TEOREMA – TEOREMA LIMITKelompok 3

Debby Dwi S (083174204)

Havidz Masnurillah (103174006)

Imroatul Mufidah (103174019)

Iga Erieani (103174024)

Annisa Dwi K (103174025)

Wulan Ayu R (103174039)

Mustakim (103174046)

Nur Azlina (103174048)

TEOREMA-TEOREMA LIMIT

Definisi

Barisan bilangan Real X = (Xn) dikatakan terbatas jika

terdapat bilangan real M > 0 sedemikian hingga ≤ M, untuk

semua n ϵ N. Artinya barisan X = (xn) terbatas jika dan hanya jika

himpunan {Xn : n ϵ N} terbatas di R.

Contoh

X = ( | n ϵ N) dan Y = ((-1)n | n ϵ N) masing-masing adalah barisan

terbatas.

Z+ = (n | n ϵ N) adalah barisan tak terbatas.

TeoremaBarisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas.

BuktiMisalkan lim(xn) = x dan ɛ = 1.

Maka ada bilangan asli K = K(1) sedemikian hingga untuk setiap

 Jika kita gunakan ketaksamaan segitiga dengan , akan

diperoleh

Pilih

Maka diperoleh untuk setiap n ϵ N.

Berikut ini akan dijelaskan bagaimana mencari limit dari

jumlah, selisih, kali, dan bagi dua barisan bilangan riil. Jika X = (xn)

dan Y = (yn) adalah barisan bilangan riil, maka kita definisikan jumlah

dua barisan tersebut sebagai X + Y = (xn + yn), selisih dua barisan

sebagai X - Y = (xn - yn) dan hasil kali dua barisan sebagai X . Y = (xn .

yn). Jika c R, kita definisikan hasil kali barisan X dengan c sebagai cX

= (cxn). Jika Z = (zn) barisan bilangan riil dengan zn 0, untuk setiap n

N, kita definisikan hasil bagi barisan X oleh Z sebagai X/Z = (xn/zn).

TEOREMAa) Misalkan 𝑋= ሺ𝑥𝑛ሻ dan 𝑌= ሺ𝑦𝑛ሻ barisan bilangan real masing-

masing konvergen ke 𝑥 dan 𝑦, dan 𝑐∈𝑅.

1) 𝑋+ 𝑌 konvergen ke 𝑥+ 𝑦

2) 𝑋− 𝑌 konvergen ke 𝑥− 𝑦

3) 𝑋𝑌 konvergen 𝑥𝑦, dan

4) 𝑐𝑋 konvergen ke 𝑐𝑥

b) Misalkan 𝑋= ሺ𝑥𝑛ሻ konvergen ke 𝑥 dan 𝑍= ሺ𝑧𝑛ሻ barisan bilangan

real tanpa nol konvergen ke 𝑧, dan jika 𝑧≠ 0, maka 𝑋𝑍 konvergen ke

𝑥𝑧.

BUKTI

a.1) Untuk menunjukkan bahwa limሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ= 𝑥+ 𝑦, kita ingin

mengestimasi jarak ȁ�ሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥+ 𝑦ሻȁ� Berdasar ketaksamaan segitiga diperoleh

ȁ�ሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥+ 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ+ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�

Berdasar hipotesis, jika 𝜀> 0, maka ada bilangan asli 𝐾1 sedemikian

hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1, maka ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2 selain itu juga ada 𝐾2

sedemikian hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾2, maka ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�< 𝜀2.

Jadi jika 𝐾ሺ𝜀ሻ= supሼ𝐾1,𝐾2ሽ, maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾(𝜀) berlaku

ȁ�ሺ𝑥𝑛 + 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥+ 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ+ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ� < 𝜀2+ 𝜀2 = 𝜀

Karena 𝜖> 0 sebarang maka kita simpulkan bahwa

𝑋+ 𝑌= (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) konvergen ke 𝑥+ 𝑦.

a.2) Untuk menunjukkan bahwa limሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ= 𝑥− 𝑦, kita ingin

mengestimasi jarak ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥− 𝑦ሻȁ� Berdasar akibat dari ketaksamaan segitiga diperoleh

ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥− 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ−ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�

Berdasar hipotesis, jika 𝜀> 0, maka ada bilangan asli 𝐾1 sedemikian

hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1, maka ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2 selain itu juga ada 𝐾2

sedemikian hingga jika 𝑛 ≥ 𝐾2, maka ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�< 𝜀2.

Jadi jika 𝐾ሺ𝜀ሻ= supሼ𝐾1,𝐾2ሽ, maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾(𝜀) berlaku

ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑦𝑛ሻ−ሺ𝑥− 𝑦ሻȁ�= ȁ�ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻ−ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�+ ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ� < 𝜀2+ 𝜀2 = 𝜀

Karena 𝜖> 0 sebarang maka kita simpulkan bahwa

𝑋− 𝑌= (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) konvergen ke 𝑥− 𝑦.

Bukti:

ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦ȁ�= ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦+ 𝑥𝑛.𝑦− 𝑥𝑛.𝑦ȁ� = ȁ�ሺ𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑛.𝑦ሻ+ሺ𝑥𝑛.𝑦− 𝑥𝑦ሻȁ� ≤ ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑛.𝑦ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛.𝑦− 𝑥𝑦ȁ� = ȁ�𝑥𝑛ሺ𝑦𝑛 − 𝑦ሻȁ�+ ȁ�𝑦ሺ𝑥𝑛 − 𝑥ሻȁ� = ȁ�𝑥𝑛ȁ�ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�+ ȁ�𝑦ȁ�ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� Karena X terbatas, maka ∃𝑀1 > 0 ∋ሺ∀𝑛 ∈𝑁ሻ,ȁ�𝑥𝑛ȁ�≤ 𝑀1

A.d.b: 𝑥𝑛𝑦𝑛 →𝑥𝑦

Pilih 𝑀= 𝑠𝑢𝑝ሼ𝑀1,ȁ�𝑦ȁ�ሽ, sehingga diperoleh ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦ȁ�≤ 𝑀ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�+ 𝑀ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� Karena X dan Y konvergen, jika diberikan 𝜀> 0, akan ada bilangan asli K1 dan K2 sedemikian

sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1 maka ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2𝑀

Dan jika 𝑛 ≥ 𝐾2 maka ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�< 𝜀2𝑀

Pilih 𝐾ሺ𝜀ሻ= 𝑚𝑎𝑥ሼ𝐾1,𝐾2ሽ. Jika 𝑛 > 𝐾(𝜀), kita tunjukkan bahwa

ȁ�𝑥𝑛.𝑦𝑛 − 𝑥𝑦ȁ�≤ 𝑀ȁ�𝑦𝑛 − 𝑦ȁ�+ 𝑀ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� < 𝑀 𝜀2𝑀+ 𝑀 𝜀2𝑀= 𝜀

Karena 𝜀> 0 sebarang, maka dapat ditunjukkan bahwa barisan 𝑋𝑌= (𝑥𝑛.𝑦𝑛) konvergen ke xy atau 𝑥𝑛𝑦𝑛 →𝑥𝑦.

A.d.b. 𝑐𝑥𝑛 →𝑐𝑥

Bukti:

Ambil sebarang 𝜀> 0. Karena (𝑥𝑛) →𝑥, maka ∃𝐾∈𝑁∋∀𝑛𝜖𝑁,𝑛 ≥ 𝐾 berlaku ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝜀2

Perhatikan bahwa ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�= ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥+ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛ȁ� = ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� ≤ ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥𝑛ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ� = ȁ�𝑥𝑛ȁ�ȁ�𝑐− 1ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�

Karena (𝑥𝑛) →𝑥, maka (𝑥𝑛) terbatas, yaitu ∃𝑀> 0 ∋ȁ�𝑥𝑛ȁ�≤ 𝑀,∀𝑛𝜖𝑁. Akibatnya

ȁ�𝑥𝑛ȁ�ȁ�𝑐− 1ȁ�+ ȁ�𝑥𝑛 − 𝑥ȁ�< 𝑀ȁ�𝑐− 1ȁ�+ 𝜀2 < 𝜀

Terbukti bahwa ∀𝜀> 0 ∃𝐾𝜖𝑁 ∋∀𝑛 ≥ 𝐾,ȁ�𝑐𝑥𝑛 − 𝑥𝑛ȁ�< 𝜀

Dengan kata lain, terbukti bahwa 𝑐𝑋→𝑐𝑥.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa jika Z = (zn) barisan bila ngan tak nol yang konvergen ke suatu limit tak nol z, maka barisan (1/zn) konvergen ke 1/z.

Bukti: Tetȁpkȁn 𝛼= 12ȁ�𝑧ȁ� sehinggȁ 𝛼> 0. Kȁrenȁ lim ሺ𝑧𝑛ሻ= 𝑧, mȁkȁ ȁdȁ bilȁngȁn ȁsli K1 sedemikiȁn hinggȁ jikȁ 𝑛 ≥ 𝐾1 berlȁku : ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�< 𝛼 Dengȁn menggunȁkȁn ȁkibȁt ketȁksȁmȁȁn segitigȁ diperoleh −𝛼≤ −ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�≤ ȁ�𝑧𝑛ȁ�− ȁ�𝑧ȁ�, untuk 𝑛 ≥ 𝐾1

Untuk 𝑛 ≥ 𝐾1, 12ȁ�𝑧ȁ�= ȁ�𝒛ȁ�− 𝜶≤ ȁ�𝒛𝒏ȁ� Sehinggȁ diperoleh 1 ȁ�𝑧𝑛ȁ�≤ 2 ȁ�𝑧ȁ�ΤΤ untuk 𝑛 ≥ 𝐾1, Mȁkȁ untuk 𝑛 ≥ 𝐾1 diperoleh

ฬ1𝑧𝑛 − 1𝑧ฬ= ฬ𝑧− 𝑧𝑛𝑧𝑛𝑧 ฬ= 1ȁ�𝑧𝑛𝑧ȁ�ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�

< 2ȁ�𝑥ȁ�2 ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ� untuk setiȁp 𝑛 ≥ 𝐾1 Jikȁ diberikȁn 𝜀> 0, mȁkȁ ȁdȁ bilȁngȁn 𝐾2 sedemikiȁn hinggȁ 𝑛 ≥ 𝐾2 mȁkȁ

ȁ�𝑧− 𝑧𝑛ȁ�< 12𝜀ȁ�𝑧ȁ�2 Selȁnjutnyȁ, pilih 𝐾ሺ𝜀ሻ= 𝑠𝑢𝑝ሼ𝐾1,𝐾2ሽ, mȁkȁ

ቚ1𝑧𝑛 − 1𝑧ቚ< 𝜀, untuk 𝑛 ≥ 𝐾ሺ𝜀ሻ

Kȁrenȁ 𝜀> 0 sebȁrȁng, mȁkȁ lim൬

1𝑧𝑛൰= 1𝑧

Pembuktian b terlengkapi dengan menetapkan nilai Y adalah barisan (1/zn) dan menggunakan teorema sebelumnya bahwa X . Y = (xn/zn) konvergen ke x (1/z) = x/z.

AKIBAT 2.1Apabila A = (an), B =(bn), C = (cn), … , Z = (zn) merupakan barisan-barisan

bilangan real yang konvergen, maka

(i) A + B + C + … + Z = (an + bn + cn + … + zn) merupakan barisan

bilangan yang konvergen, dan lim (an + bn + cn + … + zn) = lim

(an) + lim (bn) + lim (cn) + … + lim (zn)

(ii) A x B x C x … x Z = (an . bn . cn . … . zn) merupakan barisan

konvergen, dan lim (an . bn . cn . … . zn) = lim (an) . lim (bn) . lim

(cn) . … . lim (zn)

(iii) Jika k ϵ N dan A = (an) barisan yang konvergen, maka lim (𝑎𝑛𝑘) =

(lim (an))k

PEMBUKTIAN AKIBAT 2.1(i) Dari teorema sebelumnya yaitu X + Y konvergen ke x + y, berarti lim

(xn + yn) = x + y. Misalkan A konvergen ke a (berarti lim (an) = a) , B

konvergen ke b, dst. Lebih lanjut diperoleh

lim (an + bn + cn + … + zn) = a + b + c + … +z

= lim (an)+lim (bn)+lim (cn)+ … +lim (zn)

(ii) Dari teorema sebelumnya yaitu XY konvergen ke xy, berarti lim (XY)

= xy. Misalkan A konvergen ke a (berarti lim (an) = a) , B konvergen

ke b, dst. Lebih lanjut diperoleh

lim (an . bn . cn . … . zn) = a . b . c . … . z

= lim (an) . lim (bn) . lim (cn) . … . lim (zn)

(iii) lim (𝑎𝑛𝑘) = lim (an . an . an … an ) catatan : an sebanyak k

= a . a . a . … . a

= lim (an) . lim (an) . lim (an) . … . lim (an)

= (lim (an))k

Teorema 2.7 Jika X = () barisan bilangan real konvergen dan untuk semua , maka .Bukti: Andaikan , maka .Karena X konvergen ke , maka ada sedemikian hingga untuk ,

Atau

Pandang

Jadi untuk . Ini kontradiksi dengan .Jadi haruslah .