Pengantar Probabilitas

MATERIBAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Pendahuluan Ruang Sampel Kejadian Dua Kejadian Yang Saling Lepas Operasi Kejadian

BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar Notasi Faktorial Permutasi Permutasi (Seluruhnya) Dengan Beberapa Unsur Yang Sama Permutasi Melingkar Kombinasi Diagram Pohon

BAB III PELUANG KEJADIAN Definisi Klasik Beberapa Hukum Peluang Kejadian Saling Bebas

BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYES Peluang Bersyarat Aturan Bayes

BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan “peluang”. Misalnya orang melambungkan satu kali mata uang logam bersisi gambar dan bersisi angka, maka peluang muncul sisi gambar sama dengan peluang muncul sisi angka; kemungkinan muncul sisi gambar adalah 1 dari 2, yaitu peluangnya muncul sisi gambar adalah 1/2, demikian pula peluangnya muncul sisi angka adalah 1/2. Misalnya dalam permainan sepakbola, seorang wasit melambungkan mata uang logam satu kali untuk mengundi tempat bermain masing-masing kesebelasan yang berhadapan sebagai lawan, upaya wasit melakukan undian seperti ini dipandang adil baik oleh para pemain maupun penonton.

B. Ruang SampelDefinisi 1.1

Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.

Ruang sampel biasa disimbolkan dengan huruf S, sedangkan anggota-angota ruang sampel didaftar dengan menuliskannya diantara dua kurung kurawal (alokade), masing-masing anggota dipisah dengan tanda koma.

ContohPada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6} dengan 1 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada satu, 2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya.

C. KejadianDefinisi Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel . Karena kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel maka biasanya disimbolkan dalam huruf besar.Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.Contoh {1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel.Contoh {1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan juga suatu kejadian, karena SS dan S.

D. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing)

Dua kejadian dikatakan saling lepas/asing apabila dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama atau tidak mungkin dipertemukan. Dengan kata lain kejadian yang satu meniadakan kejadian yang lain.

Contoh Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali, kejadian munculnya mata dadu 1 dan kejadian munculnya mata dadu 3 adalah dua kejadian yang saling lepas, sebab apabila muncul mata dadu 1 maka mata dadu 3 tidak mungkin muncul, demikian pula sebaliknya.

Dalam notasi himpunan dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika AB=.Pada contoh diatas misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1 dan B adalah kejadian munculnya mata dadi 3 maka A = {1} dan B={3} sehingga AB=, disimpulkan kejadian A dan B saling lepas

E. Operasi KejadianOperasi antar kejadian antara lain: operasi gabungan (union), operasi irisan

(interseksi) dan komplemenContohMisalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali dengan ruang

sampel S={1,2,3,4,5,6}. Misalkan A kejadian munculnya mata dadu ganjil, maka A={1,3,5}, dan B kejadian munculnya mata dadu prima, maka B={2,3,5}.

Dari dua kejadian tersebut dapat dibentuk kejadian majemuk sebagai berikut . Gabungan dua kejadian , P = AB = {1,2,3,5}. Kejadian P adalah kejadian

munculnya mata dadu ganjil atau prima. Arti kata “atau” dalam hal ini adalah kejadian A atau kejadian B atau kejadian kedua-duanya. Jadi gabungan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A atau kejadian B atau kedua-duanya.

Irisan dua kejadian Q= AB ={3,5}. Kejadian Q adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil dan prima. Kata “dan” berarti kejadian A terjadi dan bersamaan dengan itu kejadian B terjadi. Jadi irisan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B.

Operasi Komplemen. Komplemen kejadian A dalam ruang sampel S adalah himpunan semua unsur di S yang tidak termasuk di A. Misalkan A={1,3,5} maka komplemen A ditulis Ac atau A’ = {2,4,6}.

BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL

A. Prinsip Perkalian/Aturan DasarJika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara yang berbeda, dan kejadian berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n2 cara yang berbeda, dan seterusnya maka banyaknya keseluruhan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n1.n2.n3… cara yang berbeda.

Contoh Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi bilangan 3 angka yang dibentuk dari lima angka 1,3,5,7,9, jika :

a. pengulangan tidak diperbolehkanb. pengulangan diperbolehkan.Penyelesaian.a. Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan

sebarang. kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara, karena pengulangan tidak diperbolehkan maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 4 dan 3 cara. Jadi banyaknya bilangan yang dapat terbetuk ada 5.4.3=60 bilangan. Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka banyaknya kertas yang harus disediakan ada 60 kertas.

b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama, kedua dan ketiga dapat diisi dengan 5 cara, sehingga banyaknya bilangan yang terbentuk ada 5.5.5 = 125 bilangan. Jadi banyaknya kertas yang harus disediakan ada 125 lembar.

B. Notasi Faktorial

Definisi 2.1Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n disebut n faktorial ditulis n! .Jadi n! = 1.2.3…..(n-2)(n-1).n ; dan 0! = 1

ContohHitunglah (a) 5! (b) 10 !Penyelesaian(a) 5! = 5.4.3.2.1 = 720(b) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800

C. Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan

Contoh Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang

terdiri dari 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dari kata CINTA

a. Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari sekali.

b. Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang penyusunan.

Penyelesaian.a. Banyaknya kata-kata = pengaturan 5 huruf yang

berbeda diambil 3 sekaligus = P(5,3) = 60b. Banyaknya kata-kata = 5.5.5 = 75

D. Permutasi (Seluruhnya) dengan Beberapa Unsur yang Sama

Teorema

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, … ,nk berjenis ke-k adalah

P(n , (n1,n2,n3,…nk)) = ,

dimana n1 + n2 + n3 + …+ nk = n

!nk...!3n!2n!1n

!n

Contoh Ada berapa penyusunan kata-kata (tidak harus punya arti) yang diambil dari kata “KAKAKKU”.

PenyelesaianPermutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah

P(7, (4,2,1)) = = 105.

Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin ada 105 kata.

!1!2!4

!7

E. Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis)

Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

Contoh Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut.

Penyelesaian.Keempat mahasiswa tadi dapat diatur mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6

F. Kombinasi

Definisi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak diperhatikan.

Banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau nCr atau

r

n atau nrC

adalah

)!rn(!r

!n

dengan r n.

Contoh Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih darin 10 pemain. Berapa macam susunan dapat dipilih ?

Penyelesaian.Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang =

C(10,5) = 252

!5!5

!10

)!510(!5

!10

G. Diagram Pohon

Diagram pohon merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan hasil-hasil yang mungkin dari sederetan percobaan jika dari setiap percobaan hasil yang mungkin berhingga. (dalam teori peluang disebut proses stokastik). Diagram pohon bila diperhatikan menurut suatu arah tertentu, mulai dengan satu titik, bercabang dan cabang-cabang itu mungkin bercabang-cabang lagi dan cabang-cabang baru itu bercabang lagi dan seterusnya. Jadi menurut suatu arah tertentu, dan banyaknya cabang yang meninggalkan titik itu paling sedikit satu.

Contoh

Melempar 3 mata uang bersama-sama (sisi mata uang angka disingkat A dan gambar disingkat G), hasilnya dapat digambar dengan diagram pohon sebagai berikut .

A AAAA

G GAAA

A AGAG

G AGG

A AGGA

G GAAG

A GGAG

G GGGGambar diatas menggambarkan semua hasil yang mungkin terjadi pada percobaan melempar 3 mata uang, sehingga kita bisa menentukan ruang sampel dan peluang setiap kejadian yang berkaitan dengan percobaan tersebut.

BAB IIIPELUANG KEJADIAN

A. Definisi Peluang Klasik

Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dam masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu

kejadian A ditulis P(A) = ,

dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A.

n

)A(n

Setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul dengan kesempatan yang sama itu berpeluang muncul yang sama dengan 1/n.

Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah terjadi, berarti n(A) = 0, maka

P(A) = 0/n = 0, sehingga peluangnya = 0.Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu

terjadi terus menerus, berarti n(A)=n maka P(A) = n/n = 1. Sehingga peluangnya = 1

Kesimpulannya adalah bahwa nilai P(A) terletak diantara nol dan satu, atau ditulis 0 P(A) 1.

ContohSebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua.

Penyelesaian.Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua, maka D = {(G,A)}.Karena semua titik sampel bersempatan sama untuk terjadi maka P(D) = ¼.

B. Beberapa Hukum Peluang

Teorema Bila A dan dua kejadian sembarang, makaP(AB) = P(A )+ P(B) – P(AB).Akibat 1.Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah), maka P(AB) = P(A) + P(B).Akibat 2.Bila A1, A2, A3, ..., An saling lepas, makaP(A1 A2A3 ... An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An)Teorema Bila A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka

P(A’) = 1 – P(A).

C. Kejadian Saling Bebas

Definisi Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan

hanya jika P(A).P(B) =P(AB).Contoh

Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas dengan P(A) =0,2 dan P(B)=0,3, hitung P(AB) ?

Penyelesaian Karena A dan B kejadian yang saling bebas, maka P(AB)= P(A).P(B)=0,2.0,3=0,6

BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYESA. Peluang BersyaratDefinisi Peluang bersyarat B dengan dengan diketahui A ditentukan

olehP(BA) = , bila P(A) > 0

Akibat 1P(AB)=P(A) P(BA)

Akibat 2Bila suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, …. dapat terjadi maka P(A1 A2 A3 …. ) = P(A1).P(A2|A1).P(A3| A1 A2)…

)(

)(

AP

BAP

Contoh

Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang pengambilan pertama As dan pengambilan kedua King.

Penyelesaian

Misalkan A: kejadian pertama (terambil kartu As)

B: kejadian kedua (terambil kartu King)

Maka P(A) = 4/52 dan P(BA)=4/51 (karena satu kartu telah terambil).

Jadi P(AB)=P(A) P(BA) = 4/52. 4/51 = 4/663.

B. ATURAN BAYES

Teorema (Aturan Bayes).

Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan

P(BI) 0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga P(A) 0 berlaku

P(BiA) =

k

iii

iik

ii

i

BAPBP

BAPBP

ABP

ABP

11

)().(

)().(

)(

)(

ContohJurusan matematika FMIPA UNNES ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan , yaitu 60% bus Jawa Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga 9% bus Jawa Indah tidak berAC, 20% bus Nusantara tidak berAC, dan 6% bus Kramat Jati tidak berAC. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak berAC, hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa Indah.

PenyelesaianMisalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah

N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati

Maka P(JA) =

=

= 0,45

)()()()()()(

)()(

KAPKPNAPNPJAPJP

JAPJP

%6%.10%20%.30%9%.60

%9%.60

PEUBAH ACAK

Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R, X : S R

Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kali

S = {SS, SB, BS, BB}

X : Peubah Acak banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2}

BB

SB

BS

SS

0

1

2

RXS

RUANG BERSAMA PEUBAH ACAK

Misalkan didefinisikan terdapat n buah peubah acak X1, X2,…, Xn maka ruag peubah acak dari X1, X2,…, Xn atau ruang bersama X1, X2,…, Xn adalah

AX1, X2,…, Xn={(x1, x2,…, xn)| xi = X(c), c di S, i = 1,2,…,n}

ContohSebuah uang koin dilantunkan 3 kali berturut-turutMisal X=banyaknya muncul muka

Y=banyak muncul belakang didahului muka

Maka Ax={0,1,2,3} dan Ay={0,1,2}Ruang bersama peubah acak X dan Y adalah

Axy={(x,y) | x=0,1,2,3 dan y=0,1,2} ={(0,0),(0,1), …, (3,2)}

Axy adalah himpunan bagian dari R2

b

ax

Xx

xXPbXaP

xXP

xXP

)()(.3

1)(.2

0)(.1

dxxfbXaP

dxxf

xf

b

a

Ax

)(.3

1.2

0.1

FUNGSI KEPADATAN PELUANG

Peubah Acak Diskrit PA Kontinu

EKSPEKTASI MATEMATIKA

1. Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan)

Misal X adalah PA yang mpy FKP f(x) dan u(X) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi dari u(X) adalah

E[u(X)] = untuk X diskret

E[u(X)] = untuk X kontinu

Xx

xfxu )()(

dxxfxu

~

~

2. Varians dari X

3. Fungsi Pembangkit MomenM(t) = E(etX)

KEBEBASAN STOKASTIKDefinisiPeubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik

(independent) jika:

f(x,y) = f1(x).f2(y)

22

2

)X(E)X(E

))X(EX(E)X(V