Upload
linda-neal
View
45
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Teoretické rozdelenia. Spojité: Rovnomerné Exponenciálne Normálne Lognormálne Chí-kvadrát ( 2 – rozdelenie) ) Studentovo (t – rozdelenie) Fisherovo (F – rozdelenie). f ( x ). x. c. d. Rovnomerné rozdelenie R(c,d). Rovnako pravdepodobné výsledky Funkcia hustoty: pre c x d - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Prednáška č.6 Základy štatistiky 1
Teoretické rozdelenia
• Spojité:– Rovnomerné– Exponenciálne– Normálne– Lognormálne– Chí-kvadrát (2 – rozdelenie))– Studentovo (t – rozdelenie)– Fisherovo (F – rozdelenie)
Prednáška č.6 Základy štatistiky 2
Rovnomerné rozdelenieR(c,d)
• Rovnako pravdepodobné výsledky• Funkcia hustoty:
pre c x d
• Stredná hodnota a štand. odchýlka:
f xd c
( ) 1
f xd c
( ) 1
1d c
1d c
x
f(x)
dc
E(X) Median
12
cdσ(X)
2
dcE(X)
12
cdσ(X)
2
dcE(X)
Prednáška č.6 Základy štatistiky 3
Rovnomerné rozdeleniePríklad
• Predstavte si, že ste výrobný manažér vo firme na plnenie nápojov. Prístroj má do každej plechovky naplniť 12 jednotiek sýtiaceho plynu. V skutočnosti sa to pohybuje od 11,5 do 12,5 jednotiek. Predpokladáte, že tento proces má rovnomerné rozdelenie. Aká je P, že v plechovke je menej ako 11,8 jednotiek plynu?
SODA
Prednáška č.6 Základy štatistiky 4
Rovnomerné rozdelenie Príklad pre R(11,5;12,5)
1,01
1
11,512,5
1
cd
1
1,0
1
1
11,512,5
1
cd
1
P(11,5 x 11,8) =
= (základňa)(výška) =
= (11,8 – 11,5)(1) = 0,30
11,5 12,5
f(x)
xx11,8
1,0
Prednáška č.6 Základy štatistiky 5
Exponenciálne rozdelenieEx()
• popisuje čas alebo vzdialenosť medzi udalosťami
• „doba čakania“ do nastania určitého javu (čakanie v rade)
• f-cia hustoty:
x 0, 0• Distribučná f-cia:
• Charakteristiky: E(X) = (X)=
θxeθ
f(x) 1 θxeθ
f(x) 1
θxeF(x) 1
X
f(X)
X
f(X)
= 2,0 = 0,5
Prednáška č.6 Základy štatistiky 6
Exponenciálne rozdelenieEx()
• Distribučná f-cia:
x
f(x)
a
A P x a e a ( ) A P x a e a ( )
θx
θx
θx
e
exXPF(x)
exXPF(x)
)1(1)(1
1)(
Prednáška č.6 Základy štatistiky 7
Exponenciálne rozdelenieEx()
• Exponenciálne a Poissonovo rozdelenie vyjadrujú ten istý jav z dvoch pohľadov
• Po() – P výskytu určitého počtu javov za jednotku času
• Ex() – P dĺžky intervalu medzi dvoma nastaniami javu
• Použitie: v teórii spoľahlivosti, v tzv. teórii hromadnej obsluhy (teória front - modeluje dobu čakania vo fronte resp. v rade)
Prednáška č.6 Základy štatistiky 8
Exponenciálne rozdeleniePríklad Ex(10)
• Na registráciu na internáte prichádzajú študenti priemerne každých 10 minút. Ich príchod sa riadi exponenciálnym rozdelením. Aká je P, že viac ako 30 minút nepríde žiaden študent na registráciu?
P x a e
P x e
a( )
( )
.
30
0 049787
5%
30 10
P x a e
P x e
a( )
( )
.
30
0 049787
5%
30 10
Prednáška č.6 Základy štatistiky 9
Normálne rozdelenieN(,2)
• Laplaceovo - Gaussovo rozdelenie
• Modeluje veľa náhodných procesov alebo spojitých javov
• Limitné rozdelenie, ktoré sa používa na aproximáciu mnohých diskrétnych rozdelení (napr. binomického)
• Základ klasického štatistického úsudku (indukcie a dedukcie) → parametrické metódy
Prednáška č.6 Základy štatistiky 10
Normálne rozdelenie Vlastnosti N( ,2)
• „zvonovitý“ & symetrický tvar
• E(X), medián, modus sa rovnajú (sú v jednom bode → vo vrchole „zvona“)
• NP má nekonečný definičný obor (- , )
• Inflexné body sú:
E(X) = medián = modus
X
f(X )
σ μx
Prednáška č.6 Základy štatistiky 11
Normálne rozdelenie N( ,2)
Funkcia hustoty f(x) : = stredná hodnota NP X (resp.
populácie ) a (- < < ) = štandard. odchýlka NP X (resp.
populácie ) a 0 = 3.14159e = 2.71828x = hodnota NP X (- < x < )
E(X) = D(X) = 2 1 = 0 2 = 0
22
2
2
1σ
μ)(x
eπσ
f(x)
Prednáška č.6 Základy štatistiky 12
X
f(X)
CA
B
Normálne rozdelenie Zmena parametrov ,2
A = B
A B
Zmena tvaru
A C
A = C
Posun po osi x
Prednáška č.6 Základy štatistiky 13
Normálne rozdelenie N( ,2)
Distribučná funkcia F(x) :
c dx
f(x)
?dxf(x)d)xP(cd
c
x
σ
μ)(t
πσ
x
dt edtf(t)F(x)22
2
2
1
Prednáška č.6 Základy štatistiky 14
Normálne rozdelenie N( ,2)
X
f(X)
X
f(X)
Parametrami normálneho rozdelenia sú a 2 → nekonečne veľa kriviek!
Pre každú krivku je potrebná vlastná tabuľka!
Nekonečne veľa tabuliek!
Prednáška č.6 Základy štatistiky 15
Normované normálne rozdelenie N(0,1)
(Standardize the Normal Distribution)
X
Normálne rozdelenie
N( ,2)
= 0
= 1
Z
ZX
Normované normálne rozdelenie
N(0,1)
Jedna tabuľka!
Prednáška č.6 Základy štatistiky 16
Normované normálne rozdelenie N(0,1)
• Funkcia hustoty f(z):
• Distribučná funkcia (z)
platí: f(-z) = f(z)
(-z) = 1 - (z)
2
2
2
1z
z
eπ
)f(
σ
μaΦ
σ
μbΦ
σ
μbZ
σ
μaPbXP(a
Prednáška č.6 Základy štatistiky 17
X= 5
= 10
6.2
N(5,102)N(5,102)
12010
526,
,
σ
μXZ
120
10
526,
,
σ
μXZ
Z= 0
= 1
.12
N(0,1)N(0,1)
Normovanie - Príklad(Standardizing)
Prednáška č.6 Základy štatistiky 18
Z= 0
= 1
.12
Z .00 .01
0.0 .0000 .0040 .0080
.0398 .0438
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
0,0,047804780,0,04780478
.02.02
0.10.1 .0478
Tabuľka N(0,1) - časťTabuľka N(0,1) - časťTabuľka N(0,1) - časťTabuľka N(0,1) - časť
PrPravdepodobnostiavdepodobnosti
Príklad – Tabuľky N(0,1)
Plocha je zveličená!
Prednáška č.6 Základy štatistiky 19
Z = 0
= 1
?
0,0,121712170,0,12171217
Z .00 0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
.1179 .1255
.01
0.3 .1217
Tabuľky N(0,1) - časťTabuľky N(0,1) - časťTabuľky N(0,1) - časťTabuľky N(0,1) - časť
Ako získame z, ak P(z) = 0,1217?
z = 0,31z = 0,31Plocha je zveličená!
z = 0,31z = 0,31Plocha je zveličená!
Hľadanie Z hodnotyPríklad
Prednáška č.6 Základy štatistiky 20
18103105 ,,ZμX
X= 5
= 10
?
Normálne Normálne rozdelenierozdelenie
NN(5,10(5,1022))
Z = 0
= 1
.31
Normované Normované normálne normálne
rozdelenie rozdelenie
N(0,1)N(0,1)
0,1217 0,1217
X = 8,1X = 8,1Plochy sú zveličené!
Hľadanie X hodnotyPríklad
Prednáška č.6 Základy štatistiky 21
Normálne rozdeleniePríklad
• Ste kontrolórom kvality žiaroviek v továrni na ich výrobu. Životnosť týchto žiaroviek (v hod.) sa riadi N(2000,2002).
• Aká je P, že žiarovky vydržia svietiť:– 2000 až 2400 hodín?– menej ako 1470 hodín?
Prednáška č.6 Základy štatistiky 22
Riešenie P(2000 X 2400)
X = 2000
= 200
2400
N(2000,2002)
0,2200
20002400
X
Z
Z = 0
= 1
2.0
0,0,47724772
N(0,1)
Prednáška č.6 Základy štatistiky 23
Riešenie P(X 1470)
X = 2000
= 200
1470
N(2000,2002)
652200
20001470,
σ
μXZ
Z = 0
= 1
-2.65
.4960 0,0,0040
.5000
N(0,1)