Embed Size (px)
Citation preview
- 1 -
1
TEOREMA LUI HARCOURT ŞI ANALOAGA SA SPAŢIALĂ
de Mihai Miculiţa,
profesor la Şcoala "Oltea Doamna" dinORADEA. Teorema 1: Dacă 0... 332211 =++ xdxdxd este ecuaţia în coordonate baricentrice a unei drepte d faţă de un sistem de coordonate baricentrice având drept triunghi de bază triunghiul (A)≡A1A2A3, atunci notând cu Qi proiecţiile vârfurilor Ai; 3,1=i pe dreapta d, avem:
.3
33
2
22
1
11
d
QA
d
QA
d
QA==
Fig.1. Demonstraţie: Notăm cu: { } { } { }.3,2,13,2,1; =∩= kji AAdP Ecuaţia dreptei A2A3 fiind: ,01 =x
coordonatele punctului P1 satisfac relaţia:
)1(.0..33
3
22
2
33
22
31
21
2
3
3
23322
QA
d
QA
d
QA
QA
AP
AP
x
x
d
dxdxd =⇔==−=⇔=+
În mod analog se arată că: )2(.33
3
11
1
QA
d
QA
d= ■
Observaţie: Dreapta d trece prin punctul P(p1, p2, p3), atunci şi numai atunci când:
)3(.0..... 333222111 =++ pQApQApQA
Consecinţă: Dacă Qi sunt proiecţiile vârfurilor Ai; 3,1=i pe o dreapta d, care trece prin centrul
cercului înscris ,,,321
3
321
2
321
1
++++++ aaa
a
aaa
a
aaa
aI atunci relaţia (3) devine:
)4(,0.... 333222111 =++ QAaQAaQAa
A2
A3
A1
d
P1
P3
P2
Q2
Q1
Q3
- 2 -
2
Teorema 2: Dacă p este o dreaptă tangentă la cercul înscris în triunghiul (A) şi Pi sunt proiecţiile vârfurilor Ai; 3,1=i pe dreapta t, atunci are loc relaţia:
( ) )5(.... 321333222111 ITaaaPAaPAaPAa ++=++
Fig.2. Demonstraţie:Notând cu T punctul de tangenţă al cercului înscris (I, r) cu tangenta t(v.Fig.2), avem:
)6(.3,1; =−= iITPAQA iiii Aşa că ţinând seama de relaţiile (6), relaţia (4) devine:
( ) ( ) ( ) ( ) .....0... 321333222111333332111 ITaaaPAaPAaPAaITPAaITPAaITPAa ++=++⇔=−+−+− ■ Consecinţă: În cazul în care punctele A1 şi I se găsesc de o parte şi de alta a tangentei p la cercul înscis(ca în fig.2), forma scarlară a relaţiei (5) este:
( ) ..2.... 321111333222 SraaaQAaQAaQAa =++=−+ (Harcourt) Analoaga spaţială a teoremei 1 este următoarea: Teorema 3:
Dacă 0.... 44332211 =+++ xdxdxdxd este ecuaţia în coordonate baricentrice a unui plan π faţă de un sistem de coordonate baricentrice având drept tetraedru de bază tetraedrul (A)≡A1A2A3A4, atunci notând cu Qi proiecţiile vârfurilor Ai; 3,1=i pe planul π, avem:
.4
44
3
33
2
22
1
11
d
QA
d
QA
d
QA
d
QA===
Demonstraţie: Notând cu { } ,; jiAAP jiij ≠∩= π întrucât ecuaţiile dreptei AiAj sunt: 0,0 == kh xx
coordonatele punctului Pij satisfac ecuaţia:
.;0.. jid
QA
d
QA
QA
QA
AP
AP
x
x
d
dxdxd
j
jj
i
ii
jj
ii
jij
iij
i
j
j
ijjii ≠=⇔==−=⇔=+ ■
Observaţie: Dreapta d trece prin punctul P(p1, p2, p3, p4), atunci şi numai atunci când:
..0....... 444333222111 =+++ pQApQApQApQA
A2
A3
A1
I
T
p
q
Q2
Q1
Q3
P2
P3P
1
r
- 3 -
3
Consecinţă: Dacă Qi sunt proiecţiile vârfurilor Ai; 4,1=i pe un plan π, care trece prin centrul
csferei înscrise ,,,,4321
3
4321
3
4321
2
4321
1
++++++++++++ SSSS
S
SSSS
S
SSSS
S
SSSS
SI atunci
avem:
)7(..0..... 444333222111 =+++ QASQASQASQAS Are loc şi analoaga spaţială a teoremei 2: Teorema 4:
Dacă π este un plan tangent în punctul T la sfera (I, r) înscrisă în tetraedrul (A)≡A1A2A3A4 şi Pi sunt proiecţiile vârfurilor Ai; 4,1=i pe planul π, atunci are loc relaţia:
( ) )8(..... 4321444333222111 ITSSSSPASPASPASPAS +++=+++
Demonstraţie: Întrucât:
)9(4,1; =−= iITPAQA iiii În fine, înlocuind în relaţia (8) relaţiile (9), obţinem relaţia din enunţul teoremei. ■ Consecinţă: În cazul în care planul π nsepară punctele A1 şi I, relaţia (11) poate fi pusă sub forma:
( ) ..3..... 3321111444333222 VSSSSrPASPASPASPAS =+++=−++ Aceasta este analoaga spaţială a relaţiei lui Harcourt. B i b l i o g r a f i e: Teorema lui Harcourt(în cazul triunghiului), a făcut obiectul problemei 1576a(teorema 533) din FGM(Exercises de GÉOMÉTRIE, ediţia din 1912). Mai recent ea a făcut obiecttul a două articole datorate lui Carlos Salazar, primul apărut în "Revista Escolar Olimpiada Ibericoamericana de Matematica" nr.8(iulie-august/2003) şi al doilea (scris împreună cu: Nicolaos Dergiades) apărut în "FORUM GEOMETRICORUM" din 2003, articolul 13(acest articol poate fi găsit la adresa: http://forumgeom.fau.edu). Adresa de E-mail: [email protected]
