Teoría de Colas (Líneas de Espera) - ADMIN.PRODUCCIONunderucaadministracionproduccion.weebly.com/.../2/8/4/...de_colas.pdf · Teoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho

Teoría de Colas(Líneas de Espera)

Administración de la Producción 3C T

Las colas…

� Las colas son frecuentes en nuestra vida

cotidiana:

� En un banco

� En un restaurante de comidas rápidas

� Al matricular en la universidad

� Los autos en un lava carro.

� En un supermercado.

� En una estación de combustible

� En un estadio deportivo

Las colas…

� En general, a nadie le gusta esperar

� Cuando la paciencia llega a su límite, la gente

se va a otro lugar.

� Sin embargo, un servicio muy rápido tendría

un costo muy elevado

� Es necesario encontrar un balance adecuado

� Esto es la relación positiva de Beneficio/costo.

Teoría de Colas

Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en

una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos para

las líneas de esperas. Estos modelos se usarán para

responder preguntas como las siguientes:

1. Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?

2. Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?

3. Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la

cola?

4. Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera

de un cliente?

5. Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de

clientes presentes en la cola?

6. Cuál es el costo de operación para el sistema actual?

Teoría de Colas

� Una cola es una línea de espera.

� La teoría de colas es un conjunto de modelos

matemáticos que describen sistemas de líneas de

espera particulares.

� El objetivo es encontrar el estado estable del

sistema y determinar una capacidad de servicio

apropiada

Teoría de Colas

� Existen muchos sistemas de colas distintos

� Algunos modelos son muy especiales

� Otros se ajustan a modelos más generales

� Se estudiarán algunos modelos comunes

� Otros se pueden tratar a través de la simulación

Sistemas de Colas: modelo básico

� Un sistema de colas puede dividirse en dos

componentes principales:

� La cola

� La instalación donde se presta el servicio.

� Los clientes o llegadas ocurren en forma

individual para recibir el servicio


� Los clientes o llegadas pueden ser:

� Personas

� Automóviles

� Máquinas que requieren reparación

� Documentos

� Entre muchos otros tipos de artículos


� Si cuando el cliente llega no hay nadie en la

cola, pasa de una vez a recibir el servicio.

� Caso contrario, se incorpora a la cola.

� Es importante señalar que la cola no incluye a

quien está recibiendo el servicio.


� Las llegadas van a la instalación de servicio de

acuerdo con la disciplina de la cola.

� Generalmente ésta es primero en llegar,

primero en ser servido (FIFO)

� Pero pueden haber otras reglas o colas con

prioridades, ultima en llegar primero en ser

servido (LIFO), SIRO, se atiende primero a

aquel que requiera más corto

Sistemas de colas: modelo básico

Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalación

del servicio

Disciplinade la cola

Salidas

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Estructuras típicas de un sistema de colas:

una línea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Estructuras típicas de un sistema de colas:

una línea, múltiples servidores

Estructuras típicas de colas: varias líneas,

múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola

Estructuras típicas de colas:

una línea, servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor

Costos de un sistema de colas

1. Costo de espera: Es el costo para el cliente

al esperar

� Representa el costo de oportunidad del

tiempo perdido

� Un sistema con un bajo costo de espera es

una fuente importante de competitividad

Costos de un sistema de colas

2. Costo de servicio: Es el costo de operación

del servicio brindado

� Es más fácil de estimar

� El objetivo de un sistema de colas

es encontrar el sistema del costo

total mínimo

Sistemas de colas: Las llegadas

� El tiempo que transcurre entre dos llegadas

sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo

entre llegadas

� El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable

� El número esperado de llegadas por unidad de

tiempo se llama tasa media de llegadas (λ)


� El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ

� Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ

= 20 clientes por hora

� Entonces el tiempo esperado entre llegadas es

1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

!)(

k

ekP

k λλ −

=λ : tasa media de

llegadas

e = 2,7182818…

Ejemplo: Consumo de cervezaEjemplo: Consumo de cervezaEjemplo: Consumo de cervezaEjemplo: Consumo de cerveza

� La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el

restaurante Dick sigue una distribución de

Poisson, con un promedio de 30 cervezas por

hora.

1.Estime la probabilidad de que se pidan

exactamente 60 cervezas entre las 10 y 12 de la

noche.

2.Encuentre la de media y desviación estándar de

cervezas pedidas entre las 9 PM y 1 AM.

3.Determine la probabilidad de que el tiempo entre

dos pedidos consecutivos está entre 1 y 3

minutos.

SoluciSoluciSoluciSolucióóóón: (1)n: (1)n: (1)n: (1)

� La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la noche, se acerca a una distribución de Poisson con parámetro 2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30 cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:

Se puede usar la función de excel.

POISSON(60,60,FALSO)= 0.05143174= 5.1%

05143174.0!60

60!

)(6060

===−− e

k

ekP

k λλ

SoluciSoluciSoluciSolucióóóónnnn…………(2 y 3)(2 y 3)(2 y 3)(2 y 3)

� Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120. La desviación estándar en ese período es (120)1/2 =10.95

� Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos de cervezas. El número de promedio de pedidos por minutos es exponencial con parámetros o razón 30/60 = 0.5 (treinta cervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto la función de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurre entre pedidos de cervezas (dado que la tasa de

llegada para una cola M/M/1). Entonces.

38.05.0

5.0)5.0()31( 5.05.13

1

5.05.031 =+−=

−=∫=≤≤ −−−− eeedteXP tt

tt eeta 5.05.0)( −− == λλ


� Además es necesario estimar la distribución de

probabilidad de los tiempos entre llegadas

� Generalmente se supone una distribución

exponencial (M).

� Esto depende del comportamiento de las

llegadas.

Sistemas de colas: Las llegadas –Distribución exponencial

� La forma algebraica de la distribución

exponencial es:

� Donde t representa una cantidad expresada en

unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)

tetserviciodetiempoP µ−−=≤ 1)(

Sistemas de Colas: Las llegadas Sistemas de Colas: Las llegadas Sistemas de Colas: Las llegadas Sistemas de Colas: Las llegadas ––––

DistribuciDistribuciDistribuciDistribucióóóón exponencialn exponencialn exponencialn exponencial

Media Tiempo0

P(t)

Sistemas de colas: Las llegadas –

Distribución exponencial

� La distribución exponencial supone una mayor

probabilidad para tiempos entre llegadas

pequeños

� En general, se considera que las llegadas son

aleatorias

� La última llegada no influye en la probabilidad de

llegada de la siguiente

Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas ----

DistribuciDistribuciDistribuciDistribucióóóón de Poissonn de Poissonn de Poissonn de Poisson

� Es una distribución discreta empleada con mucha

frecuencia para describir el patrón de las llegadas

a un sistema de colas.

� Para tasas medias de llegadas pequeñas es

asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima

a la binomial para tasas de llegadas altas.

Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas ----

DistribuciDistribuciDistribuciDistribucióóóón de Poissonn de Poissonn de Poissonn de Poisson

� Su forma algebraica es:

� Donde:

� P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de

tiempo

� λ : tasa media de llegadas

� e = 2,7182818…

!)(

k

ekP

k λλ −

=

Sistemas de colas: Las llegadas -

Distribución de Poisson

Llegadas por unidad de tiempo0

P

Sistemas de colas: La cola

� El número de clientes en la cola es el número

de clientes que esperan el servicio.

� El número de clientes en el sistema es el

número de clientes que esperan en la cola más

el número de clientes que actualmente reciben

el servicio.

Sistemas de Colas: La cola

� La capacidad de la cola es el número máximo

de clientes que pueden estar en la misma.

� Generalmente se supone que la cola es infinita.

� Aunque también la cola puede ser finita.

Sistemas de Colas: La cola

� La disciplina de la cola se refiere al orden en que

se seleccionan los miembros de la cola para

comenzar el servicio

� La más común es (FIFO)PEPS: primero en llegar,

primero en servicio

� Puede darse: selección aleatoria, prioridades,

(LIFO)UEPS, entre otras.

Sistemas de Colas: El servicio

� El servicio puede ser brindado por un servidor

o por servidores múltiples.

� El tiempo de servicio varía de cliente a cliente.

� El tiempo esperado de servicio depende de la

tasa media de servicio (µ).


� El tiempo esperado de servicio equivale a 1/µ

� Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de

25 clientes por hora

� Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/µ

= 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos.


� Es necesario seleccionar una distribución de

probabilidad para los tiempos de servicio.

� Hay dos distribuciones que representarían puntos

extremos:

� La distribución exponencial (σ=media)

� Tiempos de servicio constantes (σ=0)


� Una distribución intermedia es la distribución

Erlang

� Esta distribución posee un parámetro de forma k

que determina su desviación estándar:

mediak

1=σ


� Si k = 1, entonces la distribución Erlang es

igual a la exponencial.

� Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es

igual a la distribución degenerada con tiempos

constantes.

� La forma de la distribución Erlang varía de

acuerdo con k.


Media Tiempo0

P(t)k = ∞

k = 1 k = 2

k = 8

Sistemas de Colas: DistribuciSistemas de Colas: DistribuciSistemas de Colas: DistribuciSistemas de Colas: Distribucióóóón Erlangn Erlangn Erlangn Erlang

Distribución Desviación estándar

Constante 0

Erlang, k = 1 media

Erlang, k = 2

Erlang, k = 4 1/2 media

Erlang, k = 8

Erlang, k = 16 1/4 media

Erlang, cualquier k

media2/1

media8/1

mediak/1

Sistemas de Colas: Identificación

Notación de Kendall: A/B/c

La notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera

en el cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que

está libre uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el

primer cliente en la cola entre al servicio, y así sucesivamente.

� A: Distribución de tiempos entre llegadas

� B: Distribución de tiempos de servicio

� M: distribución exponencial

� D: distribución degenerada

� Ek: distribución Erlang

� c: Número de servidores

Estado del sistema de Colas

� En principio el sistema está en un estado inicial.

� Se supone que el sistema de colas llega a una

condición de estado estable (nivel normal de

operación).

� Existen otras condiciones anormales (horas pico,

etc.).

� Lo que interesa es el estado estable.

Desempeño del sistema de Colas

� Para evaluar el desempeño se busca conocer

dos factores principales:

1. El número de clientes que esperan en la

cola.

2. El tiempo que los clientes esperan en la

cola y en el sistema.

Medidas del desempeMedidas del desempeMedidas del desempeMedidas del desempeñññño del sistema o del sistema o del sistema o del sistema

de colasde colasde colasde colas

1. Número esperado de clientes en la cola Lq

2. Número esperado de clientes en el sistema Ls

3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq

4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

5. Número promedio de clientes que atenderá el

servidor W.

Medidas del desempeMedidas del desempeMedidas del desempeMedidas del desempeñññño del sistema de colas: o del sistema de colas: o del sistema de colas: o del sistema de colas:

ffffóóóórmulas generalesrmulas generalesrmulas generalesrmulas generales

λ

µλ

λλ

µ

LW

LL

WL

WL

WW

qs

qq

ss

qs

=

+=

==

+= 1

Medidas del desempeño del sistema

de colas: ejemplo

� Suponga una estación de servicio a la cual

llegan en promedio 45 clientes por hora

� Se tiene capacidad para atender en promedio a

60 clientes por hora.

� Se sabe que los clientes esperan en promedio

3 minutos en la cola.


de colas: ejemplo

� La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por

hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto

� La tasa media de servicio µ es 60 clientes por

hora o 60/60 = 1 cliente por minuto


de colas: ejemplo

clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.0

3475.0

min41

13

1

min3

=×===×==

=+=+=

=

λλ

µ


de colas: ejercicio

� Suponga un restaurante de comidas rápidas al

cual llegan en promedio 100 clientes por hora

� Se tiene capacidad para atender en promedio a

150 clientes por hora.

� Se sabe que los clientes esperan en promedio 2

minutos en la cola.

� Calcule las medidas de desempeño del sistema.

Probabilidades como medidas del Probabilidades como medidas del Probabilidades como medidas del Probabilidades como medidas del

desempedesempedesempedesempeññññoooo

� Beneficios:

� Permiten evaluar escenarios

� Permite establecer metas

� Notación:

� P(n) : probabilidad de tener n clientes en el

sistema

� P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no

espere en el sistema más de t horas.

Factor de utilización del sistema:

� Dada la tasa media de llegadas λ y la tasa media

de servicio µ, se define el factor de utilización del

sistema ρ.

� Generalmente se requiere que ρ < 1

� Su fórmula, con un servidor y con s servidores,

respectivamente, es:

µλρ

µλρ

s==

Factor de utilización del sistema -

ejemplo

� Con base en los datos del ejemplo anterior, λ

= 0.75, µ = 1

� El factor de utilización del sistema si se

mantuviera un servidor es

ρ = λ/µ = 0.75/1 = 0.75 = 75%

� Con dos servidores (s = 2):

ρ = λ/sµ = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

Modelos de una cola y un servidor

� M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y

tiempos de servicio exponenciales

� M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución general de

tiempos de servicio

� M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución degenerada de

tiempos de servicio

� M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución Erlang de tiempos

de servicio

Modelo M/M/1Modelo M/M/1Modelo M/M/1Modelo M/M/1

1,0

)()(

)()1(

)(1

)(

)1()1(

1

2

<≥

=>=>

=>−=

=−

=−

=

−=

−=

−−−−

+

ρρρρρ

λλµµλ

λµ

λµµλ

µλλ

ρµρµ

t

etWPetWP

nLPP

LWW

LL

tq

ts

ns

nn

qqs

qs

Modelo M/M/1: ejemplo 1ejemplo 1ejemplo 1ejemplo 1

� Un lavadero de autos puede atender un auto cada 5

minutos siendo la tasa media de llegadas es de 9

autos por hora.

� Obtenga los indicadores de desempeño de acuerdo

con el modelo M/M/1

� Obtener además la probabilidad de tener 0 clientes

en el sistema, la probabilidad de tener una cola de

más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más

de 30 min. en la cola y en el sistema.

Modelo M/M/1: Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1

17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.01

25.2)(

3

75.012

9,12,9

)1(

)1(

1300

2

==>

==>

==>=−=

==−

=

==−

=

=−

==−

=

====

−−

−−

+

tq

ts

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL

ρµ

ρµ

ρ

ρρρλµµ

λλµ

λµµλ

µλλ

ρµλ

Modelo M/M/1 Ejemplo 2

� Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con

un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda

del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por

cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas

y los tiempos de servicios son exponenciales. Calcular:

1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola

del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo

atendido, no está en la cola esperando)

3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el

estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio).

4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Solución:

� De acuerdo con los datos, estamos trabajando con sistema de colas M/M/1 para lo cual λ=10 automóviles por hora y µ=15 automóviles por hora.

1. el cajero estará ocioso un tercio del tiempo.

2. Determinar clientes.

3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.

32

1510==ρ

31

32

11 tantolo 0 =−=−= ρπpor

34

32

1

32

1

2

2

=−

=−

=ρ

ρqL

clientes 2

32

1

32

1=

−=

−=

ρρ

L horas 51

102 ===

λL

W

Solución:

4. Si el cajero siempre estuviera ocupado,

atendería un promedio de µ=15 clientes por

hora. Según la solución encontrada en (1) el

cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto

dentro de cada hora, el cajero atenderá un

promedio de (2/3)(15)= 10 clientes.

Modelo M/M/1: Ejemplo 3� Suponga que todos los automovilistas acuden a la estación de servicio cuando sus tanques están por la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una estación que tiene un solo surtidor. Se requiere un promedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.

1. Calcule L y W para los condiciones actuales.

2. Suponga que hay un déficit de abastecimiento de combustible y que hay demanda creciente. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los automovilistas compran ahora combustible cuando sus tanques tienen ¾de la capacidad. Como cada dueño pone ahora menos combustible en el tanque cada vez que acude a la estación, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3 minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L y W la nueva demanda?

Solución:

� Tenemos un sistema M/M/1 con λ= 7.5 automóviles por hora y µ=15 (60/4) automóviles por hora.

� Por lo tanto tiempo que la bomba pasa ocupada.

(cantidad de clientes promedio presente en el sistema de colas).

(Tiempo previsto que un cliente pasa en el sistema de cola).

Por tanto bajo estas circunstancia todo está bajo control.

50.015

5.7 ==ρ

150.01

50.01

=−

=−

=ρ

ρL

horas 13.05.7

1 ===λL

W

Solución.

λ=2*(7.5)= 15 automóviles por hora

Esto se infiere por que cada dueño llenará su tanque dos veces) . Ahora

Entonces.

automóviles

18333.360 ≈=µ

65

1815 ==ρ

56/51

6/51

=−

=−

=ρ

ρL

min 20 31

155 ==== hora

LW

λ

Modelo M/M/1: ejercicio

� A un supermercado llegan en promedio 80

clientes por hora que son atendidos en sus 5

cajas.

� Cada caja puede atender en promedio a un cliente

cada 3 minutos.

� Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo

con el modelo M/M/1.

� Además calcular la probabilidad de tener 2

clientes en el sistema, la probabilidad de tener

una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de

esperar más de 10 min. en la cola

Modelo M/G/1

1

1

1

)1(2

0

222

<=−=

=+=

−+=+=

ρρρ

λµ

ρρσλρ

w

qqqs

qqs

PP

LWWW

LLL

Modelo M/G/1: ejemplo

� Un lavadero de autos puede atender un auto cada

5 min. y la tasa media de llegadas es de 9

autos/hora, σ = 2 min.


con el modelo M/G/1

� Además la probabilidad de tener 0 clientes en el

sistema y la probabilidad de que un cliente tenga

que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

===−=

===

==+=

=−+=

=+=+=

ρρλ

µ

ρρσλ

ρ

w

qq

qs

q

qs

PP

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesLL

Modelo M/G/1: ejercicio

� A un supermercado llegan en promedio 80 clientes

por hora que son atendidos en sus 5 cajas.


cada 3 minutos. Suponga σ = 5 min


con el modelo M/G/1

� Además la probabilidad de tener 0 clientes en el

sistema y la probabilidad de que un cliente tenga

que esperar por el servicio

Modelo M/D/1

1

1

)1(2

2

<

=+=

−==

ρλµ

ρρλ

qqqs

qss

LWWW

LWL

Modelo M/D/1: ejemplo

� Un lavadero de automotores puede atender un

auto cada 5 min.

� La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.


con el modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemplo

min5.7125.0

min5.1221.01

125.1)1(2

875.12

===

==+=

=−

=

==

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesWL

qq

qs

q

ss

λ

µ

ρρ

λ

Modelo M/D/1: ejercicio


por hora que son atendidos en sus 5 cajas.


cada 3 minutos.

� Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con

el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/1

1

1

)1(2

)1(2

<

=+=

−+==

ρλµ

ρρλ

qqqs

qss

LWWW

k

kLWL

Modelo M/Ek/1: ejemplo

� Un lavadero de autos puede atender un auto

cada 5 min.

� La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.

Suponga σ = 3.5 min (aprox.)

� Obtenga las medidas de desempeño de

acuerdo con el modelo M/Ek/1


min25.111875.0

min25.162708.01

6875.1)1(2

)1(

437.22

===

==+=

=−+=

==

hrsL

W

hrsWW

clientesk

kL

clientesWL

qq

qs

q

ss

λ

µ

ρρλ



por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.


cada 3 minutos. Suponga k= 4

� Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con

el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Comparativamente complete el cuadro para los ejemplos del lavadero

Modelo Ls Ws Lq Wq

M/M/1

M/G/1

M/D/1

M/Ek/1

Modelos de varios servidores

� M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y

tiempos de servicio exponenciales

� M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución degenerada de

tiempos de servicio

� M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución Erlang de

tiempos de servicio

M/M/s, una línea de espera

00

0

02

1

0

0

!

1,

!

,!

1

)()!1(

!!

1

Ps

s

sPknsiP

ssP

knsiPn

PWW

LWLLP

ssL

ns

s

s

P

swsn

n

n

n

nqs

qqqs

s

q

s

n

ns

−=>=

≤=+=

=+=−−

=

+

−

=

−

−

=∑

λµµρρ

ρµ

λµλ

λµλµρ

ρλµ

µρ

M/M/s, una línea de espera

)46)(3(

3

4

2

2

4

2

3

ρρρρ

ρρ

+−−=

=−

=

=

q

q

L

sSi

L

sSi

Análisis económico de líneas de espera

Costos

Tasa de servicioTasa óptimade servicio

Costo de espera

Costo del servicio

Costo total

AplicaciAplicaciAplicaciAplicacióóóón Prn Prn Prn Prááááctica con ctica con ctica con ctica con WinQSBWinQSBWinQSBWinQSB

� Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5

minutos por cliente siguiendo una distribución exponencial.

Los clientes llegan a este almacén siguiendo una

distribución Poisson a razón de 30 por hora. Con esta

información calcular: A) La probabilidad de que el sistema

esté lleno, B) La intensidad de trafico.

Datos:

� Numero de servidores = 2

� λ=30 [cl/hr]

� µ=1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]

� El problema será del tipo M/M/2/FIFO/∞/∞

SoluciSoluciSoluciSolucióóóón:n:n:n:

Procedimiento

� Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas (QA).

� Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los datos. Este se llamaráCajeras, eligiendo como unidad de tiempo “horas”:

SoluciSoluciSoluciSolucióóóónnnn…………

� En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra:


� En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra:

Los valores de M, representan que es un valor infinito.


� Al presionar el icono se verá la ventana de los resultados:


Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de FórmulaPromedio de cliente llegados por Hora λ= 30Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30Tasa de ocupación del sistema 37.50%Número promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727Número promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6

Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) =0.0291 Horas

Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) =0.0041 Horas

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) =0.0200 Horas

Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) = 45.45%Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema estáocupado(Pb) = 20.45%Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora = 0Costo total del servidor ocupado por Hora = $0Costo total del servidor ocioso por Hora = $0Costo total clientes esperando por hora $0Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0Cosot total de clientes being balked per Hora = $0Total queue space cost per Hora = $0Costo total del sistema por Hora = $0

En E

spañol


� Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis:

� Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0 hasta 200 clientes en la cola:


� También podemos realizar una simulación del sistema:

� Si presionamos veremos la siguiente ventana:

� En el que usaremos:

� La semilla de aleatoriedad por defecto

� Una disciplina de cola de tipo FIFO

(PEPS)

� Un tiempo de simulación de cola

de 24 horas (1 día).

� El momento que iniciará la recolección

de datos

será a las cero horas.

� La capacidad de la cola es infinita (M).

� El máximo de número de recolecciones

de datos será infinito (M).


• Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:


• Las probabilidades estimadas para n clientes:


• Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de sensibilidad.

•Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:


• Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como parámetro de análisis a la tasa de llegadas λ, haciendo que esta cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera reacciona el sistema:

•Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los 70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible), pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema se vuelve inestable, es decir el número de servidores es insuficiente.


También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un parámetro determinado en función del parámetro analizado:Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph

•Se abrirá la siguiente ventana:

En la que seleccionaremos comovariable independiente para el gráfico a L (Número promedio de clientes en el sistema), en función de nuestro parámetro analizado (λ):


En el que se puede ver un crecimiento exponencial.

Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los

parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.


• Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad:

Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán

los siguientes costos

Costo de servidor ocupado por hora = 5 $

Costo de servidor ocioso por hora = 1 $

Costo por cliente

en espera = 0.5 $

Costo por cliente

servido por hora = 3 $

Costo por cliente

no atendido = 1 $

Costo unitario por

capacidad de cola = 3$


Si se presiona podremos observar la siguiente ventana:

En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la formula G/G/s de aproximación.


c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:

2222---- PrPrPrPrááááctica con ctica con ctica con ctica con WinQSBWinQSBWinQSBWinQSB� Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan llegan en forma aleatoria siguiendo una Poisson a razón de dos camiones por hora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo una distribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, la razón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tenerel chofer esperando ser servido, se estima en 20 $ por hora. Sedesea determinar el tamaño del equipo que minimiza el costo total.

� Datos:

� Numero de servidores = 2

� λ=2 [cl/hr]� µ1= 3 [cl/hr], µ2= 4 [cl/hr], µ3= 5 [cl/hr]…………� El problema será del tipo M/M/1/FIFO/∞/∞� CS = 5 [$/hr]

� CE = 20 [$/hr]

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