Upload
lethuan
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Teoria de Controle aplicadaa modelagem e analise da transmissaoda dengue, do zika e da chikungunya
M. Soledad Aronna
Escola de Matematica Aplicada, FGV, Rio de Janeiro, Brasil
Trabalho conjunto com: Pierre-Alexandre Bliman (FGV-Rio & Inria, Franca),
Flavio C. Coelho (FGV-Rio) & Moacyr A.H.B. da Silva (FGV-Rio)
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 1 / 39
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 2 / 39
Motivacao e Introducao
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 3 / 39
Motivacao e Introducao
Dengue: dados nıvel mundial
Transmissao unicamente atraves dos mosquitos Aedes
Presente em mais de 128 paıses
3, 9 bilhoes de pessoas moram em zonas endemicas
300− 500 milhoes de infetados por ano
500.000 hospitalizacoes por ano
22.000 mortes por ano: mortalidade 2, 5%, mas desce a < 1% com otratamento adequado
Infecoes (e mortes) aumentam cada ano, desde 1960 ate 2015:
20 vezes a quantidade de infecoes per capita,
e continua crescendo...
Fonte: World Health Organization
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 4 / 39
Motivacao e Introducao
Figure: Situacao dengue nos ultimos 3 meses
Fonte: Centers for Disease Control and Prevention (CDC)
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 5 / 39
Motivacao e Introducao
Dengue: dados Brasil
Transmissao atraves do Aedes aegypti
Desde 2010: mais de 500.000− 1.500.000 infetados por ano
Desde 2010: 50.000− 90.000 hospitaliacoes por ano
Mortalidade no Brasil: ≈ 0, 03%
Vacina? Sim, Dengvaxia do Laboratorio Sanofi-Pasteur, apenasliberada em 01/2016, eficacia aproximada de 65, 4%.
E outra do Instituto Betanta (SP, Brasil) em teste! Disponıvel em2019?
Custo para o pais: R$4,7 bilhoes por ano
Fontes: Ministerio da Saude, Sanofi Pasteur, Agencia Brasil
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 6 / 39
Motivacao e Introducao
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 7 / 39
Motivacao e Introducao
Zika: dados
Transmissao atraves os mosquitos Aedes
Transmissao sexual tambem pode acontecer
Relacao com microcefalia e sındrome de Guillain-Barre
Entrou no Brasil em Abril 2015.
≈ 200.000 casos em 2016
Vacina? Nao
Custo?
Fontes: Centers for Disease Control and Prevention, World Health Organization,
Ministerio da Saude
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 8 / 39
Motivacao e Introducao
O que e a Wolbachia?
Bacteria intracelular presente naturalmente em 60% dos insetos, naono Aedes aegypti
Maternalmente transmitida
Quando esta presente no Aedes aegypti bloqueia (ou diminui) acapacidade do mosquito de transmitir dengue, zika e chikungunya
Induz a incompatibilidade citoplasmatica:
Nao-infetado infetado Nao-infetada Nao-infetado Ovos estereis
infetada infetado infetado
Estrategia de controle: infestacao artificial com Wolbachia
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 9 / 39
Motivacao e Introducao
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 10 / 39
Motivacao e Introducao
Fonte: O GLOBO 24/09/2014
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 11 / 39
Motivacao e Introducao
Fonte: Ministerio da Saude 07/03/2016
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 12 / 39
Motivacao e Introducao
Fonte: EBC Agencia Brasil 22/05/2017
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 13 / 39
Motivacao e Introducao
Controle do vector: infestacao artificial com Wolbachia
Perguntas:
Como infestar?
Quantos mosquitos/larvas com Wolbachia sao necessarios parainvadir uma populacao selvagem dada?
Quantos soltar por semana/dia/em total?
Propomos uma estrategia em feedback,supondo que contamos com medicoes contınuas
Feedback: em cada instante, a quantidade de mosquitos/larvas aintroduzir depende do tamanho da populacao de adultos/larvas naoinfetadas.
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 14 / 39
Modelo de infestacao
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 15 / 39
Modelo de infestacao
Modelo populacional com duas fases
1) fase preliminar sujeita a competicao: Larvas ; 2) fase: Adultos
LU = αUAU
AU + AWAU−νLU − µ(1 + k(LW + LU ))LU
AU = νLU − µUAU
LW = αWAW−νLW − µ(1 + k(LW + LU ))LW + u
AW = νLW − µWAW
LU ,LW (AU ,AW ): nao infetados, respectivamente, infetados enfase preliminar (fase adulta)
αU > αW : taxas de fecundidade
µU < µW e µ : taxas de mortalidade
ν : caracterıstica do ciclo de vida das larvas
µk : taxa de mortalidade por competicao por recursos
u : controle, taxa de liberacao
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 16 / 39
Modelo de infestacao
Modelo normalizado
Apos normalizacao, o modelo a estudar e:
LU = γURUAU
AU +AWAU − (1 + LW + LU )LU
AU = LU − γUAULW = γWRWAW − (1 + LW + LU )LW + u
AW = LW − γWAW ,
(E)
γη.=
µην + µ
, Rη.=
ναη(ν + µ)µη
, η = U,W
Rη e o “basic offspring number”: numero medio de crias de um adultodurante a sua vida
Hipotese:
RU > RW > 1
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 17 / 39
Modelo de infestacao
Representacao compacta
Considerando a variavel de estado
X := (LU , AU , LW , AW ),
o sistema (E) pode ser reescrito como:
X = f(X) +Bu,
donde
f(X) =
γURU AU
AU+AWAU − (1 + LW + LU )LULU − γUAU
γWRWAW − (1 + LW + LU )LWLW − γWAW
, B =
0010
.
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 18 / 39
Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 19 / 39
Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
Equilıbrios e estabilidade
Teorema
O sistema nao controlado (u ≡ 0) possui quatro pontos de equilıbrio:
X0,0 (extincao da populacao)
XU,0 (libre de Wolbachia)
X0,W (infestacao total com Wolbachia)
XU,W (co-existencia)
XU,0 e X0,W sao localmente assintoticamente estaveis,X0,0 e XU,W sao instaveis.
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 20 / 39
Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
Monotonia do sistema
Seja Φt : R4 → R4 o fluxo associado ao sistema nao controlado econsideremos o cone:
K = R− × R− × R+ × R+,
e as relacoes de ordem induzidas:
x1 ≤K x2, se x2 − x1 ∈ K,x1 <K x2, se x2 − x1 ∈ K, x1 6= x2,
Definicao
(E) e monotono se Φt(X) ≤K Φt(Y ), para todos X <K Y, e t ≥ 0,
(E) preserva fortemente a ordem se dados X <K Y, existem abertosΩ 3 X,Ω′ 3 Y de R4 e t0 > 0 tais que Φt0(Ω) ≤K Φt0(Ω′),
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 21 / 39
Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
Equilıbrios: ordem e convergencia
Teorema
(E) preserva fortemente a ordem em R4+.
Quase todas as solucoes de X = f(X) convergem a XU,0 ou a X0,W .
XU,0 K X0,0 K X0,W ,
XU,0 K XU,W K X0,W .
Hirsch, M. W., Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems, J.Reine Angew. Math., 1988
Smith, H. L.,Monotone dynamical systems: an introduction to the theory of competitive
and cooperative systems, AMS, 2008
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 22 / 39
Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
Bacias de atracao
Teorema
limt→+∞
X(t)→ X0,W para quase todo valor inicial em
[[X0,0, X0,W ]]K ∪ [[XU,W ;X0,W ]]K.
limt→+∞
X(t)→ XU,0 para quase todo valor inicial em
[[XU,0, X0,0]]K ∪ [[XU,0;XU,W ]]K.
Os intervalos estao definidos respeito a ordem dada por ≤K .
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 23 / 39
Analise do modelo controlado
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 24 / 39
Analise do modelo controlado
O sistema controlado
Consideramos o sistema controlado:
LU = γURUAU
AU +AWAU − (1 + LW + LU )LU
AU = LU − γUAULW = γWRWAW − (1 + LW + LU )LW + u
AW = LW − γWAW .
(E)
O controle u : [0,∞)→ R+ vai ser considerado no espaco de funcoesintegraveis L1([0,∞);R).
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 25 / 39
Analise do modelo controlado
Lei de feedback linear
Propomos o seguinte feedback:
u(t) = KLU (t) = y(X(t)),
com o ganho escalar K > 0. O sistema resultante e:
X = f(X) +
0010
y(X) = f(X) +B y(X). (F)
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 26 / 39
Analise do modelo controlado
Equilıbrios e estabilidade
Teorema
Se o ganho K satisfaz
K > K∗ :=γWγU
(√RU −
√RW
)2,
Entao o sistema
X = f(X) +B y(X), y(X) = KLU
possui exatamente dois pontos de equilıbrio:
X0,0 (extincao)
X0,W (infestacao completa com Wolbachia)
e suas propriedades de estabilidade sao mantidas:X0,W e localmente assintoticamente estavel e X0,0 e instavel.
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 27 / 39
Analise do modelo controlado
Comportamento assintotico global
Teorema (Principal)
Se K > K∗, entao, para qualquer valor inicial X(0) diferente de X0,0, asolucao associada converge assintoticamente ao equilıbrio de infestacaocompleta X0,W , isto e:
limt→+∞
X(t)→ X0,W .
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 28 / 39
Analise do modelo controlado
Elementos da prova.(esta baseada em argumentos de monotonia para sistemas controlados).
Consideramos o fluxo ϕt : R4 × L1([0,∞);R)→ R4 associado ao sistemacontrolado, e y(X) = KLU . Logo:
se u(·) ≤ v(·) e X ≤K X, entao
ϕt(X;u(·)) ≤K ϕt(X;u(·)), y(X) ≥ y(X).
O sistema controlado e monotono com feedback negativo:
u 7→ X monotono, X 7→ u = y(X) anti-monotono
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 29 / 39
Analise do modelo controlado
O sistema (E) tem mais de um equilıbrio. Consideramos o seguintesistema auxiliar:
LU = γURU0AU
AU +AWAU − (1 + LW + LU )LU
AU = LU − γUAULW = γWRW0 AW − (1 + LW )LW + |K − LW |−LU +Ku
AW = LW − γWAW
y(X) =
∣∣∣∣1− LWK
∣∣∣∣+
LU
(E)
Em notacao compacta: X = f(X) +By(X). Logo
f(X) +By(X) = f(X) +By(X).
Este sistema (E), quando u ≡ 0, possui so dois equilıbrios: X0,0 e X0,W .
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 30 / 39
Analise do modelo controlado
Teorema (Robusteza)
Todas as trajetorias do sistema original controlado (E) com condicaoinicial diferente de X0,0 e com controle u(·) tal que
u(t) > K∗LU (t),
convergem ao equilıbrio X0,W de infestacao total.
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 31 / 39
Simulacoes numericas
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 32 / 39
Simulacoes numericas
Parametros
Parametro Descricao Valor
αU taxa fecundidade nao infetados 3.5 day−1
αW taxa fecundidade infetados Wolbachia 0.95αUν (duracao media etapa larval)−1 1/20 day−1
µ mortalidade larva 1/50 day−1
µU mortalidade adulto nao infetado 1/18 day−1
µW mortalidade adulto infetado com Wolbachia 1.25µU
Logo o ganho crıtico eK∗ ' 0.92477
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 33 / 39
Simulacoes numericas
Testes
0 10020 40 60 80 120 1400
20
40
10
30
L_U
L_W
(a) K = 1 > K∗
0 20010050 150 2500
20
40
10
30
L_U
L_W
(b) K = 0.95 > K∗
0 200 400100 300 5000
20
40
10
30
L_U
L_W
(c) K = 0.93 > K∗
0 20010050 1500
20
40
10
30
L_U
L_W
(d) K = 0.92 < K∗
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 34 / 39
Conclusoes, perspetivas e referencias
1 Motivacao e Introducao
2 Modelo de infestacao
3 Analise do modelo nao controlado: u ≡ 0
4 Analise do modelo controlado
5 Simulacoes numericas
6 Conclusoes, perspetivas e referencias
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 35 / 39
Conclusoes, perspetivas e referencias
Resultados
Sucesso da infestacao da populacao de Aedes atraves de uma lei defeedback foi demonstrado numerica e analiticamente.
Argumentos baseados em propriedades de monotonia garantemrobusteza respeito a possıveis incertezas/modificacoes do modelo.
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 36 / 39
Conclusoes, perspetivas e referencias
Trabalho em curso e perguntas abertas
Trabalho em andamento: introduzir a presenca de inseticidas, emodelar a evolucao da resistencia.
Trabalho em andamento: achar as estrategias de infestacao otimas.
Generalizar a sistemas em tempo discreto, controle discreto (ouimpulsivo). Estudar caso com medidas parciais (introduzirobservadores).
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 37 / 39
Conclusoes, perspetivas e referencias
Referencias
Hughes H., Britton N.F., Modelling the use of Wolbachia to controldengue fever transmission. Bulletin of Mathematical Biology, 2013
Enciso G., Fixed points and convergence in monotone systems underpositive or negative feedback. International Journal of Control,2014
P.-A. Bliman, M.S. Aronna, F.C. Coelho, M.A.H.B. da Silva, Ensuringsuccessful introduction of Wolbachia in natural populations of Aedesaegypti by means of feedback control. Journal of MathematicalBiology, 2017
P.-A. Bliman, M.S. Aronna, F.C. Coelho, M.A.H.B. da Silva, Globalstabilizing feedback law for a problem of biological control ofmosquito-borne diseases. Proceedings of the 54th IEEEConference on Decision and Control, 2015
M.S. Aronna, P.-A. Bliman, Optimal control of Wolbachia infection.Em elaboracao
M.S. Aronna et al. (FGV-Rio) Infestacao com Wolbachia 38 / 39
MUITO OBRIGADA PELA ATENCAO