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CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS
Industrial y de Servicios Nº 107
Facilitador:
JOSÉ EXIQUIO SÁNCHEZ CECEÑA
10 y 25 de noviembre de 2014
¿QUÉ ES PROBABILIDAD?
Se expresa entre: 0-1, donde 1 = 100%
TEORÍA DE CONJUNTOS
Conjunto
X1 X2
X3 X4
X5
X6 X7
EXPRESAR UN CONJUNTO
Notación por comprensión Notación por extensión
A = {x|x son todas las vocales}
B = {x|x son los colores primarios}
C = {x|x es un número entre 0<x≤20}
D = {x|x un alumno de prepa de 5 años
de edad}
A = {a, e, i, o, u}
B = {azul, rojo, amarillo}
C = { (0, 20] }
D = { }
SUBCONJUNTO ( )
E = { e }
E A
F = { 1, 2, 3, 4, 5 }
F C
CONJUNTO AJENOS O DISTINTOS
IGUALDAD DE CONJUNTOS
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 5, 2, 4, 3, 1 }
A = B
A = { a, b, c, d, e } B = { f, g, h, i, j }
A B
UNIÓN DE CONJUNTOS ( )
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS ( )
C = A B
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
A B
1 2
4 5 3
6
10
8
C
1 2
4
5 3
6
10
8
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
2
4
C = A B
C = { 2, 4 }
A
1
5 3
2
4 B
6
10
8
2
4
2
4
DIFERENCIA DE CONJUNTOS A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8, 10 }
C = A – B
C = { 1, 3, 5 }
D = B – A
D = { 6, 8, 10 }
A
B 1 2
4 5 3
6
10
8
2
4
A B
1 2
4 5
3
6
10
8
2
4
C D
1
5 3
6
10
8
CONJUNTO COMPLEMENTO ( AC )
U = {x|x son los números pares entre 1<x<19}
A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
Ac = { 12, 14, 16, 18 }
U A 𝐀𝐜
18
16 14
12
10 8
6
4 2
18
16 14
12
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Hacer
combinaciones
con 4
pantalones y 5
camisas
1er Evento
2do Evento
P1
P2
P4
P3
Camisa 1
Camisa 2
Camisa 3
Camisa 4
Camisa 1
Camisa 2
Camisa 3
Camisa 4
Camisa 1
Camisa 2
Camisa 3
Camisa 4
Camisa 1
Camisa 2
Camisa 3
Camisa 4
P1-Camisa 1
P1-Camisa 2
P1-Camisa 3
P1-Camisa 4
P2-Camisa 1
P2-Camisa 2
P2-Camisa 3
P2-Camisa 4
P3-Camisa 1
P3-Camisa 2
P3-Camisa 3
P3-Camisa 4
P4-Camisa 1
P4-Camisa 2
P4-Camisa 3
P4-Camisa 4
Camisa 5
Camisa 5
Camisa 5
Camisa 5
P1-Camisa 5
P2-Camisa 5
P3-Camisa 5
P4-Camisa 5
TÉCNICAS DE CONTEO
Probabilidad de un evento
EJEMPLO:
En una urna hay 50 esferas numeradas del 1-50. Luis le apuesta a
Alejandro sacara un número par o el número 3. ¿Cuál es la
probabilidad de que Luis gane?
𝑃 𝐴 = 26
50= 𝟎. 𝟓𝟐
PROBABILIDAD AXIOMÁTICA
La Probabilidad se basa en tres axiomas:
1. La probabilidad de cualquier evento se encuentra entre cero y
uno. 0≤P(E)≤1
2. La probabilidad del espacio muestral es igual a 1
3. La probabilidad de una sucesión numérica es igual a la suma
de probabilidades de cada uno de ellos.
𝑃 𝑈 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 + 𝑃(𝐷)
𝑈 = 𝑨𝑩𝑪𝑫 …
MULTIPLICACIÓN CON REEMPLAZO
Esta manera de formar combinaciones está determinado por la
siguiente formula:
𝑛𝑘 = 𝑛 · 𝑛 · 𝑛 · 𝑛 · ··· · 𝑛
n = cardinalidad del conjunto.
k = número de combinaciones que se quieren hacer con los elementos.
EJEMPLO:
Una oficina de patentes registra los productos asignándoles tres letras
del abecedario (a-z) y tres números naturales aumentados (0-9),
considerando que se pueden repetir tanto letras como números, de
cuantas maneras diferentes puede registrar un producto esta oficina.
Na = 27 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10
Na = 19,683,000 posibles combinaciones
MULTIPLICACIÓN SIN REEMPLAZO
Esta manera de formar combinaciones está determinado por la
siguiente formula:
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑛 · (𝑛 − 1) · (𝑛 − 2) · (𝑛 − 3) · ··· ·
EJEMPLO:
Una oficina de patentes se registran los productos con tres letras y 3
números pero NO se pueden repetir las letras ni los números, entonces
¿cuantas combinaciones diferentes se pueden tener para registrar los
productos?
Na = 27 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8
Na = 12,636,000 posibles combinaciones
PERMUTACIÓN
𝑃 𝑛, 𝑟 =𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
Dónde:
n = cardinalidad del conjunto a ordenar
r = número de elementos que tendrán los ordenamientos.
EJEMPLO:
En la oficina de control escolar del CETis 107 se emplean tarjetas con las
vocales del abecedario para identificar las claves de los alumnos, las cuales
emplean 3 vocales al final de la fecha de los alumnos, ahora bien, ¿cuántos
posibles ordenamientos se pueden hacer con las vocales para dichas
tarjetas?
𝑃 5,3 =5!
5 − 3 !
𝑃 5,3 =5!
2!
𝑃 5,3 =5𝑥4𝑥3𝑥2!
2!
𝑃 5,3 = 5𝑥4𝑥3
𝑷 𝟓, 𝟑 = 𝟔𝟎
COMBINACIÓN
𝑛𝑟
=𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
Dónde:
n = cardinalidad del conjunto a ordenar
r = número de elementos que tendrán los ordenamientos.
EJEMPLO:
Se quieren hacer combinaciones con las letras del abecedario con 3 dígitos
¿Cuantas combinaciones diferentes se pueden hacer?
273
=27!
3! 𝑥24!
273
=27𝑥26𝑥25𝑥24!
3! 𝑥24!
273
=27𝑥26𝑥25
3𝑥2𝑥1
273
= 17550
6
𝟐𝟕𝟑
= 𝟐𝟗𝟐𝟓
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
EJEMPLO:
Pedro y Juan juegan con un dado. Primero lanza Pedro y obtiene un 4
¿Qué probabilidad tiene Juan de obtener un número mayor que Pedro?
𝑃 𝐴 = 2
6
𝑃 𝐴 = 𝟎. 𝟑𝟑
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
COMPLEMENTARIO
𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃(𝐴)
EJEMPLO:
En un casino de la ciudad existe un juego de dados que para poder
ganar la suma de ambos dados debe ser igual a 7. ¿Cuál es la
probabilidad de ganar? Compara el resultado contra la probabilidad de
que gane el casino.
𝑃 𝐴 = 6
36 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟔𝟔
𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃(𝐴)
𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 0.1666
𝑃 𝐴𝑐 = 0.833
PROBABILIDAD DE EVENTOS
INDEPENDIENTES
𝑃 AyB = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵
EJEMPLO:
En la feria existe un juego donde lanzas un dado y tiras un dardo a una
ruleta que tiene cinco colores (azul, verde, rojo, negro y blanco). Para ganar
el mejor premio es necesario tirar el dado y que el resultado sea menor o
igual que 2 y que en la ruleta te salga el color verde, entonces ¿Cuál es la
probabilidad de ganar?
𝑃 A = 2
6= 0.3333
𝑃 B =1
5= 0.2
𝑃 AyB = 0.3333 · 0.2
𝑃 AyB = 2
6 𝑥
1
5
𝑷 𝐀𝐲𝐁 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟔𝟔
𝑷 𝐀𝐲𝐁 =𝟐
𝟑𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟔𝟔
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE EVENTOS
Mutuamente excluyentes No excluyentes
𝑃 AB = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) 𝑃 AB = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴𝐵)
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE EVENTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTE
𝑃 AB = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
EJEMPLO:
Calcular la probabilidad de que al momento de lanzar un dado el
resultado sea un 3 o un 5.
P AB =1
6+
1
6
P AB = 𝟐
𝟔 =
𝟏
𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE EVENTOS
NO EXCLUYENTES
𝑃 AB = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴𝐵)
EJEMPLO:
Calcular la probabilidad de lanzar un dado y que el resultado sea un
número par o un 6.
𝑃 AB =3
6+
1
6−
1
6
𝑃 AB = 𝟑
𝟔 =
𝟏
𝟐 = 𝟎. 𝟓
