Teorema de Pitágoras y Funciones trigonométricasroa.uveg.edu.mx/repositorio/licenciatura/44/LECTURA1TeoremadePitgo... · Clasificación de los ángulos Además de la clasificación

MB0003 _M2AA1L1_Pitágoras Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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1

Teorema de Pitágoras y Funciones trigonométricas

por Oliverio Ramírez Juárez

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los triángulos. En esta lectura abordarás dos herramientas matemáticas que se utilizan para analizar situaciones y resolver problemas que conlleven triángulos rectángulos. Iniciarás con el teorema de Pitágoras, su definición, ejemplos de su uso y luego estudiarás las funciones trigonométricas. Con estas dos herramientas matemáticas, resolverás problemas de diferente índole ¡Adelante!

Ángulos De acuerdo con Swokowski, (2002, p. 392), un ángulo es el conjunto de puntos determinados por dos rayos, o semirrectas 1l y 2l , que tienen el mismo punto extremo O. La medida del ángulo es la amplitud (apertura) de la rotación desde la recta 1l a la recta 2l Al punto extremo O se le llama vértice. Dependiendo de la rotación que se requiera para la construcción del ángulo, existen ángulos positivos o negativos; se consideran positivos si van en contra de las manecillas del reloj, y negativos si van en la misma dirección.



2

Ángulo positivo Ángulo negativo

Una unidad para medir ángulos es el grado sexagesimal. Silva y Lazo (2003, p. 494) menciona que un grado sexagesimal equivale a una parte de una circunferencia dividida en 360 partes. El minuto a su vez, es la 60ª parte de un grado. Por último, el segundo es la 60ª parte de un minuto. Los grados, minutos y segundos se representa por los símbolos °, ʼ, ” respectivamente. En física, un giro de 360° de un cuerpo sobre su propio eje, es conocido como revolución, esto es:

°= 3601 rev Más adelante, aplicarás también este concepto. Las siguientes figuras muestran distintos valores de ángulos trazados sobre el plano cartesiano.



3

La siguiente tabla muestra una clasificación de los ángulos.

Denominación del ángulo

Definición Descripción Ejemplos

Agudo ( )°° 90,0 Son ángulos cuyo valor es mayor a 0° y menor a 90°.

23°, 42°, 67°

Obtuso ( )°° 180,90 Son ángulos cuyo valor es mayor a 90° y menor a 180° grados.

115°, 145°, 172°

Complementario °=+ 90βα Son ángulos cuya suma es 90°.

50° y 40°

Suplementario °=+ 180βα Son ángulos cuya suma es 180°.

130°, 50°

Tabla 1. Clasificación de los ángulos Además de la clasificación anterior, al ángulo de 180° se le conoce como ángulo llano, y al ángulo de 90° se le conoce como ángulo recto; del nombre de este ángulo proviene el nombre de triángulo rectángulo, que estudiarás más adelante en esta lectura. Otra unidad de medida de ángulos es el radián, un radián es un ángulo cuya abertura es igual al radio de una circunferencia. Los grados y radianes se pueden relacionar mediante la siguiente fórmula:

radianesπ2360 =° También es cierto que radianesπ=°180 .



4

Para transformar grados a radianes o radianes a grados, se aplican estas relaciones y una regla de tres simple. Las siguientes relaciones también pueden ser de utilidad para llevar a cabo las conversiones.

radianes180

1 π=°

π°

=1801 radián

En los siguientes ejemplos se lleva a cabo la conversión de ángulos de grados a radianes, utilizando estas fórmulas. Ejemplos:

1. Determina el número de radianes a los que equivale un ángulo recto. Solución. Un ángulo recto es igual a 90°, luego puedes aplicar cualquiera de las dos expresiones y una regla de tres, y tienes:

Usando regla de tres:

( )( )radianes

radianesx

218090 ππ

=°

°=

Usando la relación radianes180

1 π=° .

( )

radianes

radianes

290

180190

π

π

=°

=°

2. ¿Cuántos grados equivalen a π43

radianes? Solucion:

Usando regla de tres:

Usando la relación π°

=1801 radián

.

°=°

=

°=

1354540

43

180143

radianes

radianes

π

ππ



5

( )°=

°=

°

=° 1354540

18043

radianes

radianesx

π

π

3. Javier, quien es el navegante de una embarcación pesquera, recibió la siguiente indicación:

“De tu ubicación actual, dirígete 15 kilómetros con dirección radianes

8π

y encontrarás un banco de peces enorme”. Javier cuenta con una brújula para seguir el rumbo ¿qué dirección debe tomar Javier, dada en grados, para encontrar el banco de peces? Solución. A continuación se muestra una figura que representa el problema, y los cálculos para la conversión.

Figura 1


=1801 radián

, queda:

°=°

=

°=

5.228180

8

18018

radianes

radianes

ππ

π

Por lo anterior, Javier debe dirigir su embarcación con una dirección de 22.5° en dirección NE ¿Recuerdas este tipo de notación?, significa que el barco se debe dirigir en dirección Noreste. También de la definición de radián, se puede establecer la longitud de un arco circular. De acuerdo con Stewart y Renlin (2003, p. 472), “en un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de φ radianes, es:

φrs =

De esta fórmula, al despejar φ, queda:

rs

=φ



6

El ángulo φ dado en radianes, también es conocido como desplazamiento angular y describe la cantidad de rotación de un cuerpo.

4. Encuentra la longitud de un arco circular, cuando el radio de la circunferencia es de 8 centímetros subtendido por un ángulo de 22.5°.

Solución. La siguiente figura muestra un esbozo del problema. Antes de calcular la longitud arco buscada (señalada en color azul en la figura), es necesario convertir el ángulo φ dado en grados a radianes, tienes:

Usando la relación radianes

1801 π=°

.

( )

radianes

radianes

85.22

18015.22

π

π

=°

=°

Ahora que has convertido el ángulo de °= 5.22φ a !

a radianes, aplica la fórmula de la longitud de

arco:

( )

π

π

φ

=

=

=

s

s

rs

88

Esto es, la longitud de arco es π=s metros.



7

5. Determina el ángulo central φ en un círculo de radio de 12 metros, cuando es subtendido por un arco de longitud de 3 metros. Da la medida del ángulo en grados sexagesimales.

Solución.

Para determinar el ángulo φ , aplicas la fórmula rs

=φ, y tienes:

radianes41

123==φ

Como el ángulo lo piden en grados, conviertes esta cantidad y queda:


=1801 radián

.

°≈°

=°

=

°=

32.14454180

41

180141

ππ

π

radianes

radianes

Que es el ángulo buscado.

6. Si la longitud de arco es de 2 metros y el radio de la circunferencia es de 4 metros, calcula el desplazamiento angular en radianes, grados y revoluciones.

Solución.

Como rs

=φ, sustituyendo en esta ecuación, obtienes:

radmm

21

42

==φ

El número de grados, es:

°=°

=

°=

64.289021

180121

π

π

radianes

radianes



8

Para convertir de grados a revoluciones, es necesario aplicar la equivalencia °= 3601rev :

( ) revrev 079.0360164.28 =

°

°=φ

Por otro lado, a la razón de cambio del desplazamiento angular, con respecto al tiempo, se le conoce

como velocidad angular y se expresa por la ecuación tφ

ω =.

7. Una llanta de automóvil de 15 pulgadas de diámetro, gira a una velocidad de 2200 revoluciones por minuto ¿cuál es la velocidad angular de la rueda en radianes por minuto?

Solución. De la relación revrad 13602 =°=π , se observa que cada revolución (vuelta de la llanta) genera π2radianes de desplazamiento angular, por lo que:

( ) min/44002min2200 radrad ππω =

=

De este resultado, se observa que para la velocidad angular no es importante el diámetro de la rueda.

8. Una llanta de automóvil de 15 pulgadas de diámetro, gira a una velocidad de 2200 revoluciones por minuto ¿cuál es la velocidad lineal de un punto sobre la circunferencia de la llanta?

Solución. La velocidad lineal es la distancia que recorre el punto por unidad de tiempo, en este caso, el minuto. La distancia recorrida es la longitud del arco generado por el desplazamiento angular, esto es:

( ) 330004400215

=

== πφrspulgadas

Por lo que la velocidad lineal, es:

π33000. =linealvel pulgadas/minuto Esta velocidad lineal, expresada en kilómetros por hora, es aproximadamente igual a 158 km/hora.



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Triángulos rectángulos En distintas ramas de la ingeniería se aplican con frecuencia triángulos rectángulos ¿los recuerdas? Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo igual a 90 grados (el ángulo de 90° también es llamado ángulo recto). La siguiente figura muestra distintos triángulos rectángulos. Los lados que forman el ángulo recto son conocidos como catetos, al tercer lado que forma el triángulo rectángulo se le llama hipotenusa ¿Qué observas en cuanto a la longitud de la hipotenusa con respecto a la longitud de los catetos? ¡Efectivamente¡ la hipotenusa siempre es de mayor longitud que los catetos. El teorema de Pitágoras establece, de acuerdo con Sullivan (2006, p. 30), lo siguiente:

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Si se considera la figura:

90°

b

a c

c = hipotenusa a, b= catetos



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De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la expresión matemática que representa la relación entre los lados de este triángulo es:

222 bac += El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema de Pitágoras. Ejemplos:

1. Un agricultor, propietario de un terreno en forma de triángulo rectángulo, está interesado en conocer el perímetro del terreno, pues desea colocar una cerca que proteja sus hortalizas de unas cabras que pastan cerca del lugar.

El agricultor sólo conoce la medida de dos lados del triángulo de su terreno ¿cuál es la longitud del tercer lado del triángulo? En la siguiente figura se han identificado los lados conocidos del terreno. Solución. A partir del análisis de la figura y de los datos conocidos, se observa que el lado desconocido del terreno corresponde con la hipotenusa del triángulo rectángulo. Si llamas c al lado desconocido y aplicas el teorema de Pitágoras, obtienes:

9493246251825

2

2

222

=

+=

+=

ccc

Observa que el resultado obtenido, representa la longitud de la hipotenusa al cuadrado, por lo que es necesario extraer la raíz cuadrada en ambos lados de la igual para determinar el valor de c, queda:

mcc

8.309492

=

=



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Como resultado, obtienes que el lado más largo del terreno mide 30.8 metros de longitud.

2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 90 metros y uno de sus catetos 60 metros ¿cuánto mide el otro cateto?

Solución. Algunas ocasiones es recomendable dibujar el triángulo para entender mejor qué es lo que se está pidiendo: Si consideras a b como el cateto desconocido, despejando del teorema de Pitágoras, obtienes: Por lo que la longitud del cateto es de 67.08 metros.

3. Un plano cartesiano se utiliza para representar gráficamente puntos, líneas y espacios geométricos en general, mediante un sistema de coordenadas rectangulares.



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Si representamos, por el origen del plano, a un muelle de donde parte una embarcación y esta se mueve al punto en el plano (3, 2) en donde se encuentra una pequeña isla en línea recta ¿Qué distancia recorrerá la embarcación desde el muelle a la isla? Considera que cada división del plano cartesiano equivale a 10km. Solución. Para comprender con más detalle el problema, conviene trazar la trayectoria de la embarcación. Si observas la figura, la trayectoria y los datos del barco forman un triángulo rectángulo, por lo que la distancia recorrida por la embarcación corresponde con la hipotenusa del triángulo, de esta forma:

1349tan

23tan 22

=+=

+=

ciadis

ciadis

Por lo anterior, la embarcación recorrió ( )6.313 ≈ aproximadamente 36 kilómetros.



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Las Funciones trigonométricas de ángulos agudos El teorema de Pitágoras que acabas de recordar, relaciona los cuadrados de las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. En cambio, las funciones trigonométricas de ángulos son relaciones entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo; analiza a qué se refieren.

Función trigonométrica

Abreviación

Definición

Seno sen

HOC

HipotenusaOpuestoCateto

sen..

==α

Coseno cos

HAC

HipotenusaAdyacenteCateto ..

cos ==α

Tangente tan

..

..tan

ACOC

AdyacenteCatetoOpuestoCateto

==α

Cotangente cot

..

..cot

OCAC

OpuestoCatetoAdyacenteCateto

==α

Secante sec

..sec

ACH

AdyacenteCatetoHipotenusa

==α

Cosecante csc

..csc

OCH

OpuestoCatetoHipotenusa

==α

Tabla 2. Funciones trigonométricas

Por ejemplo, en la tabla se muestra que la función seno es el cociente de la longitud del “cateto opuesto” y la hipotenusa.



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Una diferencia importante de este triángulo con el triángulo utilizado para el teorema de Pitágoras, es la forma de nombrar a los catetos. Para el caso de las funciones trigonométricas, es importante definir qué cateto es el opuesto al ángulo que se toma de referencia y qué cateto se encuentra a un lado (adyacente) del ángulo de referencia. El siguiente ejemplo muestra cómo se utilizan las funciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos. Ejemplos:

1. Para el triángulo rectángulo mostrado, determina el valor de las seis funciones trigonométricas para el ángulo alfa ( )α .

Es importante que antes de empezar a determinar las funciones trigonométricas, identifiques qué cateto es el opuesto y qué cateto es el adyacente al ángulo de referencia, en este caso el ángulo alfa. En la siguiente tabla se muestra el mismo triángulo en donde se identifican los lados del triángulo y las funciones trigonométricas solicitadas.

20812..

==HOCsen α

2088..cos ==

HAC

α

23

812

..

..tan ===ACOC

α

32

128

..

..cot ===OCAC

α

8208

..sec ==

ACH

α

12208

..csc ==

OCH

α



15

Observa cómo las funciones seno y cosecante son recíprocas, es decir, si multiplicas ambas, el resultado es 1.

112208

20812csc =

=ααsen

También es cierto que:

αα

csc1

=sen

Lo mismo sucede con el coseno y la secante. La última pareja la forman la tangente y la cotangente. Lo anterior implica que si se conocen las tres primeras funciones trigonométricas, las siguientes tres se pueden determinar a partir de éstas. Regresando al triángulo analizado ¿cuáles serán las funciones trigonométricas para el ángulo beta ( )β ?

2. Para el triángulo rectángulo mostrado, determina el valor de las seis funciones trigonométricas para el ángulo beta ( )β .

Recuerda, lo primero es identificar los catetos opuesto y adyacente

para el nuevo ángulo de referencia. En la siguiente tabla se muestra el mismo triángulo en donde se identifican los lados del triángulo y las funciones trigonométricas solicitadas.



16

2088..

==HOCsen β

20812..cos ==

HAC

β

32

128

..

..tan ===ACOC

β

23

812

..

..cot ===OCAC

β

12208

..sec ==

ACH

β

8208

..csc ==

OCH

β

En los ejemplos anteriores sólo se ha calculado un lado desconocido del triángulo, a partir del conocimiento de los otros dos lados. En los siguientes ejemplos, además de determinar la longitud de los lados del triángulo, también “entran al juego” los ángulos del triángulo. Para algunos cálculos, será necesario que tengas a la mano una calculadora que incluya las funciones trigonométricas.

3. Para el siguiente triángulo rectángulo, determina los ángulos agudos del triángulo y la hipotenusa.



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Solución. Usando el teorema de Pitágoras es posible calcular la hipotenusa del triángulo, esto es:

68

464

28 22

=

+=

+=

H

H

H

Ahora que ya conoces los tres lados del triángulo, usa las funciones trigonométricas para determinar los ángulos. Inicia con el ángulo alfa (α ). Si aplicas la función tangente, tienes:

428

..

..tan ===ACOC

α

Ahora tendrás que utilizar la calculadora. Para el manejo de ángulos, la calculadora tiene modos específicos. En este caso, es necesario que te asegures que se encuentre en el modo “grados”. En la plataforma, dentro de herramientas de trabajo, cuentas con una calculadora científica que puedes usar. Para calcular el valor del ángulo alfa (α ), introduce el valor 4 y pulsa la función atan (arco tangente), esta función te devuelve el valor del ángulo si introduces el valor de su tangente.



18

Por lo que el valor del ángulo alfa es:

°= 96.75α Observa que sólo se consideraron dos cifras decimales. Dependiendo del problema en cuestión, puede ser necesario considerar más decimales para conseguir mayor exactitud. Para determinar el ángulo beta ( β ) puedes utilizar nuevamente la tangente, pero es más sencillo si consideras que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180°, de acuerdo con Ramírez y Sienra (2003, p. 129). Lo anterior implica que si °= 96.75α , entonces el valor de β es:

°=

°−°−°=

°=°++

04.1496.7590180

18090

β

β

βα



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Usando la calculadora ¿cómo se calculan las funciones trigonométricas como cotangente, secante y cosecante? Por ejemplo, si lo que se pide es encontrar el valor de °60sec , utilizas su función trigonométrica recíproca, es decir:

°=°

60cos160sec

En la calculadora:

4. Para el triángulo mostrado en la siguiente figura, determina los datos faltantes.



20

Solución. Los datos que faltan son el ángulo β (señalado en la figura), la hipotenusa y uno de los catetos del triángulo (señalado con x en la figura). Al contar sólo con uno de los lados del triángulo, no es posible utilizar de inicio el Teorema de Pitágoras. Aplica una función trigonométrica ¿cuál sugieres?, observa.

Si usas la función seno, tienes:

HOCsen ..20 =°

Pero en este caso se desconoce el cateto opuesto al ángulo 20° y la hipotenusa, por lo tanto, no es posible usar esta función trigonométrica.

Si usas la función coseno, tienes:

HHAC 6..20cos ==°

De esta última relación, la única incógnita es la hipotenusa; despejando, queda:

385.620cos6

=°

=H

Aplicando el teorema de Pitágoras, tienes:

18.276.4

6385.6

622

22

==

−=

−=

x

x

Hx

Este valor puede variar dependiendo de los decimales que consideres en la calculadora.

Ya sólo falta determinar el ángulo beta ( β ), tienes:

°=°−°= 702090β En este ejemplo, debido a que la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo deben sumar 90° para que se cumpla que la suma de los ángulos interiores es 180°, sólo se consideró que

°=+ 90βα . ¿Estás de acuerdo con los resultados? Es conveniente que todos los cálculos los verifiques, de esta forma, aparte de practicar, tendrás la certeza de los mismos.



21

Las funciones trigonométricas de ángulos especiales Para algunos ángulos especiales como 30°, 45° o 60°, se acostumbra determinar el valor de sus funciones trigonométricas, a partir de triángulos especiales. Para el caso de un ángulo de 60° (y de 30° dado que son complementarios) se construye un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud de 2, luego se divide a la mitad y se analiza el triángulo rectángulo generado, como observas a continuación:

Del triángulo rectángulo anterior, también es posible encontrar las funciones trigonométricas para un ángulo de 30°. Para calcular las funciones trigonométricas de un ángulo de 45° grados, se construye un cuadrado de lado igual a 1, se divide a la mitad por la diagonal, y a partir del triángulo rectángulo generado, se calculan las funciones trigonométricas.



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Aplicaciones en los que aparecen triángulos rectángulos En algunos de los problemas que se analizan en los siguientes ejemplos, se utilizan los conceptos: ángulo de elevación y ángulo de depresión. Sullivan (1998, p. 140) menciona que si el objeto que se observa se encuentra arriba de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal, se conoce como ángulo de elevación. De la misma forma, si el objeto se encuentra por debajo de la horizontal, el ángulo entre la línea de visión y la horizontal, se conoce como ángulo de depresión. Analiza la siguiente figura en donde el ángulo de elevación se ha señalado en rojo y el ángulo de depresión en azul. Ejemplo: En una sala de reuniones de una organización se va a instalar un proyector. Las especificaciones del fabricante recomiendan que la distancia desde el soporte al centro de la pantalla sea de 3.5 metros ¿a qué distancia del muro se debe colocar el soporte del proyector?, ¿cuál es el ángulo de depresión?



23

Solución. En la figura se observa que la distancia del muro a la que se debe colocar el soporte del proyector corresponde con un cateto del triángulo rectángulo, por lo que:

mdd

82.2813 22

=

=−=

Aplicando la función seno para determinar el ángulo de depresión, queda:

°=

= 47.1931asenφ

Las funciones trigonométricas para cualquier ángulo Algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas involucran ángulos que no son agudos, por ello, es necesario extender la definición de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier valor. Considera las siguientes figuras:



24

En estas cuatro figuras se observan distintos valores del ángulo φ (medidos desde el lado positivo del eje x ), definidos por la posición del punto ),( yxP en cada uno de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. Así, si φ es agudo, se encuentra en el primer cuadrante (I). De esta figura se observa que:

xy

ACOC

rx

HAC

ry

HOCsen

==

==

==

..

..tan

..cos

..

φ

φ

φ

yx

OCAC

xr

ACH

yr

OCH

==

==

==

..

..cot

..sec

..csc

φ

φ

φ

En donde 22 yxr += .

En este cuadrante, los valores de x y y son positivos, sin embargo, si se consideran ángulos en los cuadrantes II, III, y IV, los valores de x y y pueden ser positivos o negativos. Por ello, para determinar las funciones trigonométricas de ángulos en cualquiera de estos tres cuadrantes, se deben considerar los signos de forma adecuada. Si analizas para el cuadrante II, obtienes:

xyrx

rysen

−=

−=

=

φ

φ

φ

tan

cos

yxxryr

−=

−=

=

φ

φ

φ

cot

sec

csc

Ejemplo :

1. Determina las funciones trigonométricas para el ángulo φ cuando el punto ( )2,2 −P es el punto terminal del ángulo.

Solución. A partir de la siguiente figura, es posible lograr las seis funciones trigonométricas obtenidas.



25

122tan

82cos

82

−=−

=

=

−=

φ

φ

φsen

122cot

28sec

28csc

−=−

=

=

−=

φ

φ

φ

Las funciones se han colocado adecuadamente con sus recíprocas: seno‐cosecante; coseno‐secante; tangente‐cotangente.

Ahora que se han determinado las funciones trigonométricas del ángulo φ , ¿cuál es su valor? Para determinar su valor, puedes utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas; si aplicas la tangente y escribes en la calculadora -1, y se pulsa la tecla atan, obtienes el valor -45.

Es decir, 45−=φ . La calculadora proporciona el valor del ángulo negativo, es decir, un ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj. Para encontrar el ángulo positivo, en este caso se resta este valor a 360°, esto es:

°=−° 31545360 que es el valor del ángulo buscado. La siguiente figura muestra la equivalencia de estos ángulos.



26

2. Determina las funciones trigonométricas para el ángulo φ , cuando el punto ( )2,3−P es el punto terminal del ángulo.

Solución. El ángulo φ se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su valor se encuentra entre 90° y 180°.

32tan

133cos

132

−=

−=

=

φ

φ

φsen

23cot

313sec

213csc

−=

−=

=

φ

φ

φ

Para determinar el valor de φ , puedes utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas; si aplicas la tangente y escribes en la calculadora -2/3, y pulsas la tecla atan, obtienes el valor -33.69°. Al igual que en el ejemplo anterior, la calculadora proporciona el valor del ángulo negativo. En la siguiente figura se muestra que para determinar el ángulo positivo, es necesario restar el valor encontrado a 180°.

En este caso, para encontrar el valor del ángulo positivo, es necesario restar

°=°−° 31.14669.33180 que es el valor del ángulo buscado.



27

En los ejemplos anteriores has encontrado el valor de las funciones trigonométricas a partir de un punto que determina un ángulo. También es posible determinar las funciones trigonométricas cuando se conoce una de ellas.

Encuentra las funciones trigonométricas y el valor del ángulo φ , si su coseno es: cos! =

3

4 Solución.

Si consideras que el coseno es 43cos ==

rx

φ, entonces 3=x y 4=r . Con estos valores encuentras

el valor de y despejándola de la relación 22 yxr += , tienes:

7916

22

222

222

22

=−=

−=

−=

+=

+=

y

xry

xryyxr

yxr

Ahora puedes encontrar el resto de las funciones trigonométricas, y obtienes:

74csc

34sec

73cot

37tan

47

=

=

=

=

=

φ

φ

φ

φ

φsen

Al utilizar la función acos en la calculadora, se obtiene que °= 4.41φ . Sin embargo, este no es el único ángulo cuyo coseno es ¾ ¿por qué? El ángulo °= 4.41φ se encuentra en el primer cuadrante, pero un ángulo en el tercer cuadrante también cumple con la restricción de que su coseno sea positivo.



28

De la figura se observa que

34cos =φ

, por lo que φ también es igual a

°=

°−°=

6.3184.41360

φ

φ

Esto se puede comprobar calculando el coseno de los dos ángulos directamente en la calculadora, en ambos casos se obtendrá 3/4, (o 0.75)

Una forma de recordar el signo de las funciones trigonométricas, en concordancia con el cuadrante del plano cartesiano, es considerando la siguiente frase “Tosen Tacos”, que proviene de las primeras letras de las funciones que son positivas en cada cuadrante.

En el primer cuadrante, todas las funciones son positivas. En el segundo cuadrante, el seno y su función recíproca, la cosecante, son positivas; el resto son negativas. En el tercer cuadrante, las únicas positivas son la tangente y la cotangente. En el cuarto cuadrante, sólo el coseno y la secante son positivos.

¿Entonces, para un valor de las funciones trigonométricas existe más de un ángulo? Así es, además, si se consideran ángulos mayores a 360° encontrarás más ángulos que también cumplan con un mismo valor para una función trigonométrica.

En las siguientes lecturas se retoma y se ahonda en este tema.



29

Referencias

Ramírez Galarza, A. I.; Sienra Loera, G. (2003). Invitación a las geometrías no euclideanas. [Versión electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=_bQVowSNHE4C&pg=PA129&dq=en+todo+tri%C3%A1ngulo+la+suma+de+sus+%C3%A1ngulos+internos+es&lr=&cd=88#v=onepage&q=&f=false

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