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TEORIA CINETICA DEI GAS
Assunzioni fondamentali:• Le molecole seguono le leggi della meccanica• Le proprietà osservabile della materia sono medie fatte su un grande numero di molecole e su tempi e spazi grandi
TEORIA CINETICA DEI GAS
Potremmo chiederci:• quante molecole sono un “grande numero”?• quale tempo è “grande”?• quale spazio è “grande”?
TEORIA CINETICA DEI GAS
Le scale di tempo, spazio, numero di molecole sono date da:
Per i tempi: tempo medio tra due collisioni successive di una molecola
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Per gli spazi: libero cammino medio, cioè distanza percorsa da una molecola tra due urti
Per il numero di molecole: il numero di Avogadro
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Alcuni tra i fondatori della teoria cinetica
MAXWELLBOLTZMANN
GIBBS
TEORIA CINETICA DEI GAS
In un gas in condizioni normali il libero cammino medio è di circa un millesimo di millimetro, mentre il tempo medio tra due collisioni è meno di un millesimo di secondo
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Nella teoria cinetica dei gas si suppone che le molecole interagiscano debolmente tranne quando sono a contatto tra loro o con le pareti, nel qual caso rimbalzano elasticamente
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Nel modello del gas ideale le molecole non interagiscono affatto, se non a contatto: sono trattate esattamente come palle da bigliardo
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Nel rimbalzo sono rispettate le leggi di conservazione dell’energia e della quantità di moto
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Quando un sfera rigida rimbalza contro una parete di massa infinitamente maggiore non cede energia, ma inverte la sua velocita’
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m·v
-m·v
La quantità di moto cambia da m·v a -m·v
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Ciò significa che la parete deve aver acquistato una quantità di moto doppia:
vmp 2
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Infatti la quantità di moto totale presente dopo il rimbalzo deve essere pari a quella iniziale:
vmvmvm )(2
ora
prima
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Per la seconda legge di Newton un corpo che riceve una quantità di moto Δp subisce una forza:
t
pF
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Quindi, ogni volta che una molecola urta contro una parete le trasmette una forza pari a:
t
vmF
2
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Per semplicità consideriamo questo modello: una scatola cubica di lato L e volume V=L3 in cui una sola molecola rimbalza elasticamente
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Dopo aver urtato contro una parete, per fare un altro urto con la stessa parete la molecola deve fare, in media, il giro della scatola
L
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Poiché questo giro è 6 volte lo spigolo, il tempo impiegato da un urto contro una medesima parete è:
L v
Lt6
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Quindi, combinando le due formule trovate:
Otteniamo:v
Lt6
t
vmF
2
L
mv
vLmv
F36
2 2
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Ricordando che la pressione è forza diviso superficie, e che in un cubo la superficie di una faccia è L2, calcoliamo:
3
2
2
2
33
L
vm
LLvm
S
FP
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Ma L3 non è altro che il volume, quindi:
Ovvero: V
vmP
3
2
2
3
1vmVP
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Il membro di sinistra comincia ad assomigliare…all’equazione di stato dei gasIl membro di destra, è i due terzi dell’energia cinetica, infatti:
221 vmE
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Possiamo quindi scrivere:
EVP3
2
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Questa però è la pressione dovuta a una sola molecola.Moltiplicando per il numero N di molecole otteniamo la pressione totale:
ENVP 3
2
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Ma le molecole non hanno tutte la stessa energia. Cos’è E?E’ l’energia cinetica media
ENVP 3
2
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Confrontiamola ora con l’equazione di stato dei gas
ENVP 3
2
TRnVP
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Uguagliando membro a membro:
Ovvero:
TRnEN 3
2
TN
RnE
2
3
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Ma il rapporto N/n è fisso: è il numero di Avogadro No
TN
RE
02
3
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Ed essendo R/No un rapporto tra due costanti universali è anch’esso una costante universale che prende il nome di costante di Boltzmann (k)
KJkN
R/1038,1 23
0
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Quindi, in definitiva:
Ovvero la temperatura kelvin è proporzionale all’energia cinetica media delle molecole
TkE 2
3
