TEOREMA DE EULER DEL NUMEROPENTAGONAL

Jesus A. CorralChiara ForacePiera Galber

Luis J. Salmeron ContrerasMarıa Soler Facundo

Universitat de Valencia

16 Enero 2014

Introduccion

Definicion

Un numero pentagonal esta definido por la siguiente formula:

pn =3n2 − n

2para n ∈ N∗

Introduccion

Cambiando el dominio obtenemos los numeros pentagonalesgeneralizados:

pn =3n2 − n

2para n ∈ Z

Los primeros numeros pentagonales generalizados son0,1,2,5,7,12,15, . . .

Notese que las sucesiones{3n2−n

2

}n∈Z y

{3n2+n2

}n∈Z son

iguales por serlo {n}n∈Z y {−n}n∈Z

Introduccion

Cambiando el dominio obtenemos los numeros pentagonalesgeneralizados:

pn =3n2 − n

2para n ∈ Z

Los primeros numeros pentagonales generalizados son0,1,2,5,7,12,15, . . .

Notese que las sucesiones{3n2−n

2

}n∈Z y

{3n2+n2

}n∈Z son

iguales por serlo {n}n∈Z y {−n}n∈Z

Introduccion

Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.

Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.

Funcion de particion

∞∑n=0

p(n)qn =∞∏

k=1

(1− qk )−1

donde p(n) representa el numero de particiones de n.

Introduccion

Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.

Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.

Funcion de particion

∞∑n=0

p(n)qn =∞∏

k=1

(1− qk )−1

donde p(n) representa el numero de particiones de n.

Introduccion

Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.

Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.

Funcion de particion

∞∑n=0

p(n)qn

=∞∏

k=1

(1− qk )−1

donde p(n) representa el numero de particiones de n.

Introduccion

Una particion de un natural n es una forma dedescomponer n como suma de enteros positivos.

Euler utilizo las propiedades de las potencias para expresar lasparticiones de cualquier numero.

Funcion de particion

∞∑n=0

p(n)qn =∞∏

k=1

(1− qk )−1

donde p(n) representa el numero de particiones de n.

Introduccion

Funcion de Euler

φ(q) =∞∏

k=1

(1− qk )

Si desarrollamos φ(q):

(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3

(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q

3 + q4 + q5 − q6

...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...

Introduccion

Funcion de Euler

φ(q) =∞∏

k=1

(1− qk )

Si desarrollamos φ(q):

(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3

(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q

3 + q4 + q5 − q6

...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...

Introduccion

Funcion de Euler

φ(q) =∞∏

k=1

(1− qk )

Si desarrollamos φ(q):

(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3

(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q

3 + q4 + q5 − q6

...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...

Introduccion

Funcion de Euler

φ(q) =∞∏

k=1

(1− qk )

Si desarrollamos φ(q):

(1− q)(1− q2) = 1− q − q2 + q3

(1− q)(1− q2)(1− q3) = 1− q2 +@@q3 −@@q

3 + q4 + q5 − q6

...(1−q)(1−q2)(1−q3) . . . (1−q22) = 1−q−q2+q5+q7−q12−q15+q22...

Introduccion

∞∏k=1

(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...

Los coeficientes 1,2,5,7,12,15,22 . . . que aparecen en losexponentes son los numeros pentagonales generalizados.

Ademas las q elevadas a pn con n par (impar) tienen signopositivo (negativo).

p1 = 1 p−1 = 2 p3 = 12 p−3 = 15

p0 = 0 p2 = 5 p−2 = 7 p4 = 22

Introduccion

∞∏k=1

(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...

Los coeficientes 1,2,5,7,12,15,22 . . . que aparecen en losexponentes son los numeros pentagonales generalizados.Ademas las q elevadas a pn con n par (impar) tienen signopositivo (negativo).

p1 = 1 p−1 = 2 p3 = 12 p−3 = 15

p0 = 0 p2 = 5 p−2 = 7 p4 = 22

Introduccion

∞∏k=1

(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...

Por tanto es natural plantearse que

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nqpn =

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2−n

2

Euler enuncio y demostro precisamente esto.

Introduccion

∞∏k=1

(1− qk ) = 1− q − q2 + q5 + q7 − q12 − q15 + q22...

Por tanto es natural plantearse que

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nqpn =

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2−n

2

Euler enuncio y demostro precisamente esto.

Teorema

Teorema del numero pentagonal

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2−n2

Notar que:

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2−n

2 =∞∑

n=−∞(−1)−nq

3n2+n2 =

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2+n

2

Teorema

Teorema del numero pentagonal

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2−n2

Notar que:

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2−n

2 =

∞∑n=−∞

(−1)−nq3n2+n

2 =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2+n2

Teorema

Teorema del numero pentagonal

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2−n2

Notar que:

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2−n

2 =∞∑

n=−∞(−1)−nq

3n2+n2 =

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2+n

2

Teorema

Teorema del numero pentagonal

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2−n2

Notar que:

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2−n

2 =∞∑

n=−∞(−1)−nq

3n2+n2 =

∞∑n=−∞

(−1)nq3n2+n

2

Demostracion por biyeccion

Teorema

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2+n2

Empezamos la demostracion utlizando la funcion de particion

∞∏k=1

(1− qk )−1 =∞∑

n=0

p(n)qn

Demostracion por biyeccion

Teorema

∞∏k=1

(1− qk ) =∞∑

n=−∞(−1)nq

3n2+n2

Empezamos la demostracion utlizando la funcion de particion

∞∏k=1

(1− qk )−1 =∞∑

n=0

p(n)qn

Demostracion por biyeccion

Claramente: ( ∞∏k=1

(1− qk )−1

)( ∞∏k=1

(1− qk )

)= 1

Por tanto: ( ∞∑n=0

p(n)qn

)( ∞∑n=0

anqn

)= 1

Demostracion por biyeccion

Claramente: ( ∞∏k=1

(1− qk )−1

)( ∞∏k=1

(1− qk )

)= 1

Por tanto: ( ∞∑n=0

p(n)qn

)( ∞∑n=0

anqn

)= 1

Demostracion por biyeccion

Desarrollando el producto:

1 = (p(0)q0 + · · ·+ p(n)qn + . . . )(a0q0 + · · ·+ anqn + . . . )

= (p(0)a0 + p(0)a1q + · · ·+ p(0)anqn + . . . ) + . . .(p(n)a0qn + p(n)a1qn+1 + · · ·+ p(n)anqn+n + . . . ) + . . .

Agrupando obtenemos:

1 = (p(0)a0)q0+(p(0)a1 + p(1)a0)q1+(p(0)a2 + p(1)a1 + p(2)a0)q2 + . . .(p(0)an + p(1)an−1 + . . . p(n)ao)qn + . . .

Demostracion por biyeccion

Desarrollando el producto:

1 = (p(0)q0 + · · ·+ p(n)qn + . . . )(a0q0 + · · ·+ anqn + . . . )= (p(0)a0 + p(0)a1q + · · ·+ p(0)anqn + . . . ) + . . .

(p(n)a0qn + p(n)a1qn+1 + · · ·+ p(n)anqn+n + . . . ) + . . .

Agrupando obtenemos:

1 = (p(0)a0)q0+(p(0)a1 + p(1)a0)q1+

(p(0)a2 + p(1)a1 + p(2)a0)q2 + . . .(p(0)an + p(1)an−1 + . . . p(n)ao)qn + . . .

Demostracion por biyeccion

Desarrollando el producto:

1 = (p(0)q0 + · · ·+ p(n)qn + . . . )(a0q0 + · · ·+ anqn + . . . )= (p(0)a0 + p(0)a1q + · · ·+ p(0)anqn + . . . ) + . . .

(p(n)a0qn + p(n)a1qn+1 + · · ·+ p(n)anqn+n + . . . ) + . . .

Agrupando obtenemos:

1 = (p(0)a0)q0+(p(0)a1 + p(1)a0)q1+(p(0)a2 + p(1)a1 + p(2)a0)q2 + . . .(p(0)an + p(1)an−1 + . . . p(n)ao)qn + . . .

Demostracion por biyeccion

Concluimos que:

1 = p(0)a0 = 1 · a0 → a0 = 1

m∑n=0

p(m − n)an = 0 ∀m ≥ 1

Demostracion por biyeccion

Concluimos que:

1 = p(0)a0 = 1 · a0 → a0 = 1

m∑n=0

p(m − n)an = 0 ∀m ≥ 1

Demostracion por biyeccion

Ahora, queremos llegar a que:

∞∑n=0

anqn =∞∑

i=−∞(−1)iq

3i2+i2

Es decir, ∀n ≥ 1 :

an =

1 si n = 1

2 (3i2 + i) si i es par

−1 si n = 12 (3i2 + i) si i es impar

0 en otro caso

Demostracion por biyeccion

Ahora, queremos llegar a que:

∞∑n=0

anqn =∞∑

i=−∞(−1)iq

3i2+i2

Es decir, ∀n ≥ 1 :

an =

1 si n = 1

2 (3i2 + i) si i es par

−1 si n = 12 (3i2 + i) si i es impar

0 en otro caso

Demostracion por biyeccion

Sustituyendo esto en nuestra relacion recursiva, tenemos:

0 =∑m

n=0 p(m − n)an =

∑i=1, bi≤m p(m − bi)(−1)i

con bi =12 (3i2 + i)

es decir, el resultado es cierto si∑i par

p(m − bi) =∑

i impar

p(m − bi)

Demostracion por biyeccion

Sustituyendo esto en nuestra relacion recursiva, tenemos:

0 =∑m

n=0 p(m − n)an =∑

i=1, bi≤m p(m − bi)(−1)i

con bi =12 (3i2 + i)

es decir, el resultado es cierto si∑i par

p(m − bi) =∑

i impar

p(m − bi)

Demostracion por biyeccion

Sustituyendo esto en nuestra relacion recursiva, tenemos:

0 =∑m

n=0 p(m − n)an =∑

i=1, bi≤m p(m − bi)(−1)i

con bi =12 (3i2 + i)

es decir, el resultado es cierto si∑i par

p(m − bi) =∑

i impar

p(m − bi)

Demostracion por biyeccion

Esto es equivalente a decir que |X| = |Y| donde

X :=⋃

i par, bi≤m P(m − bi) , Y :=⋃

i impar, bi≤m P(m − bi)

Vamos a ver la biyeccion entre X e Y.

Demostracion por biyeccion

Esto es equivalente a decir que |X| = |Y| donde

X :=⋃

i par, bi≤m P(m − bi) , Y :=⋃

i impar, bi≤m P(m − bi)

Vamos a ver la biyeccion entre X e Y.

Demostracion por biyeccion

Definimos:ϕ : X→ Y de manera que:

λ ∈ P(m − bi) : m − bi = m − 12(3i2 + i) = λ1 + λ2 + · · ·+ λl

con λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λl

ϕ(λ) =

λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1

λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1

Demostracion por biyeccion

Definimos:ϕ : X→ Y de manera que:

λ ∈ P(m − bi) : m − bi = m − 12(3i2 + i) = λ1 + λ2 + · · ·+ λl

con λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λl

ϕ(λ) =

λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1

λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2

−→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =

(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)

λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)

λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : X→ Y

m = 10 , i = 2 −→ P(m − bi) = P(3) = {3,2 + 1,1 + 1 + 1}

Tomamos:λ = 2 + 1 = λ1 + λ2 −→ l + 3i = 2 + 6 ≥ 2 = λ1

ϕ(λ) = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + (λ2 − 1) =(2 + 6− 1) + (2− 1) + (1− 1) = 7 + 1

λ = 2 + 1 −→ ϕ(λ) = 7 + 1 ∈ P(10− b1) = P(8)λ = 3 −→ ϕ(λ) = 6 + 2 ∈ P(8)λ = 1 + 1 + 1 −→ ϕ(λ) = 8 ∈ P(8)

ϕ : Y→ X

m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }

λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...

ϕ : Y→ X

m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }

λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)

λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...

ϕ : Y→ X

m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }

λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)

λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...

ϕ : Y→ X

m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }

λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)

λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...

ϕ : Y→ X

m = 10 , i = 1 → P(m−bi) = P(8) = {8,7+1,6+2,5+3, . . . }

λ = 8 −→ ϕ(λ) = 1 + 1 + 1 ∈ P(3)λ = 7 + 1 −→ ϕ(λ) = 2 + 1 ∈ P(3)λ = 6 + 2 −→ ϕ(λ) = 3 ∈ P(3)λ = 5 + 3 −→ ϕ(λ) = 4 + 4 + 2 ∈ P(10)...

ϕ : X→ Y

Queremos ver que esta funcion es una involucion((ϕ ◦ ϕ)(λ) = λ) y por tanto es biyectiva

ϕ(λ) =

λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1

λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1

Caso 1:Sea λ ∈ P(m − bi) : l + 3i ≥ λ1,

ϕ : X→ Y

Queremos ver que esta funcion es una involucion((ϕ ◦ ϕ)(λ) = λ) y por tanto es biyectiva

ϕ(λ) =

λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1

λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1

Caso 1:Sea λ ∈ P(m − bi) : l + 3i ≥ λ1,

ϕ : X→ Y

Queremos ver que esta funcion es una involucion((ϕ ◦ ϕ)(λ) = λ) y por tanto es biyectiva

ϕ(λ) =

λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)si l + 3i ≥ λ1

λ′ : m − bi+1 = (λ2 + 1) + · · ·+ (λl + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l + 3i < λ1 λ1 − l − 3i − 1

Caso 1:Sea λ ∈ P(m − bi) : l + 3i ≥ λ1,

Prueba por biyeccion

ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)

Tomamos

λ′1 = l + 3i − 1, λ′

2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1

con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1

Ası tenemos:

λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′

Podemos aplicar de nuevo la funcion

Prueba por biyeccion

ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)

Tomamos

λ′1 = l + 3i − 1, λ′

2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1

con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1

Ası tenemos:

λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′

Podemos aplicar de nuevo la funcion

Prueba por biyeccion

ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)

Tomamos

λ′1 = l + 3i − 1, λ′

2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1

con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1

Ası tenemos:

λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′

Podemos aplicar de nuevo la funcion

Prueba por biyeccion

ϕ(λ) = λ′ : m − bi−1 = (l + 3i − 1) + (λ1 − 1) + · · ·+ (λl − 1)

Tomamos

λ′1 = l + 3i − 1, λ′

2 = λ1 − 1, . . . , λ′l+1 = λl − 1

con l + 3i − 1 ≥ λ1 − 1 ≥ λ2 − 1 ≥ · · · ≥ λl − 1

Ası tenemos:

λ′ = λ′1 + · · ·+ λ′l ′ con λ′1 ≥ · · · ≥ λ′l ′

Podemos aplicar de nuevo la funcion

ϕ : Y→ X

ϕ(λ′) =

λ′′ : m − bi′−1 = (l ′ + 3i ′ − 1) + (λ′1 − 1) + · · ·+ (λ′l − 1)si l ′ + 3i ′ ≥ λ1

λ′′ : m − bi′+1 = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l ′ + 3i ′ < λ1 λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

con l ′ = l + 1 y i ′ = i − 1

Como l ′ + 3i ′ = (l + 1) + 3(i − 1) = l + 3i − 2 <<< l + 3i − 1 = λ′1

estamos en el caso 2.

ϕ : Y→ X

ϕ(λ′) =

λ′′ : m − bi′−1 = (l ′ + 3i ′ − 1) + (λ′1 − 1) + · · ·+ (λ′l − 1)si l ′ + 3i ′ ≥ λ1

λ′′ : m − bi′+1 = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸si l ′ + 3i ′ < λ1 λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

con l ′ = l + 1 y i ′ = i − 1

Como l ′ + 3i ′ = (l + 1) + 3(i − 1) = l + 3i − 2 <<< l + 3i − 1 = λ′1

estamos en el caso 2.

Demostracion por biyeccion

ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1

= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)

= λ1 + λ2 + . . . λl

Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.

Demostracion por biyeccion

ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1

= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)

= λ1 + λ2 + . . . λl

Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.

Demostracion por biyeccion

ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1

= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)

= λ1 + λ2 + . . . λl

Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.

Demostracion por biyeccion

ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1

= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)

= λ1 + λ2 + . . . λl

Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.

Demostracion por biyeccion

ϕ(λ′) = (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l + 1) + 1 + · · ·+ 1

= (λ′2 + 1) + · · ·+ (λ′l+1 + 1) + λ′1 − l ′ − 3i ′ − 1

= (λ1 − 1 + 1) + · · ·+ (λl − 1 + 1) + (l + 3i − 1 − l − 1 − 3i + 3 − 1)

= λ1 + λ2 + . . . λl

Realizando una demostracion analoga para el caso 2 tenemos que ϕ es unainvolucion y por tanto,ϕ es biyectiva como querıamos.

TEOREMA DE EULER DEL NUMEROPENTAGONAL

Jesus A. CorralChiara ForacePiera Galber

Luis J. Salmeron ContrerasMarıa Soler Facundo

Universitat de Valencia

16 Enero 2014