Teorema Ramsey

BY

DARWIN DJENINIM. 080210101043

YUNIKA DEWI WULANINGTYASNIM. 080210101051

Ramsey

Theory

Problem 2

Problem 1

Teorema 4.3.2

Problem 3

Teorema 4.3.1

Problem 1

Tunjukkan bila sisi K6 diwarnai oleh dua warna maka akan memuat segitiga monokromatik, tunjukkan pula bahwa K6 minimal dengan sifat ini.

Proof

• Diberikan pewarnaan sisi dari K6 dengan merah dan biru, misal v adalah sembarang titik pada K6.

• Ada paling sedikit 3 sisi merah terjadi dengan v atau paling sedikit 3 sisi biru dengan v, karena v mempunyai derajat 5.

Proof

• Kita asumsikan ada 3 sisi merah. Jika yang digambarkan dengan titik–titik (garis putus-putus) pada gambar 4.3.1 adalah merah, maka akan ada segitiga merah. Jika semua biru , maka akan membentuk segitiga biru.

V VFigure 4.3.1

Dengan demikian, sembarang pewarnaan sisi pada K6 oleh dua warna akan memuat segitiga monokromatik

Figure 4.3.2 menunjukkan bahwa pewarnaan K5 dengan dua warna dan tidak memuat segitiga monokromatik

Figure 4.3.2

Teorema 4.3.1

Untuk setiap bilangan n, ada sebuah bilangan r(n) sedemikian hingga sembarang pewarnaan sisi dari komplit graf dengan r(n) titik, menggunakan merah dan biru harus memuat salah satu dari Kn merah atau Kn biru.

Teorema Ramsey

• Tunjukkan bahwa jika sisi K9 diwarnai dengan merah dan biru, maka akan ada sebuah K3 merah atau sebuah K4 biru.

• Tunjukkan pula bahwa K9 minimal dengan sifat ini.

K9

Problem 2

• Kita asumsikan bahwa sisi dari K9 diwarnai dengan merah dan biru.

• Jika dalam suatu titik dalam K9 ada 4 sisi merah, seperti dalam gambar 4.3.3, maka akan ada sebuah segitiga merah atau sebuah K4 biru.

Proof

Teorema Ramsey

VV

Teorema Ramsey

• Ini pasti benar jika sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna merah, maka ada sebuah K3 merah

• Jika semua sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna biru, maka akan membentuk sebuah K4 biru.

Teorema Ramsey

Proof

no K4 no K3

Bilangan Ramsey r(m,n)

Bilangan Ramsey r(m,n) adalah bilangan terkecil dengan sifat untuk setiap pewarnaan sisi grap komplit dengan r(m,n) titik dengan menggunakan warna merah dan biru haruslah memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru.Seperti telah diketahui bahwa r(3,4)=9. Sangat sedikit bilangan Ramsey yang telah diketahui.

• Perhatikan bahwa r(1,n)=1, karena untuk sembarang pewarnaan sisi pada K1 dengan dua warna memuat sebuah K1 merah atau sebuah Kn biru.

• Hal ini benar karena K1 tidak memiliki sisi, sehingga semua sisi K1 adalah merah.

• Demikian juga r(2,n)=n, karena untuk sembarang pewarnaan sisi Kn dengan merah dan biru memuat sebuah K2 merah, dengan demikian dia memuat sebuah sisi merah, dia memuat sebuah Kn biru.

• Perhatikan bahwa r(1,n)=1, karena untuk sembarang pewarnaan sisi pada K1 dengan dua warna memuat sebuah K1 merah atau sebuah Kn biru.

• Hal ini benar karena K1 tidak memiliki sisi, sehingga semua sisi K1 adalah merah.

• Demikian juga r(2,n)=n, karena untuk sembarang pewarnaan sisi Kn dengan merah dan biru memuat sebuah K2 merah, dengan demikian dia memuat sebuah sisi merah, dia memuat sebuah Kn biru.

Bilangan Ramsey r(m,n) yang telah diketahui:r(1,n) = 1 r(2,n) = nr(3, 3) = 6 r(3,4) = 9r(3,5) = 14 r(3,6) = 18r(3,7) = 23 r(3,9) = 36r(4,4) = 18

• Untuk setiap m dan n, ada bilangan Ramsey r(m,n) sedemikian hingga untuk sembarang pewarnaan sisi Kr(m,n) dengan merah dan biru memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru.

• Selanjutnya r(m,n) memenuhi pertidaksamaan

Teore

ma

4.3.2

r(m,n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1)

Kita memulai dengan induksi pada K=m+n. Nilai terkecil yang memenuhi persamaan adalah K=4, untuk n=2 dan m=2 makar(2,2) = 2

≤ 1+1= r(1,2) + r(2,1)

Proo

f

Theo

rem

4.3.2

Proo

f

Theo

rem

4.3.2

Sekarang andaikan bahwa teorema ini benar untuk semua nilai k• Misalkan G adalah grap komplit r(m-1,n)+r(m,n-1) titik.

Proo

f

Theo

rem

4.3.2

•Kita asumsikan bahwa sisi dari G diwarnai dengan merah dan biru.•Misalkan v adalah sembarang titik pada G.•Pada salah satu v ada r(m-1,n) sisi merah atau r(m,n-1) sisi biru.

Untuk membuktikan bahwa ini benar, anggap bahwa degree dari v adalah r(m-1,n)+r (m,n-1) – 1.

r (m-1,n)

r (m,n-1)V

…

…

Case

1

Case

2

Theorem 4.3.2

Jika ada r(m-1,n) sisi merah pada v, the subgraph H induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m-1,n) vertices that is edge colored with red and blue.

Thus either there is a red Km-

1 in H, that together with v forms a red Km in G, or there is a blue Kn in H and hence also in G.

1

2

CASE 1

Oleh karena itu, jika ada r(m-1,n) sisi merah pada v, maka salah satu G memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru.

CASE 1

3

1If there are r (m, n-1) blue edges at v, the subgraph I induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m,n-1) vertices that is edge colored with red and blue.

2Thus either there is a red Km

in I and hence in G, or there is a blue Kn-1 in I, that together with v forms a blue Kn in G.

CASE 2

3 Oleh karena itu, jika ada r(m,n-1) sisi biru pada v, maka salah satu G memuat sebuah Km merah atau sebuah Kn biru

•Dan dapat kita tetapkan bahwar (m, n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1)

•Jika kita definisikan r(n,n)=r(n), maka Teorema 4.3.1 adalah sebuah kasus khusus dari Teorema 4.3.2

CASE 2

Tunjukkan bahwa jika sisi dari

K5,5

diwarnai dengan dua

warna, maka

akan ada

sebuah monokromatik K

2,2

PROBLEM

3

• Ada 25 sisi pada K5,5

• satu warna akan mewarnai sedikitnya 13 sisi

• Karena masing-masing sisi memiliki titik ujung pada masing-masing himpunan partisinya, dapat kita lihat banyaknya sisi dengan 5 titik pada salah satu himpunannya

PROOF

• Perhatikan bahwa pewarnaan dengan memuat sebuah monokromatik K2,2 dengan tepat saat dua dari titiknya memiliki dua tetangga

• Secara umum ada tiga kasus:

PROOF

Satu titik v mempunyai derajat 5 dalam S. Karena rata-rata derajat dari 4 titik tersisa adalah 2, sedikitnya satu titik mempunyai derajat paling sedikit 2, sebut itu dengan w. Maka v dan w dua tetangga yang sama dan ada K2,2

CASE 1

Satu titik memiliki derajat 4 di S. Karena masih ada sisa 9 sisi lagi, maka paling sedikit titik w memiliki derajat 3 di S, sehingga akan ada minimal 2 tetangga yang sama dengan v, sehingga ada K2,2

CASE 2

Minimal ada 3 titik yang berderajat 3 di S, sehingga pasti ada K2,2

CASE 3