Teoria de Conjuntos2

Matemticas Discretas- FISI 2015-I Daniel A. Quinto Pazce

FISI Daniel A. Quinto Pazce

1

1

Teora de Conjuntos

CONJUNTOS:

Es una coleccin de objetos del mismo tipo.

A={a, b, c, d}

a A pertenencia

a A no pertenencia

DETERMINACIN:

a) POR EXTENSIN:

Cuando se nombran cada uno de sus elementos.

A={1, 2, 3, 4}

B={gato, perro}

C={rosa, clavel, margarita}

D={tringulo, cuadrado}

E[3]={5, 6, 7}, vector

M[3][2]={{5, 6}, {1, 2}, {3, 4}} matriz.



2

2

b) COMPRENSIN:

Cuando se expresa la propiedad o caractersticas

de los elementos del conjunto.

A={Los animales domsticos}

B={Las figuras geomtricas}

C={ 75/ xZx }

D={1

1/

2

x

xNx }

E={2

/x

xNx }

CLASES DE CONJUNTOS

a) Conjunto finito:

Es el conjunto cuyos elementos se pueden

contar.

A={La provincia de Lima}

B={b1, b2, b3, ., bn}

E=n

i

iA1

= A1 + A2 + A3 + An



3

3

b) CONJUNTO INFINITO

Es el conjunto cuyos elementos son imposibles

de contar.

A={Las estrellas del firmamento}

B={La arena del desierto}

E=1i

iA = A1 + A2 + A3 + +

c) CONJUNTO VACIO

Es el conjunto que no tiene elementos.

A={}

A=

Todo conjunto vacio es subconjunto de

cualquier Conjunto.

CREACION DE CONJUNTOS

Inicio

A = [ ];

Para ( i = 1 ; i



4

4

Fin;

Escribir ( A )

Fin-Inicio.

ELIMINACION DE CONJUNTOS

Inicio

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];

Para ( i = 1 ; i



5

5

SUBCONJUNTOS

Son relaciones de inclusin.

BA o

A es subconjunto de B

A est incluido en B

A est contenido en B o A est cont. e igual a B

A={Los meses del verano}

B={Los meses del ao}

BA

todo E

A Ejemplo 1: Generar todos los subconjuntos que

sea los vrtices adyacentes, en una figura

geomtrica del trapecio A, B, C, D con

interseccin de los diagonales en E.

E1={AB, AD, AE}

E2={BA, BC, BE }

E3={CB, CD, CE }

E4={DA, DC, DE}

E5={EA, EB, EC, ED}

A

CD

E

BA



6

6

Ejemplo2: Hallar el nmero de subconjuntos que

sean cuadrilteros.

E1=para 1 fig.{a, e, f} =3

E2=para 2 fig.{bc, ef,} =2

E3=para 3 fig.{bcd,} =1

E4=para 4 fig.{abce} =1

E5=para 5 fig.{} =0

E6=para 6 fig.{abcdef}=1

Total = 8 subconjuntos E = { E1, E2, E6} Ejemplo3:De una pila de 4 cubos donde cada

cara opuestas tenga distinto color;los colores son:

Verde (V), Rojo( R),, Amarillo (A ) y Blanco( B).

hallar todos los subconjuntos de dicha pila de

cubos. Tomemos solo un caso de la pila de cubos.

Un caso: E1= {VA, BR, BV}

ab

dc

e f

RAV

V

B

B



7

7

DIAGRAMAS

1.- DIAGRAMA DE VENN EULER

(A B) U C = {d, x, w}, AB+B+BC+C

2.- DIAGRAMA SAGITAL

B

A C

a d y x w

b

1X2X

1 2X X1

X2

X3

X1

3

2

*

*

*

*

A

B

C



8

8

3.- DIAGRAMA DE HASSE

4.- MEDIANTE EL DIAGRAMA DEL RBOL

ARBOL DE (DEWEY)

E1 E2

E3

E4 E5

A

B C

D E F G

1

1.1 1.2

1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.2

B C

A

D E F G



9

9

NOTACIN DEWEY

1A

1.1.B

1.1.1.D

1.1.2.E

1.2.C

1.2.1F

1.2.2.G

NOTACIN VECTORIAL

A ( B ( D, E), C ( F, G ) )

A B D E C F G CADENA

NOTACIN IDENTADA:

DIAGRAMA DE VEITCH

A

B

C

D

E

F

G



10

10

E

E1 1E

E2

21 EE = 1 2E E EXOR

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 2 1

E E E E E E E E

E E E E E E

+ E2 1E 1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 2 1

E E E E E E E E

E E E E E E E1

EXOR = 21 EE

EXNOR= 2121 EEEE = 1 2E E EXOR

NOTA 2 1 2 1E E E E ,

2E

0

1

2

3

2E

E2

1E

E1

E1 E2

2E



11

11

21 EE 1E 2E 21 EE

1E

2E

E1 E2 S

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 1

E1 E2 S

0 0 0 0

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

0

1

2

3

2E

E2

1E

E1

E1

E2

0

1

2

3

2E

E2

1E

E1

E1 E2

2E E2

1E

E1

E1 E2



12

12

A 2E

E1E2 = 2 1 2 1E E E E

+

E1E2 = 2121 EEEE

E1 E2 S

0 0 0 0

1 0 1 0

2 1 0 1

3 1 1 0

E1 E2 S

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 0

0

1

2

3

2E

E2

1E

E1

E1 E2



13

13

2E

A partir del grafico obtener el EXOR

1 2 3 1 2 3E E E E E E

= EXOR

31 EE 32 EE

1E 1E

2E

3E 3E 3E



14

14

Ejercicio

Represente mediante el diagrama de VEITCH

a) 21321321 EEEEEEEE

b) 321 EEE = Exnor

EXNOR

DIAGRAMA DE KARNAUGHT

Formacin de la tabla de Karnagut, para simplificar

a)

A B S

0 0 0

1 0 1

2 1 0

3 1 1

0

1

2

3

B B

A

A

A

B

Posicin decimal

En la tabla de

Karnaught



15

15

b)

A B C S

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 0

3 0 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

REGLA PARA SIMPLIFICAR CON KARNAUGHT

1. HACER LA MARCACIN CIRCULAR:

que sea simtrico y mltiplo par

2.HACER LA SIMPLIFICACIN, BUSCAR EL COMN

ENTRE:

horizontal y vertical simultaneo

BA

AB C

AB

BA

C

AB

C

__

0 1

2 3

4 5

6 7

Posicin decimal

En la tabla de

Karnaught



16

16

c)

A B C D S

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

CD AB CD

AB

AB

BA

BA

CD DC DC

1 0 2 3

7

9

6

10

4 5

8 11

12 13 14 15

Posicin decimal

En la tabla de

Karnaught



17

17

Ejemplos

a)

Al simplificar por Karnaught

ABBABAS

Por Propiedades

BAS

BBAAABS

ABBAABBAS

b)

CAS

A B S

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 1

1

1

1

B B

A

A

A

B

1 1 1 1

1 1

BC

A

A

BC

A

CB CB CB



18

18

c)

CDCDBS

BCDCDBS

d)

CABBDAZ

1

1

1

1

CD AB CD

AB

AB

BA

BA

CD DC DC

1 1

1 1

CD AB CD

AB

AB

BA

BA

CD DC DC



19

19

Simplificar

SOLUCION

S = A + CD

Se utiliza cuatro lneas de entradas A, B, C, D para representar un nmero binario de cuatro dgitos de {0,1} en A como el dgito ms

significativo y D como el dgito menos significativo. Disear un modelo de conjuntos cuya salida produce 1 slo cuando el nmero binario sea mayor

que la secuencia 0110.

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

CD

AB CD CD CD CD

AB 1

AB 1

AB 1 1 1 1

AB 1 1 1 1



20

20

CONJUNTOS EQUIPOTENTES:

Cuando existe una biyeccin del uno sobre el otro y

tiene el mismo nmero de elementos.

A={a, b, c}

B={1, 2, 3}

a

b

c

1

2

3

A B



21

21

LEY DE MORGAN

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

AA

AA

BABA

BABA

11

11

CONJUNTO POTENCIA (DE LAS PARTES)

Sea los subconjuntos A={A1, A2 An} que forman

conjunto potencia de A.

Si /A X X A , donde X P A

n(P(A))= 2n subconjuntos o elementos

Ejemplos

1) Sea A={A1}, 21=2 subconjuntos

P(A) ={ , {A}}

2) Sea A={A1, A2}, tiene P(A) 22=4

subconjuntos

A1



22

22

A1 A21

A31

A1,A2,A3

A2,A3 A1,A2

A1,A3

P(A)={ , {A1}, {A2}, {A1, A2}}

1. Sea A={A1,A2,A3} , P(A) tiene 23 = 8

subconjuntos.

1A

1 2A A

2A



23

23

1. Sea A={A1,A2,A3, A4} , P(A) tiene 24 = 16

subconjuntos.

P(A)={ , {A1}, {A2}, {A3}, {A4}, {A1, A2},

{A1, A3}, {A2, A4}, {A3, A4}, {A1, A4}, {A2, A3,

A4}, {A1, A2, A4}, {A1, A2, A3}, {A1, A3, A4}, {A1,

A2, A3, A4} }

A1

A4 A3 A2

A3A4

A1A

2 A

3 A4

A1A

2

A1A

3

A1A

2 A

3

A2A

4

A2A

3 A

4

A2A

3

A1A

4

A1A

2 A

4

A1A

3 A

4



24

24

RECUBRIMIENTO DE CONJUNTOS

Se dice que los subconjuntos A={A1, An}forman

un recubrimiento del conjunto A.

Si se cumple:

a) n

i

iAA1

b) ji AA

c) ji AA

Ejemplo

Dado el conjunto A={a, b, c, d, e, f, g}, formar 4

recubrimientos.

A1={a, c, d, e}

A2={b, c, d, e, f, g}

A3={a, b, c, f, g}

A4={b, c, d, e, g}

A5 A4

A1

A2

A7

A7

An

A3

A



25

25

Ejemplo:

Sea A={0, 1, 2, , n}, formar 3 recubrimientos

A1={1, 3, 5, } impares

A2={1, 2, 3, 5, 7, } primos

A3={0, 2, 4, 6, } pares

PARTICIN DE CONJUNTO


una particin del conjunto A

Si se cumple :

a) n

i

iAA1

b) ji AA

c) ji AA

A1

A2

An

A3

A



26

26

CONJUNTO ORDENADO


un conjunto ordenado, si sus elementos admiten un

valor posicional y direccin Interna Ej. El sistema de

codificacin. ASCII, el sistema de cdigo Hamming,

cdigo de Aiken, cdigo de Gray, etc.

A1={0, 1, 2, 3, 4, , 100}

A2={a, b, c, d, e, , z}

As={(a1, a1), (a1, a2), (a1, a3), (a2, a2), (a2, a3), (a3,

a3), (a4, a1), (a4, a2), (a4, a3), (a4, a4) }

a1 a2

a4 a3



27

27

CONJUNTO BIEN ORDENADO

Se dice que los subconjuntos A= {A1, A2, A3, , An}

forman un conjunto bien ordenado si sus elementos

admiten una relacin menor y una relacin mayor.

Ejemplo:

Sea A1={a1, a2, a3, a4, a5}, Encontrar todos los

elementos menores de la cadena: a5 a3 a4 a1 a2

1.MATRIZ DE SUBCONJUNTOS DESORDENADOS

SUBCONJUNTOS DESORDENADOS:

MATRIZ DE SUBCONJUNTOS DESORDENADOS:

a1 a2 a3 a4 a5

a4

a22

a3

a4



28

28

2.DIAGRAMA SAGITAL DESORDENADOS

3.MATRIZ CON SUBCONJUNTOS BIEN ORDENADOS

MATRIZ ORDENADOS

4.DIAGRAMA SAGITAL DEL SUBCONJUNTO BIEN ORDENADO

a5 a3 a4 a1 a2

a1

a1 a1

a1 a1

a5 a3 a4 a1 a2

a1

a3

a4

a2



29

29

5.TODOS LOS ELEMENTOS MENORES:

a2 es el elemento menor del subconjunto A

a1 es el elemento menor de A-{a2}

a4 es el elemento menor de A-{a1, a2}

a3 es el elemento menor de A-{a4, a1, a2}

a5 es el elemento menor de A-{a3, a4, a1, a2}

FIN DE LA CLASE

Ejercicio:

a)Sea el conjunto A1={a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}

Hallar su grafo con todos los elementos menores de.

a7, a6, a4, a1, a2, a3, a5, a8

b)Sea el subconjunto A1={a4, a1, a3, a4, a6, a2, a5},

encontrar todos los elementos menores.

c) Por el diagrama de Hasse de particin de una

matriz 5x5,se pide encontrar todos los elementos



30

30

menores de la concatenacin de la cadena de

subconjuntos de A5 A7 y A2 A1.

CADENA IDENTIFICADA: DE LA MATRIZ

A5, A4, A1 , A3 , A7 A2, A6, con la concatenacin se logra:

A5, A4, A1 , A3 , A7 , A2, A6 1. MATRIZ DE ELEMENTOS

DESORDENADOS

5 5 6 6 2

5 4 7 6 3

5 4 1 3 2

2 6 3 3 7

2 2 4 7 7



31

31

2.GRAFO CON DEL DIAGRAMA SAGITAL

DE SUBCONJUNTOS DESORDENADOS

3.MATRIZ DE ELEMENTOS ORDENADOS



32

32

4.DIAGRAMA SAGITAL DEL

SUBCONJUNTO BIEN ORDENADO

5.TODOS LOS ELEMENTOS MENORES BIEN

ORDENADOS:

A6 es el menor de los subconjuntos de A

A2 es el menor de los subconjuntos de A-{ A6 } A7 es el menor de los subconjuntos de A-{ A2, A6 }

A3 es el menor de los subconj. de A-{ A7, A2 ,A6}

A1 es el menor de los subconj. de A-{ A3, A7 ,A2, A6}

A4 es el menor de los subconj. de A-{ A1, A3, A7 ,A2, A6}

A5 es el menor de los sub. de A-{ A4,A1, A3, A7 ,A2, A6}



33

33

d) Determine todos los elementos

menores de la relacin sombreada.

b c e e c b d a f

OTROS EJERCICIOS

Se utiliza 4 lneas de entrada A, B, C, D para representar un nmero binario de 4 dgitos

de ceros y unos, con A como el digito ms significativo y D el menos significativo,

Disear un modelo lgico a travs de compuertas lgicas, cuyas salidas de la funcin

produce 1 solo cuando el numero binario sea mayor que la secuencia 0110. (Use el

diagrama de Karnaught para simplificar) y disee un chip de un sumador completo de 8

bits de 4 entradas para la ALU de un procesador en base de semisumadores.

Solucin:



34

34

TABLA DE VERDAD

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1



35

35

( )

( )

(1 1 1 1)

( )

.

0

S ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

S ABCD A BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD

S ABCD A BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD BCD

S ABCD A

S ABCD A

S A BCD A

S A A ABCD

S ABCD

S ABCD

S A BCD



36

36

OTROS EJERCICIOS

1. Utilice el diagrama de Venn Euler para

demostrar:

a) 1AA

b) 0.AA

2. Disear un modelo lgico de conjuntos

de tres entradas A, B, C que tenga

como salida 1 slo cuando la mayora

de ellos sea tambin 1. a) BDADBAZ

BAZ

DDBAZ )(

1

A

1

A

1

A

1

A



37

37

b) ))(( BABAZ

BZ

AABZ

BABBAZ

BABBAAZ

)1(

))(())((

c) BCDAACDZ

)(

)(

))((

)(

BACDZ

BACDZ

BAACDZ

BAACDZ

d) )(ACBAABCZ

)(

))(()(

)(

BCAZ

BBBCACBBBCAZ

CBABAABCCABAABCZ

e) CBACABABCZ

)(

)())((

)(

)(

BCAZ

CBACBCAZ

CBCACABACZ

CABBBACZ

f) CBACDBABDACAZ )(

)(

)(

)(

BCDACBZ

CBCDACBZ

CDBADCACBACBAZ

CBACDBADBACAZ



38

38

g) )))((( BCBAZ

BCZ

ABCBCACBZ

BBCACZ

BCBABCBAZ

)1(

)(

))(())((

3. Disear un modelo lgico de conjuntos

de tres entradas A, B, C que tenga

como salida 1 slo cuando la mayora

de ellos sea tambin 1.

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

BA 1

1 1

1

AB C

AB

BA

C C

AB

BCCBAS )(



39

39

4. Se utiliza cuatro lneas de entradas A,

B, C, D para representar un nmero binario de cuatro dgitos de {0,1} en A

como el dgito ms significativo y D

como el dgito menos significativo.

Disear un modelo de conjuntos cuya

salida produce 1 slo cuando el nmero

binario sea mayor que la secuencia 0110.

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

BCDAS

1

1 1

1

1 1

1

1

1

CD AB CD

AB

AB

BA

BA

CD DC DC



40

40

5. Simplificar mediante el mapa de

Karnaught.

a) CBAABCBCACBAZ

b) DABCABCDDCABCDABZ

C C

BA

BA

AB

AB

AB

C

CZ

CD DC CD DC

BA

BA

AB

AB

AB

CD

ABS



41

41

c) ABCDDCABBCDADCBAZ

d) DCBADABCDCBACDABZ

e) CDBADBCADCABCDABZ

CD DC CD DC

BA

BA

AB

AB

AB

CD

BDS

CD DC CD DC

BA

BA

AB

AB

AB

CD

DAS



42

42

e) DABCABCDDCABCDABDBCABCDADCBACDBAZ

6. A partir del diagrama de Veitch:

a) 1E

CD DC CD DC

BA

BA

AB

AB

AB

CD

)( ADADBS

CD DC CD DC

BA

BA

AB

AB

AB

CD

BS

E1 E2



43

43

b) 2E

c) 21 EE

d) 21 EE

e) 21 EE

f) 21 EE



44

44

g) 21 EE

h) 21 EE

i) 21 EE

j) 21 EE

k) 21 EE

l) 21 EE



45

45

1E 1E

2E

3E 3E 3E

2E

7. A partir del diagrama obtener:

a) 31 EE

b) 32 EE

c) 321 EEE



46

46

CREACION DE CONJUNTOS

INICIO

A = [ ];

Para ( i = 1; i 10; i++)

Hacer

A = A + [ i ];

Fin

Escribir (A);

FIN A = {1, 2, 3, 4, 5, ..10}

ELIMINACION DE CONJUNTOS

INCIO

A = [1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ];

Para ( i = 1; i 10; i++)

Hacer

A = A - [ i ];

Fin

Escribir (A);

FIN A = [ ]

FIN DE LA PRCTICA

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