TEOREMA DE THALES

APM

TEOREMA DE THALES. ÍNDICE

Thales de Mileto.

Origen del Teorema de Thales.

Teorema de Thales.

Ejercicio de aplicación 1.

Ejercicio de aplicación 2.

Triángulos en posición de Thales.

Semejanza de triángulos.

Primer criterio de semejanza de triángulos.

Segundo criterio de semejanza de triángulos.

Tercer criterio de semejanza de triángulos.

Aplicaciones.

THALES DE MILETO

Nació alrededor del año 624 a.C. en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía). Murió en el año 548 a.C.

Thales era considerado uno de los siete sabios de Grecia.

Thales era un hombre que se destacó en varia áreas: comerciante, hábil en ingeniería, Astronomía y Geometría.

THALES DE MILETO. BIOGRAFÍA

• Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

ORIGEN DEL TEOREMA DE THALES

Rayos solares

Pirámide

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra, los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.

Podemos, por tanto, establecer la proporción:

HS

=hs

De donde: H= h•Ss

ORIGEN DEL TEOREMA DE THALES

T S

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, T y S transversales, entonces los segmentos a, b, c y d son proporcionales. Es decir:

L1

L2

L3

a

a

b

b =

c

c

d

d

TEOREMA DE THALES: Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

TEOREMA DE THALES

L1

L2

L3

T

S

8

24

x15

Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales.

Es decir: 824 =

x

15

Y resolvemos la proporción:

24 • x = 8 • 15

x =8 • 15 24

x = 5

EJEMPLO DE APLICACIÓN 1

En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x.

Formamos la proporción:32 = x+4

x+1

Resolvemos la proporción:

3(x + 1) = 2(x + 4)

3x + 3 = 2x + 8

3x - 2x= 8 - 3

x=5

L1

L2L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Luego, como CD = x + 4

CD= 5 + 4 = 9

EJEMPLO DE APLICACIÓN 2

En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD

Dos triángulos están en posición de Thales cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.

 

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Podemos ver ésto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos en posición de Thales son semejantes.

B C

A

DE

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:

AEAB

=ED

O también:

AEED

= AB

BC

BC

DEMOSTRACIÓN INTERACTIVA

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

El cocientea b c

ka ' b ' c '

se llama razón de semejanza.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A B

C

A' B'

C'

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.

• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y los ángulos iguales.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A = A‘ y B = B‘ C = C'

A' B'

C'

B''

C''

PRIMER CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

• Por el Teorema de Thales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.

• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

a ' b ' c '

a b c

A' B'

C'

B''

C''

SEGUNDO CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

• Por el Teorema de Thales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.

• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.

• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

y A A' b' c'

b c

A' B'

C'

B''

C''

c

TERCER CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

APLICACIONES

Problema 1: Calcula la altura del siguiente edificio:

x

5

3 12

Escribimos la proporción:

35

=15x

Y resolvemos la proporción:

3 • x = 5 • 15

x = 75 3

x = 25

Por que 3+12=15

APLICACIONES

Problema 2: En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE.

AB

C

x+3 x

8

12D

E

Formamos la proporción:

8 x+3

= 122x+3

Resolvemos la proporción:

Por que x+3+x = 2x+3

8(2x + 3) = 12( x + 3)

16x + 24 = 12x + 3616x – 12x = 36 – 24

4x = 12

x = 12 = 3 4

Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA

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