el extremosuperior, derramándose por el mismo sobreuna rueda hidráulica situada más abajo. ¿Tra-bajará este dispositivo? En el caso de que notrabaje, ¿porqué es así?

30.26.- El ascenso (o descenso) capilar no estálimitado a los tubos de sección circular a) En-contrar una expresión para calcular el ascensocapilar de un líquido entre dos láminas planas,paralelas entre sí y separadas por una distanciad, colocadas verticalmente y sumergidas par-cialmente en un líquido contenido en un depó-sito de grandes dimensiones. b) Calcular lafuerza por unidad de longitud con que seatraen entre sí las láminas. Explicar el meca-nismo por medio del cual se ejerce esta fuerzaentre las láminas.

30.27.- Utilizar los resultados del problemaanterior para calcular el ascenso capilar delagua a 20 °C por entre dos láminas planas yparalelas, de vidrio, separadas por una dis-tancia de 0.25 mm.

30.28.- Un tubo capilar está parcialmente su-mergido, en posición vertical, en agua a 20 °C,con su extremo inferior a 15 cm de profundi-dad. El agua se eleva por el tubo hasta unaaltura de 4 cm por encima de la superficielibre del agua en el depósito exterior al tubo yel ángulo de contacto es cero. ¿Cuál deberá serla presión manométrica del aire que insuflemospor el extremo superior del tubo a fin de quese pueda formar una burbuja hemisférica en elextremo inferior del mismo?

30.29.- En un recipiente que contiene mercurioa 20 °C se introduce verticalmente un tuboabierto por sus dos extremos, de 1 mm dediámetro interior, de modo que el extremoinferior del mismo quede a una profundidad de15 cm. a) ¿Cuál deberá ser la presión mano-métrica del aire que insuflemos por el extremosuperior del tubo para que en el extremoinferior se forme una burbuja hemisférica? b)¿Hasta qué altura se elevará el mercurio por elinterior del tubo si la presión del aire en elmismo fuese de 40 Torr por debajo de laatmosférica?

30.30.- Se construye una artesa rectangular conun cedazo de alambre fino cuyas mallas tienenunas dimensiones internas de 1 mm. La super-ficie del alambre del cedazo se ha tratado conun material que no es mojado por el agua.Calcular la profundidad a la que podrá hundir-se el fondo de la artesa antes de que el aguacomience a fluir a través de sus mallas.


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