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8/18/2019 Teoria Basica II Mat. III
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MATEMATICAS III SEMIPRESENCIAL I
INSTRUCTOR: Ing. DIEVER ARTURO ARCOS
TEMA: LÍMITES DE UNA FUNCIÓNDEFINICIÓN
El concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que el una
sucesión o una función tiene un límite sise puede acercar a un cierto número, que se llama el límite
tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y
matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.
Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y)
cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes
cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un
número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que,
para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| < δ , se cumple
que |f(x) − L| < ε.
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También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su
radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro
del entorno de L, Eε(L).
Ejemplos:
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas,
etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
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No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por
tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.
Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al
dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como
queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes
trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
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Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
Límites laterales
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por
la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x
(a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por
la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x
(a, a + δ), , entonces |f (x) - L|
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En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la
derecha cuando x tiende a 2 es 4 .
El l ímite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa loque sucede en dicho punto sino a su alrededor.
2.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x =
0.
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Límite infinito
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se
verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.
Ejemplo
Límite menos infinito
Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se
verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.
Ejemplo
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Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.
Operaciones con infinito
Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente
un recurso para ayudarnos a resolver límites.
Debemos tener claro que infinito no es un número.
No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
La regla de los signos y que a-n
= 1/an
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
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Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero
ero partido por un número
Un número partido por cero
Un número partido por infinito
Infinito partido por un número
ero partido por infinito
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Infinito partido por cero
ero partido por cero
Infinito partido por infinito
Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero
ero elevado a cero
Infinito elevado a cero
ero elevado a un número
Un número elevado a infinito
ero elevado a infinito
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Infinito elevado a infinito
Uno elevado a infinito
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor
grado sea positivo o negativo.
Ejemplos
1.
2.
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces:
.
Ejemplo
álculo de límites cuando x → −∞
Ejemplos
1.
2.
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3.
4.
No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.
Propiedades de los límites
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz
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Límite de un logaritmo
Límite de la función exponencial
Caso 1: Si a > 0
Caso 2: Si 0 < a < 1
http://www.vitutor.com/fun/3/a_10.html#loghttp://www.vitutor.com/fun/3/a_10.html#log
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Ejemplos
1.
2.
3.
4.
Límite de la función logarítmica
Caso 1: Si a > 0
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Caso 2: Si 0 < a < 1
Ejempolo
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Indeterminaciones
Una indeterminación no significa que el l ímite no exista o no se pueda
determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como
las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada
una de las indeterminaciones.
Tipos de indeterminación
1 Infinito partido por infinito
2 Infinito menos infinito
3 Cero partido por cero
4 Cero por infinito
5 Cero elevado a cero
http://www.vitutor.com/fun/3/a_14.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_17.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_17.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_14.html
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6 Infinito elevado a cero
7 Uno elevado a infinito
Límite de un número partido por cero
El límite puede ser +∞, −∞ o no tener límite.
Ejemplos
Calcular el l ímite:
1.
Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la iz quierda como −1,1;
tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por
la izquierda será: +∞.
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El
numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el l ímite por la
derecha será: −∞.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite
cuando x → −1.
http://www.vitutor.com/fun/3/a_18.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_18.html
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2.
3.
Indeterminación infinito menos infinito
Para resolver la indeterminación ∞ − ∞ tenemos varios métodos:
1 Por comparación de infinitos
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2 Con funciones racionales
Ponemos a común denominador.
3 Con funciones irracionales
Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.
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Indeterminación cero partido cero
Vamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos:
Caso 1 Función racional
Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.
Ejemplos
1.
El límite es 0.
2.
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Tomamos límites laterales:
No tiene límite en x = −1
Caso 2 Función con radicales
En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión
irracional.
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.
BIBLIOGRAFIA
LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003.
STEWART, James. Cálculo diferencial e integral . Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 2007.