TEORI BUNGA IIArum Handini Primandari

Bunga tunggal jarang dipakai di perbankan, kebanyakan bank-bank sekarang membayar bunga dengan frekuensi bulanan atau mingguan, bahkan harian. Selanjutnya bunga tersebut diakumulasikan dalamrekening kita dan dibungakan (compounded) pada periode berikutnya.

Suku bunga inilah yang disebut suku bunga nominal, yaitu bunga yang dibayarkan beberapa kali dalam setahun.

Suku bunga nominal yang dibayarkan m kali dalam setahun dinotasikan i(m), dimana m bilangan possitif > 1

Bunga Majemuk Nominal

Dengan suku bunga sebesar 𝑖 𝑚 setahun, kita artikan deposito/tabungan kita

mendapat bunga sebesar𝑖 𝑚

𝑚yang dibayarkan m kali dalam setahun;

Contoh:

Suatu pokok uang ditabungkan dengan suku bunga 6% konversi tiga bulanan (m = 4)

Bunga diberikan 4 kali dalam setahun, yaitu per 3 bulanan, sebesar6%

4= 1.5%

Contoh 1:

Uang pokok sebesar $1 diinvestasikan di awal tahun dengan bunga nominal sebesar18% konversi bulanan. Tentukan nilai akumulasi pada akhir tahun. Tentukan pula tingkat suku bunga efektif.

Jawab:

Bunga perbulan:

Nilai akumulasi di akhir tahun:

Tingkat suku bunga efektif:

(12)i 18%1.5%

12 12

12

a(1) 1 0.015 1.1956

1

1.1956 1i 0.1956 19.56%

1

Sementara bunga nominalnya adalah

i(12) = 18% pertahun

Nilai akumulasi dari pokok uang A(0) setelah t periode yang memperoleh bunganominal i(m) adalah

mt(m)

mt(m)

iA(t) A(0) 1

m

ik 1

m

Bunga Efektif dari bunga nominal

Secara matematis, suku bunga efektif 𝑖𝑡 dari bunga nominal

m(m)

t

i1 i 1

m

Bunga Majemuk Kontinu

Selain pemberian bunga setiap bulan, minggu, atau setiaphari seperti yang dikatakan di atas, proses pemberian danpemajemukan bunga dapat diberikan setiap jam, setiapmenit, setiap detik dan seterusnya (setiap saat), atau dengankata lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu.

Pemajemukan yang dilakukan secara terus menerus inidisebut pemajemukan kontinu (continuous compounding).

Bunga Majemuk Kontinu

Secara matematika, nilai 𝑚 → ∞ dan diperoleh nilai pemajemukan sebagai berikut:

(m)

mt(m)

i t

m

ilim 1 e

m

Nilai Akumulasi Bunga Majemuk Kontinu

Nilai akumulasi suatu investasi dengan bunga majemuk kontinu

(m)i tA(t) A(0)e

Berapakah nilai e?Bilangan e disebut euler’s number, nilainya adalah 2.71828….

Contoh 2:

Suatu investasi sebesar 1 juta dengan bunga majemuk kontinu sebesar 10% selama 5 tahun;

t A(t)0 11 1.1051712 1.221403

3 1.349859

4 1.4918255 1.648721

Perbandingan Suku Bunga

Perbandingan:

Konversi Formula A(5) dalam juta

Tahunan A(5) = (1+0.1/1)1×5 1.61051

Setengahtahunan

A(5) = (1+0.1/2)2×5 1.628895

Bulanan A(5) = (1+0.1/12)12×5 1.645309

Harian A(5) = (1+0.1/365)365×5 1.648608

Kontinu A(5) =1*exp(0.1*5) 1.648721

Sifat Bunga Tunggal (simple interest)

Diberikan investasi awal sebesar satu unit selama periode waktu t+s, maka besarnyanilai akumulasinya:

Buktikan!

Bagaimana dengan A(t+s)?

a(t s) a(t) a(s) 1

Sifat bunga majemuk (compound interest)

Diberikan investasi awal sebesar satu unit selama periode waktu t+s, maka besarnyanilai akumulasinya:

Buktikan!

Bagaimana dengan A(t+s)?

a(t s) a(t)a(s)

Nilai sekarang (Present Value)

Selain kita dapat menentukan nilai akumulasi di masa mendatang, kita juga dapatmenentukan nilai sekarang dari suatu nilai di masa datang.

Berapakah uang yang kita butuhkan di saat ini agar setahun mendatang uang kitamenjadi 1+i?

Jawaban: 1

Faktor diskon

Formulasi matematis:

besaran v sering disebut juga faktor diskon karena mendiskonto nilai investasi di akhir periode ke awalperiode.

Fungsi diskonto untuk mendapatkan akumulasi sebesar 1 selama t periode dinotasikan a-1(t)

1

1 v 1 i

1v

1 i

1 i

Formula Present ValueSekarang kita generalisasikan fungsi diskon untuk berbagai macam jenis bunga denganuang pokok A(0):

1. Bunga tunggal (simple interest)

2. Bunga majemuk (compound interest)

A(t)A(t) k 1 it k

1 it

A(t)Sehingga : PV

1 it

t t

t t

A(t) k 1 i k A(t) 1 i

Sehingga : PV A(t) 1 i A(t)v

Soal

1. Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 10% setahun. Sementara itu rekening Q mendapat bunga tunggal sebesar i% pertahun. Uang sebesar 2 juta ditabungkan di rekening P dan 1.8 juta di rekening Q. Setelah 6 tahun, uang di kedua rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i.

2. Hisam meminjam uang 200 juta untuk memperbesar usaha perkayuannya. Dia melunasipinjaman di atas 4 tahun kemudian sebesar 260 juta. Berapakah suku bunga efektiftahunan dari pinjaman Hisam, apabila diketahui bunga pinjaman adalah majemuk?

3. Diketahui investasi dengan uang pokok sebesar $1000 dalam dua tahun akanmemiliki bunga sebesar $300. Tentukan nilai akumulasi dari investasi sebesar$2500 selama tiga tahun dalam kondisi bunga yang sama. (bunga majemuk)

4. Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6% (convertible quaterannualy). Enam bulan berikutnya anda mendepositokan lagi 200 juta. Berapa jutakah uang anda setelah dua tahun dari deposito yang kedua?

5. Ayah anda mempunyai uang 100 juta dan ingin ditabungkan. Ayah anda berharapdalam waktu 15 tahun uang tersebut dapat menjadi 3 kali lipat. Bank dengan sukubunga majemuk nominal konversi setengah tahunan (semiannually) berapa yang akan Anda rekomendasikan ?

6. Diketahui bahwa investasi sebesar Rp 500 juta akan berkembang menjadi Rp 4000 juta dalam kurun waktu 30 tahun. Tentukan jumlah nilai present value dari uangsebesar Rp 10000 juta yang akan terjadi pada 20 tahun, 40 tahun, dan 60 tahunkemudian. (Bunga majemuk kontinu)

7. Hitunglah suku bunga nominal, konversi semesteran, yang memberikan sukubunga efektif tahunan ief = 10%.

Tingkat diskon efektif

Tingkat diskon efektif adalah ukuran bunga yang dibayarkan di awal periode.

Diskon dinotasikan dengan d;

Contoh:

Kasus 1: A meminjam bank sebesar 100 juta untuk 1 tahun dengan bunga sebesar 6%. Di akhir tahun, A mengembalikan pinjaman sebesar: pokok hutang 100 juta + bunga 6 juta = 106 juta.

Kasus 2: A meminjam 100 juta untuk 1 tahun dengan suku diskon 6%, maka bank menarik bunga di awal sebesar 6% dan memberikan A pinjaman sebesar 94 juta. Di akhir tahun, A mengembalikan pokok hutang sebesar 100 juta.

Tingkat diskon efektif, d, adalah rasio sejumlah diskon yang diperoleh selama periodetertentu dengan sejumlah investasi di akhir periode.

Andaikan dn adalah tingkat diskon efektif selama periode n dari suatu investasi, maka:

nn

IA(n) A(n 1)d

A(n) A(n)

Analog dengan bunga, dalam diskon terdapat diskontunggal (simple discount), diskon majemuk (compound discount), maupun diskon majemuk nominal.

Nilai sekarang untuk diskon

Asumsikan seseorang meminjam sebesar 1, dengan diskon sebesar d dapat dikatakanbahwa dia mendapat pokok pinjaman sebesar 1-d;

Dari definisi dasar i yang merupakan perbandingan antara bunga (dalam hal inidiskon) dengan pokok uang, maka:

di

1 d

id iv

1 i

Nilai sekarang dalam fungsi diskon:Untuk diskon tunggal (simple discount)

Untuk diskon majemuk (compound discount)

PV 1 dt

t

PV 1 d

Contoh:

Tentukan jumlah uang yang harus diinvestasikan dengan diskon majemuk 9% per tahun agar menghasilkan nilai akumulasi sebesar 1000 di akhir tahun ke tiga.

Diketahui: A(3) = 1000, t = 3, d = 0.09

Jawab:

t

t

3

A(t) ka(t)

k 1 d

k A(t)*(1 d)

1000*(1 0.09)

753.57