Teori Probabilitas

Teori Probabilitas

Hasdi Radiles19770909 201101 1 005

Teknik TelekomunikasiJurusan Elektro- Fakultas SainTek UIN Suska – Riau

Pekanbaru, Maret 2012

Probabilitas dan Statistik

Outline

Materi perkuliahan :

1. Teori set Definisi, notasi dan operasi set Diagram venn dan Karakter set

2. Eksperimen statistik

3. Teknik perhitungan Perkalian event Permutasi Kombinasi

4. Teori probabilitas diskrit Definisi dan aksioma Probabilitas bersyarat Mutually exclusive Independen Aturan perhitungan Teorama Bayes

Update : Maret 2012Elektro - UIN SUSKA2 – Probabilitas dan Statistik

Definisi Set:

1. Set merupakan kumpulan dari objek yang dapat dikenal dalam suatu domain D Kumpulan objek yang tidak berurutan dengan tanpa duplikasi

2. Special set dapat berupa : Universal Set (S): semua elemen yang terdapat dalam domain D. Null set atau set kosong : Set yang tidak memiliki elemen

3. Setiap objek Set disebut dengan elemen dari Set tersebut.

4. Jika semua elemen set A juga merupakan elemen set B, maka set A adalah subset dari set B dan set B merupakan superset dari set A

5. Pertidaksamaan subset dan superset Proper subset () atau proper superset () Improper subset () dan Improper superset () 2 Set dikatakan sama jika dan hanya jika mereka memiliki semua elemen-

elemen yang sama


Teori set

Notasi Set: Set biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B atau C. Elemen dari Set dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, atau z Set umumnya ditunjukkan dengan mendata seluruh elemennya dalam kurung

karawal {} contohnya: A = {2, 4, 6, 8}. Null set dinotasikan dengan { } atau { } atau ∅ ∅ Set juga bisa ditunjukkan dengan menyatakan syaratnya. Contoh Set A

merupakan semua bilangan bilangan genap kurang dari 10

Operasi Set: Union (U): gabungan elemen yang berbeda + elemen yang sama Intersection (∩) : elemen-elemen dari 2 atau lebih yang sama Complement (Ā atau atau A’ atau Ac): elemen yang bukan berasal dari suatu

Set A tetapi proper subset dari universal set U.


Teori set

Operasi set lainnya: Perbedaan 2 set: A – B

A – B = {x:x A dan ~(xB)} Cara baca: x dimana x elemen A dan x bukan elemen B Contoh: A = {a, b, c} dan B = {b,c,d} sehinga A – B = {a}

Perkalian 2 set: A x B A x B = { {a , b} : a A and b B ) Seluruh pasangan perkalian elemen set A dan B Contoh: A = {x, y} dan B = {4,8} maka A x B = {{x,4},{x,8},{y,4},{y,8}}


Teori set

Contoh Soal:

1. Tuliskan set dari semua huruf vokal?

Jika A adalah set dari vokal, maka A dapat dituliskan : A = {a, i, u, e, o}

2. Tuliskan Set dari bilangan integer positif

Mengingat susahnya menuliskan seluruh bilangan integer yang tak terbatas, maka set A dapat dituliskan : A terdiri dari seluruh bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol.

3. Set A = {1, 2, 3} dan Set B = {3, 2, 1}. Apakah A = B

Ya, 2 set akan sama jika elemennya juga sama. Urutan elemen tidak masalah.

4. Tuliskan set dari laki-laki dengan empat tangan?

Karena tidak ada laki-laki yang memiliki 4 tangan, maka A = {}.

5. Set A = {1, 2, 3} dan set B = {1, 2, 4, 5, 6}. Apakah set A subset dari set B?

Set A adalah subset dari B jika seluruh elemen A juga merupakan elemen dalam set B. Tetapi 3 bukanlah elemen dari set B, maka A bukan subset dari B


Teori set

Notasi diagram Venn: Tunjukkan aksiran daerahnya untuk notasi: A U B (A U B) A ∩ B (A ∩ B) A A U B


Teori set

U A BDomain D

Identitas A + 0 = A A & U = A

Terbatas A + U = U A & 0 = 0

Komutatif A + B = B + A A & B = B & A

Asosiatif (A + B) + C = A + (B + C) (A & B) & C = A &(B & C)

Involution (Ac)c = A 0c = U dan Uc = 0

Idempotent A + A = A A & A = A

Distrbutif A + (B & C) = (A + B) & (A + C) A & (B + C) = (A & B) + (A & C)

Hukum De Morgan (A + B)c = Ac & Bc

(A & B)c = Ac + Bc

Hukum Komplemen A + Ac = U A & Ac = 0

Absorsi A + (A & B) = A A & (A + B) = A


Teori set

Eksperimen statistik memiliki ciri khas : Kemungkinan outcome lebih dari 1 macam Setiap outcome yang mungkin dapat dituliskan sebelumnya Setiap outcome eksperimen bergantung pada peluangnya

Contoh: peristiwa pelemparan koin Kemungkinan keluarannya lebih dari satu Kita dapat menuliskan keluarannya berupa angka atau gambar Peluang munculnya angka atau gambar bersifat tidak pasti

Istilah-istilah Ruang sampel adalah set (kontinu atau diskrit) dari seluruh elemen yang

dianggap sebagai kemungkinan outcome dari suatu ekperimen statistik, notasi S. Titik sampel adalah elemen dari ruang sampel Event adalah subset dari ruang sampel, terdiri dari satu atau lebih titik sampel


Eksperimen Statistik

Illustrasi 1: Pada proses pemilihan matakuliah pada saat registrasi semesteran, mahasiswa

harus mengisi statusnya sebagai berikut: Tuliskan jenis matakuliah: wajib atau pilihan Tuliskan status pengambilan: paket, tabungan, mengulang Tuliskan kode kelas: kelas A, B, C atau D

Buatlah diagram pohon proses pendataan mahasiswa tersebutUkuran dari ruang sampel = jumlah cabang akhir pemilihan = 2 x 3 x 4 = 24

Aturan 1: Perkalian Event (metoda replacement) Jika sebuah operasi digambarkan sebagai urutan k langkah, dan

Jika jumlah cara untuk menyelesaikan langkah 1 adalah n1

Jika jumlah cara untuk menyelesaikan langah 2 adalah n2

Dan seterusnya Maka jumlah cara untuk menyelesaikan operasi tersebut adalah:

n1 x n2 x … x nk


Teknik perhitungan

Illustrasi 2: dalam suatu kelompok belajar terdiri dari 3 mahasiswa, yaitu A, B dan C. setelah selesai diskusi, mereka diharuskan mencantumkan nama berurutan sesuai dengan tugasnya dalam kelompok yaitu: urutan 1 adalah ketua, 2 adalah sekretaris dan yang terakhir adalah anggota. Berapakah jumlah kemungkinan pasangan berurutan tersebut? 3 x 2 =6 (metoda non-replacement)

Aturan-2: Permutasi event Jumlah permutasi dari n elemen yang berbeda adalah faktorial

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 2 x 1 Jumlah permutasi dari subset dengan r elemen yang dipilih dari set n elemen

Jumlah permutasi dari multi proses n objek dimana n = n1 + n2 + … + nr dimana r merupakan jumlah proses adalah


Teknik perhitungan

!!!!!

321 rnnnnn

!!rn

nPrn

Ilustrasi 3: Seorang dosen ingin menguji mahasiswanya dengan 5 contoh soal dari 8 soal yang pernah dibahasnya dikelas. Jika urutan nomor soal tidak dipermasalahkan, seberapa banyak kemungkinan variasi soal yang bisa dibuat oleh dosen tersebut?

Aturan-3: Kombinasi event Jumlah kombinasi dari subset dengan ukuran r yang dapat dipilih dari n elemen:

Kombinasi 5 subset dari n = 8


Teknik perhitungan

!rnr!n!

rn

5678!3!5

!5678585

858

!!

!

NB: 1! = 0! = 1

1. Tuliskan ruang sampel dari penerimaan sinyal 8 bit informasi dari suatu sistem komunikasi? Jika diimplementasikan sistem error correction berapakah ruang sampelnya sekarang?

2. Jika diketahui A = {x | x < 72.5 x R+} dan B = {x | x > 52.5 x R+}. Gambarkan untuk setap event berikut ini

a. A’ dan B’

b. A ∩ B

c. A U B

3. Diketahui nomor telepon dosennya adalah 081564540xxx, dan untuk menguji setiap tebakan, dibutuhkan biaya konfirmasi sebesar 1000 rupiah, carilah kemungkinan biaya maksimal yang harus disediakan mahasiswa tersebut,

a. Jika kombinasi 3 angka terakhir dipilih dengan metoda non-replacement

b. Jika kombinasi 3 angka terakhir dipilih dengan metoda replacement

c. Berapakah peluang terdapat angka 9 dalam nomor tersebut

d. Berapakah peluang 3 angka terakhir tersebut adalah 999


Responsi #1

Apakah itu probabilitas (Peluang)? Probabilitas munculnya angka dan gambar pada pelemparan koin adalah 50 : 50 Probabilitas saya dapat A pada matakuliah ini adalah 30% Probabilitas presiden Indonesia tahun 2014 adalah laki-laki 80% Menurut saya kemungkinan besok akan hujan karena sudah 3 hari ini hujan,

tetapi menurut teman saya tidak mungkin besok hujan karena sekarang sudah masuk musim kemarau

Karakteristik? Merupakan prediksi akan peristiwa yang akan datang berdasarkan pengetahuan

masa lalu. Adanya ketidakpastian perihal yang akan terjadi

Sudut pandang dari probabilitas dapat ditinjau dari: Frekuensi relatif Subjektif


Teori probabilitas diskrit



Probabilits klasik (Equally likely Outcome):

Ketika ruang sampel terdiri dari n kemungkinan outcome yang equally likely, probabilitas masing-masing outcome adalah 1/n

Misalkan sebuah subset dengan r outcome diklasifikasikan sebagai outcome yang sukses maka:

P(E) = (Jumlah outcome sukses) / (Jumlah equally likely outcome) = r/n

Probabilits statistik (Law of Large Number):

Suatu percobaan statistik yang dilakukan sebanyak n, dan r adalah frekuensi relatif dari event E muncul sebagai outcome, maka :

P(E) = (frekuensi relatif event E) / (Jumlah percobaan)

Contoh soal: eksperimen statistik memiliki outcome {a, b, c, d} dengan probabilitas 0,1, 0.3, 0.5 dan 0.1; Jika A ={a, b}, B={b, c,d} dan C={d}. Tentukanlah P(A), P(B), P(C), P(A’), P(B’), P(C’), P(A ∩ B), P(A U B) dan P(A ∩ C)

Seorang anak melemparkan 2 buah dadu 50 kali dan mencatat jumlahnya sbb:

Berapakah probabilitas munculnya jumlah kedua dadu tersebut = 6 Andi seorang mahasiswa Teknik Elektro UIN suska akan menjawab 5/50 =0.1 Budi temannya menjawab 0.139 berdasarkan perhitungan pasangan dadu



4 10 6 7 5 10 4 6 5 6 11 11 3 3 67 10 10 4 4 7 8 8 7 7 4 10 11 3 86 10 9 4 8 4 3 8 7 3 7 5 4 11 95 5 5 8 5

11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66

Aksioma Probabilitas P(S)=1 0 P(E) 1 Untuk 2 buah event E1 dan E2 dengan E1 ∩ E2 =

P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2)

Probabilitas bersyarat (Kondisional) Misalkan event A memberikan kondisi bahwa suatu outcome telah memenuhi

syarat. Maka probabilitas dapat diperbaiki untuk memasukan pengetahuan ini. Probabilitas dari suatu event B dengan memperhatikan pengetahuan tersebut,

maka outcome akan memenuhi event A dinotasikan sebagai berikut:

P(B | A) = P(A ∩ B)/ P(A) di mana P(A) > 0 Ini disebut dengan probabilitas B pada saat event A diketahui.



Mutually Exclusive Dua buah event dikatakan mutually exclusive (disjoint) jika mereka tidak dapat

muncul bersamaan dalam satu waktu Jika A dan B adalah event mutually exclusive, maka P(A U B) = P(A) + P(B) Kumpulan event E1, E2, …, Ek dikatakan mutually exclusive jika untuk seluruh

pasangan Ei ∩ Ej = sehingga P(E1 U E2 U…U Ek) = P(E1) + P(E2)+…+ P(Ek)

Independen Dua buah event saling independen jika salah satu syarat berikut terpenuhi:

P( A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A∩B) = P(A) P(B)

Event E1, E2, …, En adalah independen jika dan hanya jika untuk sembarang subset dari event Ei1, Ei2, …, Eik,

P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ … ∩ Eik) = P(Ei1) x P(Ei2) x … X P(Eik)



Aturan perhitungan probabilitas Pengurangan : Probabilitas bahwa event A terjadi adalah sebanding dengan 1

dikurang dengan probabilitas bahwa event A tidak akan terjadi

P(A) = 1 – P(A’) Perkalian : Probabilitas bahwa event A dan B sama-sama terjadi adalah

sebanding dengan probababilitas bahwa vent A terjadi dikali dengan probabilitas bahwa event B terjadi, jika event A telah terjadi sebelumnya.

P(A ∩ B) = P(A) P(A | B): Penjumlahan (join probability): Probabilitas bahwa event A atau Event B terjadi

sebanding dengan probabilitas bahwa event A terjadi ditambah dengan propabilitas bahwa kedua event A dan B terjadi.

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)



Teorama Bayes Misalkan A1, A2,… An adalah set event yang mutually exclusive yang

membentuk ruang sampel S. Misalkan B adalah sembarang event dari ruang sampel yang sama sehingga P(B) > 0, maka :

Kapan teorama Bayes digunakan? Ruang sampel dibagi-bagi menjadi set-set event yang mutually exclusive Dengan ruang sampel yang sama terdapat event B, dimana P(B) >0 Tujuan analisa adalah untuk menghitung P(Ak | B)

Salah satu informasi dibawah ini diketahui: P( Ak ∩ B ) untuk setiap Ak

P( Ak ) and P( B | Ak ) untuk setiap Ak



BAPBAPBAP

BAPBAP

n

kk

21

nn

kkk ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

2211

1. Sebuah uang logam terdiri dari G (gambar) atau A (angka), dilemparkan ke udara sebanyak 3 kali. Berapakah peluang gambar akan muncul pertama kalinya?

2. Suatu hari sebuah pabrik dapat menghasilkan 850 produk. Tetapi 50 diantaranya cacat produksi. Misalkan A adalah event bahwa produk pertama cacat, dan B adalah event bahwa produksi kedua cacat (52).

a. Apakah A dan B saling independen?

b. Berapakah P(B)?

3. Peluang sebuah resistor tidak rusak adalah 0.9 dan kapasitor 0.8. Jika sebuah rangkaian seri terdiri dari resistor dan kapasitor, berapakah peluang rangkaian tersebut berfungsi dengan baik.

4. Sebuah stasiun BBM, memiliki 2 buah mesin pompa (A dan B). Pompa A hanya bisa melayani kendaraan roda 2 dengan peluang berfungsi 0.75 karena jalurnya yang sempit, sedangkan pompa B dapat melayani semua kendaraan dengan peluang berfungsi 0.9.

a. Berapakah peluang bahwa roda 4 tidak dilayani sama sekali?

b. Berapakah peluang bahwa stasiun tersebut harus tutup sementara?


Responsi #2

Documents

Teori Probabilitas