Teoria das Comunicações - mwsl.unb.br · Prof. André Noll Barreto Princípios de Comunicação Teoria das Comunicações 2.2 Série de Fourier. Prof. André Noll Barreto Princípios

Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto

Teoria das Comunicações

2.2 Série de Fourier


Sinais e Vetores


Vetores

• Componente de um vetor g em x

• Produto interno ou escalar

cos, xgxgxg

x

g

cx

• Comprimento (amplitude) do vetor

xxx

• 2x

xg c

é o vetor cx , tal que c minimiza o vetor erro e = g - cx


Vetores Ortogonais

• Se vetores são perpendiculares, então

• Vetores são ortogonais se

0xg

02/cos xgxg


Sinais e Vetores

• Conceitos de vetores podem ser aplicados também a sinais

• Componente de g(t) em x(t) no intervalo [t1, t2] é o sinal cx(t), tal que c

minimiza a energia da função erro e(t) = g(t) – cx(t) neste intervalo

• Para vetores o produto interno é:2

xxg c

• O valor de c é: dttxtgE

ct

tx

)()(1 2

1

• Podemos definir o produto interno entre x(t) e g(t) no intervalo [t1, t2] :

dttxtgxgt

t)()(,

2

1


Sinais e Vetores

• xxEx ,

• para funções reais g(t) e x(t) são ortogonais no intervalo [t1, t2] se

2

1

0)()(,t

tdttgtxgx


Sinais Complexos

• Para funções complexas g(t) e x(t)

• g(t) e x(t) são ortogonais no intervalo [t1, t2] se

0,, xggx

*,)(*)(,

)(*)(,

2

1

2

1

gxdttxtgxg

dttgtxgx

t

t

t

t


Energia da Soma de Sinais Ortogonais

• se dois sinais x(t) e y(t) são ortogonais no intervalo [t1,t2],

e se z(t) =x(t) + y(t)

• Então yxz EEE


Correlação

• Coeficiente de correlação indica a similaridade entre dois sinais

• Para vetores:

xg

xg cosnc

• Para sinais:

dttxtg

EEc

xg

n )(*)(1

11 nc


Função de correlação

• Correlação cruzada

dttxtggx )()(*)(

• Autocorrelação

dttgtgg )()(*)(


Representação de Sinais por Conjunto de Sinais Ortogonais


Espaço Vetorial Ortogonal

• Ex: espaço Cartesiano tridimensional• x, y e z são ortogonais• g é um vetor qualquer

x

e1

g = ax + e1

axy

ax+by

g = ax + by + e2 , |e2| |e1|

e2

by

z

cz

g = ax + by + cz

g


Espaço Vetorial Ortogonal

• x, y e z representam um conjunto completo de vetores ortogonais no espaço tridimensional

• Neste espaço não há nenhum vetor ortogonal a x, y e z

• Todo vetor neste espaço pode ser representado sem erro como a soma das projeções deste vetor em x, y e z

• Esta escolha de vetores base não é única

• Se |x|=|y|=|z|=1 este é um conjunto ortonormal


Espaço Ortogonal de Sinais

• Temos um conjunto de sinais ortogonais em [t1,t2]• x1(t), x2(t), ….. xN(t)

• Se , então temos um conjunto ortonormal

2

1 ,

,0)()( *

t

tn

mnnmE

nmdttxtx

• Um sinal g(t) pode ser representado como

n

n

t

tn

n

n

NN

xgE

dttxtgE

c

tetxctxctxctg

,1

)()(1

com

)()()()()(

2

1

*

2211

• Se Ee = 0 para todos sinais g(t), o conjunto x1(t), x2(t), ….. xN(t)

é um conjunto completo ou conjunto de funções base

nEn ,1


Espaço Ortogonal de Sinais

• Série generalizada de Fourier:

• {xn(t)} é um conjunto de sinais ou funções base ortogonais

1

21

2211

)(

)()()()(

n

nn

nn

ttttxc

txctxctxctg


Teorema de Parseval

1

21

2211

)(

)()()()(

n

nn

nn

ttttxc

txctxctxctg

n

nn

nng

Ec

EcEcEcE

2

2

2

2

21

2

1


Série de Fourier


Série Trigonométrica de Fourier

• Para qualquer intervalo [t1,t1+T0] temos o conjunto trigonométrico de sinais

• Este é um conjunto completo e ortogonal neste intervalo

0

0

000000

1 onde

,2sin,2cos,,4sin,4cos,2sin,2cos,1

Tf

tnftnftftftftf



• Qualquer sinal [t1,t1+T0] no intervalo pode ser representado por uma série trigonométrica de Fourier

1

011

1

000

020201010

)2sin()2cos(

)4sin()4cos()2sin()2cos()(

n n

nn Tttttnfbtnfaa

tfbtfatfbtfaatg

• onde

01

1

01

1

01

1

)2sin()(2

)2cos()(2

)(1

0

0

0

0

0

0

Tt

tn

Tt

tn

Tt

t

dttnftgT

b

dttnftgT

a

dttgT

a


Série Trigonométrica de Fourier Compacta

• Podemos combinar os termos seno e cosseno de mesma freqüência como:

n

nn

nnn

nnnn

a

b

baC

tnfCtnfbtnfa

1

22

000

tan

onde

)2cos()2sin()2cos(

• A série fica:

011

1

00 ,)2cos()( TttttnfCCtgn

nn


Periodicidade da Série de Fourier

• considerando

ttnfCCtn

nn ,)2cos()(1

00

• Temos que

)()( 0 tTt



-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9

)(tg

2/1)( tg

ttg cos2

2

1)(

)3cos(3

2)cos(

2

2

1)( tttg

)5cos(5

2)3cos(

3

2)cos(

2

2

1)( ttttg


Espectro de Fourier

t

f1T0

-T0

2T0

3T0

5T0

7T0


Condições de Dirichlet

• Condições para existência da série de Fourier

•

• g(t) tem um número finito de máximos e mínimos e um número finito de descontinuidades em [t1,t1+T0]

2

1

)(t

tdttg


Série Exponencial de Fourier

• O conjunto de funções

é um conjunto completo de funções ortogonais em [t1,t1+T0]

0

0

4422 1,,,,,,1 0000

Tfeeee

tfjtfjtfjtfj

• Toda função g(t) pode ser representada como

0

0

0

2

0

2

)(1

onde

)(

T

tnfj

n

n

tnfj

n

dtetgT

D

eDtg


Série Exponencial de Fourier

• Toda função g(t) pode ser representada como

n

n

j

nn

j

nn

n

tnfj

n

tnfj

n

eCD

eCD

CD

eDeDDtg

2

1

2

1

onde

)(

00

1

22

000


Teorema de Parseval

1

22

0

1

002

1)2cos()(

n

ng

n

nn CCPtnfCCtg

2

0

2

00)(

n

ng

nn

tnfj

n DPeDDtg

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