Teorema celor patru culori

prof. Luminiţa Petrişan - C.N. “M. Eminescu”

Despre colorarea hărţilor

În 1852, Francis Guthrie a încercat săcoloreze o hartăreprezentând comitatele Angliei, astfel încât douăregiuni cu frontierăcomună să aibăculori distincte.

Problema lui Guthrie

De câte culori este nevoie pentru a colora o hartă oarecare, astfel încât regiunile cu frontiera comună să aibăculori diferite?

4 culori sunt necesare

Oare sunt suficiente?

Întreabă un prieten…

? ? ? ? ?

Care întreabă

alţi prieteni…

Şi pentru că nu exista internet…

De la profesor la student, de la coleg la coleg… problema a ajuns la Arthur Cayley,

care i-a întrebat pe colegii săi din London Mathematical Society.

Conjectura celor patru culori

A rămas nerezolvată timp de 124 de ani

Câteva observaţii utile

Soluţia unei asemena probleme nu trebuie să depindă de forma particularăa hărţii.

Forma şi mărimea ţărilor nu sunt importante din punctul de vedere al colorării!

Hărţi echivalente

Puţină topologie

Topologia este un domeniu al matematicii apropiat de geometrie, în sensul că studiază proprietăţile obiectelor în 2,3,… dimensiuni.

Diferenţa este că în topologie distanţele, unghiurile nu sunt importante.

Puţină topologie

Două obiecte sunt socotite echivalente dacăpot fi obţinute unul din celălalt prin transformări continue: îndoiri, întinderi, răsuciri.

Reteaua de vecinatate

Suntem interesati in primul rand de natura topologica a hartii, mai precis de relatia de vecinatate intre regiuni.

Fixam cate un punct in interiorul fiecarei tari, si unim cu o linie 2 puncte daca si numai daca regiunile carora apartin au frontiera comuna.

Reţeaua de vecinătăţi

De exemplu, alegem capitala fiecarei tari, si construim cale ferata intre doua capitale doar daca tarile sunt vecine!

De la hărţi la teoria grafurilor

Problema poate fi reformulată astfel:

Putem colora vârfurile unui graf planar în patru culori, astfel încât două vârfuri adiacente să fie colorate diferit?

Formula lui Euler

V-M+F=1

In exemplul alaturat: V = 7 M = 10 F = 4

Teorema lui De Morgan

Pe nicio harta nu putem gasi un grup de 5 regiuni astfel incat oricare sa aiba frontiera comuna cu celelalte 4.

Graf complet cu n vârfuri

1K 2K 3K

4K 5K

Teorema lui De Morgan

Echivalent, trebuie să demonstrăm că un graf complet cu 5 vârfuri nu este planar.

Să presupunem că ar exista. Dacă socotim drept faţă şi regiunea nemărginită a planului, formula lui Euler devine:

1FF~ unde 2,F

~M-V

Teorema lui De Morgan

V=5

M=10 (pentru că graful este complet)

Din formulă rezultă

Fiecare faţă este mărginită de cel puţin 3 muchii (în sens topologic). Dar o muchie este comună pentru 2 feţe, deci trebuie să existe cel puţin ½ (3 x 7)=10+ ½ muchii.

7F~

Teorema lui De Morgan

Cum nu există jumătăţi de muchii trebuie să avem cel puţin 11 muchii.

Contradicţie! M=10

Încercări nereuşite

Alfred Kempe a publicat în 1879 un articol în care pretindea că a rezolvat conjectura celor patru culori.

În 1890 Percy John Heawood găseşte însă o greşeală, dar reuşeşte să salveze o parte din ideile lui Kempe, demonstrând teorema celor 5 culori.

Teorema celor 5 culori

Orice hartă plană poate fi colorată cu cel mult 5 culori.

Ideea demonstraţiei constă în a reduce succesivorice hartă la una ce conţine cel mult 5 regiuni, astfel încât după fiecare pas de reducere, dacă harta redusă poate fi colorată cu cel mult 5 culori, atunci şi harta iniţială să poată fi colorată cu cel mult 5 culori.

Prima procedură de reducere

(1)

A doua procedură de reducere

(2)

Procedurile de reducuere:

(3) (4)

(2)(1)

A 5-a procedură de reducere

Teorema celor 5 culori

Aplicând procedeele de reducere precedente se ajunge în final la o hartăîn care nici o regiune nu înconjoară o alta, fiecare vârf se găseşte pe exact trei frontiere şi fiecare regiune are cel puţin 5 muchii.

Se arată (folosind formula lui Euler) căexistă o regiune cu exact 5 muchii.

O regiune cu 5 muchii poate fi eliminată !

Un pas înainte

Încercarea de demonstraţie a lui Kempe, conţinea ideile de bază care au condus în cele din urmă la reuşita lui Haken şi Appel din 1976.

O hartă în care nici o regiune nu înconjoară o alta şi în care fiecare vârf se găseşte pe exact trei frontiere se numeşte hartă normală.

Hartă normală minimală

Orice hartă, şi în particular cele normale pot fi colorate în cinci culori.

Să presupunem că există hărţi normale pentru a căror colorare sunt necesare cinci culori.

O asemenea hartă cu un număr minim de ţări se numeşte hartă normalăminimală.

Mulţimi inevitabile şi reductibile

O mulţime de hărţi M se numeşte mulţime inevitabilă dacă oricare ar fi o hartă normală minimală H există o hartădin M conţinută în H.

O hartă este reductibilă dacă orice hartănormală minimală care o conţine poate fi redusă la o hartă cu mai puţine ţări.(obţinându-se astfel o contradicţie)

Ideea demonstraţiei

Să construim o mulţime inevitabilă de hărţi reductibile!

Dar o astfel de mulţime nu a fost uşor de găsit…

Estimarea lui Heesch

O mulţime inevitabilă are în jur de

10.000 de elemente!

Se simte nevoia unui…

Teorema celor 4 culori- o demonstraţie atipică (1976)

Numărul de configuraţii care a trebuit să fie analizat era uriaş (aprox. 1500), aşa că o demonstraţie clasică nu a mai fost rezonabilă.

Un program pe computer, perfecţionat de-a lungul a patru ani de muncă, a verificat reductibilitatea tuturor configuraţiilor, finalizând astfel demonstraţia.

Morala…

Matematica este pregătită să accepte şi demonstraţii parţial computerizate !