TEORI KINETIS UNTUK PANAS

PERGERAKAN MOLEKUL GAS

106. GERAKBROWNPada tahun 1658, Gassendi mengemukakan adanya jarak yang besar antara partikel gasseperti udara dan sebagainya, dan hal ini telah juga dikemukakan pada pembicaraanmengenai pengertian molekul dari gas sejati. Molekul itu tidak diam melainkan bergerak,sedangkan tenaga untuk pegerakan ini diperolehnya dari tenaga panas. Daniel Bernoulli,pada tahun 1678, menerangkan selanjutnya bahwa kecepatan rata-rata dari partikel iniadalah tetap besamya bagi temperatur yang tetap.

Molekul yang bergerak ini kita anggap berbentuk bola yang keras dan tersebarsecara seragam. Molekul ini juga bersifat kenyal atau elastis sempurna dan rata-ratamempunyai kecepatan yang sarna ke segala arah. Hal ini ternyata dari pengamatan RobertBrown.

Robert Brown, pada tahun 1827, melihat bahwa butir-butir pati yang halus bergerakdi dalam air dengan sangat tidak teratur seperti misalnya pada gambar 58. Mula-mulaBrown mengira bahwa sebagai zat organis, butir-butir pati ini dapat bergerak sendiri.Tetapi ternyata kemudian bahwa suspensi dari zat anorganis juga mempunyai sifatpergerakan seperti ini sehingga pergerakan demikian tidak disebabkan oleh organismemelainkan oleh suatu sebab alam dari suspensi itu. Pergerakan demikian dikenal sebagaigerak Brown..

161

Gambar 58

Gerak Brown bagi partikel pati dalam air atau partikel suspensi zat anorganis.

Pada tabun 1879, William Ramsay memberi keterangan yang eukup memuaskantentang gerak Brown ini. Menurut Ramsay, pergerakan ini terjadi karena molekul eairanyang bergerak menubruk partikel seperti suspensi itu dari segala arab dan walaupunmolekul itu berukuran jauh lebih kecil dibandingkan dengan partikel itu namun jumlabmolekul yang menubruk tiap partikel adalab besar. Tubrukan sebarang dari segala arabini pada tiap saat tidaklab saling meniadakan seeara lengkap (rata-rata saling meniadakan)sehingga terdapat resultan gaya yang menyebabkan partikel bergerak. Gaya resultan initiap saat berubah besar dan arabnya sehingga terjadilab gerak Brown.

Makin keeil ukuran partikel suspensi, makin mudab bergeraknya sehingga pergerakan-nyapun lebih hebat, sungguhpun ukuran yang lebih kecil ini menyebabkan jumlab molekulyang menubruknya lebih keeil. Yang penting untuk pergerakan ini bukan semata-mataberdasarkan jumlab molekul yang menubruk, melainkan disebabkan oleh selisih gayadari molekul yang menubruk (resultan gaya) pada tiap saat.

Karena gaya tiap resultan tiap saat tidak teratur dan juga karena molekul itu dapatbertubrukan satu dan lainnya maka pergerakan molekul itu sendiri tentunya juga tidakteratur. Pergerakan molekul tersebut dianggap berbentuk gerak Brown juga.

Sungguhpun pergerakan molekul tidak teratur dan resultan pergerakan pada tiap saatberubah, tetapi karena kita tidak mempunyai pilihan arab bagi pergerakan molekul makaditinjau seeara leseluruhan molekul atau keseluruhan waktu, pergerakan rata-rata dari

162

/ , A, VI

,-...... r ,

J, J . .I

,p L\

, Iii'

J 10-1'" II

IL I-to

...."..\,. n

r-., 1["I. " - L

, l "'):.l-\ . V1.L

I- I

molekul dianggap sarna kesegala arab atau seragarn. Hal ini tentunya hanya berlaku bagigas yang tidak mengalir.

107. PERGERAKAN MOLEKUL KE ARAH TERTENTU

Sungguhpun rata-rata molekul bergerak kesegala arah secara seragam, namun bila kitahanya memandang arab tertentu saja, maka kita dapat meninjau bagian pergerakan molekulrata-rata pada arab yang bersangkutan.

Jadi pada gas yang diam tidak mengalir, pergerakan molekul gas ketiga arah dimensiruang, rata-rata adalab sarna. Dan berdasarkan ini kita mencoba menentukan jumlabpergerakan rata-rata ini melalui peninjauan pergerakan molekul pada arah tertentudahulu.

Ukuran molekul adalah kecil, sehingga sampai taraf orde besaran molekul ini, kitapergunakan besaran diferensial. Jika dalam ruang dengan volume V terdapat N molekuldari n grl gas, maka rapat molekul gas p adalab

atau

dNp=-

dV

dN = pdV

(231)

Anggaplah molekul ini terletak dalam ruang berbentuk bola dengan jari-jari r sepertipada gambar 59 . Pandanglah arah kecepatan rata-rata dari molekul itu, maka menurutketentuan pergerakan seragarn, arab kecepatan molekul itu terbagi rata

Gambar 59

Molekul dengan arah kecepatannya dalam ruang berbentuk bola.Arah kecepatan ini dipindahkan ke pusat bola.

ke segala.arab pada bola itu. Jika vektor kecepatan molekul ini kita pindahkan sehinggamulai dari pusat bola 0, maka kecepatan molekul akan berarab mulai dari 0 dan terbagirata menuju ke kulit bola. Teruskan vektor kecepatan ini, maka kulit bola tersebut akanditubruknya. Jumlah vektor kecepatan ini adalab sarna dengan jumlah molekul yang ada,

163

- -- --

yakni N. Jadi rapat arah kecepatan atau rapat tubrukan dengan kulit bola adalah

dNq=-

dAN

atau untuk hal ini q = -4m2

(232)

(233)

Oleh sebab itu, rapat arah kecepatan molekul q, adalah jumlah arah kecepatan molekulpersatuan luas tegak lurus kepada arah itu. Pandanglah luas kulit bola infinitesimalQRST sebesar dA pada gambar 59, maka

dA =QT . QR

Karena dA ini dibentuk dengan arah antara <pdan <p+d<pserta antara e dan e + de,maka

QT = rde

dan QR = PQ d<p

atau QR = r sin e d<p

Diperolehmelalui substitusi

dA = r2 sin e de d<p (234)

Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara e dan e + de serta antara <pdan <p+ d<j>untuk mudahnya kita sebut molekul (e<p),dan jumlah molekul (e<p)oleh karenanyamenurut (232) adalah

d2 N (Oq»=q dAatau dari (234) diperoleh

d2N (9q»= q r2 sin e de d<pSelanjutnya dari (233) diperoleh

Nd2N (9q»= - sin e de d<p41t

Rapat molekul dari molekul (e<p)menurut (231) adalah

d2N (9q»p(oq»=

(235)

dV

sehingga oleh karenanya diperoleh dari (235) , rapat molekul dari molekul (eq)

d2<p(0) =~ sin e de d<pq> 41t

dan rapat molekul di sini adalah jumlah molekul per satuan volume.

(236)

164

108. KECEPATAN RATA-RATA DAN KECEPATAN EFEKTIFMOLEKUL GAS

Pada pembicaraan di muka telah kita bicarakan soal kecepatan rata-rata molekul gas. Jadidari kecepatan yang beraneka macam besarannya, perlu kita tentukan harga rata-ratanya.Harga kecepatan rata-rata dengan sendirinya dipengaruhi oleh besar kecepatan yangbanyak terjadi.

Kecepatan rata-rata kita tentukan sebagai harga rata-rata dari jumlah harga seluruhkecepatan yang kita pandang. Misalkan setiap kecepatan Vidilakukan oleh masing-masingsejumlah Nj molekul, sehingga banyaknya kecepatan adalah I,Nj dan jumlah hargakecepatan ini adalah I,viNj maka kecepatan rata-rata Vmenjadi

I,v.N. I,v.N.I I I 1V - -- -

I,N. NI

atau secara infinitesimal diperolehf VdN

v=N

Dengan mempergunakan rapat molekul menurut (231) diperoleh juga

f v dpv=

ataup

f v dp = P v(237)

Dalam kecepatan rata-rata molekul gas V, kita tidak memperhatikan arab dari kece-patan itu. Jika kita memandang suatu arah tertentu sebagai positif maka kita akanmemperoleh kecepatan negatif yang bertindak sebagai kompensasi terhadap kecepatanyang kita pandang.

Untuk menghilangkan gejala ini kita dapat mengkuadratkan setiap kecepatan dankemudian kita mengambil harga rata-rata dari kecepatan kuadrat ini. Analogi dengankecepatan rata-rata tersebut pada (237), kita dapat mendefinisikan kecepatan kuadratrata-rata

atau

_ f v2 dpv2 =

p

f v2 dp =P v2

(238)

Kecepatan molekul 'itu sendiri dapat diperoleh dengan mengambil akar dari kece-patan kuadrat rata-rata ini dan kecepatan demikian disebut kecepatan efektif

v =~ v2 =~ f v2 dpeff

pHarga kecepatan efektif ini akan berlainan dengan harga kecepatan rata-rata terse-

but pada (237) dan hal ini dapat kita lihat pada pembicaraan kemudian.

(239)

165

109. JUMLAH TUBRUKAN MOLEKUL DENGAN DINDING

Dengan mengetabui kecepatan molekul pada arab tertentu, kita dapat menentukan jumlabtubrukan yang dapat dilakukan oleh molekul itu pada dinding yang menghadang di mukaarab pergerakan molekul itu.

Apabila pada arab daerab QRST yang berukuran infinitesimal pada gambar 59,terdapat suatu keping datar seluas dA' maka molekul termaksud pada (236) akanmenubruknya. Besaran kecepatan molekul ini berbeda-beda, sehingga dalam waktu d'ttidak semua molekul itu dapat menubruk keping dA'.

Gambar 60

Molekul (8cpv) yang menubruk keping se/uas dA'

Yang dapat menubruknya adalah molekul (ecp)yang berkecepatan v tertentu dalamparalelepipedum dari gambar 60, dan v,?lume ini adalab

dV = v d't dA' cos e

Perhatikan molekul (ecp)yang berkecepatan antara v dan v + dv dan untuk mudahnyakita menamakannya molekul (ecpv).Apabila jumlah molekul berkecepatan antara v danv + dv per satuan volume adalah dpv' maka jumlah molekul (ecpv) per satuan volumedapat diperoleh dengan menggantikan p pada (236) dengan dpv'yakni

-1

d3p (9 ) = - dp sin e de dcp<pv 41t v

sehingga dalam waktu d't, molekul (ecpv)yang menubruk dA' adalab

v dpvd3p (9<pv)dV = dA' d't - sin e cos e de dcp

41t

(240)

(241)

166

Dari (241) ini kita melihat beberapa hal sebagai berikut :

a. Jumlah tubrukanper satuan luas permukaan(dA' = 1) per satuan waktu (dt = 1)yang dilakukan per satuan volume molekul (ecpv)adalah

1- v dpv sin e cos e de dcp (242)41t

b. Jumlah tubrukan per satuan luas permukaan per satuan waktu oleh per satuan vo-lume molekul yang berkecepatan antara v dan v + dv bagi seluruh arah yang dapatmenubruk adalah

1 1t/2f"- v dpv f sin e cos e de dcp41t 0 0

Di sini batas e diambil dari 0 sampai hanya "/2'karena arah kecepatan molekul yangdapat menubruk satu muka dari keping itu, hanyalah yang terletak pada setengahbelahan bola saja. Arah kecepatan molekul pada setengah belahan bola yang lainakan menubruk permukaan yang lain dari keping itu. Perhitungan integrasi inimemberikan

(243)

c. Jumlah tubrukan per satuan luas permukaan per satuan waktu oleh per satuan vo-lume molekul dengan semua kecepatan dan seluruh arah adalah

z = 1/4 f v dcpv (244)

Dari pengertian kecepatan rata-rata pada (237), melalui substitusi, (244) memberi-kan

z = 1/4 pv (245)Dengan mengetahui kecepatan rata-rata molekul gas, rapat molekul, luas permukaan

yang ditubruk, serta waktu tubrukan kita dapat menghitung jumlah tubrukan tersebut,

Z = 1/4 PV A 't (246)

Di sini A luas permukaan yang ditubruk serta 't adalah waktu selama tubrukan ber-langsung.

PANAS DAN TENAGA KINETIS MOLEKUL

110. TENAGA PADA MOLEKUL GAS

Molekul bergerak sehingga dengan mempunyai massa, molekul ini menimbulkan tenagakinetis. Tenaga kinetis yang berasal dari tenaga panas telah juga diselidiki oleh Joule

167

setelah dari Rumford diketahui bahwa panas mempunyai hubungan dengan pergerakan.Pada tahun 1847, Joule menyatakan bahwa panas konduksi serta apa yang kita sebut dimuka sebagai panas bebas, merupakan tenaga kinetis dari partikel benda itu. Panaskonduksi berlangsung melalui komunikasi tenaga kinetis dari satu partikel ke partikellainnya. Teori bahwa panas merupakan tenaga kinetis dari partikel zat kemudian berkem-bang dan kini teori kinetis untuk panas sudah meluas juga sampai ke mekanika statistik.

Kecuali radiasi panas yang berhubungan dengan teori elektromaknet, pada umum-nya, dengan teori kinetis ini, persoalan atau ilmu panas sebenarnya merupakan satugolongan yang dapat dimasukkan ke dalam kategori mekanika. Dalam fisika klasik ini,kita mengenal dua golongan fisika yang besar yakni golongan mekanika dan golonganelektromaknetik. Panas bersama-sama dengan mekanika dan bunyi merupakan bagiandari mekanika sedangkan golongan elektromaknet meliputi listrik, maknet, dan optika.Oleh sebab itu, setelah meninjau masalah panas melalui besaran jumlah panas, di sinipanas akan ditinjau dari bidang mekanika, khususnya teori kinetis.

Di samping tenaga kinetis pada gas, kita mengenal juga, seperti telah diterangkan dimuka, medan potensial dan gaya antar-molekul. Karena jarak antar-molekul gas adalahbesar maka medan potensialatau gaya ini mempunyaiharga dan pengaruhyang sangatkecil. Oleh sebab itu, pada umumnya, potensial molekul untuk gas dalam perhitungandiabaikan.

Tetapi bagi benda padat dengan jarak antar-molekul yang lebih kecil, pengaruhpotensial antar-molekul cukup berarti juga. Sebagai gambaran, akan kita singgung padabagian lain, masalah osilasi atom dalam molekul.

111. PERUBAHAN MOMENTUM MOLEKUL

Molekul yang bergerak, seperti telah diterangkan, akan menimbulkan tenaga kinetis,namun mo1ekul yang bergerak ini disertai juga oleh tubrukan, sehingga pada tubrukanini akan terjadi perubahan momentum, selain menimbulkan tekanan pada dinding.

Pada gambar 61, terlukis satu molekul (e<p)menubruk dinding atau keping dA' darigambar 60 dengan kecepatan v. Karena molekul dianggap kenyal sempurna, makakecepatan molekul sesudah tubrukan adalah tetap v, sedangkan sudut masuk dan. sudutkeluar terhadap garis normal adalah sarna besarnya.

Seperti ternyata juga pada gambar 61, komponen kecepatan v sin e tidak mengalamiperubahan besaran dan arah sebelum dan sesudah tubrukan itu, sedangkan komponen vcos e hanya mengalami perubahan arah sebesar 1800sebagai akibat tubrukan itu.

Apabila massa satu molekul adalah m, maka perubahan momentum tiap molekulsebelum dan sesudah tubrukan adalah sebesar

m v cos e - (-m v cos e) = 2 m v cos e (247)

168

Gambar 61

Momentum dari tubrukan satu mo/eku/ kenya/ sempurna pada dinding.

Bagi molekul (e<pv)tersebut pada (242), perubahan momentum per satuan volumemolekul, temyata dari (247), adalah sebesar

I- m v2 dp sin e cos2 e de d<pdA'd't21t v

(248)

Dari (248) ini kita dapat melihat beberapa hal sebagai berikut :a. Jumlah perubahan momentum per satuan volume bagi molekul yang berkecepatan

antara v dan v + dv untuk seluruh arah yang dapat menubruk permukaan keping ituadalah

I

( - m v2dpvdA' d't) sin e cos2e de d<p21to 0

Batas sudut e adalah 0 sampai 1t/2' karena arah kecepatan molekul yang dapatmenubruk permukaan keping adalah arah kecepatan pada setengah belahan bola,sedangkan arah kecepatan pada setengah belahan pola lainnya menubruk permukaankeping yang sebelahnya lagi. Perhitungan integrasi ini adalah

'/3 m v2 dpv dA' d't (249)

b. Jumlah perubahan momentum per satuan volume molekul yang mempunyai semuakecepatan dari seluruh arah adalah

1/3 m cf v2dp) dA' d't (250)

Selanjutnya menurut ketentuan pada (238), jumlah perubahan momentum per satuanvolume ini menjadi

169

(251)atau 1/3m p V2effdA' d't

suatu bentuk yang sesuai dengan bentuk tenaga kinetis atau vis viva yakni mengandungfaktor m v2

112. TENAGA KINETIS MOLEKUL GAS

Tubrukan molekul per satuan volume pada dinding menimbulkan impuls, dan impuls inimempunyai hubungan dengan perubahan momentum itu. _

Apabila gaya rata-rata dari molekul gas itu adalah sebesar dG, maka impuls yangterjadi oleh karena tubrukan molekul gas per satuan volume dalam waktu d't adalah

dG d't

sehingga berhubungan dengan (251) diperoleh selanjutnya

dG d't = 1/3 m p v2 dA' d't

Tekanan gas rata-rata p oleh karenanya menjadi

dG

P = dA' = 1/3 m p v2(252)

Hasil ini diperoleh pada tahun 1738 oleh Daniel Bernoulli.Hubungan (252) merupakan suatu bentuk yang mengandung faktor tenaga kinetis,

sehingga jika disususn kembali diperoleh

p =2/3 P (1/2m v2) (253)

untuk tiap satuan volume gas.Bagi semua molekul gas (sebanyak N), diperoleh dari (252),

P V = 1/3 P V m v2=2/3 N (1/2m v2) (254)

Jadi ternyata bahwa kerja (tenaga) gas merupakan tenaga kinetis dari molekulnya.Perlu diterangkan bahwa seperti telah dijelaskan di muka, tenaga potensial molekul gastelah diabaikan.

113. TEMPERATUR MENURUT TEORI KINE TIS

Kita telah membicarakan tenaga pada gas, dalam hal ini tenaga kinetis, tanpa me-nyinggung hubungannya dengan temperatur. Oleh sebab itu kita mencoba mencari di sinihubungan dengan temperatur ini dan juga pengertian temperatur ditinjau dari sudut teorikinetis ini. .

170

Dari persamaan gas (diambil gas sempuma karena pengaruh tenaga potensial ataugaya antar-molekul diabaikan) pada (159)

p V = n RTatau N (255)

P V = - RTNA

maka bersama-sama dengan (254), diperoleh hubungan antara tenaga kinetis molekul gasdan temperatur, _ R

'/ m y2 =- T3 NA

Bila perbandingan konstanta kita subsitusikan dengan harga pembanding yang konstanR 0

k = - (256)NA

yang dalam hal ini disebut konstanta Boltzmann, maka tenaga kinetis rata-rata untuk tiapmolekul gas menjadi

'/ m y2 = 3/ kT2 2

atau tenaga kinetis rata-rata bagi seluruh molekul menjadi

E = L 1/ m y2 = 3/ N kT (257 )k 2 2

Temyata dari hubungan ini bahwa dalam teori kinetis, temperatur merupakan ukuranbagi tenaga kinetis. Perubahan temperatur oleh karenanya akan mengubah pula hargatenaga kinetis.

Masukkan harga (256) ke dalam (255) memberikan

p V = N kT (258)

Nampak juga di sini bahwa tenaga atau kerja gas bergantung kepada temperatur dantemperatur merupakan ukuran dari tenaga atau kerja gas.

Dari pengertian bahwa temperatur adalah ukuran tenaga kinetis, kita dapat mencarihubungan antara kecepatan molekul dengan temperatur. Dengan mudah dapat diturunkanbahwa

3 kTy2=_

matau kecepatan efektif molekul adalah

V =-v 3kTeffm

dengan m sebagai massa tiap molekul gas. Dengan mengetahui massa ini dan temperaturgas kita oleh karenanya dapat menghitung kecepatan efektif dari molekul gas.

Dari hubungan ini kita memperoleh pengertian bagi temperatur 0° mutlak. ApabilaT = OOKmaka dari (259) temyata bahwa kecepatan molekul gas semuanya diam. Oleh

(259)

0171

sebab itu pula ternyata temperatur menyebabkan molekul gas bergerak sebarang dan

ttJrnpvmtUIT ii O°}\ rnmUpIDmnturnplJfatuftlJflJntlllhYfinRrn~~ihrnernDuny~iMiL Di.sesuaikan dengan percobaan ternyata bahwa temperatur OOKmerupakan batas terendahdaripada ukuran temperatur sedangkan temperatur 0° mutlak ini sendiri secara eksperi-men barn dapat didekati dan belum dapat dicapai.

Berhentinya seluruh aktivitas molekul pada T = OOKini diturunkan dari konsep yangmenghubungkan konsep makroskopis dari pergerakan molekul dari teori kinetis gas ini.Juga ternyata bahwa hubungan temperatur dengan teori mekanika statistik klasik perludikoreksi dengan mekanika kuantum.

Dari koreksi ini ternyata bahwa pada OOKatau nol derajat mutlak molekul masihmempunyai tenaga kinetis terbatas yang disebut tenaga titik nolo Oleh sebab itu padapandangan sekarang, walaupun titik nol mutlak tidak dapat dicapai secara percobaan,namun pada titik ini aktivitas molekul tidak hilang sarna sekali.

Sampai tahun 1956, temperatur terendah yang dapat dicapai adalah menurut perco-baan de Klerk, Steenland dan Gorter di Leiden serendah 0,0014°K.

114. TENAGA PAD A GETARAN ATOM DALAM MOLEKUL

Apabila molekul terdiri lebih daripada satu atom, maka di samping tenaga kinetis yangtelah dikemukakan, akan terdapat juga tenaga getaran jika atom itu bergetar (berosilasi)secara harmonis. Atom molekul pada gambar 62 menunjukkan getaran (osilasi) har-monis. Apabila gaya antar-atom (bukan antar-molekul, sehingga gaya ini

Gambar 62Getaran harmonis dua buah atom dalam suatu molekul.

berarti juga besarnya karena letak atom dalam suatu molekul cukup dekat dibandingkandengan jarak antar-molekul) adalah G dan jarak penyimpangan atom dari kedudukansetimbang adalah x, maka sesuai dengan ketentuan pada getaran harmonis,

d2xG=-kx=m-

d't2

172

Persamaan diferensial ini sesuai dengan mekanika, memberikank 2n't

x = A sin - 't =A sin -m T

p

dengan A sebagai amplituda getaran, 't waktu dan T perioda getaran. Perioda getaranp

oleh karenanya menjadi2n

T=-

p ~~

(260)

m

dan frekuensi getaran f, adalah

f=~~~2n m

Sesuai dengan geran atau osilasi pada mekanika, getaran harmonis menyebabkantenaga kinetis dan potensial saling bertukaran dengan Jumlah tenaga yang konstan. Disini akan kita lihat harga kedua tenaga itu.

Pada kedudukan atom terjauh dari kedudukan seimbang, tenaga potensial menjadi

E =rk x dx = II k N = 2nr m Np 2o

Tenaga potensial adalah maksimal dan hal ini temyata dari tenaga kinetis sarnadengan no1 pada kedudukan tersebut, pada hal jumlah tenaga adalah kekal.

Demikianpun sebaliknya, pada kedudukan seimbang tenaga kinetis maksimalsedangkan tenaga potensial adalah noL

Pada kedudukan lainnya kedua tenaga saling tukar-menukar dengan jumlah keduanyaadalah kekal. Tetapi secera keseluruhan, kita dapat mengambil harga rata-ratanya, se-hingga diperoleh

- 1 rE = - J P II k x2 d't = II kA2

P T 0 2 4P

dan (261)1

Tdx

E = - P II m (- )2d't = II kA2k 2 4T 0 dt

P

Jadi tenaga getaran harmonis dari atom dalam molekul adalah sebesar dua kali hargatenaga kinetis rata-rata, yakni

E =E + E = II kA2 = 2E (262)P k 2 k

Harga ini selanjutnya bergantung juga kepada jumlah atom dalam molekul itu, yangmemungkinkan terjadinya getaran harmonis satu terhadap lainnya.

173

115. HUKUM DALTON DAN HUKUM GRAHAM MENURUTTEORI KINETIS

Hukum John Dalton tahun 1802 tentang tekanan bagian gas pada suatu campuran gasdapat juga diterangkan secara teori kinetis. Hukum Dalton menerangkan bahwa tekanansuatu gas campuran adalah jumlah dari tekanan bagian gas bila setiap kali kita meng-anggap bahwa dalam ruang bersangkutan hanya terdapat bagian gas itu sendiri.

Anggaplah dalam suatu ruang dengan volume V, terdapat bermacam-macam gaspada temperatur T, dan tiap-tiap gas terdiri dari N" Nz, N3 . . . molekulsehinggajumlahmolekul seluruhnya adalah

N = L.N.I I

Misalkan setiap kali dalam ruangan itu hanya terdapat sejenis gas dari campuran itu,maka tekanan bagian PI' Pz' P3 menurut (255) masing-masing adalah

N,p V = - RT

IN. A

NzP V = -- RTz NA

N3P V = - RT

3 NA

N.I

Pi V = - RTNA

sehingga jumlah persamaan ini adalah

(PI + Pz + P3 + . . .)V = NI + Nz + N3 + . . . RT

NVL. p.=-RTI I

NA

Jika tekanan seluruh gas yakni tekanan gas campuran itu adalah p, maka menurut(255) itu,

(263)atau

Np V =- RT

Nsehingga oleh karenanya dibandingkan dengan (263) diperoleh

p=~~ ~~Jadi temyata bahwa tekanan gas campuran adalah jumlah dari tekanan bagian

gas campuran jika setiap kali dalam ruang tersebut hanya terdapat bagian gas itusendiri.

174

Di samping hukum Dalton, juga hukum Graham mengenai difusi gas dapat dite-rangkan dengan teori kinetis ini. Thoman Graham pada tahun 1846, menerangkan bahwamolekul gas yang secara difusi dapat melewati pori sekat per satuan waktu, D, dipandangpada tekanan dan temperatur yang sarna, berbanding terbalik dengan akar berat molekulM dari gas itu,

D( _ ~I M2- - -'I -D2 M(

Hubungan (265) ini dikenal juga sebagai hukum Graharn. D( dan D2 adalah jumlahmolekul per satuan waktu yang lewat pori secara difusi bagi dua jenis gas masing-masingdengan berat molekul M( dan M2 jika tekanan dan tempreatur bagi kedua peristiwa itusarna.

Misalkan dua jenis gas dengan berat molekul M1 dan M2 mempunyai molekul yangmelalui sekat berpori, secara difusi berpindah ke dalam ruang harnpa di sebelahnya.Pada tekanan dan tempratur yang sarna bagi kedua jenis' gas itu, misalnya, jumlah

molekul tersebut masing-masing adalah DI dan D2 per satuan waktu. Jumlah molekul DIdan D2ini bergantung kepada banyaknya molekul asal N( dan N2 serta kecepatan efektifYefl' dan Yef2dari gas bersangkutan.

(266)

(266)----

D2 N2 Yef2

Pada tekanan dan temperatur sarna menurut (257), bagi tiap molekul,1/ m y2 = (/ m2 y22(efl 2 ef2

dengan m( dan m2 sebagai massa tiap molekul dari kedua jenis gas itu. Dan bagi tekanandan temperatur yang sarna, menurut hukum Ayogadro,

~=~m2 M2

atau

Substitusikan ke dalarn (266) diperolehD( _ N( _I M2---"V-

D2 N2 M(

dan karena tekanan adalah sarna maka pada volumeyang sarna,menurutAyogadroN(

= N2 sehinggaD( _ _I M2---'V-

D2 M)dan hasil ini sesuai dengan hukum Graham.

175

PANAS JENIS MENURUT TEORI KINETIS

116. DERAJAT KEBEBASAN MOLEKUL GAS

Molekul gas bergerak dan mempunyai tenaga kinetis. Kini kita akan meninjau carapergerakan dari molekul itu sendiri. Dan ini pun bergantung kepada komposisi darimolekul. Molekul gas, bergantung kepada jenisnya, mengandung satu, dua, tiga, ataubanyak atom dan molekul demikian masing-masing disebut sebagai gas monoatomis, di-atomis, triatomis, atau poliatomis. Gas mulia seperti helium, argon, krypton, dan se-bagainya adalah gas monoatomis, sedangkan oksigen, hidrogen, nitrogen, dan sebagainyaadalah gas diatomis. Gas triatomis meliputi uap air, karbon dioksida dan sebagainya.

Pergerakan molekul ini dapat dibagi ke dalam tiga kategori, yakni pergerakan trans-lasi, pergerakan rotasi, serta vibrasi. Pergerakan ini dapat juga diuraikan ke dalamkomponen pergerakan. Tiap komponen pergerakan menunjukkan kebebasan molekul itubergerak sehingga komponen pergerakan ini juga disebut derajat kebebasan pergerakanmolekul.

Gas monoatomis, ditinjau dari tiga dimensi ruang pergerakan, mempunyai tiga derajatkebebasan translasi, tiga derajat kebebasan rotasi, dan tiga derajat kebebasan vibrasi.Oleh sebab itu gas monoatomis secara keseluruhan mempunyai f = 9 derajat kebebasan.

Demikian juga pada gas diatomis, kita memperoleh f = 9, sedangkan pada gaspolyatomis, derajat kebebasan akan bertambah karena adanya vibrasi relatif antar-atomdalam molekul itu.

Secara keseluruhannya oleh karenanya bagi seluruh gas kita mengenal bermacam-macam jumlah derajat kebebasan. Dari pengertian temperatur dalam teori kinetis ini kitamengetahui bahwa molekul gas itu selalu bergerak sehingga dapat kita simpulkan bahwasecara minimum paling sedikit terdapat tiga derajat kebebasan translasi. Jadi

f 2: 3 (265)

dan derajat kebebasan yang pasti ditentukan oleh keadaan molekul serta juga oleh jumlahatom yang terdapat di dalamnya.

Dengan teori kinetis, kita telah mengusahakan keterangan dari peristiwa panas, dankini dengan adanya derajat kebebasan yang menentukan komposisi tenaga kinetis ini,kita selanjutnya dapat berusaha pula menerangkan peristiwa panas melalui pengertianderajat kebebasan ini.

Pada abad ke-19, orang beranggapan bahwa seluruh derajat kebebasan yang adapada molekul gas bersangkutan, berpengaruh kepada peristiwa panas. Dengan lainperkataan, anggapan dulu menyatakan bahwa seluruh derajat kebebasan adalah aktif.Temyata kemudian dari perbandingan hasil perhitungan dan percobaan bahwa keduahasil ini tidak selalu sesuai, dan temyata juga daripadanya bahwa ada derajat kebebasanyang tidak aktif.

Oleh sebab itu, teori yang mempergunakan derajat kebebasan, jika hendak disesuai-kan dengan hasil percobaan, perlu dikoreksi. Lain halnya kalau kita hanya ingin bekerjasecara teoretis, tanpa memperdulikan hasil eksperimen.

176

Koreksi ini dilakukan dengan menentukan derajat kebebasan yang aktif atau yangsangat berpengaruh.

Pada gas monoatomis, dapat kita bayangkan bahwa tenaga kinetis yang ditimbulkanoleh translasi akan jauh lebih besar dari yang disebabkan oleh rotasi dan vibrasi. Derajatkebebasan karena rotasi dan vibrasi oleh karenanya dapat diabaikan, sehingga

f = 3ak.mon. (266)

Bagi gas diatomis, seperti pada gambar 63, selain gerak translasi mempunyai bagianyang besar, rotasi 1 terhadap sumbu Z dan rotasi 2 terhadap sumbu X juga mempunyaibagian yang berarti, sedangkan rotasi terhadap sumbu Y adalah kecil sekali sehinggadapat diabaikan.

.

Gambar 63

Gerak rotasi satu molekul diatom is terhadap sumbu koordinat XYZ.

Demikian juga gerak vibrasi pada gas diatomis. Vibrasi terhadap sumbu Z dan Xmempunyai bagian yang berarti dan vibrasi terhadap sumbu Y dapat kita abaikan.

Ini berarti bahwa gas diatomis sudah mempunyai 7 derajat kebebasan yang berarti.Tetapi dalam kenyataan tidak selalu ke-7 derajat kebebasan ini aktif, sehingga

fak. dial. ::; 7 (267)

Dalam hal gas poliatomis, karena adanya vibrasi relatif antar-atom dalam molekulnya,diperlukan banyak koordinat dan sesuai dengan mekanika diperlukan juga hubungangerak dengan pusat massa molekul itu.

Jadi secara teoretis gas monoatomis mempunyai jumlah derajat kebebasan

f = 9teaf. mon

dan yang aktif

f = 3akt. mon

sedangkan bagi gas diatomis,

f . = 9teOf. dial.

177

dan

fd

. '5:. 7akt. tat.

sedangkan bagi gas poliatomis, derajat kebebasan itu perlu ditentukan tersendiri.

117. ASAS EKIPARTISI TENAGA

Pergerakan pada derajat kebebasan pergerakan molekul menimbulkan tenaga kinetis danjumlah dari tenaga kinetis inilah yang menyebabkan molekul gas mempunyai tenagakinetis seperti pada (257). Di sini kita akan mencari harga tenaga kinetis bagi tiap-tiapderajat kebebasan ini.

Pandanglah gas monoatomis. Karena kita telah mengabaikan tenaga potensial ataugaya antar-molekul, maka gas ini dapat kita anggap sebagai gas sempurna. Tenaga kinetisbagi gerakan rotasi dan vibrasi telah kita abaikan sehingga tenaga kinetis molekul gaskita anggap terbagi pada ketiga derajat kebebasan translasi.

Kita tidak mempunyai pilihan antara derajat kebebasan yang harns mempunyai bagiantenaga kinetis yang lebih besar daripada yang lain, sehingga kita membagi tenaga kinetisini secara rata di antara mereka. Sebagai asas kita menentukan kemudian bahwa setiapderajat kebebasan (dalam penyesuaian dengan hasil percobaan, setiap derajat kebebasanyang aktif) mempunyai tenaga kinetis yang sama. Asas ini disebut asas ekipartisi tenaga.Dengan asas ekipartisi ini kita melihat tenaga kinetis dari gas monoatomis yang telah kitapandang. Tenaga kinetis dari tiap molekul menurut (257), adalah

1/ m v2 =3/ kT2 2

sedangkan gas monoatomis ini mempunyai tiga derajat kebebasan yang aktif, sehinggatenaga kinetis bagi tiap derajat kebebasan adalah

1/ kT2

atau dengan komponen kecepatanv2 = v2 + y2 + v2

x y z

yakni - - -1/ m v2 + 1/ m v2 + 1/ m v2 = 3 . 1/ kT2 x 2 y 2 z 2

maka

1/ m v2 = 1/ kT2 x 2

1/ m V2 = 1/ kT2 Y 2

1/ m v2 = 1/ kT2 z 2

Pada umumnya bagi derajat kebebasan sebesar f, tenaga kinetis menjadif

1/2 m v2 =- kT . (268)2

178

Bagi seluruh molekul, umumnyaf

E = }}/ m v2 = - N kTk 2 2

(269)

Jadi (269) ini menerangkan pula bahwa selain temperatur, derajat kebebasan jugamerupakan ukuran tenaga kinetis.

118. TEORI KLASIK TENTANG PANAS JENIS GAS

Seperti telah dibicarakan di muka, tenaga-dalam dari gas disebabkan oleh pergerakanmolekul, dalam hal ini tenaga-dalam adalah tenaga kinetis molekul gas, sehingga dari(269),

fU=-NkT

2

Tenaga-dalam spesiflk oleh karenanya menjadi

f N fu=--kT=-N kT

2 n 2 A

atau berhubungan dengan (256), diperoleh

fu = - RT

2

(270)

271)

Hubungan antara tenaga-dalam dan panas jenis isokoris telah kita ketahui, sehinggadaripadanya dapat kita peroleh hubungan aritara panas jenis isokoris dengan derajat ke-bebasan ini. Panas jenis molekuler isokoris adalah

au fC =(-) =-R

v aT v 2(272)

dan dari rumus Mayer (175), diperoleh panas jenis molekuler isobaris

f+ 2C =C +R=

p vR (273)

f

Perbandingan kedua panas jenis ini oleh karenanya dapat juga "ditentukan,

C f+ 2r = ~ = (274)

C fv

suatu harga yang bergantung kepada jumlah derajat kebebasan molekul gas yangbersangkutan.

179

Cara menerangkan panas jenis demikian dikenal sebagai teori klasik. Sungguhpunhasil percobaan tidak memberikan hasil yang selalu sesuai dengan teori ini, apalagi bagimolekul poliatomis, namun teori ini memberikan gambaran tentang harga perbandingan(274) tersebut.

Dari (274) kita dapat menentukan batas teoretis dari harga perbandingan panas jenisini. Derajat kebebasan minimum menurut (265) adalah 3 dan harga maksimumnya sebagailimit teoretis dapat diambil 00, sehingga

3 ::;f::; 00

Substitusikan ke dalam (274) ternyata batas harga r adalah

1 ::; r ::; 1,667 (275)

Hasil eksperimental juga menunjukkan bahwa r berkurang dengan bertambahnyajumlah atom dalam molekul dan, di samping itu menurut percobaan, tiada harga r yangdapat terletak di luar harga batas teoretis pada (275).

119. PANAS JENIS BEBERAPA MAC AM GAS SERTAPENYESUAIAN DENGAN HASIL PERCOBAAN.

Sampai di mana kecocokan hasil teoretis panas jenis menurut teori klasik ini denganeksperimen, dapat kita tinjau di sini. Dan bagi penyimpangan terhadap hasil percobaan,kita coba memberikan keterangan serta daripadanya membuat koreksi. Keterangan dankor~ksi ini terutama kita cari dari derajat kebebasan aktif dan tidak aktif.

Dalam hal ini kita meninjau perbandingan panas jenis r dari Cp dan Cv.

a. Gas monoatomis

Derejat kebebasan gas monoatomis yang berpengaruh atau aktif dalam sumbangan-nya pada tenaga kinetis gas adalah f = 3, sehingga dengan memasukkannya ke dalam(274), diperoleh

r = 5/ = 1,6673 (276)

Harga ini ternyata masih mendekati hasil percobaan dari gas monoatomis, sehinggabagi gas monoatomis, teori klasik panas jenis adalah baik.

b. Gas diatomis

Derajatkebebasanaktif dari gas diatomismenurut(267) adalahf ::;7 dan jika kitamengambil f =7, maka dari (274) diperoleh r = 9/7 = 1,29

Hasil percobaantidak selalu menunjukkanharga yang sesuaidenganharga teoretisini. Persesuaianhasil ini ternyatabergantungjuga kepadatemperaturgas.Hasilpercobaanbagi gas diatomis umumnya lebih cenderung kepada hasil teoretis untuk f = 5, yakni

180

r = 7/5 = 1,4 (277)Karena translasi molekul gas selalu ada, maka untuk gas diatomis hanya terdapat

dua derajat kebebasan untuk rotasi atau vibrasi. Ini dapat diartikan bahwa derajat kebebas-an gas diatomis umumnya bagi rotasi dan vibrasi kedua-duanya tidaklah aktif sekaligusatau bersama-sama.

Temyata juga dari hasil percobaan pada tahun 1912, bahwa pada temperatur yangrendah sekali, yakni kira-kira di bawah 60oK, derajat kebebasan aktif dari hidrogen(suatu gas diatomis) turun menjadi 3. Jadi pada temperatur rendah, gas diatomis, hidrogen,telah bersifat sebagai gas monoatomis. Keterangan yang dapat diberikan di sini adalahbahwa kedua atom dalam molekul hidrogen pada temperatur rendah telah saling mendekati,sehingga menyerupai bola dan oleh karenanya bersifat monoatomis.

Sebaliknya pada temperatur sangat tinggi temyata hidrogen bersifat sebaliknya.Derajatkebebasannya menjadi 7, sedangkan pada temperatur biasa f = 5. Jadi pada temperaturtinggi pergerakan rotasi dan vibrasi yang berpengaruh, aktif bersama-sama sekaligus.

c. Gas triatomis

Derajat kebebasan pada gas triatomis bertambah dengan adanya getaran atom dalammolekul gas. Bagi translasi dan rotasi, kita mempunyai masing-masing 3 derajat kebebas-an, tetapi bagi vibrasi sesuai dengan getaran (osilasi) atom dalam molekul seperti telahditerangkan di muka, sebagai akibat tenaga potensial antar-atom pada getaran, tenagavibrasi menjadi dua kali lipat.

Dengan meninjau tenaga kita peroleh dari (271), untuk pergerakan-pergerakan.translasi u = 3/2 RT

Ir

rotasi ur= 3/2 RTdan vibrasiuy= 6/2 RTsehingga secara keseluruhan,

u = Ulf.+ ur + uy = 6 RT (278)

Panas jenis isokoris oleh karenanya menjadi

auc = ( -) =6R (279)

y aT y

dan selanjutnya karena tenaga potensial antar-molekul diabaikan, maka gas ini bersifatsebagai gas sempuma sehingga diperoleh hubungan seperti pada (273),

C =C +R=7Rp y

Jadi bagi gas triatomis berlakuC

r = L = 7/ = 1 1676 '

CyJika dibandingkan dengan (274), gas triatomis mempunyai

ftrial.= 12derajat kebebasan.

(280)

(281)

(282)

181

d. Gas poliatomis

Derajat kebebasan gas poliatomis agak sulcarditentukan berhubung dengan vibrasinya.Bagi translasi dan rotasi, derajat kebebasan adalah tetap masing-masing 3 sehingga dalampenentuan ini kita perlu menentukan dulu derajat kebebasan pada vibrasi. Di sini kitamencoba menurunkan tenaga vibrasi secara umum bagi gas n-atomis yang asimetris.

Kita memerlukan 3n koordinat untuk menentukan kedudukan atom itu. Dari 3n

koordinat ini diperlukan 3 kombinasi untuk menentukan letak pusat massa, dan 3 lagiuntuk kemungkinan molekul berotasi secara bebas tak bergantungan, sehingga koordinatbagi vibrasi atau getar bebas tinggal (3n - 6). Sebagai akibat getaran atom dalam molekuljika getaran itu adalah harmonis, tenaga pada tiap vibrasi menjadi dua kali lipat, sehinggamenurut (271) diperoleh tenaga untuk vibrasi,

2(3n-6)u =y RT = (3n - 6) RT (283)

2

Tenaga bagi rotasi dan translasi adalah tetap,u = 3/ RTIr 2

U = 3/ RTr 2

Jadi tenaga total bagi gas n-atomis ini adalah

u = u + u + U = 3(n-1) RTtr. r v

Oleh sebab itu panas jenis isokoris bagi gas ini adalah

auC = (-) = 3(n-l) R

Y aT Y

(284)

(285)

dan sesuai dengan (273), panas jenis isobaris menjadi

C = C + R = (3n -2) Rp Y

Jadi perbandingan kedua panas jenis ini memberikan

(286)

C 3n - 2r = £=

Cy 3(n-1)(287)

Dari hasil ini kita dapat menentukan derajat kebebasan bagi gas n-atomis, yakni

fn_at= 6(n-l) (288)

Hasil ini sesuai dengan (282) bagi gas triatomisdengan memasukkann = 3, kedalam (288).

Derajat kebebasan bertambah secara nyata sekali bagi molekul yang mengandungbanyak atom. Tetapi apabila sebagian atom ini terikat betul-betul satu dan lainnya, hargapanas-jenis sebenamya akan menjadi lebih kecil dari harga teoretis ini. Di samping itu,jika beberapa modus getaran atom dalam molekul itu tidak harmonis, maka panas-jenisakan lebih besar harganya, tetapi perbedaan ini tidaklah besar.

182

Jadi pada teori klasik tentang panas-jenis gas, diperlukan koreksi dan oleh karenanya,teori ini masih belum cukup memuaskan.

120. PANAS-JENIS ZAT PADAT MENURUT TEORI KLASIK

Jarak antar-molekul pada gas adalah besar sehingga bagi gas kita menganggap bahwatenaga yang ada pada molekulnya terdiri hanya dari tenaga kinetis dan tenaga potensialnyatelah kita abaikan.

Letak molekul pada zat padat adalah jauh lebih berdekatan satu dan lainnya daripadagas, sehingga tenaga potensial antar-molekul tak dapat diabaikan begitu saja.

Sesuai dengan getaran harmonis atom dalam molekul maka, pada molekul yangberdekatan letaknya, kita mengharapkan adanya getaran (osilasi) harmonis dari molekuldalam zat. Dan besar tenaga potensial ini adalah sarna dengan tenaga kinetis. Jadi tenaga-dalam dari zat yang mengandung N molekul adalah

U =2 . 3/2 N kT

atau per satuan grl, tenaga-dalam spesifik adalah

u = 3 NA kT = 3 RT (289)

Panas-jenis isokoris bagi zat padat murni oleh karenanya adalah sebesarau

Cv= (-)v = 3 R (290)aT

Hasil ini adalah sesuai dengan hukum Dulong dan Petit mengenai panas-jenis zatmurni. Tetapi ternyata bahwa hubungan ini hanyalah baik bagi temperatur tinggi.

Kita mengetahui bahwa logam mengandung banyak elektron bebas yang bergerakdan ini berarti bahwa elektron bebas juga mempunyai tenaga kinetis. Oleh sebab itutenaga kinetis bertambah dan sebagai akibatnya panas-jenis menurut teori kinetis harusbertambah pula. Tetapi dalam kenyataannya pergerakan elektron ini praktis tidakberpengaruh apa-apa. Dalam hal ini teori klasik tidak dapat memberikan keterangansehingga teori klasik, dalam hal ini, juga tidak memuaskan.

. Keterangantentangpergerakanelektrondapatditerangkandalamteorimekanikasta-tistik, khususnya oleh statistik Fermi-Dirac.

SOAL-SOAL

1. Tentukan bagian molekul (8<p)jika 8 terletak di antara 45° dan 46° serta y terletakdi antara 60° dan 61°.

2. Hitunglah secara teoretis kecepatan efektif serta massa jenis gas oksigen padatemperatur 300°K. Berat atom oksigen = 16.

3. Suatu molekul mengandung empat atom tersusun dalam bentuk tetrahedron. Tentukanderajat kebebasannya, Cv dan r bila molekul ini adalah molekul gas.

183

.'