Teoria de Contacto Pb1

7/23/2019 Teoria de Contacto Pb1

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Revista Internacionalde Mtodos Numricos para Clculo y Diseo en Ingeniera. Vol. 5 , 2, 163-184( 1989)

UN MODELO DE ELEMENTOS FINITOS MIXTOSPARA LA RESOLUCION DELPROBLEMA DEL CONTACTO ELASTICOFRANCISCO J. GALLEGO

YJUAN J. ANZA

Dpto. de Ingenierz MecnicaUniversidad de ZaragozaLuciano Gracia s /n50015 Zaragoza

RESUMENSe aborda el problema del contacto elstico haciendo uso del mtodo de los multiplicadores

de Lagrange, dando lugar a un modelo de elementos finitos mixtos. Se introduce explcitamenteuna ley de friccin no-lineal e implcitamente un carcter no local para la misina. Para'evitaroscilaciones de la variable tensin en las proximidades de puntos singulares, se considera laformulacin de un funcional lagragiano perturbado. Los algoritmos propuestos liberan posiblesdependencias nodales de los cuerpos contactores, permitiendo la discretizacin independiente deambos, y el contacto siinultneo en zonas distintas de geometra cualquiera. La implementacinen el ordenador se ha limitado a los casos plano y axisimtrico.

SUMMARYThe static elastic contact problein is faced up through Lagrange multipliers, leading to a

inixed finite element problem. A non linear friction law is introduced explicitly and the nonlocal character of the friction phenomena is taken into account in an implicit way. In orderto avoid stress oscilations near singular points a perturbed lagrangian functional is considered.Th e algorithiiis lierein proposed do not iinpose nodal dependencies over the contacting surfaces,letting tlie independent discretization of both bodies. The inethod is able to model simultaneouscontact over differeiit regions of any geoinetrical shape. Coinputer code, exainples and resultsliere presented, are restricted to axisyininetrical and bidimensional cases.

INTRODUCCIONLos elevados ndices de prestacin exigidos en la actualidad a numerosos conjuntos

mecnicos imponen fuertes requerimientos al diseo de sus elementos componentes.Esto es motivo para que aspectos del diseo en los que antes no era preciso profundizardeban ser contemplados con gran rigor en la actualidad. La deformacin local de laszonas de contacto, y la mutua adecuacin de las formas de las superficies donde ste

Recibido: Diciembre 1987

OUniversi tat Politecnica de Catnlunya (Espaa) ISSN 0213-1315 163


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se establece, puede afectar de forma importante las relaciones cinemticas establecidasentre dos o ms slidos, ligados por restricciones de contacto. Entre los numerosos casosde inters, pueden destacarse como caractersticos, el contacto entre los elementos deun rodamiento, entre elementos de unin o el contacto rueda-carril.

El anlisis del contacto entre slidos interesa en la actualidad bajo una perspectivanis amplia que la de los problemas mecnicos tradicionales del contacto esttico. Elestudio de los procesos de impacto requiere el conocimiento de la evolucin temporalde las reas de contacto y conduce a algoritmos ms generales de contacto dinmico,desarrollados para el modelado del impacto. Estos algoritmos encierran mayorcomplejidad que los orientados especficamente al anlisis del contacto esttico, puestoque adems de preservar la no penetracin, deben considerar la movilidad de la interfasey los efectos msicos. Pa ra ello, en los sucesivos pasos que discretizan la evolucin en eltiempo, deben evaluarse los desplazamientos, velocidades y aceleraciones, manteniendola cantidad de movimiento de la interfase de contacto.

El mtodo de los elementos finitos ha proporcionado una importante herramientade trabajo para abordar los problemas de la mecnica del continuo. El mtodo seha aplicado al problema del contacto a travs de distintos algoritmos. Entre stoscribe destacar los basados en procedimientos incrementales "prueba-error" tales como[Chan et al.', Wilson et al.2] en los que se determina el tamao del incremento decarga tal que hace cambiar las condiciones de contorno del problema. Los que empleanelementos imaginarios de muy pequeo espesor, llamados elementos "frontera", quedispuestos sobre la posible zona de contacto modifican su rigidez de acuerdo a lasrelaciones cinemticas alcanzadas sobre la zona de contacto [Desai et Ostachowicz4,Urzua et Y mtodos que minimizan un funcional con restricciones mediantemultiplicadores de Lagrange o por introduccin de trminos de penalizacin [Bathe etal.G,Friedriksson7, Oden et al.', Pian et al.', Yagawa et al.'']. Tradicionalmente lafriccin se ha introducido en la formulacin del problema del contacto por aplicacinde la ley de friccin de Coulomb, dando lugar a un funcional convexo no diferenciable.Oden y Piresl' han desarrollado recientemente leyes de friccin de los tipos denominados"no local'' y "no lineal" estableciendo la existencia y unicidad para la formulacinvariacional.En el campo del contacto dinmico los algoritmos existentes no consideran losefectos de la friccin que son secundarios en los procesos generales de impacto. Sonimportantes los estudios bidimensionales [Wilkins12],encaminados al anlisis de lapenetracin y perforacin de proyectiles y los tridimensionales [Hallquist13], dondeel contacto se impone nodo contra superficie, mediante el mtodo de penalizacin yuna tcnica de doble paso que permite un tratamiento simtrico de ambas superficiesde contacto. Recientemente Miquel y Bonet14 han presentado un procedimiento quepermite la estimacin adecuada de las rigideces ficticias del mtodo de penalizacin conobjeto de evitar las inestabilidades numricas de los procesos explcitos de integracin.

En este trabajo se presentan procedimientos para el estudio del contacto estticomediante tcnicas de elementos finitos donde las restricciones de contacto se imponenmediante multiplicadores d Lagrange. Este mtodo conduce a un nmero de ecuacionessuperior al que se obtiene mediante el mtodo de penalizacin, pero sin embargo esms sistemtico y carece de los inconvenientes numricos (modos no energticos de


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deformacin) que conlleva la integracin reducida propia del mtodo de penalizacin.En lnea con los tr aba jos ms recientes [Hallquist13, Ba the6 , Simo15] los algoritmosdesarrollados carecen de las dependencias nodales que anteriormente no han permitidola libre discretizacin de las interfases de contacto, ni la posibilidad de representardirectamente procesos evolutivos de acomodacin. Frente al contacto nodo contrasuperficie, impuesto por Bathe6 mediante multiplicadores de Lagrange puntuales consignificado fsico de fuerzas, en este trabajo, los multiplicadores han sido formuladosen forma continua, correspondindoles el significado fsico de la tensin de contacto.Ello conduce al concepto de compatibilidad integral, obtenindose de forma directaresultados similares a los obtenidos por Hallquist13 mediante el contacto nodo contrasuperficie y el tratamiento simtrico de la interfase mediante la tcnica de doble paso.La formulacin del problema del contacto se ha realizado mediante un funcionallagrangiano perturbado, que ha permitido eliminar las oscilaciones de la variabletensin (multiplicadores) en las proximidades de puntos singulares, de forma similara los resultados obtenidos por Simo15,mediante el mtodo perturbado de penalizacin,aplicado para obtener una compatibilidad de nodo contra superficie de doble paso. Eneste marco definido por la imposicin de la condicin de no penetracin mediantemultiplicadores de Lagrange, se ha experimentado el comportamiento de leyes no-lineales de friccin consideradas explcitamente, a quienes se ha dotado en formaimplcita de mecanismos de comportamiento no local. La implementacin en elordenador de la formulacin descrita en este trabajo, se ha limitado a los casos planoy axisimtrico.

FORMULACION DEL PROBLEMA

Se presentan a continuacin las formulaciones del problema del contacto elsticocorrespondientes a los casos con y sin friccin. Se ha optado por consolidar laformulacin del problema sin friccin y realizar posteriormente un desarrollo paralelopara el problema con friccin. Las razones para este desarrollo estn basadas enlas importantes dificultades que en su planteamiento, tanto fsico como matemtico,presenta el problema con friccin frente al caso en ausencia de la misma.

CONTACTO ELASTICO SIN FRICCION

La formulacin del contacto elstico se basa en las ecuaciones generales de laelasticidad y en las especiales condiciones de contorno sobre la superficie de contacto.Las condiciones cinemticas para el caso de contacto de slido elstico con superficiergida se expresan a travs de la denominada [Oden y Kikuchis] "Condicin de contactolinealizada" :


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cuya representacin grfica bidimansional se muestra en la Figura 1,y donde:X2 = C(X1) es la ecuacin de la superficie rgida de contacto.X;lyX;L (i = 1 - 2 ) las coordenadas iniciales de las superficies elstica y rgidarespectivamente.N es el vector normal a la superficie rgida, en el punto R.S es un punto genrico de la superficie elstica. La direccin R S es paralela a ladireccin XI.g es la distancia S R , y u el vector desplazamiento en el punto S.

Figura 1. Geometra del contacto. Figura 2. Ejes locales

El desplazamiento u debe ser tal que despus de la deformacin el punto S estsituado en o por encima del plano tangente a la superficie C(X 1 ) por el punto R. Estaecuacin establece en forma aproximada la condicin de "no penetracin", con unaprecisin dependiente en cada punto S de la orientacin del eje Xa Por esta razn esconveniente tomar los ejes locales (Xl, X2) en forma tal que el problema aproximadotenga sentido, en particular podran tomarse los correspondientes a la normal y tangenteen cada punto a la superficie de contacto (Figura 2).

Las condiciones en tensin son:.- Condicin de contacto unilateral

a, = UN < O si existe contactoa, = O si no existe contacto

,- Superficie perfectamente lubricada. Ausencia de friccin:

En el caso de contacto entre dos slidos elsticos, las condiciones se planteanfbrmalmente en la misma manera, sin ms que llamar:.


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donde 9 ( X 1 ) es la ecuacin de la segunda superficie de contacto.P r o b l e m a de con to rno

Puesto que las condiciones de contorno sobre la superficie de contacto se puedenexpresar en forma equivalente para el contacto con slido elstico o sobre base rgida,escribiremos la formulacin para esta ltima.Se trata de encontrar un campo de desplazamientos u = {u;) sobre el dominioelstico R que satisfaga:

aij,j+ i = O en. mU; = O en ru (7')

r ; j ( u ) n j = ti en r, (8)y las condiciones de contacto unilateral

Formulac in variacionalHaremos uso en este apartado de algunas relaciones que al respecto se indican en

ViaolG. ntroduzcamos en primer lugar el espacio de HilbertV = {v = [vi] E [ H ' ( R ) ] ~ ~ v ; O en ru 1 5 i 5 3) (10)

donde H 1 ( R ) es el espacio de Sobolev usual de funciones L 2 ( R ) . Supongamos ademsque las fuerzas de masa fi y de superficie ti son tales que

fi E L 2 ( R ) , t i E L 2 ( r u ) , 1 5 i (11)Finalmente supondremos que la funcin distancia g N verifica

g~ E L ~ ( r e ) ( 12)Las restricciones ( 1 ) imponen el siguiente conjunto de desplazamientos admisibles

K = { u E V ( v , + g, 5 O sobre I',) ( 1 3 )K es un conjunto convexo, cerrado y no vaco de V. Duvaut-Lions" mediante laaplicacin de la frmula de Green, prueban la equivalencia formal de (6 - 9 ) con lasiguiente inecuacin variacional


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Donde a(v,v) es la forma bilineal habitual en elasticidad y G(v) el trabajo de lasfuerzas externas. Glowinski18 prueba que en las hiptesis (12 - 13) el problema (14)admite una y slo una solucin que, siendo a(@, ) simtrica, coincide con el problemade minimizacin con restricciones siguiente

~ ( u ) min J(v ) , v E K (15)donde J es el funcional de energa potencial

Funcional lagrangianoPodemos relajar las condiciones para el espacio de bsqueda de soluciones

formulando mediante el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, el funcionalaiumentado

Con (a, a ) producto interno en L2 . El multiplicador de Lagrange TN representafsicamente la tensin normal sobre la zona de contacto y por tanto sta debe verificarla condicin de contacto unilateral

El punto estacionario (u, X N ) del funcional lagrangiano se determina por lacondicin de mnimo del mismo respecto a las variables del problema, dando lugaral! siguiente sistema:

Funcional lagrangiano perturbadoNo siempre es posible garantizar la existencia de un punto de ensilladura para el

funcional langrangiano (17). Las dificultades nacen de la posible falta de cumplimientode la condicin de coercividad negativa respecto del multiplicador [Oden y Carey"].Para asegurar el cumplimiento de esta condicin se introduce el funcional lagrangianoperturbado


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Donde E es un nmero positivo arbitrario. Se demuestra, que bajo ciertas condiciones(Condicin de BabuskaZ0-Brezzi21)as soluciones perturbadas convergen a la solucinoriginal haciendo tender E - .

Las soluciones perturbadas se obtienen del siguiente problema variacional:

CONTACTO ELASTICO CON FRICCIONLey de friccin

La ley de friccion de Coulomb, habitualmente empleada en los trabajos de contacto ,~ u e d eer representada en la forma most rada por la Figura 3.

F i g u r a 3 . L ey de fr iccii i de Coulo i i ib . F igura 4. Ley de fr iccin no-l ineal .

Siguiendo a Oden y Pires", se puede argumentar que la Ley de Coulomb no es unabase de partida adecuada para los problemas de contacto en la teora de la elasticidad,ni desde un punto de vista fsico ni matemtico. Estos autores proponen incorporar ala ley de friccin un trmino "no-local" de manera que un punto dado est influenciadoen su comportamiento de friccin por lo que ocurra en un entorno8 del mismo, adiferencia del planteamiento punto a punto establecido por la ley de Coulomb. En laformulacin presentada en este trabajo no se considerar explcitamente este carcterno-local del mecanismo de la friccin. Las relaciones que expresan el comportamientodel mecanismo de friccin conducen siempre a ecuaciones constitutivas no lineales. Lainformacin experimental muestra que siempre existen, incluso en zonas de supuestaadherencia, pequeos desplazamientos tangenciales de los puntos de la superficie decontacto, debidos a las deformaciones elsticas y elastoplsticas de las "uniones" entrelas rugosidades de dichas superficies. Cuando estas uniones se rompen se produce eldeslizamiento entre ambas superficies. Las leyes de friccin que recogen esta conducta


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de la unin, previa al deslizamiento, se denomina "no-lineales". En la Figura 4 semuestra grficamente una ley de las ms simples que pudieran proponerse.La ley se escribe como:

laT\ -pa, existe un a 2 O, ta l que u, = -&uTDonde /.L es el coeficiente de friccin. Es evidente que para v = O se tiene la tradicionalley de Coulomb. En la formulacin que se propone para el contacto con friccin, seconsiderar una ley de friccin de este tipo.Formulacin variacional

El problema de contorno se establece sin ms que modificar en el problemaplanteado por (6 - 9) las condiciones de contorno para a ~ ,ntroduciendo las propiasde la ley de friccin empleada (22).

En el planteamiento del problema del contacto elstico con friccin se produce unasituacin fuertemente no-lineal. Por una parte la forma y tamao de la superficie decontacto I es desconocida, por otra, la particin de esta superficie ha de realizarseen, funcin de las tensiones normal y tangencial sobre la misma, ambas incgnitasde nuestro problema. Consideremos pues la formulacin variacional del problema delcontacto elstico con friccin en el marco de un proceso iterativo, y supongamosconocida la forma y tamao de la superficie de contacto, y tambin la particinde la misma en dos zonas de adherencia y deslizamiento, realizada en base a lastensiones normal y tangencial que sobre la superficie de contacto se hubieran obtenidoen. iteraciones anteriores. El funcional lagrangiano para este problema se escribe

donde J,(v, 7,) representa el trabajo virtual dado por las fuerzas de friccin:

JF(v,7T) = (-p(t N(, vT) para ( aT / -ptNEl punto estacionario (u,A,, A,) para este funcional se determinan de la condicin

de m'nimo del mismo respecto de las variables del problema (u , TN,T,), y donde lassuperficies de adherencia y deslizamiento se determinan por la condicin:

rc ,, zona de adherencia donde se cumple l t ~ l - P ~ N (25)red, zona de deslizamiento donde se cumple lb = - P ~ N P6)

y donde las tensiones tangencial y normal t, y t N estn determinadas en iteracionesanteriores.


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A P R O X I M A C I O N C O N E L EM E N T O S F I N I T O SLa formulacin en multiplicadores de Lagrange conduce a un modelo de elementos

finitos mixtos. Realizando las aproximaciones habituales sobre los elementos finitos ydefiniendo adems las siguientes relaciones pa ra las variables de contacto:

supuesta formulacin isoparamtrica: gkh = N ~ ~ H ~ ~ ~(29)

(Donde: N e , T e , matrices de cosenos directores de la normal y tangente a lasuperficie de contacto; He , f , Be, matrices de funciones de forma para aproximar losdesplazamientos, las tensiones normales y las tangenciales; Aui, AA: AY,, vectoresen forma increment al de desplazamientos, tensiones normales y t angenciales sobre losnodos de aproximacin; gi , vector de distancias nodales.) Se obtienen las matrices yvectores propios del M.E .F .( K, matr iz de rigidez del o los slidos elsticos; R,, R, , P;,vectores de fuerzas de volumen, de superficie y fuerzas internas de l a iteracin anterior)y adems, como caracterstico del problema del contacto aparecen [Gallegoz2] asdenominadas"Matriz de contacto" elemental en el estado (n):

"Matriz de friccin elemental en el estado (n):

"Matriz de Regularizacin" elemental en el estado (n):

El punto estacionario del funcional lagrangiano (23) se obtiene de la solucin delsiguiente sistema de ecuaciones, que escrito en forma incremental toma la forma:


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donde los vectores y matrices que representan las restricciones del contacto con y sinfriccin se han orlado de manera que se introduzcan en forma adecuada.

Sobre la aproximacin en elementos finitos realizada, la influencia del trmino deperturbacin se reduce a la introduccin en la matriz de rigidez del sistema, para losg.d.1. en tensin, de un trmino adicional denominado "Submatriz de perturbacin",que en trminos de las integrales sobre la superficie de contacto se escribe:

McaK?)= K$") K:( )= E (4,p)T(4,p)dse=l c a

PROCESO DE SOLUCION

Para obtener soluciones al problema del contacto elstico es necesario resolverel sistema de ecuaciones en forma incremental (35). En este sistema aparecendesigualdades provocadas tanto por la falta de conocimiento de la superficie real decontacto como por la particin de sta en subzonas de adherencia y deslizamiento.:Estarnos pues ante un problema no-lineal que precisa de un proceso iterativo que ensucesivos pasos "Prueba-Error7> os acerque a la solucin correcta. El esquema iterativopropuesto se muestra en la Figura 5.

El esquema iterativo parte de unas condiciones de contorno iniciales que determinanun primer tamao y particin de la superficie de contacto. La resolucin del sistemade ecuaciones (35) obliga por una parte al cumplimiento de las condiciones decontorno para el contacto "normal." (Contacto sin friccin) a travs de las restriccionescinemticas impuestas por los XN, y por otra, al cumplimiento de las condicionesimpuestas por ley de -friccin aplicada. Sobre la superficie de adherencia, la leyde friccin no-lineal permite un pequeo desplazamiento tangencial de acuerdo conla relacin tensin normal-tangencia1 existente en la iteracin anterior y en funcindel parmetro de regularizacin v empleado. Sobre la superficie de deslizamiento seintroduce como carga exterior la correspondiente a una tensin tangencial cuyo valores el producto del coeficiente de friccin por l a tensin normal. La solucin obtenidaen cada iteracin proporciona la base para determinar:- El cumplimiento de las condiciones del contacto normal, que determina un nuevo

tamafio de la superficie de contacto.


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Inicio(7contorno iniciales

Incremento deF < : d - ,

TChequeo CompatibilidadNuevas condiciones de contorno

Solucin del Sistema*'Chequeo Contacto UnilatdNuevas condiciones de contornoParticin de la mna de contactoe imposicin de las condicionesde la ley de fnccion sobre cadasubzona.

Solucin del SistemaelCarga total

Figura 5. Esqueiiia iterativo.- Una nueva particin de la zona de contacto antes determinada, en zonas de

adherencia y deslizamiento.Este esquema iterativo, introducido en un proceso de carga incremental, tal como

muestra la Figura 5, permite obtener la solucin al problema del contacto para unasecuencia de carga establecida en base a causas cualesquiera, externas al propioproblema de contacto.


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E L E M E N TO D E C O N T A C T OLas matrices elementales KC y K; definidas por (32)- 33), se obtienen integrando

sobre un elemento definido sobre la superficie de contacto. La malla de elementosfinitos proporciona en las superficies de contacto una simple y cmoda discretizacinpara estos elementos. Se toman como valores nodales respecto de los que interpolarla variable desplazamiento, los correspondientes a los nodos sobre el contorno de cadaelemento finito. Los valores nodales para interpolar la variable tensin (Multiplicadorde Lagrange) se eligen, en nmero y posicin, de acuerdo con la eleccin del tipode funciones de interpolacin que se decida emplear para aproximar el espacio debsqueda de soluciones. En definitiva, esta discretizacin para representar la superficied.e contacto real, supone la aceptacin implcita, para la forma inicial de dicha superficie,d.e una de las dos superficies en contacto antes de la deformacin. Puesto que se realizaun proceso iterativo en el que se tiene en cuenta el cambio de geometra en cada iteracinal calcular las matrices K:) y K:), la integracin final se realizar sobre la verdaderasuperficie de contacto, tanto en tamao como en forma.

Las ideas vertidas en el epgrafe anterior sugieren definir en la superficie de contactolo que denominaremos "Elementos de Contacto", sobre los que se fundamentatodo el proceso de computacin y para los que en paralelo con los "elementos finitos"habituales pueden establecerse sus caractersticas de aproximacin.

La matr iz de contacto elemental obtenida de la suma de KC y KF se escribe como

donde los subndices A y B hacen distincin entre los cuerpos ''contactor" yL'contactado" respectivamente. Sobre el cuerpo contactor se define directamente elelemento de contacto, realizndose sobre el mismo la integracin y estableciendo sugeometra la direccin normal Ne. Esta integral se realiza numricamente, de maneraque en los puntos de integracin estn implicadas las funciones u y g sobre el contactor,;y en funcin de los ejes locales elegidos para imponer la condicin de contacto Linealizadase determinan los puntos que implican a las funciones u y g sobre el contactado, talcomo se muestra en la Figura 6.

La matriz elemental tendr una dimensin variable de acuerdo al nmero de puntosde integracin, G , utilizados en su clculo (Figura 7) .

Las aportaciones a la integral, del elemento contactor y de los elementos implicadospor los puntos de integracin sobre el contactado, se introducen en la matriz de contactoelemental en forma de submatrices K,,,, KcFSi,ocupando distintas posiciones, de talmanera que en principio se supone que cada submatriz sobre el contactado correspondea un elemento distinto. En el ensamblaje de la matriz elemental sobre la matriz derigidez global, los trminos con g.d.1. comunes se sumarn para obtener as la aportacinto ta l a los coeficientes de las ecuaciones de restriccin de los elementos contactados.


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Figura 6 . Puiitos de integraciii. Figura 7. Matriz de contacto eleiiiental.

El uso de diferentes funciones de interpolacin para las variables tensin ydesplazamientos da lugar a distintas matrices de contacto . De l a necesaria conformidadentre las funciones que interpolan los desplazamientos sobre la malla de elementosfinitos y los correspondientes elementos de contacto, se deduce que ambas han de serdel mismo orden. Pues to que las tensiones se obtienen de la derivada primera delos desplazamientos, una aproximacin consistente para los mismos se realizar confunciones de interpolacin de un orden menor que las utilizadas para stos ltimos.Asegurando el cumplimiento de estas directrices se han desarrollado tres aproximacionesdistin tas. La aproximacin L -C, lineal para los desplazamientos y constante para lastensiones, la aproximacin Q - L , cuadrtica para los desplazamientos y lineal para lastensiones y la aproximacin 3L, en la que sobre cada dos elementos finitos bilineales sedispone un elemento de contacto con aproximacin tambin lineal de las tensiones. Laimposicin de restricciones en sentido tangencia1 slo se ha conseguido con elementosque rompan la "consistencia" de su aproximacin, elementos con igual grado deaproximacin para las tensiones que para los desplazamientos. Por su simplicidad, sedesarrollaron en todos sus aspectos computacionales los elementos plano y axisimtricocon aproximacin L-L, aproximacin lineal para los desplazamientos y tambin linealpara las tensiones.

El cdigo de ordenador implementado se ha organizado con el objetivo de mantenerla generalidad de un programa de elementos finitos, donde sea posible combinardiversos comportamientos con las condiciones de contacto planteadas. La imposicinde restricciones sobre la zona de contacto se realiza mediante nuevos "elementos",elementos de contacto, que se organizan, como es habitual en elementos finitos, consu propia conectividad, sus propiedades especficas, y se localizan a partir de la"librera" general de elementos del cdigo de ordenador, previendo as las necesidadesde crecimiento del programa.

Se define una matriz de conectividad para los elementos de contacto en la que seintroducen, por entrada de datos, el tipo de elemento y la numeracin de los nodossobre los que en el elernento base se interpolan los desplazamientos y las tensiones. Enel proceso de clculo posterior y a partir de las distintas condiciones de contorno, sellena el resto de la matriz de conectividad con los nmeros de los nodos de los elementos


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finitos que sobre el cuerpo contactado corresponden a los puntos de integracin sobreel contactor.Esta matriz de conectividad nos permite ensamblar los trminos de la matriz

de contacto elemental en la matriz de rigidez global del problema a partir de losnimeros de ecuaciones correspondientes a los g.d.1. de los distintos nodos. Lo quepodramos asimilar con las propiedades geomtricas o del material de los elementosfbitos habituales, se corresponde en esta organizacin con las coordenadas naturalesque determinan sobre los elementos contactados los puntos de integracin sobre elcantactor (Figura 6). Estas coordenadas se recalculan en el proceso iterativo para cadamodificacin de las condiciones de contorno.

Esta concepcin de las restricciones como elementos de contacto permite generaruna estructura paralela y muy similar a la habitualmente realizada para los elementosfinitos tradicionales proporcionando una muy cmoda y sistemtica metodologa detrabajo para la programacin en el ordenador.

PARTICION DE LA SUPERFICIE DE CONTACTO

La particin de la superficie de contacto en dos subzonas de adherencia ydeslizamiento requiere de la comprobacin, para cada iteracin, de las condicionesi~npuestas or la ley de friccin mediante las relaciones (25,26). La ley de friccinestablece una condicin punto a punto, de manera que una primera opcin para tomarlas decisiones (25,26) podra ser considerar en cada nodo de la zona de contacto estarelacin, e introducir o liberar el g.d.1. de tensin tangencial segn se cumpla la primerao la segunda relacin. Otra opcin consiste en asignar al elemento y no al nodo, laposibilidad de encontrarse en adherencia o en deslizamiento. Esto confiere adems uncarcter no-local, ta l como el propuesto por Oden y Pires", si bien no de una formaexplcita, al mecanismo de friccin implementado. As se permite deslizar al elemento siel producto del coeficiente de rozamiento por la fuerza normal total que sobre el mismose ejerce es mayor o igual que la fuerza total tangencial acumulada. Esta posibilidad hasido apuntada por Bathe y Chaudhary6, donde tambin se imponen las restricciones decontacto a travs de multiplicadores de Lagrange aunque no de forma integral. En elalgoritmo propuesto se implementaron las dos opciones y se comprob que esta ltimaera la que proporcionaba mejor convergencia al algoritmo como tambin se reconoceen [Bathe y Chaudhary6].

RESULTADOS

Compatibi l idad integralEn este apartado mostraremos el significado fsico de la compatibilidad integral,

desarrollada en este trabajo, comparando con los mtodos ms frecuentementeutilizados en la resolucin del problema del contacto, en los que la compatibilidad sei.mpone nodo contra nodo o nodo contra superficie. Los resultados obtenidos empleandoe l procedimiento integral se comparan con los expuestos por Simo et al.15, empleandoun mtodo de penalizacin tradicional en el que se impone la restriccin nodo contra


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superficie con dos tcnicas diferentes de simple y doble paso. En la Figura 8a se muestrala geometra indeformada de un bloque elstico indentado por un punzn rgido. Sobrela zona de contacto se emplearon dos elementos de contacto del tipo L-C. Las Figuras8b y 8c muestran los resultados obtenidos con el mtodo de penalty, con simple y doblepaso respectivamente. El perfil obtenido corresponde a una situacin intermedia entrela penetracin total que se alcanza con la tcnica de simple paso, y la ausencia depenetracin que se obtiene con la tcnica de doble paso. Posteriores refinamientos de lamalla se muestran en las Figuras 9 y 1 0 . Se observa que los mtodos de simple y doblepaso se acercan a la solucin integral a medida que aumenta el grado de refinamientode malla.mmmm

F i g u r a 8.

F i g u r a 9.

Figura 1 0 .

Parmetro perturbadorSe considera a continuacin un problema de contacto entre dos cuerpos elsticos con

superficie de contacto conocida de antemano. El problema se representa en la Figura11 y trata de la compresin de un dominio elstico rectangular sobre una cimentacintambin elstica y rectangular.

Una importante caracterstica de este problema es la presencia de la singularidadpropia de la esquina de contacto. Las presiones de contacto, obtenidas directamente dela resolucin del sistema de ecuaciones, son muy sensibles a la aparicin de este tipode singularidades producindose oscilaciones en la tensin normal. La introduccin dela submatriz de perturbacin ( 3 7 ) , relaja las condiciones de compatibilidad sobre la


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2 9Po= 1.2 Nw/mm. xA= 190 mm. a-B= 10 0 mm . ov g = 0.35

E,=E,=4000 ~ w / m m ~ , sV)

Actual Regularizadas

iremilongitud d e contactoFigura 11. Definicin del problema. Figura 12 . Tensiones normales.superficie de contacto, dando lugar a un efecto regularizador de las presiones normalessobre la misma. Con parmetros de perturbacin suficientemente pequeos se puedeobtener una adecuada compatibilidad y evitar el perjuicio que para la variable tensinsupone la existencia de importantes gradientes de la variable desplazamiento. En laFigura 12 se muestran las tensiones normales sobre la zona de contacto, oscilantes, sinparmetro perturbador, y regularizadas, con un parmetro de perturbacin E = 5 l o s 4 ,comparndose estas ltimas con las obtenidas para el mismo problema con otro mtodo[Garridoz3].Superficie de contacto desconocida

Se considera a continuacin un problema recogido en numerosas publicaciones deOden y Kikuchi [KikuchiZ4, den et al.', Oden25] ue trat a de la indentacin de una baseelstica rectangular, infinitamente larga, por un cilindro totalmente rgido, tambininfinitamente largo, sobre el centro de la misma. Las caractersticas del material sonE:=1000, v=0.3. La situacin se representa en la Figura 13. Sobre la posible zona decontacto se dispusieron elementos de contacto del tipo Q-L.

1b L 1 1o. 1 . 2. 3. xSemilongitud de contactoFigura 13. Definicin del problema. Figura 14. Tensiones normales.


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La distribucin de tensiones normales sobre la zona de contacto se muestra en laFigura 14 comparndose excelentemente con los resultados obtenidos por KikuchiZ4.En la Figura 15 se muestran la geometra inicial y deformada, aprecindose la buenacompatibilidad obtenida sobre la zona de contacto.

Figura 15. Mallas inicial y deforiiiada. Figura 16 . Mallas inicial y deforiiiada.

Algoritmo mu lt izonaEl algoritmo y su implementacin prctica en el ordenador conducen a una

est ructura de programacin paralela a la de los elementos finitos tradicionales. Es taestructura aporta gran generalidad de cara a la resolucin de muchos y variadosproblemas prcticos. En pos de esta generalidad se ha considerado en la programacindel algoritmo la posibilidad de trabajar sobre uno o varios cuerpos y con una o variaszonas de contacto sobre cada uno de ellos. La formulacin integral que se ha realizadodel problema de contacto es evidente que abunda en la posibilidad de definir en formacmoda tantas submatrices de rigidez como cuerpos interrelacionados por zonas decontacto estn presentes en el problema. Los elementos de contacto, como ejecutoresen ltima instancia de las restricciones de contacto sobre las distintas zonas, se aadende forma natural en la formulacin integral en nmero igual al definido sobre lasdistintas zonas de contacto. Se contempla a continuacin el caso de un cilindro elsticoinfinitamente largo y rgido. Por simplicidad se considera slo un cuadrante sometidoa una carga uniformemente repart ida en direccin normal a cada una de las direccionesde los lados del ngulo recto. En la Figura 1 6 se muestran las geometras inicial ydeformada de la malla de elementos finitos utilizada. El empleo de una fuerte cargafrente a la rigidez del material da lugar a importantes deslizamientos en cada unade las zonas de contacto, zonas perfectamente lubricadas, mantenindose sin embargoperfectamente la compatibilidad de desplazamientos en la direccin normal. El procesoiterativo que describe el algoritmo y la reforma de la conectividad y de las coordenadasnaturales que para cada iteracin se efecta sobre cada elemento de contacto, permitenel mantenimiento de la adecuada compatibilidad an con estos grandes desplazamientos.


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Contacto elstico con friccinSe presenta a continuacin un ejemplo con friccin en que el tamao de la superficie

d.e contacto es desconocida a priori. Este caso es el ms complejo que pudiera producirsepuesto que es necesario realizar iteraciones tanto para determinar el tamao de lasuperficie real de contacto como la particin de las misma en zonas de adherencia yd,eslizamiento. El problema ha sido resuelto por Oden y Kikuchis, para el caso de laindentacin de un bloque elstico infinitamente largo por un cilindro totalmente rgidoy tambin infinitamente largo. La situacin se muestra en la Figura 17.

"if-.,Actual KikuchigJ0CI2 -XSemilongitud de contacto

Figura 17. DefiniciBn del ejemplo. Figura 18. Tensiones normales ytangenciales.

Se ha resuelto el problema con una profundidad de indentacin de 0.4 y uncoeficiente de rozamiento p = 0.3. Como parmetro de regularizacin se considerun valor de v = 2.6E - 0.6. La distribucin de tensiones normales y tangenciales sobre1s zona de contacto se muestra en la Figura 18 comparndose excelentemente con laobtenida por Oden y Kikuchis. En la Figura se distingue la particin en dos zonas, unade adherencia y otra de deslizamiento.Contac to rue da carr il

La aplicacin de los mtodos propuestos en este trabajo, para la resolucin delproblema del contacto rueda-carril, es una buena oportunidad para comprobar laeficiencia de los mismos y su capacidad para tratar un problema tecnolgico de inters,tanto por la obtencin de relaciones cinemticas para los g.d.1. sobre el eje montado(Figura 19), desplazamiento vertical ( 2 ) rente al desplazamiento transversal ( Y ) ,como por la adecuada descripcin del contacto de la pestafia con el carril, que bajola consideracin de comportamiento como slido rgido conduce a unas relaciones conpuntos angulosos y grandes pendientes, que per turban de forma irreal la solucin delanlisis dinmico completo del vehculo. Para representar con una modelizacin planael problema del contacto rueda-carril, se determina, en forma analtica y mediante unaserie de hiptesis simplificativas, un espesor para una seccin transversal ficticia, quepermite establecer la carga vertical que por unidad de longitud soportar el modelo


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x Contacto geomtrico

Figura 19. Eje niontado. Figura 20. Relaciones cinemticasY - 2.

plano propuesto. Se consideran dos zonas de contacto, disponiendo sobre las mismaselementos de contacto del tipo Q-L.

Pequeas faltas de conformidad entre las superficies contactantes debidas a lapresencia en la aproximacin geomtrica efectuada de esquinas y puntos angulosos,junto con la elevada rigidez del material que conforma la zona de contacto, determinanpicos de tensin normal que afectan de manera indeseable a la regularidad de la solucinen tensiones. La introduccin de un trmino de perturbacin permite, relajando lascondiciones de compatibilidad para estos puntos singulares, suavizar la solucin entensiones alcanzada. Se ha comprobado que la magnitud del parmetro de perturbacinnecesario decrece, como caba esperar, con el aumento de la discretizacin del rea decontacto.

En la Figura 20 se muestra la evolucin de los desplazamientos verticales frentea los desplazamientos horizontales. La curva trazada sobre los puntos ( 2 ) xpresa larelacin cinemtica establecida bajo la hiptesis de contacto rgido del eje montado conambos carriles [Garca-Vadillo et La curva trazada sobre los puntos (o) expresala misma relacin, calculada con el algoritmo de contacto elstico propuesto. De lacomparacin de ambas curvas se deduce la superior calidad de la elstica frente a largida, como caba esperar. Ello se refleja en la suave evolucin de la primera frente ala segunda, sobre todo en el intervalo (5-7mm) que corresponde al inicio del contactopest aa-carril.

CONCLUSIONES

Las condiciones de contorno sobre la superficie de contacto se introducen demanera integral. Esto mejora notablemente la compatibilidad cinemtica frente a otrosmtodos, permitiendo el tra tamiento de problemas en los que la falta de conformidad delas superficies de contacto indeformadas o los desplazamientos experimentados por lasmismas, hacen difcil y en algunos casos imposible el uso de los mtodos tradicionalesen los que las condiciones se fuerzan directamente sobre los nodos.

La introduccin de un trmino de perturbacin permite regularizar la solucin


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en tensiones sobre la zona de contacto, en los problemas donde la presencia desingularidades haran esta solucin oscilante para puntos cercanos a la misma.Para forzar el cumplimiento de las condiciones de contorno en sentido tangencial

se ha utilizado una aproximacin que rompe la consistencia establecida en sentidonormal. Ambas variables independientes, desplazamientos y tensiones, se aproximanpor funciones de interpolacin del mismo orden.

La ley de friccin de tipo "no-lineal", introduce un parmetro de regularizacin quepermite un reacomodo sobre la zona de adherencia para los puntos de ambos cuerposobligados a permanecer sobre la misma. Este trmino, modulado por la relacin entrelas tensiones normal y tangencial sobre la zona de contacto, es crucial [ G a l l e g ~ ~ ~ ]nla regularidad de las tensiones tangenciales y en la convergencia del proceso iterativoimplementado para resolver la no-linealidad del problema con friccin.

El concepto de "elemento de contacto'' se introduce como un ingrediente naturaldentro de la formulacin con elementos finitos. Es te concepto es pieza fundamentaltanto para la formulacin del problema como para su implementacin en el ordenador.E;1 elemento de contacto permite su tratamiento aislado del resto del problema y abre ungran nmero de posibilidades respecto a la utilizacin de diferentes t ipos de funcionesde interpolacin. La simple implementacin prctica a que da lugar proporciona unaherramienta de tra ba jo cmoda y fcil de generalizar, para la consideracin de mltiplesy variados problemas en los que el contacto se introduce como un componente ms encualquiera de las situaciones que se presentan en el estudio de la mecnica del slidod,eformable.

APENDPCE

Lis ta de sirnbolosu vector desplazamientos.

u, componente normal de uN vector unitario normal a la superficie de contacto.g vector distancias.g, componente normal de g.

il , i2 vectores unitarios en direcci8n de los ejes coordenados.X 1 ,X2 sistema local de coordenadas.X;, X; coordenadas del cuerpo i.C(X;) funcin que representa la superficie rgida.19(X;) funcin que representa la superficie elstica.

u vector tensin.u, componente normal de u.u vector tensin t angencial.E tensor lineal de deformaciones.C matriz de relaciones tensin-deformacin.i-2 dominio del cuerpo elstico.I contorno de contacto.I contorno con tensiones prescritas.


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punto estacionario del funcional langrangiano.vector de fuerzas de volumen.vector de fuerzas de superficies prescritas.matriz elemental de cosenos directores de la normal a la superficie decontacto.matriz de funciones de forma locales para aproximacin de losdesplazamientos.matriz de funciones de forma locales para la aproximacin de las tensionesnormales.vector de desplazamientos nodales incrementales.vector de tensiones normales, nodales e incrementales.matriz de rigidez global en el estado (n).vector global de fuerzas de volumen en el estado ( n+ 1) .vector global de fuerzas de superficie en el estado ( n+ 1) .vector global de fuerzas internas en el estado (n).

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