TEORÍA DE CONJUNTOS

George Cantor

•Defendió su tesis doctoral en 1867 sobre teoría de números•Demostró que los números reales son no enumerables•Es considerado el fundador de la teoría de conjuntos

Simbología

{ } Conjunto.

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

| Tal que.

n(C ) Cardinalidad del conjunto C.

U Conjunto universo.

φ Conjunto vacío.

⊆ Subconjunto de.

⊂ Subconjunto propio de.

⊄ No es subconjunto propio de.

> Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

∩ Intersección de conjuntos.

∪ Unión de conjuntos.

A Complemento del conjunto A.

= Símbolo de igualdad.

≠ No es igual a.

. . . El conjunto continúa.

⇒ Entonces.

⇔ Si y sólo si.

∼ No (es falso que).

∧ y

∨ o

Proposiciones Lógicas

Las proposiciones que pueden ser falsas o verdaderas se llaman Proposiciones Lógicas

a) El triángulo es una figura de 4 lados ( )

b) 3 + 5 = 8 ( )

Conjuntos

Un conjunto es una colección de cosas u objetos con características defi nidas. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y sus elementos se delimitan con llaves y se separan con comas.

a) El conjunto de las vocales.

A = { a, e, i, o, u }

b) El conjunto de los dígitos.

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

c) El conjunto de los números naturales.

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }

Observación: los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa y que los elementos siguientes conservan la misma característica.

d ) El conjunto de los días de la semana.

S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

e) El conjunto de los números naturales entre 5 y 10.

P = { 6, 7, 8, 9 }

Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan los símbolos y .∈ ∉

Ejemplos.

1.- Sea el conjunto A = { a, e, i, o, u }, entonces

u pertenece al conjunto A y se representa u ∈A.

x no pertenece al conjunto A y se representa x ∉A.

2.- Sea el conjunto B = { 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 }, entonces

2 ∈B, 5 ∈B, 1 ∉B, 11 ∉B

EJERCICIO 1

Dados los conjuntos: A = { a, e, i, o, u } y B = { 1, 2, 3, 4, 5 } coloca o ∈ ∉según corresponda:

1. a _____ B 7. i _____ A

2. c _____ A 8. o _____ B

3. 2 _____ B 9. e _____ A

4. 3 _____ A 10. 8 _____ B

5. u _____ A 11. b _____ B

6. 5 _____ B 12. 1 _____ A

Escritura y representación de conjuntos

Los conjuntos se representan de dos formas:

• Por ENUMERACIÓN O EXTENSIÓN. Cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto.

- Representa en forma enumerativa el conjunto M = {m ∈ N | m < 5}. SoluciónEl conjunto se lee: los números naturales que son menores que 5 y su representación en forma enumerativa es:

M = {1, 2, 3, 4}

- Representa en forma enumerativa el conjunto: A = {x ∈ Z | x + 8 = 10}.SoluciónEste conjunto lo forman los números enteros que sumados con 8 dan como resultado 10, por tanto, su forma enumerativaes:

A = {2}

Ya que 2 + 8 = 10

• Forma descriptiva o por comprensión. Se hace mención a la característica principal de los elementos del conjunto.

Representa en forma descriptiva el conjunto S = { x ∈ N | x es divisor de 6 }.

SoluciónEste conjunto se lee:

x pertenece al conjunto de los números naturales, tal que x es un divisor de seis.

x es una variable que cumple con las características del conjunto S.

Si Q = {2, 3, 5, 7, 11} representa su forma descriptiva.

Solución

Q = {q ∈ N | q es primo menor que 12}

Ejemplo.

Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.

Por Extensión : D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }

Subconjunto El conjunto A es subconjunto de B, A B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B

a) {1,2} {1,2,3,4,5}

b) {1,2,6} {1,2,3,4,5}

Sean A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5,6}, C={1,6} indique si se presentan las siguientes relaciones entre conjuntos:

•A B

•A C

•B A

•B C

•C A

•C B

Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, indique si:

•P R

•Q R

Subconjunto propio El conjunto A es subconjunto propio de B, A B, si y solo si, A B y A B

Sean P={1,2}, Q={1,2,3}, R={1,2,3}, se cumple:

• P R

• P R

• Q R

• Q R

Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).

Por ejemplo

A= {a,b,c,d,e} su cardinal n(A)= 5

B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal n(B)= 3

Diagramas de VennEs la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delimitan figuras planas como círculos orectángulos.Por lo general los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulosdelimitan al conjunto universo.

Representa en un diagrama de Venn el conjunto A = { 1, 2, 3, 4 }.Solución

2 Representa en un diagrama de Venn el conjunto:B = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 menor que 17 }