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Teoremi sulle funzioni continue

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Proprieta delle funzioni continue

Teorema 1 (di esistenza degli zeri) : Se una funzione y = f(x) e continua in un intervallo chiuso

e limitato [a; b] ed assume valori opposti negli estremi di tale intervallo, allora esiste almeno un punto

x0 interno all’intervallo [a; b] tale che

f(x0) = 0

In formule avremo:f(x) continua in [a; b]f(a) > 0 ∧ f(b) < 0,

oppure

f(a) < 0 ∧ f(b) > 0

=⇒ ∃x0 ∈]a; b[: f(x0) = 0

ba bb

Osservazioni 1

1) Nell’enunciato del teorema leggiamo che la funzione ammette “almeno” un punto in cui lafunzione si annulla, cio non esclude il fatto che la funzione ne possa ammettere piu di uno.

2) Non e importante sapere quale tra f(a) e f(b) sia positivo, e importante che sia negativo ilprodotto f(a) · f(b)

3) E fondamentale l’ipotesi di continuita della funzione f , in quanto se la funzione e discontinuanon e detto che essa ammetta uno zero.

1

2

−1

−2

1−1

4) Se il prodotto f(a) · f(b) e positivo non possiamo dire nulla sull’esistenza di zeri per la funzionef .

Nota : Per chiarire meglio quanto affermato al punto 4), la funzione f(x) = x2 + 1 e continuanell’intervallo [−2; 2], e tale che f(−2) · f(2) = 25 > 0 e non si annulla mai.

1

2

3

1−1

Invece, la funzione f(x) = x2 − 1 e continua nell’intervallo [−2; 2], e tale che f(−2) · f(2) = 9 > 0, masi annulla due volte in ]− 2; 2[.

1

2

−1

1 2−1−2

Teorema 2 (di Weierstrass) : Se una funzione y = f(x) e continua in un intervallo chiuso e

limitato [a; b] allora essa assume, in tale intervallo, un valore massimo e un valore minimo.

x1 x2

m = f(x1)

M = f(x2)

b b

b

b

b

b

Osservazioni 2 :

1) Dal teorema di Weierstrass discende che una funzione y = f(x) continua in un intervallo chiusoe limitato [a; b] e limitata, cioe esistono due punti x1 e x2 tali che:

m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M ∀x ∈ [a; b]

2) Affinche il teorema sia valido e fondamentale che l’intervallo [a; b] sia chiuso e limitato. Infattila funzione f(x) = 1

xnell’intervallo [1 : +∞[, che e chiuso ma non limitato, ammette massimo

M = 1, ma non ammette minimo.

2

1

2

−1

1 2 3 4

b

bM

Esercizi 1 : Applicando il teorema di esistenza degli zeri, risolvere i seguenti quesiti.

Q1. Verificare che l’equazione x3 + x2 − 3 = 0 ammette almeno una soluzione nell’intervallo [1; 2].

Q2. Verificare che l’equazione x3 − 2x− 5 = 0 ammette almeno una soluzione nell’intervallo [2; 3].

Q3. Verificare che l’equazione x3 − 3x+ 1 = 0 ammette almeno una soluzione nell’intervallo [0; 1].

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