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Teoremi Teoremi (di incompletezza) (di incompletezza) di G di G ödel ödel Presupposti storici Presupposti logici implicazioni logiche implicazioni logiche e logico-filosofiche e logico-filosofiche rilevanti in rilevanti in filosofia della filosofia della mente e dell’I.A. mente e dell’I.A. rilevanti in rilevanti in filosofia della filosofia della matematica matematica

Teoremi (di incompletezza) di G ödel

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Teoremi (di incompletezza) di G ödel. Presupposti logici. Presupposti storici. implicazioni logiche e logico-filosofiche. … rilevanti in filosofia della mente e dell’I.A. … rilevanti in filosofia della matematica. Presupposti storici Hilbert e il programma hilbertiano. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Teoremi Teoremi (di (di

incompletezza) incompletezza) di Gdi Gödelödel

Presupposti storici Presupposti logici

implicazioni logiche e implicazioni logiche e logico-filosofichelogico-filosofiche

… … rilevanti in filosofia rilevanti in filosofia della mente e dell’I.A.della mente e dell’I.A.… … rilevanti in filosofia rilevanti in filosofia

della matematicadella matematica

Page 2: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti storiciHilbert e il programma hilbertiano

Hilbert vs intuizionismo

Matematica intuizionista: costruire mentale trasparente a se stesso

Conseguenza: revisionismo

a oppure a a a

() a : disporre di una costruzione mentale che produca a (o che mostra a assurdo)

a: disporre di una costruzione mentale che confuta a (che mostra a assurdo)

Page 3: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti storiciHilbert e il programma hilbertiano

• Hilbert: 1922, Nuova fondazione della matematica. Prima comunicazione

• Salvare la matematica classica dagli attacchi che la vorrebbero non legittima porre la consistenza come condizione necessaria e sufficiente della sua legittimità

• Programma hilbertiano: formalizzazione delle teorie matematiche note e dimostrazione della loro consistenza (condizionata dalla dimostrazione della consistenza dell’aritmetica)

Page 4: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti storiciHilbert e…

Consistenza dell’aritmetica?!?

Aritmetica finitariaAritmetica finitaria: dai contenuti immediatamente evidenti e dalle operazioni garantite nella loro affidabilità (inhaltlich, anschaulich cioè contenutistica, intuitiva)

|, ||, |||, …

Aritmetica non finitariaAritmetica non finitaria: implica un riferimento ad infinità attuali

Sia p un numero primo sufficientemente grande. “esiste un numero primo tra esiste un numero primo tra pp+1 e +1 e pp!+1!+1”

è finitariamente significanteMa per n un numero naturale qualsiasi“esiste un numero primo tra esiste un numero primo tra nn e e nn!+1!+1”

non è finitariamente significante

Page 5: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti storiciHilbert e…

Dimostrare la consistenza: dimostrare che 0=1 non è derivabile logicamente dagli assiomi aritmetici

Assiomi: configurazioni finite di segniRegole logiche: manipolazioni che constano di un numero finito di passaggi

che si applicano alla forma dei segni A (A B) si trasforma in B

Dimostrare la consistenza:

dimostrare che le manipolazioni finite di segni finiti che posso attuare non producono quale esito la configurazione 0 =1

Ciò è simile alle operazioni dell’aritmetica finitaria! La dimostrazione della consistenza della aritmetica è un problema risovibile con le procedure

dimostrative dell’aritmetica finitaria!

Page 6: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti storiciHilbert e…

1931: Gödel dimostra (quale corollario) che la consistenza dell’aritmetica non è dimostrabile con gli

strumenti deduttivi della aritmetica finitaria

Page 7: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni del programma hilbertiano: la natura della mente

L’idea fondamentale della mia teoria della dimostrazione non è nient’altro che descrivere l’attività del nostro intelletto, di creare un protocollo delle regole secondo le quali la nostra attività di pensiero di fatto procede. Pensare, si dà il caso, è analogo a parlare e scrivere: formiamo enunciati e li disponiamo uno dopo l’altro

(Hilbert 1927)

regole di pensiero = regole logiche Regole logiche: procedure che si attivano in virtù della forma dei

segni a cui si applicano (A, AB si trasforma in B)Pensiero: trasformazioni di simboli che si applicano alla loro

forma

Se è possibile costruire un meccanismo materiale capace di sfruttare aspetti concreti dei segni, è possibile costruire una

macchina pensante! Solo che…

Page 8: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni del programma hilbertiano: consistenzaconsistenza

La consistenza è dimostrabile e se non è dimostrabile, è conoscibile?

Se è conoscibile come lo è?

Tale conoscenza della consistenza è una modalità di conoscenza specificamente matematica?

E se la consistenza non fosse conoscibile?

E se le teorie matematiche fossero inconsistenti?

Page 9: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Logica dei predicati del primo ordine:Logica dei predicati del primo ordine:

mostra il funzionamento del linguaggio nella sua componente assertiva,il linguaggio corrente in quanto linguaggio in cui si dice che le cose stanno così e così,

formalizzandolo e individuando regole

Page 10: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Formalizzare:Formalizzare:

isolare le unità assertive minime del linguaggio ed esprimere le componenti di tali unità attraverso controparti simboliche controparti simboliche

• per rendere totalmente esplicita la forma del linguaggio nella sua componente assertivaassertiva

• individuare regoleregole di derivazione di derivazione che consentano di stabilire nessi o relazioni formali tra le proposizioni del linguaggio

Page 11: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

• Proposizioni complesse risultanti da proposizioni semplici:

Parigi è la capitale della Francia e la Francia si trova in Europa

• Struttura predicativa e quantificazionale delle proposizioni:

Parigi è la capitale della Francia: C(P, F)Tutti gli uomini sono mortali: x (U(x) M(x))

Qualche uomo è sapiente: x (U(x) S(x))

• Formalizzazione simbolica delle componenti predicative e quantificazionale degli enunciati

Variabili per individui: x, y, z

Costanti per predicati: … Pi1…, … Pi

2 …, … Pi

3 …Quantificatori: ,

Connettivi: (non), (e), (o), (se… allora)

Perché mancano costanti per individui e variabili per predicati?

Page 12: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

LinguaggioLinguaggio della logica dei predicati del primo ordine L consta di: - un alfabeto (che include variabili individuali, costanti predicative e segni

logici) - regole di formazione per formule (indicazioni su come costruire formule

ben formate)…

… che lo rendono al limite pensabile come “autonomo” rispetto alle sue controparti non formali, come linguaggio che si autocrea

combinando segni nei modi indicati dalle regole di formazione. .

In più si pensi alle regole di derivazioneregole di derivazione come regole che consentono di stabilire nessi o relazioni formali tra proposizioni del linguaggio

LaLa sintassi logicasintassi logica studia L come linguaggio che “si autocrea” indipendentemente dal suo significare

Page 13: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Ma resta che…

… le configurazioni di segni dell’alfabeto (formule) possono essere intese naturalmente come tali da

avere un s i g n i f i c a t o (quello delle loro controparti non-formali) e come tali sono oggetto

di studio della semanticasemantica logicalogica.

Page 14: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Che una configurazione di segni abbia un significato viene precisato dicendo che tale formula

può essere interpretatainterpretata su individui di un dominio oggettuale,

ovvero che le sue variabili individuali possono essere viste come tali da stare per individui del dominio, le sue costanti predicative per proprietà di individui o coppie, triple, quadruple ordinate di

individui, ecc., che stanno tra loro in determinate relazioni

Interpretazione:Interpretazione: <dominio oggettuale, assegnazione>

Page 15: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Esempio:

x y Pi2 (y, x)

Interpretazione sul dominio dei numeri naturali ove

x, y: stanno per numeri naturali

Pi2: sta per la relazione “essere maggiore di” definita su

numeri naturali

L’interpretazione rende veravera la formula!

Ma se Pi2 fosse intepretata sulla relazione “essere minore di” tra

numeri naturali …

Page 16: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

ModelloModello (di un insieme di L-formule ):Interpretazione nella quale

tutte le formule di sono vere

Essere conseguenza logica:conseguenza logica:A è conseguenza logica di

╞ A

se e solo se ogni modello di è modello di A

Page 17: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Domanda: dato come ne derivo le conseguenze logiche?

Le regole di derivazione possono essere intese come regoleregole che consentano di stabilire nessinessi di

conseguenza logicaconseguenza logica tra le L-formule?

Riescono le regole di derivazione a “catturare” ovvero produrre meccanicamenteprodurre meccanicamente tutte le conseguenze

logiche di un insieme di L-formule?

Page 18: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

Se

├ A

significa che A è derivabile da applicando alle L-formule di le regole D, ci si sta domandando se sia vero:

se ╞ A allora ├ A

(il calcolo è semanticamente completo)

Ci si può anche domandare:se ├ A allora ╞ A(il calcolo è corretto)

Page 19: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Presupposti logici

5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg:5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg:

Dato un insieme di L-formule è possibile derivare da ogni conseguenza logica di e, in particolare, ogni tesi logica ovvero il calcolo del primo ordinecalcolo del primo ordine è semanticamente completosemanticamente completo

ovveroovvero

un computer, opportunamente programmato, è in grado di derivare ogni conseguenza logica di

un insieme di L-formule e ogni tesi logica

Page 20: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

Il calcolo logico del primo ordine è semanticamente completo ma…

“Assumendo la consistenza formale della matematica classica uno può dare esempi di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono vere ma non provabili nel sistema formale della matematica classica”

ovvero la matematica classicamatematica classica come sistema formalesistema formale è incompletaincompleta

Page 21: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

…ogni teoria matematica formale che includa l’aritmetica del primo ordine

Aritmetica del primo ordine Aritmetica del primo ordine (A)

teoria assiomatica espressa in un linguaggio formale LA che include, oltre a L e alle regole del calcolo logico, specifiche costanti non logiche, individuali e predicative (0, S, +, •) e i

seguenti assiomi:

x (S(x) 0)

x y (S(x) = S(y) x = y)

(P(x) x (P(x) P(S(x))) x P(x)

x (x + 0 = x)

x y (x + S(y) = S(x + y))

x (x • 0 = 0)

x y (x • S(y) = x • y + x)

Page 22: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

La dimostrazione dei teoremi di Gödel muove da due assunzioni:

• che l’aritmetica del primo ordine sia consistente• che LLAA possa parlare, oltre che di numeri naturali, di se

stesso come linguaggio e delle proprietà sintattiche sue e di A

(codificare predicati come: “essere una variabile/costante di LA” “essere una formula di LA”,

“essere una formula atomica/molecolare di LA”,“essere una prova in A”, “essere provabile in A”, …).

Ovvero LA è capace di fungere da

metalinguaggio di se stesso.metalinguaggio di se stesso.

Page 23: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

LA è capace di fungere come metalinguaggio di se metalinguaggio di se

stessostesso grazie alla definizione della

funzionefunzione di ggöödelizzazionedelizzazione (¯ ¯)

che, sulla scorta di una preliminare assegnazione di codici numerici ai simboli primitivi del linguaggio,

attribuisce, in funzione di questi ultimi, codici numerici alle formule del linguaggio e consente la definibilità in LA

dei predicati sintattici sopra indicati

Page 24: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

Esempi di gödelizzazione (di “0+xi=xi”)

¯0¯ = (S(0)) = 1

¯+¯ = (S(S(0)) = 2

¯=¯ = … = 3

¯xi¯ = … = <1, i>

¯0 + xi ¯ = … = (¯+¯, ¯0¯, ¯ xi ¯) = … = (2, 1, <1, i>)

¯0 + xi = xi ¯ = (¯=¯, ¯0 + xi ¯, ¯xi¯ ) = …= (3, (2,1, <1, i>), <1, i>)

Page 25: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

Con ciò le formule aritmetiche vengono a poter giocare un doppio ruolodoppio ruolo nel contesto di una teoria aritmetica in cui la funzione di göödelizzazione è

definita,

il ruolo di se stesse come formule aritmetiche e il ruolo di codici di formule aritmetiche,

in analogia con attori di teatro che fuori dal palcoscenico sono le persone che sono e sul

palcoscenico recitano una parte in genere diversa da ciò che essi sono.

Page 26: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

Ad un attore può però anche capitare

di dover recitare se stesso.

Analogamente una formula aritmetica può venire a recitare il ruolo di codice aritmetico di se stessa, ovvero può codificare

se stessa come formula aritmetica.

Ciò è anzi assicurato dal lemma di diagonalizzazionelemma di diagonalizzazione seguente:

Per ogni LA formula P(x) con esattamente la variabile x libera esiste una formula di LA n tale che n = P(¯ n ¯ ) ovvero

la formula ottenuta da P(x) sostituendo in essa la variabile x con ¯n ¯ parla di se stessa, è codice di se stessa

Page 27: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel Anche il predicato “essere derivabile in A”“essere derivabile in A” è codificabile

nel linguaggio dell’aritmetica.

Data una formula aa di LA,

PrA(¯ aa ¯ )

codifica l’esistenza di una prova per aa in A (afferma l’esistenza di una relazione tra due formule aritmetiche di cui l’una viene ad essere il gödeliano di una derivazione

in A e l’altra il gödeliano di aa)

Page 28: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

Sia PrA(x) la formula “x non è derivabile in A”.

Si applichi ora a PrA(x) il lemma di diagonalizzazione.

Si otterrà come risultato un g tale che

g = PrA(¯ g ¯)

Indichiamo ora con la formula g ovvero PrA(¯ g ¯)

È derivabile in A o no?

Page 29: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

1) A ├ ipotesi

2) A ├ PrA(¯ g ¯) prima condizione di derivabilità

3) A ├ PrA(¯ g ¯) lemma di diagonalizzazione

4) A ├ PrA(¯ g ¯) eliminazione

5) A ├ PrA(¯ g ¯) contrapposizione 6) A ├ mp

7) A ├

Se A ├ allora A ├ cioè Cons (A)

Page 30: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

Se Cons (A), non è derivabile in A, ovvero

Cons(A) PrA(¯ g ¯)

Anche non è derivabile in A (sotto un’assunzione più forte della consistenza di A)

A ⊬ A ⊬

A è sintatticamente incompleta!A è sintatticamente incompleta!

Page 31: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel (corollario)

Cosa accadrebbe se A ├ Cons (A)?

A ├ Cons (A)

A ├ Cons (A) PrA(¯ g ¯)

A ├ PrA(¯ g ¯) A ├

Quindi: A ⊬ Cons (A)

Page 32: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Il teorema di Gödel

PrA(¯ g ¯) dice della formula g che nonè derivabile in A

La formula g è PrA(¯ g ¯)

PrA(¯ g ¯) non è derivabile in A,

quindi PrA(¯ g ¯) è vera!

A è semanticamente incompleta!A è semanticamente incompleta!

Page 33: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

Interpretazione “inflazionista”

Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico

La verità aritmetica sporge

sulla derivabilità logica in A

Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità aritmetica…

Page 34: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

Interpretazione “deflazionista”

La formula PrA(¯ g ¯) gioca un doppio ruolo:

• è una formula dell’aritmetica (PrA(¯ g ¯) )

• parla di una formula dell’aritmetica, è un “messaggio sintattico in codice” (PrA(¯ g ¯) )

(Si pensi all’espressione S.O.S. È, come tale, un’espressione del nostro linguaggio corrente formulato in italiano, ma è anche il codice di un’espressione più lunga formulata in inglese “save our souls”)

Page 35: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

PrA(¯ g ¯), presa nel suo ruolo di formula aritmetica, si configura come una formula aritmetica non decidibile in A, che non riusciamo a dimostrare né a confutare. Con ciò essa si configura come un

“esempio di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono […] non provabili nel sistema formale della

matematica classica”

Ma gli inflazionisti non si limitano a considerare

PrA(¯ g ¯) una formula aritmetica né derivabile né refutabile, dicono che è una verità aritmeticaverità aritmetica non

dimostrabile né refutabile

Page 36: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

è vera PrA(¯ g ¯) ?

PrA(¯ g ¯) è la formula aritmetica g

di cui PrA(¯ g ¯) dice che non è derivabile in A.

È PrA(¯ g ¯) derivabile in A? No

Allora PrA(¯ g ¯) è vera …

…ma il codice PrA(¯ g ¯) parla di se stesso perché la formula aritmetica g è PrA(¯ g ¯) che è notazionalmente identico a PrA(¯ g ¯) ;

PrA(¯ g ¯) è ad un tempo codice e codificato, è ad un tempo vero e non dimostrabile, è una verità indimostrabile!

Page 37: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

Davvero si possono identificare

PrA(¯ g ¯) e PrA(¯ g ¯) ?

PrA(¯ g ¯) come codice non è PrA(¯ g ¯) come formula aritmetica

PrA(¯ g ¯) non parla di sé, parla di una formula aritmetica, è riconosciuto da noi come vero ma non propriamente come

non derivabile …

PrA(¯ g ¯) è non derivabile ma non vero, per essere vero dovrebbe essere inteso come codice

L’incompletezza semantica scaturisce per illusione!

Page 38: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

Come si caratterizza la formula di cui parla PrA(¯ g ¯) ?

PrA(¯S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0))))¯ ) parla della formula S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0)))) intepretabile su 2+1=4

PrA(¯ g ¯) parla di PrA(¯ g ¯) dato che g = PrA(¯ g ¯)

È PrA(¯ g ¯) una proposizione aritmetica

come S(S(0))+ S(0) = S(S(S(S(0))))”?

Sì e no.

Page 39: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

È PrA(¯ g ¯) una proposizione aritmetica come “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”?

Si e no.

È una formula espressa nel linguaggio dell’aritmetica,

esprime una relazione tra gödeliani e i gödeliani sono formule di LA

interpretabili su numeri naturali

A differenza di “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”, PrA(¯ g ¯) non è “semanticamente” esaurita da un’intepretazione sui numeri

naturali ché i numeri naturali su cui è interpretata sono codici di oggetti sintattici,

PrA(¯ g ¯) è una proposizione naturalmente sintattica e non naturalmente aritmetica.

PrA(¯ g ¯) è una formula aritmetica solo per illusione, l’incompletezza sintattica dell’aritmetica è solo un’illusione!

Page 40: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

In più:

PrA(¯ g ¯) dice PrA (¯ PrA(¯ g ¯) ¯)

PrA(gg) quando la interpreto, la interpreto come formula non aritmetica bensì sintattica parla della formula codificata da

¯ g ¯… per cui ho

PrA (¯ PrA(¯ PrA(¯ g ¯) ¯) ¯) … …

PrA(¯ g ¯) è una formula metaritmeticasolo per illusione!

Page 41: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

1) non si può confondere il codice col codificato, PrA(¯ g ¯) con

PrA(¯ g ¯) : l’incompletezza semantica scaturisce per illusione

2) PrA(¯ g ¯) non si può trattare come genuina formula aritmetica: l’incompletezza sintattica scaturisce per illusione

3) PrA(¯ g ¯) non si può trattare come una formula, è una formula solo per illusione! Il teorema di Gödel è un teorema solo per trucco

Page 42: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosoficheL. Wittgenstein, Grammatica filosoficaL. Wittgenstein, Grammatica filosofica

La matematica consiste tutta di calcoli

Ho detto “calcolo” non è un concetto matematico. Questo vuol dire che la parola “calcolo” non è una pedina della matematica. Non c’è

bisogno che compaia in matematica

In matematica non si può parlare di sistemi in generale ma solo entro sistemi. Questo sono proprio ciò di cui non si può parlare

In matematica tutto è algoritmo, niente è significato; anche là dove par così è perché ci sembra di stare parlando delle cose matematiche con parole. Anzi allora costruiamo un algoritmo proprio con queste

parole.

La proposizione dice che questo numero non può essere ottenuto da questi altri numeri in questo modo. Ma sei sicuro di averla tradotta

bene […]? Certo sembra di sì. – Ma non è possibile che ti sia sbagliato?

Page 43: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Implicazioni logico-filosoficheImplicazioni logico-filosofiche

Interpretazione “inflazionista”

Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico

La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A

Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità (meta)aritmetica…

…allora……mente umana è diversa dalla macchina

Page 44: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

L’interpretazione “teologica” di Gödelripresa da Lucas e Penrose

Così è inevitabile la seguente disgiunzione: o la matematica è incompleta nel senso che i suoi

assiomi evidenti non possono mai essere compresi in una regola finita, cioè la mente

umana (persino nell’ambito della matematica) sorpassa infinitamente la potenza di qualsiasi macchina finita, oppure esistono problemi […] del tipo specificato assolutamente indecidibili

[…]

Gödel 1951

Page 45: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

L’intepretazione di GödelHa comunque significato “anti-materialistico”

- rispetto alla natura della mente («l’attività della mente non può essere ridotta all’attività del cervello, il quale ha tutte le sembianze di una macchina finita con un numero finito di parti, vale a dire i neuroni e loro connessioni»)

- Rispetto alla matematica, che non sarebbe solo una creazione nostra («infatti il creatore conosce necessariamente tutte le proprietà delle sue creature, perché queste non possono averne altre da quelle ricevute. Così questa alternativa, secondo la quale esistono proposizioni matematiche assolutamente indecidibili sembra implicare che gli oggetti e i fatti matematici […] esistono oggettivamente e indipendentemente dai nostri atti e decisioni mentali, vale a dire, sembra implicare, qualche forma di Platonismo o realismo nei confronti degli oggetti matematici»)

Page 46: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

L’interpretazione di Gödel

In che senso la mente sorpassa la potenza di qualsiasi macchina?

Che la mente sia assimilabile ad una macchina significa dire che:

- esiste un sistema formale T che rappresenta tale macchina

- conoscere P da parte della mente significa conoscere che P è derivabile in T

- La mente conosce formule come PrT (¯ g ¯) e sa che essa non è derivabile in T, e quindi vera, se T è consistente

- La mente sorpassa la macchina…

Page 47: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

L’intepretazione di Gödel

La mente sorpassa la macchina…

… se conosce la consistenza di T

La mente conosce: Cons(T) PrT(¯ g ¯) ,

Conosce PrT(¯ g ¯) , e la sua verità, se conosce Cons(T)

Page 48: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

L’interpretazione di Gödel

Conosce la mente umana Cons (A)?

Esistono dei mezzi formali per dimostrare Cons (A) collocabili ad un livello formale più complesso di A (a livello di qualche teoria più potente T che

include A come sottoteoria) ma comunque accessibili anche alla macchina! Quindi, riguardo ad A, la mente umana non conosce di più

della macchina!

T (e la macchina) può dimostrare la consistenza di A non quella di T. In generale, la macchina non può sapere nulla della sua consistenza. Sapere o credere per la macchina significa derivare e derivare la

consistenza è precluso dal secondo teorema di Gödel…

… mentre la mente sa di essere consistenteDavvero la mente sa di essere consistente?

Può darsi che la mente non sappia di più ma che sappia diversamente? la macchina dimostra la consistenza di A,

la mente intuisce la consistenza di A…

Page 49: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Intuizione matematicaIntuizione matematica

Che cosa significa intuire la consistenza di A?

Intuire il modello di A, intuire un’infinità attuale

Quale teorie dell’intuizione matematica rendono ragione dell’intuizione del modello di A?

Page 50: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Che cosa significa Che cosa significa intuireintuire in matematica?in matematica?

intuizione platonista

vs.

intuizione quasi-costruttiva

vs.

credenza nella consistenza

Page 51: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Interpretazione platonistica

Con ciò [Platonismo] intendo il punto di vista che la matematica descrive un realtà non sensibile che esiste indipendentemente sia dagli atti che dalle disposizioni della mente umana e che è percepita, e probabilmente percepita in maniera assai incompleta, dalla mente umana. [Goedel 1951, p. 323]

Nonostante la loro distanza dall’esperienza sensoriale, abbiamo in qualche modo una percezione degli oggetti della teoria degli insiemi, come appare dal fatto che gli assiomi si impongono come veri. Non vedo motivi per avere meno fiducia in questo tipo di percezione, cioè nell’intuizione matematica, che nelle percezioni sensoriali che ci inducono a costruire le teorie fisiche […] si deve fare continuamente appello all’intuizione in matematica […] anche per risolvere problemi della teoria dei numeri finitista (del tipo della congettura di Goldbach) […] [Goedel 1947, pp.133-6]

Page 52: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Interpretazione platonistica

ma…

il Platonismo è filosoficamente problematico

Quale evidenza dell’ammissione di un regno di enti matematici mind-independent?

Non sono possibili spiegazioni della matematica (o dell’assunzione della sua consistenza) più

economiche?

Page 53: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

Interpretazione quasi costruttiva

Gerarchia cumulativa di tutti gli insiemi ovvero l’universo matematico:

intuitivo perché correlato di atti mentali che possiamo intendere come possibilità di una mente più che

umana

Page 54: Teoremi  (di incompletezza)  di G ödel

L’universo insiemisticoL’universo insiemistico

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Interpretazione costruttivista (infinitaria)

[…] La stessa interpretazione della teoria iterativa degli insiemi richiederebbe che gli stadi fossero pensati come una sorta di “super-tempo” di una struttura più ricca di ogni struttura che può essere rappresentata nel tempo secondo ogni resonconto intellegibile di costruzione nel tempo. È difficile vedere quale nozione di mente idealizzata potrebbe fare al caso qui; essa differirebbe non solo da ogni mente finita ma anche dalla mente divina come descritta dalla teologia razionale, ché quest’ultima o è pensata come nel tempo […] o, altrimenti, è completamente libera da successione.

[Parsons 1975, in BP 507]

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Alternativa?!?

We must at some point say that we believe in the soundness of our mathematics in a way that is not at all dissimilar to

religious belief

V. F. R. Jones, Fields Medal

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Credenza nella consistenza

Se di fede si tratta, si tratta di fede ragionevole…

Teoria degli insiemi: successive estensioni di sistemi assiomatici ove

- i più “forti” implicano la consistenza dei più “deboli”

Cons (A) Cons (A) Cons (ZFC) Cons (ZFC) Cons (ZFC + CI) Cons (ZFC + CI) … …

- la consistenza dei più forti resta non dimostrata

“appoggiamo il piano terra di un edificio al primo piano, questo ancora al secondo piano, ecc.”, Skolem 1922

ma la assunzione della stessa è fondata, tra l’altro sul successosuccesso delle teorie così estese…

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Credenza nella consistenza

E se il corpus della matematica “fondato” sulla teoria degli insiemi rivelasse delle contraddizioni

– ciò che non siamo nelle condizioni di escludere?

Non è forse più sensato interpretare i teoremi di Godel come tali da mostrare che il corpus delle

matematiche è contraddittorio – e, ciò nonstante, non da buttare?

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Credenza nella consistenza

Matematica: unica e include A, ZFC, ZFC + IC e i rispettivi linguaggi ecc.

Provare = provare in una qualsiasi teoria matematica

Verità = provabilità in una qualsiasi teoria matematica

esiste una prova matematica di esiste una prova matematica di PrPrAA ( (¯ g ¯)¯ g ¯),,

PrPrAA ( (¯ g ¯)¯ g ¯) è vero è vero

non esiste una prova matematica di non esiste una prova matematica di PrPrAA((¯ g ¯)¯ g ¯), ,

Cioè la matematica è contraddittorio.

Che male c’è?

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Credenza nella consistenza11. Supponiamo che io provi che P non può essere provata (nel sistema di Russell): con questa prova ho provato P. Ora, se questa proposizione appartenesse al sistema di Russell – avrei contemporaneamente provato l’appartenenza e la non appartenenza di questa proposizione al sistema di Russell. – Ecco cosa capita a costruire proposizioni di questo genere – Ma qui c’è una contraddizione. Ebbene sì, qui c’è una contraddizione. Nuoce a qualcuno qui?

(Wittgenstein, Considerazioni sui fondamenti della matematica)

Ma da Ma da p p p p qualsiasi asserto è derivabile qualsiasi asserto è derivabile

Nel sistema di Frege si può arrivare a p p. Se da questo puoi trarre le conclusioni che vuoi allora per quanto ne so questa è l’unica difficoltà a cui si può andare incontro. E io direi: “Ebbene evita di trarre qualsisasi conclusione da una contraddizione”

(citato in F. Berto, 2008, p. 245)

Esistono sistemi formali per l’aritmetica incoerenti (formalizzati in una logica diversa da quella classica) ma non triviali (tali da dimostrare qualsiasi cosa), sintatticamente completi e decidibili.

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Implicazioni logicheImplicazioni logiche……

• Benchè PrPrAA ( (¯ g ¯) ¯ g ¯) abbia un significato aritmetico solo derivato, è già qualcosa di notevole relativamente all’aritmetica che LA sia capace di “parlare di se stesso” e produrre così enunciati aritmetici in senso “derivato” che non sono dimostrabili né confutabili in A e, in più, passibili di interpretazioni (benchè metaritmetiche e non aritmetiche) che la rendono vera.

Cosa significa ciò alla luce della

completezza della logica del primo ordine usata in A?

A ha modelli diversi (non isomorfi) Non siamo in grado di dominare con mezzi puramente

formali il modello dell’aritmetica

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Riferimenti bibliografici

Benacerraf P., Putnam H. (a cura di), [Philosophy of Mathematics: Selected Readings [second Edition], Cambridge University Press, Cambridge, 1983 (citato BP)

Berto F., Tutti pazzi per Gödel. La guida completa al teorema di incompletezza, Laterza, Bari, 2008.

Brouwer L.E.J., “Intuitionisme en Formalisme”, Noordhoff, Groeningen, tradotto in inglese da A. Dresden in Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1912), ristampato in Heyting A. (a cura di) 1975, pp. 123-138;

Brouwer L.E.J. [1929], “Mathematik, Wissenschaft und Sprache”, Monatshefte für Mathematik 36, ristampato in Heyting A. (a cura di), 1975, pp. 417- 428

Casti, J.L., DePauli W., Gödel. A Life of Logic, Perseus Publishing, Cambridge MA, 2000

Galvan S., Introduzione ai teoremi di incompletezza, Franco Angeli, Milano, 1992. Galvan S., Gödel e il modello computazionale della mente, Rivista di Filosofia

Neoscolastica XCVI 2004, 145-74. Gödel K., “What is Cantor’s Continuum Problem” (1947), in Collected Works II,176-86• Gödel K., “Some basic theorems on the foundation of mathematics and their basic

implications” (1951), in Collected Works III, 302-23• Heyting A. (a cura di), L.E.J. Brouwer. Collected Works. Vol. 1: Philosophy and

Foundation of Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1975• Hintikka, J., On Gödel, Wadsworth Philosophers Series, 2000 Lolli, G., Da Euclide a Gödel, Il Mulino, Bologna, 2004 (contiene un’utile nota

bibliografica di riferimento)

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Riferimenti bibliografici

• Lucas J.R., “Minds, Machines and Gödel”, Philosophy XXXVI 1961, 112-27• Lucas J.R., “Satan Stultified: a Rejoinder to Paul Benacerraf”, The Monist LII (1968),

145-58• Lucas J.R., The Freedom of the Will, Clarendon Press, Oxford, 1970• Hintikka, J., On Gödel, Wadsworth Philosophers Series, 2000• Parsons C., “What is the iterative conception of set?”, in BP 1983, pp. 503-29. Penrose R., The emperor’s new Mind, Oxford University Press, Oxford, 1989 Penrose R., Shadows of the Mind, Oxford University Press, 1994 Skolem T., “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begruendung der Mengenlehre”,

trad. inglese in J. Van Heijenoort (a cura di), From Frege to Goedel, Harvard University Press, Cambridge Mass., 1967, 290-301.

N.B. I testi contrassegnati da sono in italiano o disponibili in traduzione italiana