TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA

TEORIA

DA

PARTILHA

EQUILIBRADA

TEORIA

DA

PARTILHA

EQUILIBRADA

TEORIA DA PARTILHA TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADAEQUILIBRADA

Caso ContínuoCaso Contínuo

Caso DiscretoCaso Discreto

Caso MistoCaso Misto

caso contínuocaso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que : aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.;dinheiro, etc.;

caso discretocaso discreto: aplica-se à divisão de objectos : aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente mais pequenas (ou não tão facilmente

divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados por por crianças, lugares num parlamento;crianças, lugares num parlamento;

caso mistocaso misto: aplica-se à divisão de : aplica-se à divisão de um um conjunto constituído por conjunto constituído por objectos dos objectos dos dois tipos acima dois tipos acima referidos, por exemplo, referidos, por exemplo, uma uma herança constituída por um carro e herança constituída por um carro e algum dinheiro .algum dinheiro .

caso contínuocaso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que : aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.;dinheiro, etc.;

caso discretocaso discreto: aplica-se à divisão de objectos : aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente mais pequenas (ou não tão facilmente

divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados por por crianças, lugares num parlamento;crianças, lugares num parlamento;

caso mistocaso misto: aplica-se à divisão de : aplica-se à divisão de um um conjunto constituído por conjunto constituído por objectos dos objectos dos dois tipos acima dois tipos acima referidos, por exemplo, referidos, por exemplo, uma uma herança constituída por um carro e herança constituída por um carro e algum dinheiro .algum dinheiro .

Caso ContínuoCaso Contínuo

Método do divisor-selector

Método do divisor-único

Método do selector-único

Método do último a diminuir

Método da faca deslizante

Método do divisor-selector

Método do divisor-único

Método do selector-único

Método do último a diminuir

Método da faca deslizante

Divisão JustaDivisão JustaDivisão JustaDivisão Justa

DIVISÃO JUSTADIVISÃO JUSTA

““Partilhar de forma justa um conjunto Partilhar de forma justa um conjunto SS de objectos por de objectos por

um conjunto de um conjunto de NN jogadores consiste em dividir jogadores consiste em dividir SS de forma a de forma a

que cada um dos que cada um dos NN jogadores receba uma parte justa, isto é, jogadores receba uma parte justa, isto é,

receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/NN do do

valor total de valor total de SS.”.”

““Partilhar de forma justa um conjunto Partilhar de forma justa um conjunto SS de objectos por de objectos por

um conjunto de um conjunto de NN jogadores consiste em dividir jogadores consiste em dividir SS de forma a de forma a

que cada um dos que cada um dos NN jogadores receba uma parte justa, isto é, jogadores receba uma parte justa, isto é,

receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/NN do do

valor total de valor total de SS.”.”

O processo é interno

Os jogadores devem agir de forma racional

Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores

O processo é interno

Os jogadores devem agir de forma racional

Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores

MÉTODO DO DIVISOR-SELECTOR

MÉTODO DO DIVISOR-SELECTOR

1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S

em duas partes;

2º Passo: O jogador P2 escolhe uma daspartes;

3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que

P2 não escolheu;

1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S

em duas partes;

2º Passo: O jogador P2 escolhe uma daspartes;

3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que

P2 não escolheu;

Exercício: Exercício:

O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e

chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango.vezes mais do que morango.

O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e

chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango.vezes mais do que morango.

?

Se o Nuno for o divisor, quais das seguintes divisões serão possíveis?

Se o Nuno for o divisor, quais das seguintes divisões serão possíveis?

1ªdivisão 2ªdivisão 3ªdivisão 4ªdivisão 5ªdivisão1ªdivisão 2ªdivisão 3ªdivisão 4ªdivisão 5ªdivisão

Visão do Visão do NunoNunoVisão do Visão do NunoNuno

Para cada uma das divisões, de acordo com o sistema de valores do Nuno, qual a melhor escolha para a Liliana?

Para cada uma das divisões, de acordo com o sistema de valores do Nuno, qual a melhor escolha para a Liliana?

Visão da Visão da LilianaLilianaVisão da Visão da LilianaLiliana

Note que… Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma;divisão não seria a mesma; Este método pode ainda funcionar para um nº de Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2.jogadores igual a uma potência de 2.

Note que… Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma;divisão não seria a mesma; Este método pode ainda funcionar para um nº de Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2.jogadores igual a uma potência de 2.

MÉTODO DO DIVISOR ÚNICOMÉTODO DO DIVISOR ÚNICO

Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto Sem três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores.

Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma.

Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos:

Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto Sem três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores.

Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma.

Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos:


CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma.

CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma.

PartesPartes

S1 S2 S3S1 S2 S3

P1P1

Jogadores Jogadores P2P2

P3P3

11 1 1 1 1

0 10 1 0 0

0 00 0 11

Notação:Notação:

1 – parte declarada1 – parte declarada

0 – parte não declarada0 – parte não declarada




11111111

11


CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada.

CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada.

PartesPartes

S1 S2 S1 S2 S3S3

P1P1


P3P3

1 1 11 1 1

1 0 11 0 1

1 0 01 0 0Notação:Notação:






11111111

11


CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada.

CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada.

PartesPartes

S1 S2 S1 S2 S3S3

P1P1


P3P3

1 1 1 1 11

1 0 1 0 00

1 0 1 0 00







Neste caso: Neste caso:

O divisor fica com um dos pedaços O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). (escolhido aleatoriamente).

Os restantes dois pedaços juntam-se Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-e aplica-se o método do Divisor-Selector.Selector.

Neste caso: Neste caso:

O divisor fica com um dos pedaços O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). (escolhido aleatoriamente).

Os restantes dois pedaços juntam-se Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-e aplica-se o método do Divisor-Selector.Selector.


MÉTODO DO SELECTOR ÚNICO

MÉTODO DO SELECTOR ÚNICO

Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas

partes justas usando o método do divisor-selector.

Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua

parte em três porções.

Selecção: O selector escolhe agora uma das trêsporções de cada um dos divisores para si, ficandocada divisor com o que restou das suas partes.

Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas

partes justas usando o método do divisor-selector.

Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua

parte em três porções.

Selecção: O selector escolhe agora uma das trêsporções de cada um dos divisores para si, ficandocada divisor com o que restou das suas partes.

EXEMPLO:

A mãe da Tânia, da Patrícia e do Carlos comprou-lhes um bolo de morango e laranja para o lanche. O bolo custou €12.

EXEMPLO:

A mãe da Tânia, da Patrícia e do Carlos comprou-lhes um bolo de morango e laranja para o lanche. O bolo custou €12.

Suponhamos que:

A Tânia e a Patrícia são os divisores e o Carlos é o selector.

Suponhamos que:

A Tânia e a Patrícia são os divisores e o Carlos é o selector.

1ª divisão:1ª divisão:

2ª divisão:2ª divisão:

Visão do Carlos Visão do Carlos

Selecção:Selecção:

O que é importante é o valor e não o O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a tamanho de cada parcela, para quem a recebe.recebe.

No final da divisão cada um deles No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso €4).caso €4).

O que é importante é o valor e não o O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a tamanho de cada parcela, para quem a recebe.recebe.

No final da divisão cada um deles No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso €4).caso €4).

Conclusões:Conclusões:

MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR


1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S queconsidera corresponder a ¼ de S.

2º Passo: De seguida o jogador P2 pode:

Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3.

Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1.

1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S queconsidera corresponder a ¼ de S.

2º Passo: De seguida o jogador P2 pode:

Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3.

Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1.



3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com aparcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2.

4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado

sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que

optar por diminui-la, saindo assim do jogo.

5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores.

3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com aparcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2.

4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado

sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que

optar por diminui-la, saindo assim do jogo.

5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores.

Exercício:Exercício:

Quatro estudantes (João, Tiago, Inês Quatro estudantes (João, Tiago, Inês e Maria), numa sessão contínua de e Maria), numa sessão contínua de estudo, decidem encomendar uma estudo, decidem encomendar uma pizza Marguerita e utilizar o método pizza Marguerita e utilizar o método do último a diminuir, que estão a do último a diminuir, que estão a estudar para a dividir.estudar para a dividir.

Quatro estudantes (João, Tiago, Inês Quatro estudantes (João, Tiago, Inês e Maria), numa sessão contínua de e Maria), numa sessão contínua de estudo, decidem encomendar uma estudo, decidem encomendar uma pizza Marguerita e utilizar o método pizza Marguerita e utilizar o método do último a diminuir, que estão a do último a diminuir, que estão a estudar para a dividir.estudar para a dividir.

Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês a Inês

diminuem...diminuem...

Quem fica com a primeira fatia? Quem fica com a primeira fatia?

Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem corta a fatia no início da 2ª volta?

Quem fica com a segunda fatia? Quem fica com a segunda fatia?

Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia?fatia?

Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês a Inês

diminuem...diminuem...

Quem fica com a primeira fatia? Quem fica com a primeira fatia?

Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem corta a fatia no início da 2ª volta?

Quem fica com a segunda fatia? Quem fica com a segunda fatia?

Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia?fatia?

MÉTODO DA FACA DESLIZANTE

MÉTODO DA FACA DESLIZANTE

1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo;

2º Passo: Um dos jogadores dirá “pára” a qualquer momento;

3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador;

1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo;

2º Passo: Um dos jogadores dirá “pára” a qualquer momento;

3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador;

Caso DiscretoCaso Discreto

Método das Licitações FechadasMétodo dos Marcadores

Método ConvencionalMétodo de HamiltonMétodo de JeffersonMétodo de AdamsMétodo de WebsterMétodo de Huntington-HillMétodo de Hondt

Método das Licitações FechadasMétodo dos Marcadores

Método ConvencionalMétodo de HamiltonMétodo de JeffersonMétodo de AdamsMétodo de WebsterMétodo de Huntington-HillMétodo de Hondt

Divisão JustaDivisão JustaDivisão JustaDivisão Justa

Divisão Divisão ProporcionalProporcionalDivisão Divisão ProporcionalProporcional

DIVISÃO JUSTADIVISÃO JUSTA

objectos diferentesobjectos diferentes jogadores idênticosjogadores idênticos objectos diferentesobjectos diferentes jogadores idênticosjogadores idênticos

Método das Licitações Fechadas


Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças.

Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro.

Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças.

Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro.

Processa-se em 4 fases:

● Licitação● Distribuição ● Pagamento ● Excesso

Processa-se em 4 fases:

● Licitação● Distribuição ● Pagamento ● Excesso



Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições:

● cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados);

● cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações;

● cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto.

Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições:

● cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados);

● cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações;

● cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto.



EXEMPLO:

Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se “obrigados” a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água.

EXEMPLO:

Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se “obrigados” a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água.



Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas.

Vejamos como se processam as fases de:

Licitação Distribuição Pagamento Excesso

Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas.

Vejamos como se processam as fases de:

Licitação Distribuição Pagamento Excesso



Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores:

Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores:

Licitação:Licitação:

€ 8 000€ 10 000 € 13 000 € 11 000

€ 3 000 € 6 000€ 5 000 € 4 000

€ 180 000€ 160 000€ 140 000 € 120 000

LUÍSRITAPEDROANA

LUÍS LUÍS

Distribuição:Distribuição:

Surgem então as seguintes questões:Surgem então as seguintes questões:

-- O que recebe afinal a Ana? O que recebe afinal a Ana? -- Não está a ser prejudicada? Não está a ser prejudicada?

É o que vamos responder de seguida!É o que vamos responder de seguida!

Surgem então as seguintes questões:Surgem então as seguintes questões:

-- O que recebe afinal a Ana? O que recebe afinal a Ana? -- Não está a ser prejudicada? Não está a ser prejudicada?

É o que vamos responder de seguida!É o que vamos responder de seguida!

RITARITA PEDROPEDRO ANAANA

Qual a parte justa dos bens relativamente a cada herdeiro?Qual a parte justa dos bens relativamente a cada herdeiro?

Pagamento:Pagamento:

ANA PEDRO RITA LUÍS

€ 120 000 € 140 000 € 160 000 € 180 000

€ 4 000 € 5 000 € 6 000 € 3 000

€ 11 000 € 13 000 € 10 000 € 8 000

Soma das licitações

€ 135 000 € 158 000 € 176 000 € 191 000

Parte justa

€ 33 750 € 39 500 € 44 000 € 47 750

Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (“banca”).

Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da “banca” consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido.

Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela “banca”, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança.

Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (“banca”).

Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da “banca” consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido.

Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela “banca”, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança.


Vejamos o que acontecerá a cada um dos herdeiros neste exemplo concreto:Vejamos o que acontecerá a cada um dos herdeiros neste exemplo concreto:


LUÍSLUÍS € € 180 000180 000 - - € 47 750€ 47 750 = € 132 = € 132 250250

LUÍSLUÍS € € 180 000180 000 - - € 47 750€ 47 750 = € 132 = € 132 250250

ANAANA € 33 750€ 33 750ANAANA € 33 750€ 33 750

RITARITA € 44 000€ 44 000 - - € 6 000€ 6 000 = € 38 000 = € 38 000RITARITA € 44 000€ 44 000 - - € 6 000€ 6 000 = € 38 000 = € 38 000

PEDROPEDRO € 39 500€ 39 500 - - € 13 000€ 13 000 = € 26 = € 26 500500 PEDROPEDRO € 39 500€ 39 500 - - € 13 000€ 13 000 = € 26 = € 26 500500

RecebeReceberr

RecebeReceberr

RecebeReceberr

RecebeReceberr

RecebeReceberr

RecebeReceberr

PagarPagarPagarPagar

Feitas as operações bancárias temos: € 132 250 - € 38 000 - € 26 500 - € 33 750 = € 34 000

Sobram assim na conta criada em nome da herança € 34 000.

Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros.

Cabe assim a cada um € 8 500 (€ 34 000 / 4 = € 8 500)

Feitas as operações bancárias temos: € 132 250 - € 38 000 - € 26 500 - € 33 750 = € 34 000

Sobram assim na conta criada em nome da herança € 34 000.

Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros.

Cabe assim a cada um € 8 500 (€ 34 000 / 4 = € 8 500)

Excesso:Excesso:

Temos assim:Temos assim:

Excesso:Excesso:

PEDROPEDRO € 26 500 € 26 500 + € 8 500+ € 8 500 = € 35 000 = € 35 000 PEDROPEDRO € 26 500 € 26 500 + € 8 500+ € 8 500 = € 35 000 = € 35 000

LUÍS LUÍS € 132 250 € 132 250 - € 8 500- € 8 500 = € = €

123 750123 750 LUÍS LUÍS € 132 250 € 132 250 - € 8 500- € 8 500 = € = €

123 750123 750

RITARITA € 38 000 € 38 000 + € 8 500+ € 8 500 = € 46 500 = € 46 500RITARITA € 38 000 € 38 000 + € 8 500+ € 8 500 = € 46 500 = € 46 500

ANAANA € 33 750 € 33 750 + € 8 500+ € 8 500 = € 42 = € 42 250250ANAANA € 33 750 € 33 750 + € 8 500+ € 8 500 = € 42 = € 42 250250

PagouPagouPagouPagou

RecebeuRecebeuRecebeuRecebeu



Globalmente temos:Globalmente temos:

--€ € 123 123 750750

--€ € 123 123 750750

++€ € 46 50046 500

++€ € 46 50046 500

++€ € 35 00035 000

++€ € 35 00035 000

€ € 42 25042 250€ € 42 25042 250

LUISLUISLUISLUIS RITARITARITARITA PEDRPEDROOPEDRPEDROO

ANAANAANAANA

Relativamente à sua própria avaliação:


LUÍS LUÍS € 180 000€ 180 000 - € 123 750 = € 56 250 - € 123 750 = € 56 250 LUÍS LUÍS € 180 000€ 180 000 - € 123 750 = € 56 250 - € 123 750 = € 56 250

RITA RITA € 6 000€ 6 000 + € 46 500 = € 52 500 + € 46 500 = € 52 500 RITA RITA € 6 000€ 6 000 + € 46 500 = € 52 500 + € 46 500 = € 52 500

PEDROPEDRO € 13 000€ 13 000 + € 35 000 = € 48 000 + € 35 000 = € 48 000 PEDROPEDRO € 13 000€ 13 000 + € 35 000 = € 48 000 + € 35 000 = € 48 000

ANAANA € 42 250€ 42 250ANAANA € 42 250€ 42 250RecebeRecebeRecebeRecebe

RecebeRecebeRecebeRecebe



Isto mostra que:Isto mostra que:

Todos acabam por receber mais Todos acabam por receber mais € 8 € 8 500500 do que aquilo que consideravam do que aquilo que consideravam justo!justo!

Nenhum dos herdeiros tem assim Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado!motivo para se considerar injustiçado!

Isto mostra que:Isto mostra que:

Todos acabam por receber mais Todos acabam por receber mais € 8 € 8 500500 do que aquilo que consideravam do que aquilo que consideravam justo!justo!

Nenhum dos herdeiros tem assim Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado!motivo para se considerar injustiçado!



Método dos Marcadores Método dos Marcadores

Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em:

alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Array’s);

de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas.

Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em:

alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Array’s);

de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas.

EXEMPLO:EXEMPLO:

Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país.caridade de cada país.

A Federação Portuguesa de Futebol A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições:seguintes instituições:

- - Casa do GaiatoCasa do Gaiato- - Santa Casa da MisericórdiaSanta Casa da Misericórdia - - APPACDMAPPACDM

EXEMPLO:EXEMPLO:

Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país.caridade de cada país.

A Federação Portuguesa de Futebol A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições:seguintes instituições:

- - Casa do GaiatoCasa do Gaiato- - Santa Casa da MisericórdiaSanta Casa da Misericórdia - - APPACDMAPPACDM


A Portugal couberam os seguintes equipamentos :A Portugal couberam os seguintes equipamentos :


2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul 2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul

2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky 2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky

1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C. 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C.

RonaldoRonaldo 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C. 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C.

RonaldoRonaldo

3 equipamentos do Figo 3 equipamentos do Figo 1 equipamento do R. 1 equipamento do R.

CarvalhoCarvalho 3 equipamentos do Figo 3 equipamentos do Figo 1 equipamento do R. 1 equipamento do R.

CarvalhoCarvalho

Aleatoriamente, colocam-se os equipamentos por ordem e numeram-se como se indica a seguir:

Aleatoriamente, colocam-se os equipamentos por ordem e numeram-se como se indica a seguir:


12654321 1110987

Seguidamente, os representantes de cada Seguidamente, os representantes de cada instituição marcam em anonimato (por exemplo instituição marcam em anonimato (por exemplo num papel) os segmentos da sequência que num papel) os segmentos da sequência que consideram como partes justas.consideram como partes justas.

Seguidamente, os representantes de cada Seguidamente, os representantes de cada instituição marcam em anonimato (por exemplo instituição marcam em anonimato (por exemplo num papel) os segmentos da sequência que num papel) os segmentos da sequência que consideram como partes justas.consideram como partes justas.


Obtemos a seguinte divisão:Obtemos a seguinte divisão:Obtemos a seguinte divisão:Obtemos a seguinte divisão:

12654321 1110987

C1 C2 A1

A2

S1 S2

Notar que: Notar que: - - C1C1 e e C2C2 dizem respeito à dizem respeito à Casa do GaiatoCasa do Gaiato;;- - S1S1 e e S2S2 dizem respeito à dizem respeito à Santa Casa da Santa Casa da

MisericórdiaMisericórdia;;- - A1A1 e e A2A2 dizem respeito à dizem respeito à APPACDMAPPACDM..

Notar que: Notar que: - - C1C1 e e C2C2 dizem respeito à dizem respeito à Casa do GaiatoCasa do Gaiato;;- - S1S1 e e S2S2 dizem respeito à dizem respeito à Santa Casa da Santa Casa da

MisericórdiaMisericórdia;;- - A1A1 e e A2A2 dizem respeito à dizem respeito à APPACDMAPPACDM..

De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição.

Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores.

Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1).

De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição.

Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores.

Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1).


Casa do Gaiato:Casa do Gaiato: 1

A Casa do Gaiato recebe uma parte justa dos equipamentos e os marcadores respeitantes a esta instituição são retirados.A Casa do Gaiato recebe uma parte justa dos equipamentos e os marcadores respeitantes a esta instituição são retirados.


12654321 1110987

A1

A2

S1 S2 C1 C2

Procura-se de seguida o primeiro do segundo conjunto de marcadores. Uma vez que encontramos dois (A2 e S2) na mesma posição, qual deles devemos escolher? Vamos tirar à sorte com, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Suponhamos que coube à Santa Casa da Misericórdia. Atribui-se a esta instituição o segundo segmento (4-9) que vai do seu primeiro marcador (S1) até ao segundo (S2).

Procura-se de seguida o primeiro do segundo conjunto de marcadores. Uma vez que encontramos dois (A2 e S2) na mesma posição, qual deles devemos escolher? Vamos tirar à sorte com, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Suponhamos que coube à Santa Casa da Misericórdia. Atribui-se a esta instituição o segundo segmento (4-9) que vai do seu primeiro marcador (S1) até ao segundo (S2).


Santa Casa da Misericórdia:Santa Casa da Misericórdia: 654 987

É a altura de retirar os marcadores respeitantes à Santa Casa

da Misericórdia. É a altura de retirar os marcadores respeitantes à Santa Casa

da Misericórdia.


12654321 1110987

A1 A2

É então trivial que o único segmento que resta para a APPACDM seja o 10-12.É então trivial que o único segmento que resta para a APPACDM seja o 10-12.

S1

S2


APPACDM:APPACDM: 121110

Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:

12654321 1110987

O número de equipamentos que resta é demasiado O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método.pequeno para aplicar novamente o método.

É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: seguinte: Casa do Gaiato Casa do Gaiato – – Santa Casa da Misericórdia Santa Casa da Misericórdia – – APPACDMAPPACDM..

O representante da Casa do Gaiato escolhe o O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM.equipamento para distribuir pela APPACDM.

O número de equipamentos que resta é demasiado O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método.pequeno para aplicar novamente o método.

É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: seguinte: Casa do Gaiato Casa do Gaiato – – Santa Casa da Misericórdia Santa Casa da Misericórdia – – APPACDMAPPACDM..

O representante da Casa do Gaiato escolhe o O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM.equipamento para distribuir pela APPACDM.


Temos assim a seguinte distribuição final:Temos assim a seguinte distribuição final:


Casa do Gaiato :Casa do Gaiato :

12654321 1110987

Santa Casa da Misericórdia:Santa Casa da Misericórdia:

12654321 1110987


APPACDM:APPACDM:

12654321 1110987

Após a exposição do método, podemos verificar algumas vantagens e desvantagens deste, que passamos a referir:Após a exposição do método, podemos verificar algumas vantagens e desvantagens deste, que passamos a referir:


Vantagens:Vantagens:

- - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);

Desvantagens:Desvantagens:

-- não é eficaz se o número de indivíduos for superior não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao ao número de número de objectos a distribuir (ao contrário do método objectos a distribuir (ao contrário do método anterior);anterior);

-- só é justo em condições restritas, isto é, quando os só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos aobjectos a

dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo

um um conjunto de rebuçados e um barco).conjunto de rebuçados e um barco).

Vantagens:Vantagens:

- - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);não requer dinheiro (ao contrário do método anterior);

Desvantagens:Desvantagens:

-- não é eficaz se o número de indivíduos for superior não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao ao número de número de objectos a distribuir (ao contrário do método objectos a distribuir (ao contrário do método anterior);anterior);

-- só é justo em condições restritas, isto é, quando os só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos aobjectos a

dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo

um um conjunto de rebuçados e um barco).conjunto de rebuçados e um barco).

DIVISÃO PROPORCIONAL

objectos iguais jogadores sujeitos a diferentes partes

Caso discreto: lugares no parlamentoCaso discreto: lugares no parlamento

• Como se distribuem os 230 lugares da Assembleia da República?

• Como se processa a transformação de votantes/votos em mandatos?

• Se o método fosse outro, a distribuição de deputados por círculo/partido eleitoral seria diferente?

• Qual o melhor método eleitoral?

“Este é um dos poucos assuntos em que a História, a Política e a Matemática se ligam.”

Peter Tannenbaum in EXCURSONS IN MODERN MATHEMATICS

A Constituição dos E.U.A. estabeleceque a legislatura é formada por duas Câmaras:

a Câmara dos Representantes, onde cada estado tem um número de representantes que é função da sua população; o Senado, representado por dois senadores de cada estado.

(Secções 2 e 3 do artigo 1 da Constituição dos E.U.A.)

Filadélfia, 1787

O problema da secção 2

Censos eleitorais de 1790

População dos E.U.A.: 3615920População do estado Carolina do Norte: 353523Número de membros da Câmara dos Representantes: 105

Número de representantes de Carolina do Norte:

Não é um número natural3615920

353523 105 10.265

Como exemplo…

Mandatos a atribuir: 226Eleitores inscritos: 8687945Número de círculos: 20

01 Lisboa 1785480 11 Viana do Castelo 22857502 Porto 1430272 12 Madeira 22383403 Braga 674399 13 Vila Real 21805004 Setúbal 653797 14 Castelo Branco 18679505 Aveiro 582032 15 Açores 18664106 Santarém 385044 16 Guarda 16822007 Leiria 379862 17 Bragança 14803908 Coimbra 373642 18 Évora 14530609 Viseu 351016 19 Beja 13850710 Faro 320049 20 Portalegre 108385

Conceitos Básicos

n: número de círculosp: população total recenseadapi: população do círculo i, i=1,2,…,nm: número de mandatosai: número de mandatos atribuídos ao círculo i, i=1,2,…,n

Divisor eleitoral:

Quota do círculo i:pi

Dqi

pi

p= . m=

pm

D =

Quota mínima: [qi] Quota máxima: [qi] +1

MÉTODO ELEITORALDefine-se como o mecanismo matemático pelo qual se transformam votantes/votos em mandatos.

pi qi ai

p1 46,446 46

p2 37,206 37

p3 17,543 18

p4 17,007 17

p5 15,140 15

p6 10,016 10

p7 9,881 10

p8 9,720 10

p9 9,131 9

p10 8,325 8

pi qi ai

p11 5,946 6

p12 5,823 6

p13 5,672 6

p14 4,859 5

p15 4,855 5

p16 4,376 4

p17 3,851 4

p18 3,780 4

p19 3,603 4

p20 2,819 3

MÉTODO CONVENCIONAL

NÃO FUNCIONA

∑i=1

20

m =ai= 227

8687945

226D = = 38442.23

Método de Hamilton

Calcular o divisor eleitoral;

Para cada estado, calcular a quota;

Atribuir a cada estado a sua quota mínima;

Distribuir os lugares que sobram (um a um) pelos estados, por ordem decrescente das partes decimais das suas quotas.

8687945

226D = = 38442,23

pi qi

p1 46,446

p2 37,206

p3 17,543

p4 17,007

p5 15,140

p6 10,016

p7 9,881

p8 9,720

p9 9,131

p10 8,325

pi qi

p11 5,946

p12 5,823

p13 5,672

p14 4,859

p15 4,855

p16 4,376

p17 3,851

p18 3,780

p19 3,603

p20 2,819

[qi]

46

37

17

17

15

10

9

9

9

8

[qi]

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

qi-[qi]

0,446 0

0,206 0

0,543 0

0,007 0

0,140 0

0,016 0

0,881 1

0,720 1

0,131 0

0,325 0

qi-[qi]

0,946 1

0,823 1

0,672 1

0,859 1

0,855 1

0,376 0

0,851 1

0,780 1

0,603 1

0,819 1

m

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

m

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

215 22611

Análise

Favorece os estados…

Paradoxo dos Novos Estados

Paradoxo da População

Paradoxo de Alabama

Viola a regra da quota

grandes

Sim

Sim

Sim

Não

H

grandes

Não

Não

Não

Sim

J

pequenos

Não

Não

Não

Sim

A

pequenos

Não

Não

Não

Sim

W

Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young:Não há métodos de divisão proporcional perfeitos. Qualquer método de divisão proporcional que não viole a regra da quota produz paradoxos, e qualquer método de divisão proporcional que não produza paradoxos viola a regra da quota.

Método de Jefferson

Encontrar o número D (divisor eleitoral)tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por defeito (quota mínima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir;

Atribuir a cada estado a quota mínima (modificada).

=[p1

D]+[p2

D]+ [pn

D]+… m

D = 38442,23

pi qi

p1 48,256

p2 38,656

p3 18,227

p4 17,670

p5 15,731

p6 10,407

p7 10,267

p8 10,098

p9 9,487

p10 8,650

pi qi

p11 6,178

p12 6,050

p13 5,893

p14 5,049

p15 5,044

p16 4,546

p17 4,001

p18 3,927

p19 3,743

p20 2,929

[qi]

48

38

18

17

15

10

10

10

9

8

[qi]

6

6

5

5

5

4

4

3

3

2

226

m = 215 (-11)

D = 37000

m = 226

D = 37500

m = 219 (-7)

H

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

H

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

Método de Adams

Encontrar o número D (divisor eleitoral)tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por excesso (quota máxima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir;

Atribuir a cada estado a quota máxima (modificada).

(ou método dos pequenos divisores)

D = 38442,23

pi qi

p1 44,637

p2 35,757

p3 16,860

p4 16,345

p5 14,551

p6 9,626

p7 9,497

p8 9,341

p9 8,775

p10 8,001

pi qi

p11 5,714

p12 5,596

p13 5,451

p14 4,670

p15 4,666

p16 4,206

p17 3,701

p18 3,633

p19 3,463

p20 2,710

[qi]+1

45

36

17

17

15

10

10

10

9

9

[qi]+1

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

226

m = 235 (+9)

D = 40000

m = 226

D = 39000

m = 230(+4)

H

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

H

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

Método de Webster

Encontrar o número D (divisor eleitoral)tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas pelo processo convencional, a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir;

Atribuir a cada estado a quota modificada arredondada pelométodo convencional.

pi qi

p1 45,782

p2 36,674

p3 17,292

p4 16,764

p5 14,924

p6 9,873

p7 9,740

p8 9,581

p9 9,000

p10 8,206

pi qi

p11 5,861

p12 5,739

p13 5,591

p14 4,790

p15 4,786

p16 4,313

p17 3,796

p18 3,726

p19 3,551

p20 2,779

AC

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

AC

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

226

m = 226 D = 39000

H

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

H

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

Método de Huntington-Hill

Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando cadaquota modificada de estado (população do estado a dividir por D)é arredondada pela regra de Huntington-Hill, o total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir;

Atribuir a cada estado a sua quota modificada arredondada pelaregra de Huntington-Hill.

Regra de Arredondamento de Huntington-Hill: se a quota está

entre L e L+1, o ponto de viragem é H √L(L+1). Se a quota éinferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-sepor excesso;

=

pi qi

p1 45,664

p2 36,579

p3 17,248

p4 16,721

p5 14,885

p6 9,848

p7 9,715

p8 9,556

p9 8,977

p10 8,185

pi qi

p11 5,846

p12 5,725

p13 5,577

p14 4,777

p15 4,773

p16 4,302

p17 3,786

p18 3,716

p19 3,542

p20 2,772

m

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

viragem

45,497

36,497

17,493

16,492

14,491

9,487

9,487

9,487

8,485

8,485

m

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

226

viragem

5,477

5,477

5,477

4,472

4,472

4,472

3,464

3,464

3,464

2,449

H

46

37

17

17

15

10

10

10

9

8

H

6

6

6

5

5

4

4

4

4

3

D = 39100

m = 226

D = 38442,23

m = 228(+2)

Método d’Hondt

O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,2,3,4,etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente, numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série;No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos.

Apura-se, em separado, o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo;

Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatos

Resultados: PPD/PSD 109261=p1

PS 65410=p2

CDS-PP 22283=p3

6

5

4

3

2

1

109261 65410 22283pia+1

109261,00

54630,50

36420,33

27315,25

21852,20

18210,17

21803,33

65410,00

16352,50

13082,00

10901,67

32705,00

7427,67

11141,50

5570,75

4456,60

3713,83

22283,00

109261,00

54630,50

36420,33

27315,25

21852,20

21803,33

65410,00

32705,00

22283,00

d1 d2

D D D[ =[p1]+[p2]+pn]+… m

Método d’HondtMétodo de Jefferson

dnMétodo de Jefferson:

Sejam n:=nº partidos; m:=nº de mandatos;

pi:=nº de votos do partido i, i=1,…,n, tal que p1≥…≥pn;ai :=nº de mandatos atribuídos ao partido i.

1º passo : d = p1

p1

d= 1 1 =: a1

pi

d< 1 0 =: ai , i=2,…,n

2º passo : diminui-se d de tal forma que o partido 1 receba o próximo mandato. Então,

, isto é, ;

o partido i recebe o mandato ai+1 sepi

d[ ] = ai+1;

3º passo : se já foram atribuídos os m mandatos, termina o processo; senão, volta-se ao 2º passo.

n

∑i=1

m≤ai

di =pi

ai+1

Atribui-se um mandato ao partido 1 e aos partidos que verificam a

condição anterior, por ordem decrescente dos divisores ,

enquanto . Seja, para i=1,…,n , pi

d[ ]ai :=

p1

d = a1+1 p1

a1+1d :=

Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatosPPD/PSD 109261=p1

PS 65410=p2

CDS-PP 22283=p3

p2

d< 1a1:=1d = p1 = 109561 a2:=0 p3

d< 1 a3:=0

p1

d= 2 =: a1 d = 54630,5

p2

d= 1.2 a2:=1 p3

d= 0.41 a3:=0

p1

d= 3 =: a1 d = 36420,33

p2

d= 1.8 a2:=1 p3

d= 0.61 a3:=0

p1

d= 4 =: a1 d = 27315.25

p2

d= 2.39 a2:=2 p3

d= 0.82 a3:=0

p1

d= 5 =: a1 d = 21852.2

p2

d= 2.99 a2:=2 p3

d= 1.02 a3:=1

p1

d= 6 =: a1 d = 18210.17

p2

d= 3.6 a2:=3 p3

d= 1.22 a3:=1

Conclusão

Segundo o método de Jefferson, o partido i receberá o seu a+1

mandato quando, para um certo d, , o que sucede quando o

número de mandatos atribuídos é igual a m.

Então, podemos afirmar que atribuímos os mandatos seguindo uma

ordem de prioridades por meio da função .

pi

da +1=

di =pi

a+1

6

5

4

3

2

1

109261 65410 22283pia+1109261,00

54630,50

36420,33

27315,25

21852,20

18210,17

21803,33

65410,00

16352,50

13082,00

10901,67

32705,00

7427,67

11141,50

5570,75

4456,60

3713,83

22283,00

Trabalho realizado por:

Carla Pimentel

Joana Couto

Mª Cristina Rodrigues

Sandra Nabiça

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