Teori Ring

1

I RING DAN LAPANGAN

(RING AND FIELDS)

Definisi dan Beberapa Contoh Ring Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur

aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong

yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak

kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara

berturut-turut + dan dinamakan Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring, dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan

Lapangan).

Definisi (Ring).

Suatu ring (R,+,) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan . Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku.

1. merupakan grup abelian (group komutatif)

2. (a b) R 3. a (b c) = (a b) c 4. a (b + c) = a b + a c dan (b + c ) a = b a + c a

Catatan:

(i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisan ab sering ditulis ab bila operasi merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari dan a + (-b) ditulis a - b.

(ii) Identitas operasi jumlah pada ring (R, +, ) disimbolkan dengan 0 dan disebut unsur nol dari ring.

(iii) Invers penjumlahan dari a di R disimbol a dan disebut unsur negatif dari

a.

Drs. Rusli, M.Si. 2

(iv) Jika kita mengatakan bahwa R ring, yang dimaksud adalah R adalah

himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan sedemikian sehingga (R, +, ) ring.

Beberapa Contoh

Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring

dengan operasi yang diberikan

1) < Z, + , > 6) < M(2,Z), + , > 2) < Q, + , > 7) < Z[2], + , > 3) < R, + , > 8) < fR, + , > 4) < C, + , > 9) < RxS, + , >, dengan R dan S

masing-masing merupakan ring

5) < Zn, + , >

Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a 1 = 1 a = a, a R, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit .element.)

Jika pada ring R, berlaku sifat a b = b a, a,b R, maka R dikatakan Ring Komutatif (Comutative Ring).

Teorema 1. Misalkan R ring, 0 adalah unsur nol di R dan a, b, c R (a) 0a = a0 = 0

(b) a(-b) = (-a)b = -(ab)

(c) (-a)(-b) = ab

(d) a(b c) = ab ac dan (a b)c = ac bc.

Jika R mempunyai unsur kesatuan, maka

(e) (-1)a = -a

(f) (-1)(-1) = 1

Bukti

Teori Ring

3

Misalkan R ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas

untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka a, b, c R, kita peroleh:

(a) kita dapat menulis,

a0 = a(0 + 0) [ sifat unsur 0 di R ]

a0 = a0 + a0 [ sifat distribusi kanan ]

0 + a0 = a0 + a0 [ sifat unsur 0 di R ]

a0 = 0 [ karena R grup terhadap +, maka a0 di R, tambahkan

kedua ruas dengan a0 ]

Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat

distribusi kiri, diperoleh 0a = 0.

(b) Pertama-tama akan ditunjukkan a(-b) = -(ab). Perhatikan bahwa:

ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan

dan bagian (a) pada lemma ini. Dengan demikian diperoleh bahwa a(-b) = -ab.

Dengan cara sama ab + (-a)b = [a + (-a)]b = 0b = 0, diperoleh (-a)b = -ab.

(c) (-a)(-b) = -(a(-b) (menurut bagian (b))

= -(-(ab)) (menurut bagian (b))

= ab

(d) a(b c) = a[b + (c)] (definisi operasi pengurangan)

= ab + a(-c) (sifat distibusi kanan)

= ab + (-ac) (menurut bagian (b))

= ab ac (definisi operasi pengurangan)

Dengan cara sama (a b)c = ac bc.

(e) Misalkan bahwa R mempunyai unsur kesatuan 1, maka:

a + (-1)a = 1a + (-1)a

= [1 + (-1)]a

= 0a

= 0

Ini berarti bahwa (-1)a = -a.

(f) Jika dipilih a = -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = 1.

Drs. Rusli, M.Si. 4

INTEGRAL DOMAIN DAN SUBRING

Definisi

Jika R ring komutatif dan aR, a0. a dikatakan unsur pembagi nol jika terdapat b R, b 0 ab=0.

Definisi

Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (Integral

Domain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol.

Definisi

R ring, R dikatakan Ring Pembagian (Division Ring) jika unsur-unsur tak

nol merupakan grup terhadap perkalian.

Contoh

1. , , merupakan daerah integral 2. bukan daerah integral

Teorema Jika R integral domain, a,b,c R, a0 dan ab=ac, maka b=c. Definisi

S himpunan S R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R.

Contoh subring dari dan subring dari Teorema R ring, S R, S subrung jhj S memenuhi sifat berikut:

1. S 2. a,b S, a+bS dan abS 3. aS, -a S

Contoh

R =: , S =:{f Rf(1)=o}, maka S subring.

Contoh 2.1.1 R adalah himpunan bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali

biasa, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Teori Ring

5

Contoh 2.1.2 R = {2z : zZ} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif tetapi tidak mempunyai unsur kesatuan.

Contoh 2.1.3 R adalah himpunan bilangan rasional terhadap opearsi penjumlahan

dan perkalian biasa merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan

Contoh 2.1.4 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan

dan perkalian mod 7 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Contoh 2.1.5 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan

dan perkalian mod 6 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Contoh 2.1.6 Misalkan F adalah himpunan semua fungsi dari f : RR, dengan operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, maka F merupakan ring komutatif.

Contoh 2.1.7 Misalkan R adalah himpunan bilangan bulat modulo n, maka R

merupakan ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian mod n.

Contoh 2.1.8 Misalkan R adalah himpunan bilangan kompleks dengan operasi

penjumlahan dan perkalian biasa, R merupakan ring komutatif dengan unsur

kesatuan.

Contoh 2.1.9 Misalkan R adalah himpuanan matriks ordo nxn unsur bilangan bulat

merupakan ring yang tak komutatif dengan unsur kesatuan terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian matriks.

Contoh 2.2.1 Jika Z6 adalah himpunan himpunan bilangan bulat modulo 6. Selidiki

apakah Z6 merupakan ring dengan unsur pembagi nol.

Drs. Rusli, M.Si. 6

Contoh 2.2.2 Jika Z5 adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. . Selidiki apakah

Z6 merupakan ring tanpa unsur pembagi nol.

Contoh Misalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.

Tunjukkan bahwa , , merupakan daerah integral Tunjukkan bahwa bukan daerah integral

Buktikan bahwa jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika

hukum penghapusan berlaku.

Buktikan bahwa jika R adalah lapangan, maka R merupakan ring tanpa unsur

pembagi nol.

Bukti

Misalkan R lapangan, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur

kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap

operasi perkalian.

Ambil a, b dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a0, maka a-1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan a-1(ab) = a-10 sehingga kita punya

b=0. Jadi jika a0, ab=0, maka b=0. Dengan cara sama bila b0, maka b-1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan (ab)b-1 = 0b-1 sehingga kita punya a=0.

Dengan demikian jika b0, ab=0, maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa R tanpa pembagi nol.

Teorema 2.2.5. Daerah Integral (D) yang hingga merupakan lapangan.

Bukti

Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah

integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika

paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ring

Teori Ring

7

komutatif dengan unsur kesatuan yang mana setiap unsur tak nol mempunyai

invers. Dengan demikian untuk membuktikan bahwa daerah integral yang hingga

itu merupakan lapangan, kita harus menunjukkan bahwa

(a) 1 D, sedemikian sehingga a1=a, untuk setiap aD. (b) untuk setiap a0, aD, terdapat bD, sedemikian sehingga ab=1.

Misalkan {x1, x2, , xn}adalah semua unsur-unsur D dan misalkan a0D. karena D ring, maka x1a, x2a, , xna semuanya juga termuat di D.

Claim x1a, x2a, , xna semuanya berbeda. Ambil xia, xja dua unsur D dengan xia =

xja untuk ij, maka (xi - xj)ja=0. Karena D daerah integral dan a0, maka xi - xj = 0, sehnigga xi = xj. Kontradiksi dengan xi xj.untuk ij. Jadi x1a, x2a, , xna semuanya berbeda. Dengan demikian D tepat mempunyai n buah unsur yang

berbeda. Dengan kata lain untuk setiap yD, dapat ditulis sebagai y = xia, untuk suatu xi D. Karena aD, maka a=xioa, untuk suatu xioD. Karena D komutatif, maka a = xioa = axio. Sekarang jika sebagai y = xia, untuk suatu xi D, dan y xio= (xi a) xio= xi (a xio) = xi a= y. Jadi xio merupakan unsure kesatuan dari D dan kita tulis 1.

Sekarang 1D, dengan menggunakan fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan perkalian dengan suatu unsur lain dengan a. Dengan kata lain 1D, maka terdapat bD, sedemikian sehingga 1=ba, dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan demikian teorema telah terbukti.

Akibat 2.2.6. Zp Lapangan jhj p bilangan prima.

Bukti

Berdasarkan teorema di atas, cukup kita tunjukkan bahwa ZP merupakan daerah

integral. Ambil a,b dua unsur sebarang dari Zp dengan ab=0, maka ab habis dibagi

oleh p dan karena p prima maka p harus membagi a atau b. Dengan kata lain jika p

membagi a maka a = 0 dan jika p membagi b maka b=0. Jadi a,bZp, dan ab=0 maka a=0 atau b=0. Dengan demikian Zp merupakan daerah integral karena unsur-

unsur dari Zp hingga maka Zp merupakan lapangan.

Drs. Rusli, M.Si. 8

Pertanyaan

(a) apakah Ring Z[2] merupakan daerah integral (b) apakah Ring Z[2] merupakan lapangan (c) apakah Ring Q[2] merupakan sublapangan dari R

Teorema 2.2.8 Setiap lapangan adalah daerah integral

Bukti

Misalkan F adalah lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b

unsur-unsur sebarang di F dengan ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0.

Misalkan a0, karena F lapangan maka a-1F. Dengan demikian a-1 (ab)= a-1 0=0., atau b=0. Dengan cara sama ditunjukkan jika b0 maka a=0

Definisi

Daerah Integral D dikatakan mempunyai karakteristik 0 (nol) jika

na=0, dengan a 0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0.

Latihan

Selidiki apakah Z, Q, R, C dan Zn mempunyai karakteristik nol.

Definisi

DaerahIintegral D dikatakan mempunyai karakteristik hingga jika

terdapat bilangan bulat positif n sehingga na=0, aD

Teorema 2.2.9. Karakteristik daerah integral yang hingga selalu hingga.

Teori Ring

9

Bukti

Misalkan D adalah daerah integral yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D,

maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan

demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi

penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga

adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 =

0. Sekarang ambil aK sebarang, maka, na = a + a+ +a sebanyak n suku

= 1a+ 1a+ +1a sebanyak n suku

= (1 + 1+ + 1) a

= (n1)a

= 0a (karena n1=0)

= 0 (karena 0 a = 0, a D) Jadi n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na =

0, aD. Karenanya karakteristik dari D hingga.

Teorema 2.2.10. Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau

prima.

Bukti

Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus

jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi

penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah

terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D

dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik

dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan

prima. Andaikan n komposit, dan misalkan n = n1n2 dengan n11, n21 dan

Drs. Rusli, M.Si. 10

n1

Teori Ring

11

(i). a,b K, berlaku a-bK (ii) a,b K dan b 0, berlaku ab-1K

Bukti

(syarat perlu). Misalkan K adalah sub lapangan dari F, maka terhadap

operasi yang dengan F, K juga merupakan lapangan. Karenanya untuk setiap

b K, berlaku -bK. Jadi a+(-b) K untuk setiap a, b K. karena a - b = a + (-b) K. Juga untuk setiap b K dan b 0, maka b-1 ada dan di K. Karenanya ab-1 K, untuk setiap a, b K. Sebaliknya (syarat cukup). Misalkan K himpunan bagian unsur tak kosong

dari F sedemikian sehingga

(i) aK, bKa b K. (ii) aK, 0b Kab-1K

2 Homomorfisma, Ideal dan Ring Faktor

2.1 Homomorfisma

Pada saat mempelajari grup, kita telah mengenal konsep

homomorfisma pada suatu grup. Konsep homomorfisma ini juga merupakan

suatu konsep yang sangat penting dalam ring. Kita kembali pada

homomorfisma grup, didefinisikan sebagai pemetaan yang memenuhi relasi

(ab)=(a)(b). Karena ring memiliki dua operasi, maka definisi homomorfisma pada ring diberikan sebagai berikut.

Drs. Rusli, M.Si. 12

Definisi 2.1.1

Misalkan R dan R masing-masing merupakan ring. Pemetaan

:RR dikatakan homomorfisma jika untuk setiap a,b R. memenuhi (1) (a+b)= (a)+ (b) dan (2) (ab)= (a) (b)

Lemma 2.1.1

Jika adalah homomorfisma dari R ke R, maka 1. (0)=0 2. (-a)=- (a), untuk setiap aR

Bukti

(i) Jika a unsur sebarang di R, maka a+0=a=0+a, sehingga

(a)=(a+0)=(a) +(0), demikain pula (a)=(0+a)=(0) +(a), karenanya (a)+(0)=(0) +(a)= (a), (a)R, akibatnya (0)adalah unsure nol di R, yaitu : (0)=0. (ii) Jika a unsur sebarang di R, maka a+(-a)= 0 =(-a)+a, sehingga

(0)=(a+(-a))=(a)+(-a) (0)=((-a)+a)=(-a)+(a) karenanya (a)+(-a)=(-a)+(a)= (0),(a)R akibatnya -(a)=(-a)

Definisi 2.1.2

Jika homomorfisma dari R ke R, maka kernel I(), adalah himpunan semua unsur aR sehingga (a)=0 unsur nol di R.

Teori Ring

13

Lemma 2.1.2

Jika adalah morfisma dari R ke R dengan kernel I(), maka 1. I() adalah subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. 2. jika aI() dan r R maka keduanya ar dan ra unsur kernel .

Bukti.

(1) (a) Ambil a, bI(), maka (a)=0 dan (b)=0. Sekarang pandang (a+b), karena suatu homomorfisma, maka (a+b)=(a) + (b) = 0+0 = 0. Jadi a+bI(), dengan kata lain I() tertutup terhadap operasi penjumlahan.

(b) Ambil a I() sembarang, maka (a)=0 dan karena (-a)=-(a)=-(0)=0, ini berarti -aI().

Dari (a)-(b) dapat disimpulkan bahwa I() merupakan subgrup dari R.

(2) Misalkan aI(), dan rR, maka (a)=0, perhatikan bahwa (ar) = (a)(r) = 0(r) = 0, dengan demikian arI(). Dengan cara sama (ra) = (r)(a) = (r)0 = 0, berdasarkan definisi I() diperoleh ar dan ra kedua-dunya terletak di I().

Contoh 2.1.1

Misalkan R dan R sebarang ring, dan dengan (a)=0, aR, maka :RRadalah homomorfisma, lebih dari itu I()=R. disebut homomorfisma nol.

Bukti

Drs. Rusli, M.Si. 14

Ambil a, b sembarang dua unsur di R, maka (a)=0 dan (b)=0. Sekarang perhatikan (a+b)=0=0+0=(a)+(b) dan (ab)=0=(0)(0)=(a)(b). Jadi merupakan suatu homomorfisma.

Contoh 2.1.2

Misalkan R ring dan R=Rdan didefinisikan (x)=x,xR, maka adalah homomorfisma dan I()={0}. Bukti

Ambil x, y sembarang dua unsur di R, maka (x)=x dan (y)=y. Sekarang perhatikan (x+y)=x+y=(x)+(y) dan (ab)=xy=(x)(y). Jadi merupakan suatu homomorfisma. Karena hanya 0R, yang dipetakan ke 0 pada R, maka I()={0}.

Contoh 2.1.3

Misalkan Z[2] adalah himpunan bilangan riil yang berbentuk m+n2 dengan m, n bilangan-bilangan bulat. Dapat kita tunjukkan bahwa Z[2] merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Didefinisikan

: Z[2]Z[2] dengan (m+n2)=m-n2, maka homomorfisma dan I()={0}. Bukti

Ambil x, y sembarang dua unsur di R, x= m1+n12, dan y= = m2+n22, dengan m1, n1, m2, n2 Z. maka (m1+n12)= m1-n12 dan (m2+n22)= m2-n22. Sekarang perhatikan bahwa x+y= (m1+n12+m2+n22) = (m1+m2)+(n1+n2)2 dan

xy=(m1+n12)(m2+n22)= (m1m2+2n1n2+(m1n2+n1m2)2) maka

Teori Ring

15

(x+y)=(m1+n12+m2+n22) =((m1+m2)+(n1+n2)2) =(m1+m2)-(n1+n2)2 =((m1-n12)+(m2-n2)2)) =(x)+(y) dan

(xy)=((m1+n12)(m2+n22)) =((m1m2+2n1n2+(m1n2+n1m2)2)) =(m1m2+2n1n2-(m1n2+n1m2)2) =(m1m2-m1n22-n1m22+2n1n2) =(m1-n12)(m2+-n22) =(m1+n12)(m2+n22) =(x)(y) Jadi merupakan suatu homomorfisma

Contoh 2.1.4

Misalkan Zn adalah ring bilangan bulat modulo n. definisikan I: ZZn dengan (a)=sisa dari a apabila dibagi oleh n, maka homomorfisma.

Contoh 2.1.5

Misalkan R himpunan semua fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada interval

tutup [0,1]. R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi merupakan

ring. Selanjutnya misalkan F adalah ring bilangan riil terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian, serta didefinisikan pemetaan RF, dengan (f(x))=f(1/2). Dengan pengaitan yang demikian merupakan homomorfisma yang bersifat pada dari R ke F.

Drs. Rusli, M.Si. 16

Definisi 2.1.3

Suatu homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu monomorfisma jika

homomorfisma tersebut satu-satu.

Lemma 2.1.3

Homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu monomorfisma jika dan hanya jika I()=(0). Bukti

Misalkan monomorfisma (satu-satu). Ambil xI(), maka kita mempunyai (x)=0=(0). Karena satu-satu haruslah x=0. Jadi I()={0}. Sebaliknya misalkan I()=0, ambil x,yR sembarang yang bersifat (x)=(y). Karena merupakan homomorfisma , maka kita punya hubungan (x+(-y))=(x)-(y)=0. Dengan demikian kita peroleh x-yI(), karena I()={0}, maka x=y. Ini membuktikan bahwa : RR bersifat satu-satu (monomorfisma).

Definisi 2.1.4

Suatu homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu epimorfisma jika

homomorfisma tersebut bersifat pada.

Definisi 2.1.5

Suatu homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu isomorfisma jika

homomorfisma tersebut bersifat satu-satu dan pada.

Homomorfisma yang dimaksud pada definisi di atas, merupakan

homomorfisma yang memenuhi sifat monomofisma dan epimorfisma.

Dengan kata lain suatu homomorfisma merupakan suatu isomorfisma jika

Teori Ring

17

homomrfisma tersebut merupakan suatu monomorfisma dan epimorfisma.

Dengan demikian jika kita memandang pemetaan tersebut sebagai fungsi,

maka homomorfisma yang bersifat isomorfisma bila berbicara pada fungsi

merupakan fungsi bijektif yaitu suatu fungsi yang bersifat injektif (satu-satu)

dan surjektif (pada).

Drs. Rusli, M.Si. 18

2.2 Ideal

Ide mengkonstruksi grup faktor pada saat mempelajari grup kita akan

ulangi dalam mempelajari ring, ide tersebut kita terapkan untuk

mendapatkan ring faktor (quotien), sehingga konsep grup faktor merupakan

konsep yang sama dengan konsep ring faktor (quotien). Pada pembentukan

grup faktor, terlebih dahulu kita mengkonstruksi koset dan subgrup normal,

kemudian terbentuklah grup faktor. Pada bagian ini kita terlebih dahulu

membicarakan ideal kemudian dari ideal ini kita mengkonstruksi suatu ring

yang unsur-unsurnya merupakan ideal yang selanjutnya kita namakan

dengan ring faktor atau ring quotien.

Definisi 2.2.1

Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kiri dari R jika

(1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap

uR, ruU.

Definisi 2.2.2

Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kanan dari R

jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap

uR, urU.

Berdasarkan definisi 2.2.1 dan 2.2.2 kita definisikan bahwa suatu

himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal dari R, jika merupakan

ideal kiri sekaligus merupakan ideal kanan dari R.

Jelas bahwa {0} dan R merupakan ideal dari sembarang ring R. Ideal

yang demikian disebut ideal trivial atau sering juga disebut dengan improper

ideal. Semua ideal dari U dari R yang berbeda dari {0} dan R disebut proper

ideal atau ideal sejati.

Teori Ring

19

Lemma 2.2.1

Syarat perlu dan cukup bahwa himpunan bagian tak kosong U dari R,

merupakan ideal dari R bila memenuhi (i) jika aU, dan bU, maka a-bU, dan (ii) jika uU, dan rR, maka urU dan ruU. Bukti

(syarat perlu). Misalkan U ideal dari ring R, maka U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan dan untuk setiap uU, dan rR berlaku urR dan ruR. tetapi syarat perlu dan cukup bahwa U merupakan subgrup terhadap penjumlahan adalah jika a, bU sembarang, maka a-bU. Dengan demikian kita punya jika U ideal dari R, maka berlaku (i) jika aU, dan bU, maka a-bU, dan (ii) jika uU, dan rR, maka urU dan ruU. (syarat cukup). Misalkan U himpunan tak kosong dari R, yang memenuhi sifat (i) jika aU, dan bU, maka a-bU, dan (ii) jika uU, dan rR, maka urU dan ruU. Dari sifat (i) kita peroleh bahwa U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan, sehingga kita punya sifat bahwa jika sifat

(i) jika aU, dan bU, maka a-bU, dan (ii) jika uU, dan rR, maka urU dan ruU berlaku, maka

(1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan

(2) untuk setiap uR, urU. Dengan demikian U merupakan ideal dari R.

Lemma 2.2.2

Irisan sembarang dua ideal dari R juga merupakan ideal dari R

Bukti

Misalkan U1 dan U2 sembarang dua ideal dari R, maka U1 dan U2 merupakan

subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karenanya U1U2 juga merupakan subgrup dari R. Sekarang misalkan u U1U2 sembarang dan

Drs. Rusli, M.Si. 20

rR. Karena U1 dan U2 merupakan ideal-ideal dari R, maka urU1, ruU1 dan urU2 dan ruU2, akibatnya urU1U2 dan ruU1U2 merupakan ideal dari R.

Lemma 2.2.3

Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan semua

koleksi ideal-ideal dari R yang memuat M merupakan ideal terkecil yang

memuat M.

Bukti

Misalkan {S|} adalah koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka menurut definisi ideal setiap S merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan subgrup-subgrup dari R yang memuat M

juga merupakan subgrup yang memuat M, kita peroleh bahwa {S|} adalah subgrup dari R yang terkecil yang memuat M. Selanjutnya ambil

u{S|} sembarang dan rR sembarang, maka uS untuk setiap , dan karena S merupakan ideal untuk setiap , maka urS dan ruS, untuk setiap . Akibatnya ur{S|} dan ru{S|}. Dengan demikian {S|} merupakan ideal dari R dan karena {S|} himpunan terkecil yang memuat M, maka dapat disimpulkan bahwa {S|} merupakan ideal terkecil yang memuat M. Ideal yang kita bicarakan pada lemma 2.2.3 biasanya dikenal juga

dengan nama ideal yang dibangun oleh M. ideal yang demikian selanjutnya

ditulis (M).

Definisi 2.2.3

Suatu ideal yang dibangun oleh satu unsur disebut dengan ideal utama

(principal ideal).

Teori Ring

21

Definisi 2.2.4

Misalkan R ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi

nol disebut ring ideal utama jika setiap ideal dari R merupakan ideal utama.

Ekivalen dengan definisi 2.2.4 di atas adalah bahwa bila R

merupakan daerah integral dengan unsur kesatuan merupakan ring ideal

utama jika setiap ideal U dari R dibangun oleh satu unsur, yaitu U=(a), untuk

suatu aR.

Contoh 2.2.1

Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional dan Z himpunan semua

bilangan bulat. Jelas Z merupakan himpunan bagian dari Q. Pembaca dapat

menunjukkan bahwa Q merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian dan Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z

bukan merupakan ideal kiri maupun kanan, sebab perkalian antara bilangan

rasional dengan bilangan bulat tidak senantiasa merupakan bilangan bulat

demikian pula bahwa perkalian antara bilangan bulat dengan bilangan

rasional tidak senantiasa merupakan bilangan bulat.

Berdasarkan contoh di atas, dengan mudah kita dapat menemukan

bilanagn rasionan dan bilangan bulat yang memenuhi contoh 2.2.1 di atas,

yaitu dengan memilih 2/3Q, dan 5Z, maka (2/3)(5)=10/3Z demikian pula 5(2/3)=10/3Z, dan masih banyak lagi bahkan tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan bilangan bulat yang dapat kita pilih sedemikian sifat

ini tidak berlaku.

Contoh 2.2.2

Drs. Rusli, M.Si. 22

Misalkan R himpunan semua bilangan riil dan Q himpunan semua bilangan

rasional, maka jelas sekali bahwa QR, dan pembaca dengan mudah dapat menunjukkan bahwa R merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian serta Q merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Q

bukan merupakan ideal kiri maupun ideal kanan.

Sebagai latihan pembaca di minta untuk menemukan bilangan

rasional Q dan bilangan riil R yang bersifat bahwa

aQ, rR, tetapi arQ dan aQ, rR, tetapi raQ

Contoh 2.2.3

Misalkan R ring semua matriks ordo 2x2 dengan unsur-unsur bilangan bulat,

yaitu R=

Zdcbadbca

,,, dan H=

Zbaba

,00

, maka H

merupakan ideal kiri dari R, tetapi H bukan ideal kanan dari R.

Contoh 2.2.4

Misalkan R seperti pada contoh 2.1.3, dan S=himpunan matriks 2x2 yang

berbentuk

Zba

ba

,00

, maka H merupakan ideal kiri dari R tetapi H

bukan ideal kanan.

Contoh 2.2.5

Misalkan m sembarang bilangan bulat positif tetapi tetap dan T={ma|aZ}, maka untuk sembarang dua unsur ma dan mb di T, berlaku ma-mb=m(a-

b)T, karena aZ dan bZ, maka a-bZ. Jadi T merupakan grup terhadap

Teori Ring

23

operasi penjumlahan. Sekarang ambil maT sembarang dan bZ, maka (ma)b=m(ab)T, karena Z bersifat assosiatif terhadap operasi perkalian dan b(ma)=(bm)a=m(ba)T, karena Z bersifat komutatif dan assosiatif terhadap operasi perkalian.

Definisi 2.2.4

Suatu ideal MR dalam ring R, dikatakan ideal maksimal dari R jika terdapat ideal U dari R sedemikian sehingga MUR, maka R=U atau M=U. Ekivalen dengan definisi di atas, adalah M ideal dari R dan MR, dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal sejati dari R yang memuat

M.

Berikut ini akan diberikan beberapa sifat yang berhubungan dengan

ideal.

Lemma 2.2.4

Lapangan tidak mempunyai ideal sejati

Bukti

Misalkan S ideal tak nol dari lapangan F dan misalkan a sembarang unsur

tak nol dari S, maka S merupakan himpunan bagian dari F, akibatnya berlaku

Jika aS, maka aF, karena F ring, maka a-1F Sekarang karena S ideal dari F, maka berlaku

Jika aS, dan a-1F, maka 1=aa-1S Sehingga diperoleh bahwa 1S. Selanjutnya ambil xF sembarang, dan karena S ideal dari F, maka berlaku atau xS karena 1S, dan xF, maka 1xS, dan karena xF diambil sembarang, mengakibatkan xS, maka FS, tetapi karena S ideal dari F, maka kita punya juga relasi SF. Dengan

Drs. Rusli, M.Si. 24

demikian kita simpulkan bahwa S=F. Jadi setiap ideal tak nol dari F

merupakan ideal yang sama dengan F, dengan kata lain bahwa ideal dari F

hanya {0} dan F sendiri. Karenanya suatu lapangan tidak mempunyai ideal

sejati.

Lemma 2.2.5

Jika R ring komutatif dan aR, maka Ra={ra|rR} merupakan ideal dari R. Bukti

Ambil x,y sembarang dua unsur di Ra, maka x=r1a dan y=r2a, untuk suatu

r1,r2 di R, maka x-y = r1a-r2a =( r1-r2)aRa. Dengan demikian Ra merupakan subgrup dari Ra terhadap operasi penjumlahan. Sekarang ambil rR dan r1aRa sembarang, maka r(r1a)= (rr1)aRa dan (r1a)r= (r1r)aRa. Karenanya Ra merupakan ideal dari R.

Lemma 2.2.6

Ring komutatif dengan unsur kesatuan yang tidak mempunyai ideal sejati

senantiasa merupakan lapangan.

Bukti

Misalkan R adalah ring komutaif dengan unsur kesatuan dan tidak

mempunyai ideal sejati. Dengan kata lain ideal dari R hanyalah {0} dan R

sendiri. Untuk menunjukkan bahwa R lapangan, akan ditunjukkan bahwa

untuk setiap unsur tak nol dari R, mempunyai invers di R.

Ambil sembarang aR dengan a0, definisikan himpunan Ra={ra|rR}, maka menurut lemma 2.2.5, Ra merupakan ideal dari R. Karena 1R, maka a=1aRa, dan karena a0, maka Ra merupakan ideal dari R yang tak nol. Berdasarkan hipotesis bahwa R tidak mempunyai ideal sejati dan Ra ideal

tak nol di R, maka haruslah R=Ra. Selanjutnya karena 1R dan Ra=R, maka

Teori Ring

25

mesti terdapat unusr bR sedemikian sehingga ba=1, tetapi karena R komutatif, maka ab=1. Jadi a-1=bR. Dengan demikian bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, senantiasa mempunyai invers atau dengan kata lain

bahwa R merupakan lapangan.

Lemma 2.2.7

Jika a unsur pada suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, maka

himpunan Ra={ra|rR} merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a.

Bukti

Telah ditunjukkan bahwa pada lemma 2.2.5 bahwa Ra merupakan ideal ,

juga karena R merupakan dengan unsur kesatuan maka a=1aRa. Jadi Ra merupakan ideal yang memuat unsur a. Selanjutnya untuk menunjukkan

bahwa Ra merupakan ideal utama, maka akan ditunjukkan bahwa Ra adalah

ideal terkecil dari R yang memuat a, dengan kata lain akan ditunjukkan

bahwa setiap ideal dari R yang memuat a, juga memuat Ra.

Misalkan S ideal dari R yang memuat a dan ra sembarang unsur dari

Ra, maka rR. Karena S ideal dari R yang memuat a, maka raS. jadi raRa, mengakibatkan raS, karena ra diambil sembarang di ra, maka berarti bahwa setiap unsur di Ra, juga merupakan unsur S, atau RaS. Akibatnya Ra termuat pada setiap ideal dari R yang memuat a, dengan

demikian Ra merupakan ideal terkecil yang memuat a. Dengan kata lain Ra

merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a.

Lemma 2.2.8

Ring bilangan bulat Z merupakan ring ideal utama

Bukti

Karena ring bilangan bulat ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa

unsur pembagi nol, sehingga untuk menujukkan bahwa Z merupakan ring

Drs. Rusli, M.Si. 26

ideal utama, cukup ditunjukkan bahwa setiap ideal dari Z merupakan ideal

utama.

Misalkan S sembarang ideal dari Z. Jika s={0}, maka jelas S merupakan

ideal utama. Sekarang misalkan S{0}, maka S senantiasa mempunyai unsur paling sedikit satu yang tak nol, sebut 0aS. Selanjutnya, karena S ideal maka S merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan, dengan

demikian jika aS, maka -aS, sehingga S memiliki paling sedikit satu unsur positif.

Sekarang, misalkan s unsur positif yang terkecil dalam S. Claim bahwa S

merupakan ideal utama yang dibangun oleh s. Sebagaimana telah

ditunjukkan bahwa himpunan yang berbentuk Zs={as|aZ} adalah ideal utama yang dibangun oleh s. Sehingga kita akan tunjukkan bahwa Zs=S.

Ambil as sembarang unsur dari Zs, maka aZ, dan karena S ideal dari Z, maka asS. jadi kita punya bahwa jika asZs, maka asS. Ini berarti bahwa ZsS (1) Sekarang ambil n sembarang unsur di S, maka menurut algoritma pembagian

yang dikenakan pada n dan s, terdapat bilangan bulat q dan r sedemikian

sehingga

n=qs+r, dengan 0 r < s karena sS, dan qZ, maka qsS, juga karena nS, maka r=n-qsS (S subgrup dari Z), sehingga rS. Tetapi karena 0 r < s dan s unsur positif terkecil dari S, maka haruslah r=0, karenanya n=qsZs (karena qZ, maka qsZS). Jadi setiap unsur di S juga merupakan unsur di Zs, dengan demikian SZs (2) Dari (1) dan (2) kita punya

S=Zs

Teori Ring

27

Tetapi karena Zs merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, maka S juga

merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, dan karena S diambil

sembarang ideal dari Z, maka setiap ideal dari Z, merupaka ideal utama.

Dengan kata lain bahwa Z merupakan ring ideal utama.

Lemma 2.2.9

Irisan sembarang dua ideal pada suatu ring R, senantiasa merupakan ideal

pada ring R.

Bukti

Misalkan U1 dan U2 sembarang dua ideal dari ring R, maka U1 dan U2

merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan dua

subgrup dari R juga merupakan subgrup dari R, maka U1U2 subgrup dari R. Sekarang ambil sembarang aU1U2 dan rR, maka aU1 dan aU2. Sehingga arU1, raU1 dan arU2, raU2, maka arU1U2 dan raU1U2. Ini menunjukkan bahwa U1U2 merupakan ideal dari R.

Lemma 2.2.10

Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan koleksi

semua ideal pada R yang memuat M adalah ideal terkecil yang memuat M.

Bukti

Misalkan {S | } koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka setaip S merupakan subgrup dari R (terhadap operasi penjumlahan) yang memuat M. Karena irisan semua subgrup dari R yang memuat M adalah

subgrup terkecil yang memuat M, maka {S|} adalah subgrup terkecil yang memuat M. Sekarang ambil a{{S|}} sembarang dan rR sembarang, maka aS, untuk setiap . Sehingga ar dan ra unsur di S, untuk setiap (Mengapa), akibatnya ar{{S|}} dan

Drs. Rusli, M.Si. 28

ra{{S|}}. Dengan ini maka {S|} adalah ideal terkecil yang memuat M dan sering dikatakan ideal yang dibangun oleh M dan ditulis (M).

3.3 Ring Faktor Misalkan bahwa U adalah ideal (kiri dan kanan) dari ring R. Kita

mengkonstruksi suatu himpunan baru yaitu R/U yaitu himpunan yang unsur-

unsurnya adalah semua koset-koset yang berbeda dari U dalam R. Karena U

adalah ideal dari R, maka menurut definisi ideal, U merupakan subgrup dari

R terhadap operasi penjumlahan, dan karena R merupakan grup komutatif

terhadap operasi penjumlahan, maka koset kiri dari U dalam R juga

merupakan koset kanan dari U dalam R, sehingga kita lebih senang

menyebut kata koset. Karena R/U memuat semua koset-koset dari U dalam

R, maka R/U merupakan himpunan yang unsur-unsurnya berbentuk U+a,

dengan a sembarang unsur dari ring R. lebih dari itu R/U juga merupakan

grup terhadap operasi penjumlahan. Himpunan R/U ternyata merupakan

suatu ring (ditunjukkan pada sifat berikut), ring yang demikian disebut

dengan ring faktor (Ring Quoti en).

Lemma 3.3.1

Misalkan U ideal (ideal kiri dan kanan) dari ring R, maka himpunan R/U

yaitu himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua koset-koset dari U+a, a

sembarang unsur dari ring R. Dengan operasi

(U+a)+(U+b)=U+(a+b)

(U+a)(U+b)=U+ab

maka R/U merupakan ring.

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi yang didefinisikan di atas

terdefinisi dengan baik. Misalkan

Teori Ring

29

S+a = S+a dan S+b = S+b Sehingga aS+a dan bS+b, karenanya terdapat dan di S sedemikian sehingga

a=+a dan b=+b akibatnya,

a+b=(+a)+(+b)=(a+b)+(+) sehingga (a+b)-(a+b)=(+)S (karena S subgrup) karenanya S+(a+b)=S+(a+b) atau (S+a)+(S+b)=(S+a)+(S+b), sehingga penjumlahan dalam R/S terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan

ditunjukkan bahwa operasi perkalian di R/S terdefinisi dengan baik.

Yaitu akan ditunjukkan, jika U+a=U+a dan U+b=S+b; maka dengan operasi perkalian (U+a)(U+b)=(U+a)(U+b). Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ab+U=ab+U. Karena U+a=U+a dan U+b=S+b, maka a=a+u1, dimana u1U, dengan cara sama b=b+u2, dimana u2U. Jadi ab=(a+u1)(b+u2)=ab+u1b+au2+u1u2; karena U ideal dari R, maka u1bU, au2U, u1u2U. Akibatnya u3=u1b+au2+u1u2U, sehingga ab= ab+u3. Akibatnya ab+U= ab+u3+U=ab+U (karena u3U, maka u3+U=U). Selanjutnya dengan kedua operasi tersebut di R/S memenuhi sifat.

(i) Penjumlahan assosiatif di R/S, Ambil (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang

tiga unsur di R/S, maka

{(S+a)+(S+b)}+(S+c) ={S+(a+b)}+(S+c)

=S+{(a+b)+c}

=S+{a+(b+c)}[penjumlahan assosiatif di R]

=(S+a)+{S+(a+b)}

=(S+a)+{(S+b)+(S+c)}.

(ii) Identitas penjumlahan ada di R/S, yaitu koset (S+0), sebab jika diambil

(S+a) sembarang unsur di R/S, maka

Drs. Rusli, M.Si. 30

(S+a) +(S+0)=(S+(a+0)=S+a

dan (S+0)+(S+a)=S+(0+a)=S+a.

(iii) Setiap Koset di R/S mempunyai invers penjumlahan di R/S. Sebab Jika

diambil sembarang koset (S+a) di R/S, maka dapat dipilih (S+(-a)) juga

unsur di R/S (kenapa?) sedemikian sehingga

(S+a)+(S+(-a))=(S+0)=(S+(-a))+(S+a)

Karenanya setiap unsur (S+a) di R/S mempunyai invers penjumlahan di

R/S

(iv) dengan operasi penjumlahan komutatif di R/S, sebab jika diambil dua

unsur sembarang (S+a) dan (S+b) di R/S, maka

(S+a)+(S+b)=S+(a+b)=(S+b+a)=(S+b)+(S+a)

(v) operasi perkalian assosiatif di R/S, sebab jika (S+a), (S+b), dan (S+c)

sembarang tiga unsur di R/S, maka

{(S+a)(S+b)}(S+c)=(S+(ab)(S+c)

=S+(ab)c)

=S+a(bc)

=(S+a)(S+bc)

=(S+a){(S+b)(S+c)}

(vi) operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan di R/S, sebab

jika diambil (S+a), (S+b), dan (S +c) sembarang tiga unsur di R/S, maka

(S+a){(S+b)+(S+c)}=(S+a)(S+b+c)

=(S+a(b+c))

=(S+ab+ac)

=(S+ab)+(S+ac)

=(S+a)(S+b)+(S+a)(S+c)

Dengan cara sama {(S+a)+(S+b)}(S+c)= (S+a)(S+c)+(S+b)(S+c)

Dengan demikian R/U adalah ring, dan disebut dengan ring faktor(Quotien

ring), atau ring kelas residu, atau ring differens.

Teori Ring

31

Catatan

(i) Jika R komutatif, maka R/S juga komutatif, sebab jika (S+a) dan (S+b)

dua unsur sembarang di R/S, maka

(S+a)(S+b)=(S+ab)=(S+ba)=(S+b)(S+a)

(ii) Jika R ring dengan unsur kesatuan, maka R/S juga merupakan ring

dengan unsur kesatuan, dengan unsur kesatuan (S+1), sebab jika jika

diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka

(S+a)(S+1)=(S+a+1)=(S+a)

dan (S+1)(S+a)=(S+1+a)=(S+a)

Lemma 3.3.2

Misalkan S suatu ideal pada ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah

maksimal jika dan hanya jika ring R/S adalah lapangan.

Bukti

Karena R ring komutatif dengan unsur kesatuan. Maka ring faktor R/S

merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dan unsur identitas

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah (S+0) dan

(S+1), dengan 0 dan 1 berturut-turut merupakan unsur nol dan unsur

kesatuan pada R. Selanjutnya misalkan S adalah ideal maksimal, akan

ditunjukkan bahwa R/S adalah lapangan. Dengan kata lain akan ditunjukkan

bahwa setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi

perkalian. Ambil S+a R/S sembarang unsur tak nol di R/S, maka S+aS+0, karenanya aS [karena S+a=S+0aS]. Selanjutnya misalkan T ideal utama yang dibangun oleh a, sebut

T={a:R} Karena jumlah dua ideal dari R, juga merupakan ideal dari R, maka S+T

ideal dari R yang memuat S. Sekarang, karena aS dan a=0+1aS+T dan karena S ideal maksimal di R, maka haruslah S+T=R. Sekarang karena 1R,

Drs. Rusli, M.Si. 32

kita punya 1=b+a, untuk suatu bS dan R [karena R=S+T], sehingga 1-a=bS. Akibatnya

S+1=S+a Atau S+1=(S+a)(S+), dengan R. Dengan cara sama, (S+1)=(S+)(S+a) Dengan demikian (S+a)-1=(S+)R/S. Sehingga untuk setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Karenanya R/S

lapangan.

Sebaliknya, misalkan S ideal dari R sedemikian sehingga R/S lapangan.

Akan ditunjukkan bahwa S ideal maksimal dari R. Misalkan T ideal di R

yang memuat S, maka setiap unsur-unsur di R yang termuat di S juga termuat

di T. Sehingga akan ditunjukkan bahwa R=T, yaitu cukup ditunjukkan bahwa

setiap unsur dari R yang tak termuat di S termuat di T. Misalkan aS, maka S+aS+0, dengan kata lain S+a bukan unsur nol di R/S. Karena T memuat S, maka terdapat unsur bT, sedemikian sehingga bS, akibatnya S+b bukan unsur nol di R/S. Sekarang R/S lapangan, sehingga bila (S+a)R/S, dan (S+b)R/S, maka S+(ab-1)=(S+a)(S+b-1)=(S+a)(S+b)-1R/S Sehingga ab-1R, dan karena T ideal dari T, serta bT, maka a=ab-1bT. Jadi setiap unsur R yang tidak termuat di S, termuat di T, dengan demikian

RT, tetapi karena TR, maka R=T. Hal ini menunjukkan bahwa S ideal maksimal di R.

Soal-Soal

1. Jika U ideal dari R dan 1U, buktikan bahwa U=R. 2. Jika F lapangan, buktikan ideal dari F hanya (0) dan F sendiri.

Teori Ring

33

3. Jika R ring komutatif dan aR, (a) tunjukkan bahwa aR = {ar|rR} merupakan ideal dari R. (b) Tunjukkan dengan contoh, bahwa sifat (a) tidak benar bila R tidak

komutatif.

4. Jika U dan V ideal-ideal dari R, misalkan U+V={u+v | uU, vV}. Buktikan bahwa U+V juga merupakan ideal dari R.

5. Jika U dan V ideal-ideal dari R. Misalkan UV adalah himpunan semua

unsure yang berbentuk uv, dengan uU dan vV, yang jumlahnya hingga. Buktikan bahwa UV merupakan ideal dari R.

6. Dalam soal 5. Buktikan bahwa UVUV. 7. Jika R ring bilangan bulat dan U ideal kelipatan 17. Buktikan bahwa jika

V ideal dari R dan RVU, maka V=R atau V=U. 8. Jika U ideal dari R, misalkan r(U)={xR | xu=0, uU}. Buktikan

bahwa r(U) merupakan ideal dari R.

9. Jika U merupakan ideal dari R, misalkan [R:U]={xR|rxU,rR}. Buktikan bahwa [R:U] ideal dari R dan memuat U.

10. Misalkan R ring dengan unsur kesatuan. Dengan unsur-unsur pada R,

kita akan mendefinisikan ring R, dengan operasi a b = a + b + 1 dan ab=ab+a+b, dengan a, b, R. (a) Tunjukkan bahwa R merupakan ring terhadap operasi dan (b) Sebutkan unsur yang merupakan unsur nol di R (c) Sebutkan unsur yang merupakan unsur kesatuan di R. (d) Buaktikan bahwa R isomorfik dengan R.

11. Untuk aR, misalkan Ra={xa|xR}. Buktikan bahwa Ra adalah ideal kiri.

12. Buktikan bahwa irisan dua ideal kiri dari R juga merupakan ideal kiri

dari R.

Drs. Rusli, M.Si. 34

13. Apakah yang anda dapat katakan mengenai irisan ideal kiri dengan ideal

kanan dari R?

14. Jika R ring dan aR, misalkan r(a)={xR|ax=0}. Buktikan bahwa r(a) merupakan ideal kanan dari R.

15. Jika R suatu ring dan L suatu ideal kiri dari R, misalkan

(L)={xR|xa=0,aL}. Buktikan bahwa (L) merupakan ideal dari R. 16. Jika R ring dengan unsur kesatuan dan suatu homomorfisma dari R

pada R. Buktikan bahwa (1) merupakan unsur kesatuan pada R. 17. Jika R suatu ring dengan unsur kesatuan 1 dan suatu homomorfisma

dari R ke daerah integral R sedemikian sehingga I()R, buktikan bahwa (1) unsur kesatuan dari R (I() adalah kernel/inti pemetaan ).