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21 de abril de 2013
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CURSO : SIMULACION DISCRETA DE SISTEMAS
PROFESOR: BRIAN PANDO SOTO
ALUMNO : CAMPOS HERNADEZ GREGORIO NICOLAS
INTRODUCCION
En la vida diaria siempre en cada proceso se experimenta inconveniencias en las
demoras de atención en cual muchos califican como pérdida de tiempo , es un proceso
al parecer natural, esperamos por ejemplo una respuesta del servidor a una petición del
cliente, que muchas veces esto se debe a la transferencia de datos en los router donde
los segmentos pasan por colas y son atendidas de acuerdo a la prioridades, como
también el proceso de matrículas por ventanilla o el pago en caja por derecho de
matrícula, una atención en un grifo.
Generalmente a las personas el generar una cola es demasiado inconveniente, los
gestores de los citados servicios no quiere que esperemos ¿Por qué hay q esperar?
La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de
servicio ha sido o es menor que la capacidad demandada. Esta limitación se puede
eliminar invirtiendo en elementos que aumenten la capacidad. En estos casos la
pregunta es: ¿Compensa invertir?
La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando métodos matemáticos
analíticos.
TEORIA DE COLAS CON UN SERVIDOR
DESCRIPCIÓN DE UN SISTEMA DE COLAS
Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando
un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido
atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si
se cansan de esperar.
El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano,
puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo
esperando para imprimir en una impresora en red.
ESTRUCTURA BÁSICA DE UNA LÍNEA DE ESPERA
1. POLACION
1.1. Población Finita
1.2. Población Infinita
2. LLEGADAS
3. CARACTERISTICAS DE LAS COLAS
3.1. Numero de colas
3.2. Capacidad de las colas
4. PROCESO DE SELECCIÓN DE LA COLA
La disciplina de servicio es una regla para seleccionar clientes de la linea de
espera al inicio del servidor. una de las disciplinas mas utilizadas es la
denominada”First in First Out”, FIFO, en la cual los primeros que llegan seran los
primeros en salir; otra disciplina es la denominada “Last In First Out”,LIFO, en la
cual los ultimos en llegar seran los primeros e salir . Existen otras disciplinas
denominadas al azar y de prioridad.
5. INSTALACION DE SERVICIO
6. SALIDA DEL SISTEMA
CARACTERISTICAS DE LAS COLAS
Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir
adecuadamente un sistema de colas:
a) Patrón de llegada de los clientes
b) Patrón de servicio de los servidores
c) Disciplina de cola
d) Capacidad del sistema
e) Número de canales de servicio
f) Número de etapas de servicio
1. PATRON DE LLEGADA DE LOS CLIENTES
En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada
depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario
conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas.
Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o
simultáneamente.
En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución
Probabilística de éstos. También es posible que los clientes sean “impacientes”.
Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras
esperar mucho rato en la cola decidan abandonar.
Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se
mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas
del día es no-estacionario.
2. PATRON DE SERVICIO DE LOS CLIENTES
Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso
hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden
atender en lotes o de modo individual.
El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en
la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama
patrones de servicio dependientes. Al igual que el patrón de llegadas el
patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo
Transcurrido.
3. DISCIPLINA DE COLA
La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento
de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite
que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó
primero) Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina
LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de
secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas
con menor duración o según tipos de clientes.
En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la
primera, llamada en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una
orden de prioridad superior al cliente que está siendo atendido, este se retira
dando paso al más importante. Dos nuevos sub casos aparecen: el cliente
retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había
quedado. La segunda situación es la denominada “no-preemptive” donde el
cliente con mayor prioridad espera a que acabe el que está siendo atendido.
4. CAPACIDAD DEL SISTEMA
En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que
pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de
cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en
la modelización de la impaciencia de los clientes.
5. NUMERO DE CANALES DE SERVICIO
Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidor con una única línea
de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla
de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que
alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes
se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.
6. NUMERO DE ETAPAS DE SERVICIO
Un sistema de colas puede ser uní-etapa o multietapa. En los sistemas
multietapa el cliente puede pasar por un número de etapas mayor que uno.
Una peluquería es un sistema uni-etapa, salvo que haya diferentes servicios
(manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un
servidor diferente.
En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”,
esto es habitual en sistemas productivos como controles de calidad y reproceso.
TIPOS DE SISTEMAS
Un sistema de líneas de espera es un conjunto de clientes, un conjunto de
servidores, y un orden en el cual los clientes llegan y son atendidos. Un sistema
de líneas de espera es un proceso de nacimiento-muerte con una población
formada por clientes en espera del servicio o que están en servicio; una muerte
ocurre cuando un cliente
Abandona la instalación. El estado del sistema es el número de clientes en la
Instalación
1. UNA COLA, UN SERVIDOR
2. UNA COLA, MULTIPLES SERVIDORES
3. VARIAS COLAS, MULTIPLES SERVIDORES
4. UNA COLA, SERVIDORES SEQUENCIALES
SISTEMAS CON UN SERVIDOR
SITEMA CON POISON
El análisis de los distintos modelos de colas está determinado en gran parte por la
distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas y la distribución de los
tiempos de servicio. En los sistemas de colas reales, estas distribuciones pueden tomar
prácticamente cualquier forma (siempre que sean no negativos). Sin embargo, para
formular y analizar un modelo matemático es necesario especificar la forma supuesta
de cada una de estas distribuciones. Para que sea útil, la forma expuesta debe ser lo
suficientemente realista como para que el modelo proporcione predicciones razonables
y al mismo tiempo lo suficientemente manejable para que sea posible tales
predicciones.
Con estas consideraciones, la distribución exponencial es la distribución de
probabilidad más importante en la teoría de colas.
Formalmente, un proceso estocástico se define como una colección de variables
aleatorias {X (α), αЄT} indexadas por el parámetro α que toma valores en el conjunto
de parámetros. El conjunto S en el que toman valores las variables (α) se denomina
espacio de estados.
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de
tiempo.
FORMULAS
λ=promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas)
1/ λ=tiempo entre llegadas
µ=promedio de servicios en el periodo (tasa media de servicio)
1/µ= tiempo entre servicios
Numero promedio de unidades en la línea de espera
Lq=λ2/ {µ(µ− λ)}
Numero promedio de unidades en el sistema(N° promedio de unidades en línea
de espera más N° promedio unidades que se están atendiendo)
L=Lq+ λµ=λ /(µ−λ)
Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera
Wq= Lqλ
=λ /{µ (µ−λ)}
Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema(tiempo de espera más el
tiempo de servicio)
W=Wq+ 1µ=1/(µ− λ)
Probabilidad de que no exista unidades en el sistema
Po=1− λµ
Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar servicio
Pw= λ/µ
Probabilidad que el número de clientes dentro del sistema sea mayor que K
Pn>k=(λ /µ)k +1
Probabilidad de que haya “n” unidades en el sistema
Pn=(λ/µ)n∗Po
SISTEMA MM1
Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios,
carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de
líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes
de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.
La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que
estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se
describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta.
EJEMPLO DE POISON
La temporada de cosecha de trigo en el oeste estadounidense es corta. La mayoría de
los granjeros entregan sus camiones con las cargas de cereal a un silo central
gigantesco en un lapso de tan solo una semana.
Debido a esta característica, se sabe que los camiones llenos de trigo esperan para
descargar y regresar a los campos en un tramo que está a casi una cuadra de distancia
del depósito. El silo central es de propiedad cooperativa por lo cual se beneficia a casa
de uno de los granjeros incrementa el nivel de eficiencia del proceso de descarga y
almacenaje. El costo del deterioro de granjero provocado por los retrasos en la
descarga, el costo de renta de los camiones y el tiempo muerto del conductor mientras
llega su turno son preocupaciones serias para los miembros de la cooperativa .
A pesar de que los granjeros tienen problemas para cuantificar el daño a la cosecha, es
fácil asignar un costo de 18 dólares por hora por concepto de espera y de descarga por
cada camión y conducto.
El silo permanece abierto y funciona 16 horas al día, los siete días de la semana,
durante la temporada de cosecha, y tiene una capacidad de descarga de 35 camiones
por hora de acuerdo con una distribución exponencial. Los camiones llenos llegan a lo
largo del día (durante el horario en que el silo está abierto) a un ritmo cercano de 30
camiones por hora, de acuerdo a un patrón de poison
Solución:
a) El número promedio de camiones en el sistema de descarga
Lq=λ2/(µ(µ−λ))
Lq=302/(35 (35−30))
Lq=900/175
Lq=5.14
L=Lq+ λ/ (µ)
L=5.14+3035
=5.99714286
6 camions
b) El tiempo promedio por camión en el sistema
W=Wq+ 1µ=1/(µ− λ)
W=1/(35−30)
W=0.2horas=12minutos
c) Tasa de utilización del área de silo
P=X /(S∗µ)
P=30 /(1∗35)
P=0.85714286=85%
d) Probabilidad de que haya más de tres camiones en el sistema en un momento
dado
Pn>k=(λ /µ)k +1
Pn>k=(30 /35)3+1
Pn>k=0.53977509=50%
e) Costo diario total para los granjeros por tener los camiones detenidos en el
proceso de descarga total
Wq= Lqλ
=λ /{µ (µ−λ)}
Wq=30 / {35 (35−30 ) }Wq=0.17horas /¿ tiempo en lalineade espera por camion
0.2horas tiempo promedio por camionenel sistema ,
0,36dolares les cuesta en promedio uncamionenel sistema
16horas30camiones3.6dolar es16∗30∗3.6=1,728dolares , costo diario total
La cooperativa utiliza el silo solo dos semanas al año. Los granjeros estiman que
al ampliar el silo reduciría el 50% de los costos de descarga durante el año
entrante. Costaría 9000dolares hacerlo durante la temporada en que no hay
labores. ¿Valdría la pena para la cooperativa ampliar el área de
almacenamiento?
16horas30camiones3.6dolar es les cuesta en promediouncamionen el sistema
16∗30∗3.6=1,728dolares , costo diario totalcosto total sinampliacion
1728∗14=24192dolarescosto realizando la ampliacion( 241922 )+9000=21096dolares
