TEOREMA DE GREEN David Gualpa

Introduccin

El teorema de Green establece la relacin entre una integral de lnea alrededor de una

curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la regin plana limitada por .

El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green y es un caso

especial del ms general Teorema de Stokes.

Este tipo de teoremas resulta muy til ya que dados un campo vectorial y una curva

cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad ms simple

entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia

de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.

Por otra parte, la relacin as establecida entre la integral de la lnea sobre una curva y la

integral doble sobre la regin interior a sta, permite a veces obtener informacin sobre

una funcin o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta funcin

sobre la frontera de dicho recinto.

ENUNCIADO DEL TEOREMA

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea

F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas

parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a la regin D acotada por C.

Entonces:

CD C

QdyPdxdAy

P

x

QdrF

Demostracin

CD C

QdyPdxdAy

P

x

QdrF

En y , es constante, de modo tal que y

Por lo tanto,

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Comparando esta expresin con la de la ecuacin 3, vemos que,

PROBLEMAS RESUELTOS

1.) Transformacin de una integral de lnea en una de rea. Evaluar C

xydxdxx4 ,

donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada

positivamente.

SOLUCIN:

La grfica indica la regin encerrada por la curva C.

Tenemos:

yx

QxyyxQ

y

PxyxP

);(

0);( 4

Por lo tanto:

x

y

1

1

y = 1 - x

y

x 1

1

-1

-1

2.) Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. Determine el rea de la

regin limitada por la hipocicloide que tiene la ecuacin vectorial

r(t) = cos3t i + sen

3t j , 0 t 2

SOLUCIN:

De la parametrizacin de la curva tenemos:

x = cos3t x

2/3 = cos

2t

y = sen3t y

2/3 = sen

2t

Sumando miembro a miembro tenemos:

1

1

2/33/21

1

1

1

2/33/23/23/2 12 11

2/33/2

2/33/2dxxdydxAxyyx

x

x

Este clculo, ejecutado como integral de rea, es muy complicado. El teorema de Green

nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la

hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin.

Veamos:

El rea de una regin D viene dada por D

dAA 1 . Por lo tanto, para aplicar Green

deberamos encontrar funciones P, Q / 1

y

P

x

Q . Un par de funciones sencillas que

cumplen esta condicin son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrizacin, escribimos:

x = cos3t dx = -3 cos

2t sent dt

y = sen3t dy = 3 sen

2t cost dt

Luego:

8

3

6

2sen

8

4sen2cos2sen

2

4cos1

)2cos2sen2(sen4

2sen

2

2cos13

4

2sencos3

sencos3cossen3cos

2

0

3

21

83

2

0

2

83

2

0

22

83

2

0

22

0

22

2

0

242

0

23

tttdttt

t

dttttdttt

dtt

t

tdtttdtttQdyPdxdAy

P

x

QA

CD

De esta manera contamos con una herramienta ms para obtener el rea de la regin

encerrada por una curva cerrada, que se suma al mtodo en coordenadas polares visto en

Anlisis II y al clculo por integral de rea que ejecutamos cuando tenemos la expresin

cartesiana de la curva.

3.) Limitaciones en la aplicacin del Teorema de Green. Dado

F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y

2)

a) Calcular su integral de lnea sobre el crculo x2 + y

2 = 1

b) Calcular dAy

P

x

Q

D

, donde D es la regin encerrada por la curva del punto a).

c) Discutir si estos resultados estn de acuerdo o no con el Teorema de Green.

SOLUCIN:

a) Parametricemos el crculo.

20 , cossen

sencos

t

tdtdyty

tdtdxtx

tdtQdxtdttt

ttytxQ

tdtPdxtdttt

ttytxP

2

22

2

22

coscoscossen

cos))();((

sensencossen

sen))();((

Integrando tendremos, as:

C

dtttQdyPdx

2

0

22 2cossen

b) Haciendo los clculos directamente en coordenadas cartesianas es:

00

2)(

2

222

22

222

22

222

22

222

22

dAyP

x

Q

y

P

x

Q

yx

xy

yx

yyyx

y

P

yx

xy

yx

xxyx

x

Q

D

c) Aparentemente estos resultados contradiran el Teorema de Green. Sin embargo, este

ltimo no es aplicable a la regin en cuestin, dado que las funciones P y Q no tienen

derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que est contenido en la regin.

4.) Aplicacin del teorema de Green a un problema fsico sobre una regin con

agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homognea de radio

interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus dimetros.

SOLUCIN:

Determinaremos el momento de inercia

respecto al dimetro colineal con el eje x.

De Fsica sabemos que:

D

x dAyI2

Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es

homognea.

Esta regin no es simplemente conexa pero,

como se vio en la teora, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones

con agujeros, siendo:

D C C

QdyPdxQdyPdxdAy

P

x

Q

1 2

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos

integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

3

312 ; 0 :ejemplopor , tomamos; yPQy

y

P

x

Q

Aplicando Green con esta funcin tenemos:

2121

3

313

313

313

312 00

CCCCD

x dxydxydydxydydxydAyI (1)

Parametrizando estas curvas tenemos

20 ,cossen

sencos

20 ,cossen

sencos

2

1

ttadytay

tadxtaxC

ttbdytby

tbdxtbxC

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

y

x a b

C2

C1

2

0

444

31

2

0

2

0

33

3133

31 sen)sen(sen)sen(sen tdtabdttatadttbtbI x

Mab

abababdttt

ab

dtt

tabdtttab

22

41

2222

4144

41

2

0

44

31

2

0

2244

31

2

0

2244

31

8

4cos1

2

cos1

4

2sensencos1sen

sta es la manera estndar de expresar un momento de inercia: como el producto de una

longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rgido.