Teori Dasar Himpunan

Matematika Komputasi

Bilangan???

Notasi

Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai syarat keanggotaan tertentu.

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan

Simbol “{….}”. Anggota himpunan menggunakan huruf kecil a, b, c, x,

y. Penulisan {1,a,b,8,b} Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan

lambang “” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “” (baca: bukan anggota).

Pendefinisian

Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:- A = {a,e,i,o,u}- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Pendefinisian (2)

Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:- A = Himpunan vokal dalam abjad latin- B = Himpunan bilangan prima yang kurang

dari 20

Pendefinisian (3)

Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:- P = {0,2,4,8,10,…,48}- Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Pendefinisian (4)

Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan

15}(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})- Q = { t | t biangan asli}(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}- R = { s | s^2-1=0, s bilangan real}(Maksudnya R = {-1,1})

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.

Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.

Contoh :Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ ,

3 5 ,…

Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satu anggotapun disebut dengan himpunan kosong atau void set atau emty set yang dilambangkan dengan { } dan φ.

Contoh:- Himpunan bilangan bulat yang ganjil

Kardinalitas

Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga, maka jumlah elemen dari himpunan A disebut kardinal dari himpunan A.

 Notasi : n(A) atau |A| Contoh : A = { x/x merupakan bilangan Asli < 10 } , maka

kardinal dari himpunan A, adalah n(A)=|A|= 9 A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Himpunan Bagian

Himpunan bagian dinotasikan ⊂. Jika setiap anggota himpunan N juga menjadi

anggota himpunan M maka himpunan N merupakan himpunan bagian dari M dinyatakan N ⊂ M.

 Contoh :P = { x/ x tim olah raga basket di UB} Q = { semua mahasiswa UB } Maka P ⊂ Q ( P merupakan himpunan bagian dari Q).

Operasi Himpunan

Gabungan / Union

Gabungan Dua himpunan P & Q dinotasikan P∪Q adalah himpunan yang unsur-unsurnya menjadi anggota himpunan P atau Q atau keduanya.

Contoh : himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { c,d }

P ∪ Q ={ a, b,e } ∪ { c, d } = { a, b, c, d, e }

Irisan / Intersection

Irisan dua himpunan P dan Q, dilambangkan dengan P ∩ Q adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan anggota keduanya.

Contoh :himpunan P = { a, b, c, e } dan

Q = { b,c,d } P ∩ Q ={ a, b, c, e } ∩ { b,c,d } = { b, c }

Komplemen

KomplemenDiberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A

ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunanyang anggotanya berada dalam himpunan

semesta tetapi bukan berada di A.

Beda / Difference

Beda atau selisih antara dua himpunan P dan Q dinyatakan P - Q adalah himpunan yang mengandung unsur-unsur yang berada tepat di dalam P yang tidak ada di dalam Q.

 Contoh :Diberikan P = { a, b, c, e }

Q = { b, c, e, f ,g } P – Q = { a, b, c, d, e } – { b, e, f ,g } = { a ,c, d }

Beda Simestris / Symetric Difference

Beda setangkup antara himpunan P dan Q dilambangkan P ⊕ Q adalah himpunan yang mengandung tepat semua unsur yang ada didalam P atau didalam Q tetapi tidak didalam keduanya.

P ⊕ Q = ( P ∪ Q ) - ( P ∩ Q ) ,  Contoh : Diberikan himpunan P = { a, b, c, e } Q = { b, c, f ,g }

maka P ⊕ Q = { a, b, c, e } ⊕ { b, c, f ,g } = { a, e, f , g }

Himpunan Kuasa / Powerset

Himpunan kuasa (powerset) Himpunan kuasa (powerset) dari himpunan A dilambangkan P(A) adalah semua himpunan bagian dari himpunan A. Notasi himpunan kuasa P(A) atau 2A .

Contoh :a). Diberikan himpunan A = { a, b }

P(A) = { { } , { a } , { b } , { a, b } }b). Diberikan himpunan A ={ a, b, c }

P (A) = { { }, { a }, { b}, { c }, { a, b }, { a, c }, { a, b, c } }

Sifat-sifat Operasi

KomutatifAsosiatifIdentitasKomplementerDalil De Morgan

Himpunan Ganda / Multiset

himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda). Multiplitas dari suatu elemen pada multiset adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada multiset.

 Contoh :M={ 0,1,01,1,0,001,0001,00001, 000001 } maka multiplitas elemen 0 adalah 5

P ∪ Q

P ∪ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multisiplitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh : P = { n,n,n, s,s,s,s e,e} Q = { n,n ,s,s,s,f } P ∪ Q = { n,n,n, s,s,s,s e,e,f }

P ∩ Q

P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { n,n,n, s,s,s,s e,e} Q = { n,n,s,s,s,f }

P ∩ Q = { n,n, s,s,s }

P − Q

P − Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplitas elemen pada himpunan P dikurangi multiplitas elemen pada himpunan Q, bernilai nol apabila selisihnya nol atau negatif.

Contoh : P = { n,n,n, s,s,m,k,k, j}Q = { n,n,s,s,s, m,m, k, k, f }P - Q = { n, j }

P + Q

P + Q jumlahan dua himpunan ganda adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan multiplitas pada himpunan P dan Q.

Contoh :P = { n,n,n, s,s,m,k,k, j} Q = { n,n,s,s, m} P + Q = { n, n, n, n, n, s, s, s, s, m, m, k, k, j }