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Teorıa de Dimensiones en Sistemas Dinamicos
Edgardo Ugalde
Instituto de Fısica, UASLP
45 Congreso Nacional de la SMMQueretaro, Octubre 2012
Plan del curso
1 MotivacionEjemplos¿Como se generan?¿Como se caracterizan?
2 La teorıaFormalizmo de CaratheodoryLa construccion de Moran
3 Revision de TrabajosPuntos no-tıpicosConjetura de Ruelle-Eckmann
Capıtulo 1
Motivacion
El atractor de Henon
F : R2 → R2, F
(xy
)=
(y + 1− 1.4 x2
0.3 x
).
Un conjunto aritmetico
x ∈ [0, 1] se escribe en fracciones continuas (continuadas)
x =1
a1 + 1a2+ 1
a3+ 1
...
y se denota x = [0; a1a2a3 . . .].
D2 := {x ∈ [0, 1] : x = [0; a1a2a3 . . .] con ai ∈ {1, 3} para toda i ∈ N}.
La transformacion de Henon
Michel Henon (1976).
Ha,b : R2 → R2 tal que Ha,b(x , y) = (1 + y − a x2, b x).
Es un modelo para una seccion de Poincare de
dx/dt = σ(y − x)
dy/dt = x(ρ− z)− y
dz/dt = xy − βz
Un conjunto aritmetico
F : [0, 1]→ [0, 1] tal que
F (x) =
{1/x (mod 1) si x > 00 para x = 0.
g1 : [0, 1]→ [1/2, 1] tal que g1(x) = 1/(x + 1),g2 : [0, 1]→ [1/4, 1/3] tal que g3(x) = 1/(x + 3).
D2 :=⋂
n>1
⋃ω1ω2···ωn∈{1,2}n gω1 ◦ gω2 ◦ · · · ◦ gωn([0, 1]).
¿Como se caracterizan?Las dimensiones asociadas a entropıas de Renyi.
Receta empırica
1 Se parte el espacio X ⊃ A en cajas de tamano ε,
X =
(diam(X )/ε)d⋃i=1
Ci .
2 Suponemos que hay una probabilidad asociada a la dinamica(probabilidad invariante), entonces definimos
Iq(ε) :=1
1− qlog
(diam(X )/ε)d∑i=1
P(Ci )q
.
3 La dimension asociada es:
dq := limε→∞
Iq(ε)
log(1/ε).
¿Como se caracterizan?
Las dimension caja de A ⊂ X .
Corresponde a q = 0 (la convencion es 00 = 0) para Renyi.
Tenemos
I0(ε) = log(
#{
1 6 i 6 diam(X )/ε)d : P(Ci ) > 0})
,
∼ log (# {1 6 i 6 Ci ∩ A 6= ∅}) , := log(N(ε)).
y entonces
dcaja = d0 := limε→∞
N(ε)
log(1/ε).
¿Como se caracterizan?
Para el atractor de Henon hay estimaciones numericas
dcaja = 1.29± 0.02
Para el conjunto D2 tenemos una formula (verermos mas tarde)que permite estimar. En este caso dcaja se parece a la solucion de
1 =
(1
2
)s
+
(1
12
)s
.
Con el metodo de Newton obtenemos
s ≈ 0.49651733
Capıtulo 2
La teorıa
Formalizmo de CaratheodoryEstructura de CaratheodoryEn un espacio metrico (X , ρ),
• Nos damos una coleccion de subconjuntos F tal que paratodo Z ⊂ X y para todo ε > 0 existe una subcubiertanumerable C ⊂ F de Z , tal que η(U) 6 ε para todo U ∈ C .
• Nos damos dos funciones ξ, η : F → [0,∞) tales queη(U) = 0 si y solamente si U = ∅, y tal que para todo ε > 0existe δ > 0 de modo que si diam(U) < δ entonces η(U) < ε.
La medida asociadaDado Z ⊂ X y α ∈ R definimos
M(α, ε,Z ) = inf{Ui} cubre Z
diam(Ui )6ε
∑i∈N
ξ(Ui ) η(Ui )α
m(α,Z ) = limε→0
M(α, ε,Z ).
Formalizmo de Caratheodory
La dimension∀Z ⊂ X ∃αc ∈ [−∞,∞] :
m(α,Z ) = 0 ∀α > αc
m(α,Z ) = ∞ ∀α < αc .
-
6m(α,Z )
αc α
La dimension de Hausdorff corresponde a ξ(U) = 1 y aη(U) = diam(U) y F = {B(ε, x) : x ∈ X , ε > 0}.
Formalizmo de Caratheodory
Relacion con el enfoque empıricoTenemos que
dq := limε→0
1
1− qlog
N(ε)∑i=1
P(Ci )q
,
Luego
N(ε)∑i=1
P(Ci )q ≈ ε−(1−q) dq
N(ε)∑i=1
P(Ci )qεα ≈ εα−(1−q) dq .
Aquı ξ(C ) = P(C ), η(C ) = diam(C ) y αc(q) = dq(1− q).
La construccion de Moran
Construcciones GeometricasNos damos p ∈ Z (el tamano del alfabeto),y un compacto ∆ω1···ωn para cada ω1 · · ·ωn ∈
⋃n∈N{1, 2, . . . , p}n.
La familia de compactos debe cumplir
• ∆ω1···ωn = int(∆ω1···ωn).
• ∆ω1···ωnωn+1 ⊂ ∆ω1···ωn .
• diam(∆ω1ω2···ωn)→ 0 cuando n→∞.
• int(∆ω1···ωn) ∩ int(∆ω′1···ω′
n) = ∅ siempre que
ω1 · · ·ωn 6= ω′1 · · ·ω′n.
Entonces definimos F =⋂
n∈N⋃ω1···ωn
∆ω1···ωn .
EjemploEl triangulo de SierpinskiAquı p = 3 y los compacto ∆ω1···ωn son triangulos de lado 2−n.
Tambien es es el atractor de la transformacion F : C→ C dada por
F (z) =
2z if z ∈ ∆1
2z − 1/2− i if z ∈ ∆2
2z − 1 if z ∈ ∆3
0 en otro caso.
El resultado de Moran
Dimension de HausdorffP.A.P. Moran (1945). En el caso en que existen factores decontraccion λ1, λ2 . . . , λp ∈ [0, 1) tales que
diam(∆ω1···ωn) =n∏
i=1
λωi ,
entonces dHausdorff(F ) = s donde s es la unica solucion de laecuacion
p∑i=1
λSi = 1.
El resultado de Moran
El argumentoSupongamos que medir con bolas abiertas es lo mismo que medircon conjuntos basicos ∆ω1···ωn .Bolas abiertas de radio 6 ε corresponden a conjuntos basicos∆ω1···ωn con n > n(ε) con n(ε)→∞ cuando ε→ 0.
infn>n(ε)
∑diam(∆ω1···ωn)α 6
∑ω∈{1,...,p}n(ε)
diam(∆ω)α
=∑
ω∈{1,...,p}n(ε)
n(ε)∏i=1
λαωi=
(p∑
k=1
λαk
)n(ε)
Capıtulo 3
Revision de trabajos
Puntos no-tıpicos
El teorema de BirkhoffD. G. Birkhoff (1931).Sea (X , f ) un sistema dinamico y µ una medida f -invariante,entonces
φ∗(x) := limn→∞
1
n
n−1∑t=0
φ(f t(x))
existe para toda funcion µ-integrable φ y para µ-casi todo x. Lafuncion φ∗ es µ-integrable tambien.
Puntos no-tıpicosDado (X , f ) definimos
Bf := {x ∈ X : φ∗(x) no existe para alguna φ}
Puntos no-tıpicos
Dimension de Hausdorff de no-tıpicosL. Barreira y J. Schmeling (2000)Sea F : Rn → Rn una transformacion expansiva, dos vecesdiferenciable y topologicamente mezclante, y sea C ⊂ Rn unrepulsor. Si DxF = a(x) Id para todo x ∈ C , entonces
dHausdorff(C ) = dHausdorff(BF ).
Conjetura de Ruelle-Eckmann
Dimension de una medidaSea (X ,F ) un sistema dinamico diferenciable y µ una medidaf -invariante.
dHausdorff(µ) := inf{dHausdorff(Y ) : Y ⊂ X , µ(Y ) = 1}.
Dimension local de la medida
dµ(x) := lim infε→0
log(µ(B(ε, x)))
log(ε)
dµ(x) := lim supε→0
log(µ(B(ε, x)))
log(ε).
Conjetura de Ruelle-Eckmann
ProposicionSi dµ(x) = dµ(x) := d, entonces dHausdorff(µ) = d.
Una medida f -invariante se dice hiperbolica si ninguno de susexponentes de Lyapunov es cero.
Conjetura de Ruelle-EckmannSi µ es hiperbolica, entonces dµ(x) = dµ(x).
La conjetura se probo para f un difeo C 1+α y X una variedadriemanniana sin bordes (Barreira-Pesin-Schmeling 1996).
Fin
Gracias