TEORI PROBABILITAS - .Pendekatan subyektif dalam penentuan nilai probabilitas adalah tepat atau cocok

Embed Size (px)

Text of TEORI PROBABILITAS - .Pendekatan subyektif dalam penentuan nilai probabilitas adalah tepat atau...

TEORI PROBABILITAS

ISTILAH YANG SERING DIGUNAKAN

a. Ruang Contoh

Definisi : Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu

percobaan, dan dilambangkan dengan S.

Bayangkan percobaan melempar mata uang!! Kemungkinan hasil yang akan

keluar ada 2 sisi, yaitu sisi muka dan sisi belakang. Misal, simbol sisi muka

adalah M dan sisi belakang adalah B, maka ruang contoh untuk percobaan

tersebut dituliskan sebagai berikut :

S = {M, B}

Contoh lain :

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu yang mempunyai sisi 6.

Jika kita ingin mengetahui sisi yang muncul, maka ruang contohnya adalah :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jika kita ingin mengetahui jenis bilangan yang muncul, apakah ganjil atau

genap, maka ruang contohnya adalah :

S = {ganjil, genap}

b. Kejadian

Definisi : Kejadian adalah kumpulan beberapa atau semua titik dari suatu

ruang contoh S.

Contoh : Pada percobaan pelemparan dadu mempunyai 6 titik contoh.

Tujuan percobaan adalah untuk melihat sisi yang muncul. Munculnya

salahsatu sisi merupakan sebuah kejadian, apakah sisi 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Sebuah kejadian dapat mengandung sebagian atau seluruh titik contoh dari

suatu percobaan.

Jika suatu kejadian TIDAK mengandung SATUPUN titik contoh, maka kejadian

tersebut disebut KEJADIAN KOSONG.

Contoh : Jika A merupakan kejadian yang menunjukkan manusia yang pernah

menginjakkan kaki di matahari, maka A=0.

Jika suatu kejadian mengandung seluruh anggota suatu ruang contoh, maka

kejadian itu mempunyai titik contoh sama dengan S.

Hubungan antara kejadian dengan ruang contoh dapat digambarkan dengan

menggunakan DIAGRAM VENN.

Contoh : A = {2, 3, 5, 7, 8, 9}

B = {1, 2, 3, 8, 9}

C = {8, 9, 10, 11, 20, 21}

S = {x|x adalah himpunan semua bilangan cacah}

Solusi : Diagram Venn

Bila kejadian A adalah himpunan bagian dari S, maka ada kejadian di luar A

yang disebut dengan KEJADIAN BUKAN A, dan dilambangkan dengan Ac atau

A1 (dibaca : komplemen A). Untuk contoh di atas yang menjadi anggota

komplemen A adalah anggota ruang contoh dikurangi dengan anggota

himpunan A, atau :

Ac = {x|x adalah himpunan semua bilangan cacah kecuali 2, 3, 5, 7, 8, 9}

c. Probabilitas

Contoh : Seseorang ingin megambil satu kartu secara acak dari satu set kartu

bridge. Kemungkinan terambilnya kartu As Scope adalah 1/52.

Angka 1 menunjukkan jumlah As Scope dalam satu set kartu, dan 52

menunjukkan jumlah satu set kartu bridge.

Definisi : Jika suatu kejadian terjadi di dalam m dari n cara kemungkinan,

dimana n kemungkinan itu mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi,

maka :

P(A) = m/n

0 P(A) 1

P(A) = 0 menunjukkan bahwa kejadian A tidak terjadi, dan P(A)=1 berarti

kejadian A pasti terjadi.

KONSEP DASAR PROBABILITAS

Ada 3 pendekatan untuk mendefinisikan konsep probabilitas dan menentukan nilai-nilai

probabilitas :

1. Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat

terjadi pada suatu kejadian.

Secara simbolis, Jika a adalah banyaknya kemungkinan kejadian A dan b adalah banyaknya

kemungkinan kejadian yang bukan A, maka pobabilitas kejadian A dapat dinyatakan sebagai

berikut:

Dengan dasar anggapan bahwa masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang

sama, jika pendekatan klasik dalam penerapan penentuan nilai probabilitas dapat dilakukan

sebelum observasi, maka pendekatan ini sering disebut a priori approach.

Contoh soal :

Suatu perusahaan memiliki 35 karyawan pria (B) dan 15 karyawan wanita (A). Masing-

masing karyawan memiliki kartu presensi. Berapa probabilitas kartu presensi yang diambil

secara acak milik karyawan wanita?

2. Pendekatan Frekuensi Relatif

Pada pendekatan ini, nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan

yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan.

Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai

probabilitas didasarkan pada hasil observasi dan pengumpulan data. Pendekatan ini disebut

emperical approach.

Misalnya berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyak N terdapat a kejadian yang

bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi A untuk N data adalah :

hasiln kemungkinaSeluruh

percobaansuatu hasil Banyaknya hasilsuatu Prob

ba

aP(A)

Contoh :

Sebelum diadakan training terhadap 100 karyawan perusahaan Sukses, diedarkan angket.

Dari angket tersebut didapatkan informasi bahwa 5 karyawan sakit gigi pada cuaca dingin.

Apabila training diadakan pada lokasi yang bercuaca dingin, berapa probabilitas akan terjadi

karyawan mengalami sakit gigi?

3. Pendekatan Subyektif

Pendekatan subyektif dalam penentuan nilai probabilitas adalah tepat atau cocok apabila

hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian.

Pada pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat

kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang

dimilikinya.

Karena nilai probabilitas pada pendekatan ini merupakan keputusan pribadi atau individual,

pendekatan ini disebut jg personalistic approach.

Contoh :

Berdasarkan pengalaman harga mobil setelah berumur 5 tahun atau lebih, turun lebih dari

50%. Ada seseorang menwarkan mobil yang sudah berumur 5 tahun pada Abas. Harga beli

mobil pada saat baru adalah Rp 36.000.000,00. Berdasarkan informasi tentang pengalaman

tersebut, Abas memutuskan untuk menawar menjadi Rp 17.500.000,00.

PENYAJIAN PROBABILITAS

Simbol P digunakan untuk melambangkan nilai probabilitas dari suatu kejadian. Dengan

demikian P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau

percobaan tunggal.

Nilai probabilitas terkecil adalah 0 menyatakan suatu kejadian tidak mungkin terjadi

Nilai probabilitas tertinggi adalah 1 menyatakan suatu kejadian pasti terjadi.

Secara matematis batasan nilai probabilitas dinyatakan :

0 P(A) 1

Dalam suatu percobaan, kemungkinan kejadian ada 2, yaitu : TERJADI dan TIDAK TERJADI.

Dengan demikian jumlah probabilitas terjadi dan tidak terjadi selalu = 1.

Pada gambar menunjukkan kondisi kejadian A dan A1 (bukan A). Maka jumlah

probabilitasnya adalah :

P(A)+P(A1) = 1

KEJADIAN-KEJADIAN SALING MENIADAKAN DAN TIDAK SALING

MENIADAKAN

Dua atau lebih kejadian dikatakan saling meniadakan atau mutually exclusive jika

kejadian-kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.

Suatu kejadian tertentu akan menghalangi atau meniadakan satu atau lebih kejadian yang

lain.

Sedangkan dua atau lebih kejadian dikatakan tidak saling meniadakan atau non-mutually

exclusive apabila kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersamaan.

Contoh :

Dalam suatu studi tentang perilaku konsumen, seorang analis mengklasifikasikan

pengunjung sebuah toko radio dan tape berdasarkan jenis kelamin yaitu laki-laki (A) dan

perempuan (B), serta berdasar umur, dibawah 30 tahun (C), dan 30 tahun atau lebih (D).

Dua kejadian A dan B merupakan kejadian-kejadian yang saling meniadakan (mutually

exclusive), kejadian jenis kelamin laki-laki meniadakan kejadian jenis kelamin perempuan,

dan sebaliknya.

Kejadian C dan kejadian D juga merupakan kejadian-kejadian yang saling meniadakan.

Akan tetapi, kejadian A dan kejadian C merupakan kejadian-kejadian yang TIDAK saling

meniadakan, artinya kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersama-sama.

Misalnya ada seorang pengunjung berjenis kelamin laki-laki yang berumur 25 tahun.

HUKUM-HUKUM PENJUMLAHAN

Hukum-hukum penjumlahan digunakan jika kita akan menghitung probabilitas suatu

kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan atau

kejadian tunggal.

Secara simbolis kita dapat menyatakan probabilitas kejadian A atau kejadian B yang muncul

atau terjadi dengan lambang : P(A atau B), yang dalam teori himpunan disebut probabilitas

gabungan A dan B dengan lambang :

Hukum penjumlahan tergantung dari apakah dua kejadian saling meniadakan atau tidak

saling meniadakan.

Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian saling meniadakan :

Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang TIDAK saling meniadakan :

1. Dua Kejadian

P( A atau B) = P(A) + P(B) P(A dan B), atau

2. Tiga Kejadian

P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A dan B) P (A dan C) P(B dan C) + P(A

dan B dan C)

Atau

Contoh :

Dengan melihat tabel di atas, berapakah probabilitas bahwa pengambilan data perusahaan

secara random akan terpilih perusahaan yang memiliki laba per tahun sebesar :

a. Di antara Rp 10 juta sampai Rp 19 juta

b. Kurang dari Rp 20 juta

c. Salah satu dari kelompok ekstrim (kurang dari Rp 10 juta atau Rp 40 juta atau lebih)?

Jawab :

a. P(perusahaan yang memiliki laba per tahun antara Rp 10 juta sampai Rp 19 juta)

adalah :

b. P