MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA O DE COLAS

Recordemos la última vez que tuvimos que esperar ante la caja de un supermercado, o ante el cajero de un banco, o al mesero en un restaurante. El tiempo que se pasa esperando es indeseable en ésta y en otras muchas situaciones.Como agregar cajeras en el supermercado o en el banco o más personal de servicio no es siempre la estrategia más económica para mejorar la atención a clientes, se está tratando con mayor afán en los negocios de comprender las características de las líneas de espera y de encontrar formas de mantener los tiempos de aguardar dentro de los límites razonables.Los modelos de líneas de espera (colas) constan de fórmulas y relaciones matemáticas que pueden utilizarse para determinar las características de operación (medidas del desempeño) de una fila o línea de espera.Algunas de las características de operación que son de interés son las siguientes:

1.- La probabilidad de que no haya unidades en el sistema.2.- número promedio de unidades en la línea de espera.3.- número promedio de unidades en el sistema (el número de unidades que se encuentran en la línea de espera más el número de unidades a las que se está atendiendo).4.- El tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera.5.- El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio).6.- La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para recibir el servicio.7.- La probabilidad de que haya n unidades en el sistema.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEAS DE ESPERA

Considérese la situación del restaurante de comida rápida Burger Tech, donde se venden hamburguesas, quesohamburguesas, papas fritas, refrescos, mateadas, postres, ensaladas, etc.Aunque se pretende dar un servicio inmediato a los clientes, en ocasiones llegan más de los que el personal puede atender. Por ello, los clientes esperan en la fila o cola para colocar y recibir sus pedidos.A los administradores les preocupa que los métodos actuales de atención al cliente den como resultado tiempos de espera excesivos, y han solicitado un estudio de líneas de espera para que les ayude a determinar la manera más adecuada para mejorar el servicio.

LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL

Es aquella en la que todos los clientes que entran a recibir un servicio deben ser atendidos completamente hasta ser despachados.En el caso de la Burger Tech todos los clientes que entran al establecimiento deben pasar por un canal (una estación en la que se cobra, se toma la orden y se surte lo solicitado) para hacer el pedido, pagar el importe y recibir los alimentos. Cuando llegan más clientes de los que es posible atender en forma inmediata, se forma una fila y esperan a que esté disponible la estación que recibe y surte los pedidos.

PROCESO DE LLEGADAS O ARRIBOS

Definir el proceso de las llegadas en una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad del número de arribos en un determinado lapso.Las llegadas ocurren de manera aleatoria en muchos casos de líneas de espera. En estos casos, se ha encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson ofrece una buena descripción del patrón de llegadas.Utilizando la función de probabilidad de Poisson, la probabilidad de x llegadas en un lapso específico se define como:

P(x) = para x = 0, 1, 2…

Donde:X = número de llegadas en el periodo (o intervalo de tiempo).λ = número promedio de llegadas por periodo. e = 2.71828

Se han analizado en Burger Tec los datos sobre las llegadas de clientes y se ha concluido que la tasa promedio de arribos es de 45 clientes por hora.Para un lapso de 1 minuto el número promedio de llegadas seria λ = 45/60 = 0.75 llegadas por minuto.Por tanto, se puede utilizar la función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas durante un lapso de 1 minuto:

P(x) = = 0 /x!

Por tanto, las probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4 y 5 llegadas por minuto son:

P (0) = P (3) =P (1) = P (4) = P (2) = P (5) =

En la práctica de debe registrar el número real de llegadas por un periodo durante varios días o semanas para comparar la distribución de frecuencias con la distribución de Poisson.

DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO

TIEMPO DE SERVICIO. Es el que el cliente o unidad deja transcurrir en la instalación una vez que se inicia el servicio.En Burger Tech, el servicio comienza cuando el cliente empieza a expresar el pedido ante el empleado y continúa hasta que recibe lo que solicitó.Los tiempos de servicio rara vez son constantes.En Burger Tec, el número de artículos y su combinación que se ordenan varían considerablemente de un cliente a otro.Se ha determinado que, con frecuencia, la distribución de probabilidad exponencial proporciona una buena aproximación de los tiempos de servicio en casos en los que hay líneas de espera.Si la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio es exponencial, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor que o igual a un tiempo de duración t está dada por

P (tiempo de servicio <= t) = 1 -

Donde:µ = número promedio de unidades que pueden ser atendidas por periodo.

Se ha estudiado en Burger Tec el proceso de recepción y surtido de órdenes y se ha encontrado que el único empleado que sirve los alimentos puede procesar un promedio de 60 órdenes de clientes por hora.Con base en un tiempo de 1 minuto, la tasa media o promedio de servicio seria µ = 60/60 = 1 cliente por minuto.Utilizando µ = 1 se pueden calcular las probabilidades de que se pueda procesar un pedido en ½ minuto o menos, en 1 minuto o menos, y en 2 minutos o menos.

P (tiempo de servicio <= 0.5 min) = P (tiempo de servicio <= 1 min) = P (tiempo de servicio <= 2 min) =

DISCIPLINA DE LA LÍNEA DE ESPERA

Al describir un sistema de líneas de espera, debe definirse la forma en que se acomodan las unidades para darles servicio. Para la mayoría de las líneas manejadas de acuerdo con las necesidades de los clientes, las unidades que esperan recibir servicio se atienden sobre la base del primero que llega.Cuando se atiende a las unidades de esta manera se dice que se sigue una disciplina de PLLPA (primero que llega, primero que se atiende).

OPERACIÓN EN RÉGIMEN CONSTANTE O ESTABLE

Burguer Tech abre por la mañana no hay clientes en las instalaciones. La actividad de negocios crece en forma gradual hasta llegar a un estado de estabilidad.

PERIODO DE TRANSICIÓN

Lapso inicial en el cual no hay clientes en la instalación y la actividad crece en forma gradual.

ESTADO ESTABLE

Operación normal del sistema.

MODELO DE LÍNEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS SEGÚN POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.

Suposiciones respecto a la cola, fila o línea de espera:1.- La línea de espera tiene un solo canal.2.- El patrón de llegadas sigue una distribución probabilística de Poisson.3.- Los tiempos de servicio siguen una distribución probabilística exponencial.4.- La disciplina de la línea de espera es “primero que llega, primero que se atiende” (PLLPA).

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN

Las fórmulas que pueden emplearse para determinar las características de operación del estado estable para una línea de espera de la naturaleza descrita utilizan la siguiente notación:

λ = número promedio de llegadas por periodo (tasa promedio de llegadas)µ = número promedio de servicios por periodo (tasa promedio de servicios)Condición de aplicabilidad: µ > λ

1. PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA UNIDADES EN EL SISTEMA:

2. NÚMERO DE UNIDADES EN LA LÍNEA DE ESPERA (LARGO DE LA FILA):

3. NÚMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA (LARGO TOTAL):

4. TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDAD PASA EN LA LÍNEA DE ESPERA:

5. TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDAD PASA EN EL SISTEMA:

6. PROBABILIDAD SE QUE UNA UNIDAD QUE LLEGA TENGA QUE ESPERAR PARA OBTENER EL SERVICIO:

7. PROBABILIDAD DE QUE HAYA n UNIDADES EN EL SISTEMA:

FACTOR DE UTILIZACION: λ/µ . Dado que proporciona probabilidad de que la instalación de servicio esté ocupada.

Como las suposiciones del modelo sí se aplican al problema de líneas de espera de Burger Tec, se muestra la forma en que pueden utilizarse las fórmulas para determinar sus características de operación para, de tal modo, proporcionar a los administradores información útil para la toma de decisiones.Recordando que λ = 0.75 y μ = 1, se sabe que µ > λ y por tanto se pueden emplear las ecuaciones del modelo.

Po =

Lq =

L =

Wq =

W =

Pw =

Probabilidad de que haya n (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 o más) clientes en el sistema:

P0 =

P1 =

P2 =

P3 =

P4 =

P5 =

P6 =

P7 o más =

CÓMO UTILIZAR LA INFORMACIÓN PROPORCIONADA POR EL MODELO

Observando los resultados es posible conocer varios aspectos importantes respecto a la operación de la línea de espera:

1) Los clientes esperan 3 minutos antes de empezar a formular su pedido, y esto parece ser un tanto prolongado para un negocio que se basa en el servicio rápido.

2) El número promedio de clientes que esperan en la línea es 2.25.3) El 75% de los clientes tiene que esperar para obtener servicio.

Esto indica que debe hacerse algo para mejorar la eficiencia de operación en la línea de espera.Si las características de operación son insatisfactorias en términos de no cumplir con los estándares de servicio deseados, se deben considerar diseños o planes alternos para mejorar la operación de la fila o cola.

MEJORAMIENTO DE LA OPERACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA

Después de revisar las características de operación obtenidas mediante el modelo, se concluye que es deseable realizar mejoras al sistema.La mayor parte de las veces las mejoras se concentran en eficientar la tasa de servicio, orientándose en:

1) Aumentar la tasa promedio del servicio, µ, haciendo un cambio creativo en el diseño o utilizando una nueva tecnología.

2) Añadiendo canales paralelos de servicio de manera que sea posible atender a más unidades a la vez.

Supóngase que al considerar la alternativa (1), se decide emplear una persona que surta los pedidos y ayude a la que los toma en la caja registradora.El cliente comienza el proceso de servicio colocando un pedido con el tomador o receptor de órdenes.Al hacer el pedido, el tomador lo anuncia en un sistema de intercomunicación, y la persona que cobra comienza inmediatamente a tramitar el pago.Cuando se termina el pedido, el tomador recibe y maneja al dinero, mientras que la persona que surte los pedidos continúa tramitando el que tiene pendiente.Con este diseño, se estima que puede aumentarse la tasa promedio de servicio de los 60 clientes por hora actuales, a 75.Con base en minutos, la tasa promedio de servicio para el sistema modificado es μ= 75 / 60 = 1.25 clientes por minuto.

Utilizando λ = 0.75 y μ = 1.25, las características de operación son:

Probabilidad de que el sistema esté desocupado, Po = Número promedio de clientes en la línea de espera, Lq =Número promedio de clientes en el sistema, L = Tiempo promedio en la línea de espera, Wq = Tiempo promedio en el sistema, W = Probabilidad de que un cliente llegue tenga que esperar, Pw = Probabilidad que haya 7 o más clientes en el sistema, P7 o más =

MODELO DE LÍNEAS DE ESPERA DE CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.

LÍNEA DE ESPERA DE CANALES MÚLTIPLES. Fila que consta de dos o más canales o ubicaciones de servicio, que se supone son idénticas en términos de capacidad de servicio.En este sistema, las unidades que llegan esperan en una sola línea y después pasan al primer canal disponible para ser atendidas. Canal 1

Llegadas de clientes El cliente pasa al El cliente sale siguiente canal después de que abierto es atendido Línea de espera o cola Canal 2

DIAGRAMA DE LA LÍNEA DE ESPERA DE DOS CANALES

SUPOSICIONES PARA LA COLA O FILA

1) La línea de espera tiene 2 o más canales.2) El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad de Poisson.3) El tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad

exponencial.4) La tasa promedio de servicio, es la misma para todos los canales.5) Las unidades que llegan a aguardan en una sola línea de espera y después pasan al

primer canal abierto para obtener el servicio.6) La disciplina de la línea es “primero que llega primero que se atiende”.

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN

Notación:λ = tasa promedio de llegadas para el sistemaµ = tasa promedio de servicio para cada canalK = número de canalesKµ = tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiplesCondición de aplicabilidad: Kµ > λ

A

B

1. PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA UNIDADES EN EL SISTEMA:

2. NÚMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN LA LINEA DE ESPERA:

3. NÚMERO PRIMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA:

4. TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNDIDAD PASA EN LA LINEA DE ESPERA:

5. TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDAD PASA EN EL SISTEMA:

6. PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD QUE LLEGA TENGA QUE ESPERAR:

7. PROBABILIDADES QUE HAYA n UNIDADES EN EL SISTEMA:

EJEMPLO. Supóngase que los administradores de Burger Tec pretenden evaluar la deseabilidad de abrir una segunda caja registradora, que es al mismo tiempo la estación de procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender en forma simultánea a dos clientes.Supóngase que se tiene una sola línea de espera donde el cliente que sigue en la fila pasa al primer despachador disponible. Si se hiciera esto, se tendría una línea de espera de dos canales. Evaluar las características de operación para este sistema.

P₀ =

Lq =

L =

Wq =

W =

Pw =

Utilizando las ecuaciones correspondientes se pueden calcular las probabilidades de que haya n clientes en el sistema. A continuación se resumen los resultados de estos cálculos.

Número de clientes Probabilidad

0

1

2

3

4

5 o más

Pueden ahora compararse las características de operación en estado estable con dos canales de servicio, con las características de operación del sistema original de un solo canal que se analizó anteriormente.

1. El tiempo promedio que se requiere entre el momento en que el cliente entra en la línea de espera y el momento en el que recibe su pedido (el tiempo de espera más el tiempo de servicio) se reduce de W = 4 min a W = 1.16 min.

2. La longitud promedio de la línea de espera se reduce de Lq = 2.25 clientes a Lq = 0.1227 clientes.

3. Se reduce el tiempo promedio que un cliente espera para ser atendido de Wq = 3 min a Wq = 0.16 min.

4. Se reduce el porcentaje de los clientes que tienen que esperar para ser atendidos de Pw = 0.75 o 75%, a Pw = 0.2045 o sea 20.45%.

Resulta evidente que el sistema con dos canales mejoraría en gran medida las características de operación de la línea de espera. La decisión final respecto a la política de personal en Burguer Tech recae en sus administradores. El estudio sobre líneas de espera simplemente ha previsto las características de operación que se pueden considerar según las tres configuraciones: un sistema de un solo canal con uno o dos empleados, y un sistema con dos canales, y con un servidor en cada canal. Después de considerar estos resultados, ¿qué acción se recomendaría? En este caso se adoptó el siguiente planteamiento sobre política en Burguer Tech; para periodos en los que se espera que las llegadas de los clientes se den a un promedio de 45 clientes por hora, se abrirán 2 estaciones de cobro y de procesamiento de pedidos, asignando un empleado a cada estación. Al cambiar la tasa promedio de llegadas, λ, para reflejar distintas tasas de llegadas en momentos distintos del día, y al calcular después las características de operación, los administradores de Burguer Tech pueden establecer lineamientos y políticas que señalen a los gerentes cuándo deben programar operaciones de servicio con un solo canal, con dos canales y, quizá, incluso con tres o más canales.

NOTAS Y COMENTARIOS

1. En el modelo de líneas de espera de canales múltiples se supone que se tiene una sola línea. Es posible que se hayan encontrado también casos en los que cada uno de los k canales tiene su propia línea de espera. Los científicos de la administración han demostrado que las características de operación de los sistemas de canales múltiples son mejores si se utiliza una sola línea de espera. A las personas les agradan también más las filas únicas; nadie que llegue después de otra persona puede ser atendida antes. Por ello, en la práctica los bancos, las ventanillas de reservación de líneas aéreas, los establecimientos de venta de alimentos y otros servicios, comúnmente utilizan una sola línea de espera para su sistema de canales múltiples.

2. Las formas que se dan aquí ofrecen resultados aproximados para sistemas de canales múltiples con una sola línea para cada canal. La aproximación es mejor cuando los tiempos de servicio son breves. En este caso, la disciplina PLLPA es por lo general un supuesto razonable.

ANALISIS ECONÓMICO DE LÍNEAS DE ESPERA

En algunos casos puede ser deseable intentar definir el costo de operar sistemas de líneas de espera y después tomar decisiones respecto al diseño del sistema, con base en un criterio de costos de operación mínimos diarios o mínimos por hora.

MODELO DE COSTOS TOTALES

CT = cw L + cs k

Donde:cw = Costo de espera por periodo por unidadL = Número promedio de unidades en el sistemacs = Costo del servicio por periodo para cada canalk = Número de canalesCT = Costo total por periodo

cw es el costo más difícil de evaluar, ya que no es un costo directo. Es el costo de oportunidad, o lo que se deja de ganar por perder un cliente.

EJEMPLO: Supóngase que Cafetec asigna un costo de oportunidad de $10 por cada hora de tiempo de espera de los clientes, y estima en $7 el costo por hora del servicio. Determinar qué sistema ofrece la operación más económica.

SOLUCIÓN:

Sistema de un solo canal, L = 3 clientes

CT =

Sistema de dos canales, L = 0.8727 clientes

CT =

El sistema con dos canales ofrece la operación más ventajosa.

NOTACIÓN GENERAL PARA CLASIFICAR CUALQUIER MODELO DE LÍNEAS DE ESPERA

Notación sugerida por D. G. Kendall, que utiliza los tres símbolos siguientes:

A / B / S

Donde:A: Distribución de probabilidad para el número de llegadasB: Distribución de probabilidad para el tiempo de servicioS: Número de canales

Dependiendo del valor que se asigne en la posición de A o B, se pueden describir una amplia gama de sistemas de líneas de espera. Los valores de A y B que se utilizan comúnmente son los siguientes:

M: Designa una probabilidad de Poisson para el número de llegadas o una distribución exponencial para los tiempos de servicio D: Señala que el número de llegadas o del tiempo de servicio es determinístico o constanteG: Designa una distribución general o no especificada, con media y varianza conocidas para el número de llegadas o para el tiempo de servicio

EJEMPLOS.

Modelo de líneas de espera de un solo canal, con llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponenciales: M / M / 1. Modelo de líneas de espera de dos canales, con llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponenciales: M / M / 2.

En algunos casos, se amplía la notación de Kendall a cinco símbolos. El cuarto indica el mayor número de unidades que se pueden encontrar en el sistema, y el quinto señala el tamaño de la población demandante o población de entrada de unidades o clientes que llegan. Si se omiten los símbolos cuarto y quinto de la notación de Kendall, se supone que el sistema de líneas de espera tiene capacidad ilimitada, o infinita, y que la población demandante es infinita.

MODELO DE LÍNEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS SEGÚN POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS.

Este modelo considera que la distribución de probabilidad para los tiempos de servicio no es necesariamente exponencial. Por ello, utilizando la notación de Kendall, el modelo de líneas de espera apropiado es del tipo M / G / 1, en donde G denota una distribución de probabilidad general, o no especificada.

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN

Notación: λ = tasa promedio de llegadas µ = tasa promedio de servicio 1/µ = tiempo promedio de servicio σ = desviación estándar del tiempo de servicio

1. PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA UNIDADES EN EL SISTEMA:

2. NÚMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN LA LÍNEA DE ESPERA:

3. NÚMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA:

4. TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDAD PASA EN LA LÍNEA DE ESPERA:

5. TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDAD PASA EN EL SISTEMA:

6. PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD QUE LLEGA TENGA QUE ESPERAR:

EJEMPLO: La dulcería Celaya es una tienda de especialidades que se encuentra en el centro comercial Plaza las Américas. Durante la tarde es atendida por un empleado. Las llegadas de los clientes son aleatorias, y la tasa promedio es de 21 clientes por hora. Un estudio del proceso muestra que el tiempo promedio de servicio es de 2 minutos por cliente, con una desviación estándar de 1.2 minutos. Determinar las características de operación para este sistema.

Po =

Lq =

L =

Wq =

W =

Pw =

El administrador de la tienda puede revisar estas características de operación para determinar si vale la pena programar el trabajo con un segundo empleado.

TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES

Se puede presentar el caso de una línea de espera de un solo canal en el que supone que las llegadas son aleatorias, pero los tiempos de servicio, constantes. Ejemplo de ello se tiene en producción y manufactura en los que son constantes los tempos de servicio controlados por máquinas.Esta situación se describe mediante el modelo de M/D/1, en donde D hace referencia a tiempos de servicio determinísticos.Para determinar las características de operación de este sistema pueden utilizarse las expresiones anteriores, con excepción de la correspondiente a Lq, dado que la desviación estándar del tiempo de servicio constante es σ = 0. Por ello, la expresión para el número promedio de unidades en la línea de espera para el modelo M/D/1 se convierte en

NOTAS Y COMENTARIOS

En los casos en que son inaceptables las características de operación de una línea de espera, es frecuente que los administradores intenten mejorar el servicio aumentando la tasa promedio de servicio, μ. Como esto es conveniente, la variación en los tiempos de servicio afecta también a las características de operación de la línea de espera. Como la desviación estándar de los tiempos de servicio, σ aparece en el numerador, se observa que una mayor variación en los tiempos de servicio da como resultado un mayor número promedio de unidades en la línea de espera. Tal hecho sugiere que una segunda alternativa para mejorar las capacidades de servicio de una línea de espera consiste en reducir la variación de los tiempos de servicio. Por ello, aún cuando no sea posible incrementar la tasa promedio de servicio para las instalaciones, una reducción en σ daría como resultado una disminución en el número promedio de unidades que se encuentran en la línea de espera y, en términos generales, un mejoramiento en las otras características de operación del sistema.

MODELO DE CANALES MÚLTIPLES CON LLEGADAS SEGÚN POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE ESPERA

Una variación interesante de los modelos de colas se refiere a un sistema en el que no se permiten las esperas. Las unidades o clientes que llegan buscan ser atendidas en alguno de varios canales de servicio. Si todos los canales están ocupados, se les niega el acceso al sistema a las unidades que van llegando. En terminología de las colas, a las llegadas que se presentan cuando el sistema está ocupado a toda su capacidad quedan bloqueadas y se les elimina del sistema. Es posible que se pierdan esos clientes, o que intenten volver al sistema en algún momento posterior.

SUPUESTOS DEL MODELO

1) El sistema tiene k canales.2) El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa

promedio de llegadas, λ.3) Los tiempos de servicio para cada canal pueden tener cualquier distribución de

probabilidad.4) Tasa promedio de servicio, µ, es la misma para todos los canales.5) Las unidades que llegan ingresan al sistema sólo si está disponible cuando menos uno

de los k canales. Las llegadas que se dan cuando todos los canales están ocupados son bloqueadas, se les niega el servicio y no se les permita ingresar al sistema.

Utilizando G para denotar una distribución de probabilidad general (o no especificada) para los tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situación es el que denomina M/G/k, con “desalojo de unidades bloqueadas”. La cuestión que más comúnmente se aborda en este tipo de situaciones es ¿cuántos canales o empleados se deben utilizar?Una de las principales aplicaciones de este modelo se refiere al diseño de sistemas telefónicos, u otros sistemas de comunicación, en donde las llegadas son las llamadas, y los canales son el número de líneas de teléfono o de comunicación disponibles. En tal sistema, las llamadas se hacen a un número telefónico, y cada una se dirige en forma automática hacia un canal abierto, si es posible. Cuando todos los canales están ocupados, las llamadas adicionales reciben una “señal de ocupado” y no se les permite el acceso al sistema.

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA EL MODELO M/G/k CON DESALOJAMIENTO DE LAS UNIDADES BLOQUEADAS

Se aborda el problema de elegir el mejor número de canales calculando las probabilidades de estado estable de que exactamente j de los k canales estén ocupados. Estas probabilidades se calculan de la siguiente manera:

Donde:

λ = tasa promedio de llegadasµ = tasa promedio de servicio para cada canalk = número de canales en el sistemaPj = probabilidad que exactamente j de los k canales estén ocupados para j = 0, 1, 2,… k

Es posible que el cálculo de probabilidad más importante sea Pk, que es la de que todos los k canales estén ocupados. Sobre una base porcentual, Pk señala el porcentaje de llegadas que quedan bloqueadas y a las que no se les permite el acceso al sistema.Otra característica de operación que interesa para el modelo anterior es el número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, que es equivalente al número promedio de canales que se están utilizando. Empleando L para denotar el número de unidades en el sistema, se tiene que

EJEMPLO: Microdata Software Inc. utiliza un sistema telefónico de pedidos para sus productos de paquetería o software para computadoras. Quienes llaman hacen sus pedidos utilizando el número telefónico de uso gratuito de la compañía. Supóngase que las llamadas que llegan a este número de teléfono lo hacen a una tasa promedio de 12 por hora. El tiempo que se requiere para procesar un pedido telefónico varía considerablemente de uno a otro. Sin embargo, se puede esperar que cada representante de ventas maneje un promedio de 6 llamadas por hora. En estos momentos, se tienen tres líneas o canales internos, cada uno de ellos operado por un vendedor. Las llamadas que se reciben en este número gratuito se transfieren en forma automática a alguna de las líneas o canales abiertos, si es que los hay.Cuando las tres líneas están ocupadas, las personas que llaman obtienen una señal de ocupado. En el pasado, Microdata ha supuesto que las personas que llaman y reciben señal de ocupado vuelven a llamar después. Sin embargo, algunas investigaciones recientes sobre los pedidos telefónicos han mostrado que una porción importante de las personas que llaman y a las que se les negó el acceso, no vuelven a llamar después. Como estas llamadas que se eliminan representan ingresos perdidos para la empresa, los administradores han solicitado un análisis del sistema de pedidos por teléfono. Específicamente, los administradores pretenden saber el porcentaje de personas que llaman y reciben señales de ocupado y que, por lo tanto,

se les bloquea y excluye del sistema. Si la meta de los administradores es ofrecer un capacidad suficiente para manejar 90% de las llamadas, ¿cuántas líneas telefónicas y cuantos representantes de ventas debe emplear Microdata?

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA CON POBLACIONES DEMANDANTES FINITAS

Cuando no se tiene un límite sobre la cantidad de unidades que pueden buscar ser atendidas, se dice que el modelo tiene una población demandante infinita. Con este supuesto, la tasa promedio de llegadas, λ, permanece constante sin importar la cantidad de unidades que ya se encuentran en el sistema de líneas de espera. El supuesto de población demandante infinita se hace en la mayor parte de los modelos de línea de espera o colas.En algunos casos se fija en algún valor finito el número máximo de unidades de clientes que pueden buscar ser atendidos. En esta situación, la tasa promedio de llegadas para el sistema cambia dependiendo del número de unidades que se encuentran en la línea de espera. En los casos en los que se supone una población finita, se dice que el modelo de líneas de espera tiene una población demandante finita.

SUPOSICIONES PARA LA COLA O FILA

1.- La línea de espera tiene un solo canal.2.- La población de unidades que pueden buscar ser atendidas es finita.3.- El patrón de llegadas para cada unidad sigue una distribución de probabilidad según Poisson, con una tasa promedio de llegadas, λ.4.- Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con tasa promedio de servicio, μ.5.- La disciplina de la cola es “Primero que Llega, Primero se Atiende”, (PLLPA).

El modelo de líneas de espera apropiado en estos casos es el denominado M/ M/ 1, con una población demandante finita.

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA EL MODELO M/M/1 CON POBLACIÓN DEMANDANTE FINITA

Notación:λ = tasa promedio de llegadas para cada unidadµ = tasa promedio de servicioN = tamaño de la población

1.- PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA UNIDADES EN EL SISTEMA:

2.-NÚMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA:

3.- NÚMERO PRIMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA:

4.-TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDIDAD PASA EN LA LÍNEA DE ESPERA:

5.-TIEMPO PROMEDIO QUE UNA UNIDAD PASA EN EL SISTEMA:

6.- PROBABILIDAD DE QUE HAYA n UNIDADES EN EL SISTEMA:

(

EJEMPLO. Arbomex, S.A. de C.V. tiene un grupo de 6 máquinas idénticas y todas operan un promedio de 20 horas entre paros por descompostura. Como las descomposturas ocurren al azar se utiliza la distribución probabilística de Poisson para describir el proceso de llegadas de maquinas averiadas. Un operario del departamento de mantenimiento que es el que proporciona el servicio de reparación de un solo canal para las 6 máquinas. Los tiempos de servicio con distribución exponencial tienen un promedio de 2 horas por maquina. Determinar las características de operación del sistema de líneas de espera de reparación de máquinas.

SOLUCION:

Po =

Lq =

L =

Wq =

W =

En este caso el que las características de operación indiquen o no que se requiere un mejor servicio de reparación depende del costo del tiempo ocioso de las máquinas con desperfectos, en comparación con el costo de asignar una persona adicional para convertir la operación de reparaciones en un sistema de dos canales, o en uno más veloz de un solo canal.Los cálculos para el modelo de canales múltiples con población demandante finita son más complejos que los que se realizan para los modelas de un solo canal. En este caso, es casi indispensable una solución computarizada.