Teoremas de Dualidad

La dualidad en programación lineal provee de resultados teóricos interesantes que justifican su

uso como herramienta alternativa y complementaria de resolución.

TEOREMA DE DUALIDAD DÉBIL: En general, el valor de cualquier solución factible del

problema de minimización, provee una cota superior del valor óptimo del problema de

maximización. Análogamente, el valor de la función objetivo de cualquier solución factible del

problema de maximización es una cota inferior del valor óptimo del problema de minimización.

TEOREMA DE DUALIDAD FUERTE: En el óptimo el valor de la función objetivo del problema

primal será igual al valor de la función objetivo del problema dual evaluada en la solución dual

óptima. Si el problema primal es no acotado, entonces el dual es infactible. Alternativamente si

el problema primal es infactible, entonces el dual es no acotado.

TEOREMA DE HOLGURAS COMPLEMENTARIAS:Una variable en el primal esta asociada a una

restricción en el dual (y viceversa). En este sentido si en el primal existe una variable no básica

(valor igual a cero), en el dual la restricción asociado no está activa, es decir, no se cumple en

igualdad. Análogamente, si la variable es básica en el primal, la restricción asociada en el dual se

cumple en igualdad. Este resultado teórico es útil toda vez que simplifica la forma de obtener la

solución óptima dado que como en un problema lineal la solución óptima (en caso de existir)

esta en un vértice, esto implica resolver un sistema de ecuaciones (con restricciones de

igualdad).

http://www.investigaciondeoperaciones.net/dualidad_en_programacion_lineal.html

IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL

La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la

facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones

supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis

económico del problema.

 

Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y

variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver

gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de

variables.

Relaciones entre problemas primales y duales

 

El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado

por el número de restricciones que presenta el problema primal.

El número de restricciones que presenta el problema dual se ve

determinado por el número de variables que presenta el problema primal.

Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a

los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del

otro lado de las variables.

Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual

corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema

primal.

La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada

restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes

técnicos del problema primal.

El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la tabla de

TUCKER, presentada a continuación.

Tabla de TUCKER

TEOREMAS DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima finita entonces su respectivo dual

o primal tendrán solución óptima finita.

2. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima no acotada, entonces su

respectivo dual o primal no tendrán solución, será un modelo infactible

3.   3.  Si el modelo primal o dual no tiene solución entonces su respectivo

dual o primal no          tendrán solución.

4.     4.  Sea "A" un modelo primal cuyo modelo dual es "B", el modelo dual de

"B" es igual a            "A", es decir "El modelo dual de un dual es un modelo

primal".

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/dualidad-en-programaci%C3%B3n-lineal/

3 comentarios

Dualidad

Todo problema en Programación lineal primal, encuentra un problema dual con soluciones

iguales, es decir, cada problema resolviéndolo en la forma inversa, nos dará igual solución

que la primal.

 Entre el problema primal y el problema dual existen las siguientes relaciones:

1. El dual , tiene como resultado el problema principal.

2. Una restricción que es una igualdad en el problema principal, genera una variable en el dual

sin restricción en el signo

3. Una variable del problema principal, sin restricción en el signo, genera una restricción de

igualdad en el problema dual.

4. El número de restricciones del problema principal es igual al número de variables en el

problema dual.

5. El número de variables del problema principal es igual al número de restricciones en el

problema dual.

Ahora veremos com

https://invdoperaciones.wordpress.com/dualidad/

Teorema fundamental de dualidad:Dado un programa P y su dual D, se cumple necesariamente una de las siguientes afirmaciones:

Los dos programas tienen soluciones óptimas y los valores de sus respectivas funciones objetivo en el óptimo coinciden.

Uno de los programas tiene óptimo no acotado y el otro no tiene ninguna solución factible. Los dos programas son infactibles (no tienen soluciones factibles).

 

A partir de este teorema se puede deducir el valor óptimo de un programa lineal, o si dicho programa es

factible, analizando la forma de su programa dual. En algunos casos el estudio del programa dual puede

resultar más sencillo que el del primal.