Teoría de ecuaciones

Évariste Galois da una condición necesaria y suficiente para la resolución de una ecuaciónpolinómica con el

álgebra, respondiendo así a una interrogante planteada desde hacía milenios.

En matemáticas, la teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicas Nota 1  o equivalentes.Nota 2 Tal ecuación se escribe del modo siguiente:Nota 3

donde X designa la incógnita,.Nota 4 Un número que verifica la ecuación se llama raíz o solución.1

La «teoría de ecuaciones» es una expresión frecuentemente utilizada en historia de ciencias.2 Su estudio remonta a los primeros textos matemáticos conocidos;Nota 5 este primer acercamiento consistía en resolver ecuaciones en las que el grado del polinomio es estrictamente menor que cinco. Durante el Renacimiento y con el estudio de lasecuaciones cúbicas, nuevos tipos números son introducidos, inicialmente calificados de imaginarios, y después números complejos. Más tarde, estos números intervendrán en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

A partir de la edad moderna, el polinomio es considerado también unafunción. Este tratamiento ofrece métodos para determinar el número deraíces reales, para localizarlas, y también permite construir métodos de aproximación tan precisos como se desee. Uno de sus logros es el llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual una función polinómica no-constante admite al menos un cero en los números complejos.

Una perspectiva adoptada en el XX, consiste en estudiar el menor conjunto de números estable por las cuatro operaciones y que contiene a la vez coeficientes y raíces de una ecuación dada. Este es el enfoque de la teoría llamada de Galois. Ofrece una condición

necesaria y suficiente para saber si una ecuación polinómica se resuelve por las técnicas descritas anteriormente, en caso contrario, deben aplicarse aproximaciones desarrolladas en análisis matemático. Hasta el siglo XIX, la teoría de ecuaciones se confunde con el álgebra, más tarde, y gracias a la teoría de Galois principalmente, el álgebra se extiende para tomar en cuenta nuevas interrogantes. Esta teoría es el origen de vastos dominios de las matemáticas, como lateoría de grupos, la teoría de anillos, la teoría de cuerpos o incluso la geometría algebraica.

Observación: Cuando no se precisa, el término teoría de ecuaciones designa

generalmenteNota 6 las ecuaciones polinómicas.3 Por otra parte, existen numerosas

ecuaciones que, sin ser algebraicas, también forman parte de una teoría. El uso

requiere que se precise la naturaleza de la ecuación considerada, como en la

expresión teoría de las ecuaciones diferenciales.4 No existe una teoría única que se

aplique a todo tipo de ecuaciones, pues forman un conjunto muy heterogéneo.

Índice

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1 Primeros desarrollos

o 1.1 Egipto y Babilonia

o 1.2 Álgebra árabe

2 Geometría al servicio del álgebra

3 El siglo XVI en Europa

o 3.1 Difusión desde Italia

o 3.2 Teoría de las ecuaciones moderna

4 Véase también

5 Fuentes

o 5.1 Notas

6 Bibliografía

7 Notas II

Primeros desarrollos[editar]

Egipto y Babilonia[editar]

Tan atrás como se remontan a los textos conocidos de matemáticas se encuentran cuestiones que, adaptadas al lenguaje actual, se expresan en forma de ecuaciones algebraicas. En un papiro del antiguo Egipto se lee: «Cuándo el escriba te dice que 10 son los 2/3 y 1/105 se traducirá como 2/3x + 1/10x = 10». En tanto, los babilonios estudiaron en particular problemasque corresponden a ecuaciones de segundo grado. Su lenguaje era geométrico, el valor que se busca, que actualmente denominamos «x», se denominaba «lado» y «x2 cuadrado», pero su formulación a menudo es puramente algebraica. Se puede leer, sobre una tablilla de arcilla: «He sumado 7 veces el lado de mi cuadrado y 11 veces el área: 6 15»,Nota 7 para describir, en la numeración sexagesimal

utilizada por los babilonios, la ecuación 11x2 + 7x = 6x60 + 15 = 375. El sentido geométrico de la suma de un área y de una longitud es ambigua, sin embargo ningún comentario no sostiene una interpretación puramente algebraica de la cuestión (los números multiplicados y sumados). No se desarrolló ninguna herramienta algebraica, así como tampoco existió ninguna incógnita que se pueda determinar con la ayuda de un método de cálculo. Los egipcios resolvieron la ecuación del primer grado por tanteo, con la ayuda del método de la falsa posición y los babilonios disponían de algoritmos sin otra justificación que la empírica, es decir que finalmente el valor encontrado es la solución buscada.

Se tuvo que esperar más de dos milenios para encontrar un esbozo de una verdadera «teoría». Fue desarrollada de forma independiente por tres culturas matemáticas: Grecia, la civilización árabe y la India. Diofanto, un matemático del siglo III, formaliza la «arithme», una letra que él define de la siguiente manera:6 «El número que posee una cantidad indeterminada de unidades se llamará arithme, y su marca distintiva es σ. Como aclaro más adelante el arithme se suma y se multiplica; la inversa del arithme multiplicada por el bicuadrado del arithme da el cubo de la arithme».7 Esto significa, en lenguaje actual, la inversa de x multiplicada por x4 y que el resultado es igual a x3. Este paso permite una verdadera formulación matemática de la ecuación y, sobre todo, una forma de resolverlo. En el siglo VIII, antes de que la obra de Diofanto fuera traducido al árabe,8el matemático de origen persa Al-Khwarazmí desarrolló una idea análoga. Su incógnita se llamaba «say».9 Una vez más, el nuevo formalismo ofrece un medio de resolución de la ecuación. R. Rashed comenta al respecto: «[Con Al-Khwarazmí] la noción base es la noción de ecuación, que puede cubrir una clase infinita de problemas, geométricos o aritméticos: la unidad ya no es el objeto sino que lo es la operación misma».10 La misma idea también está presente en el matemático indioBhaskara II y queda recogida en su obra titulada Bījagaṇita.11

Álgebra árabe[editar]

A menudo se considera que el matemático Al-Khwarazmí fue el fundador de la rama de las matemáticas llamada álgebra. Desde el punto de vista de la etimología, el título de su tratado sobre las ecuaciones: «Kitab al-jabr wa al-muqabala» utiliza el término «al-jabr», que ha derivado en la palabra álgebra. En árabe, al-jabr indica transformar una sustracción de un miembro en una adición al otro miembro,12 con el objetivo de obtener únicamente los coeficientes positivos. Por ejemplo: 2x2 + 100 - 20x = 58, siguiendo este procedimiento, se transforma en 2x2 + 100 = 58 + 20x. Dahan-Dalmedico y Peiffer precisan que el trabajo de Al Khwarazmí se puede concretar en el nacimiento de una teoría referente a las ecuaciones cuadráticas, así como en el conjunto de los números positivos (casi siempre racionales), teoría que implica todavía algunas lagunas.13 No es sólo la etimología lo que justifica esta adjudicación a Al Khwarazmí puesto que él se interesó por todas las ecuaciones de segundo grado, mientras que Diofanto sólo intentó resolver algunos casos particulares, con soluciones de enteros o racionales. Al Khwarazmí desarrolló un proceso más sistemático, el objeto de su tratado es ofrecer un método que permita encontrar con certeza una solución de la ecuación, si ésta existe.

Los progresos en teoría de ecuaciones no se detienen con Al Khwarazmí. Él representa el origen de una escuela matemática que se desarrolla a lo largo de varios siglos. Su discípulo Abu Kamil disipa una primera limitación. Al principio, las ecuaciones que se estudian son casi siempre con coeficientes racionales; Abu Kamil generalizó el estudio de los coeficientes irracionales.13 La concepción inicial del número en los árabes es heredada de los griegos y se limita a las fracciones. Los tamaños inconmensurables, que corresponden a nuestros irracionales, son proporciones entre longitudes pero no poseen el estatus de número. Al Khwarazmí los denominó «gidr asamm», que significa raíz muda

o ciega.13 Dos siglos más tarde, para matemáticos como Omar Khayyam, las fracciones y las proporciones inconmensurables son tratadas en los cálculos de la misma manera. Los dos conceptos se denominan «al-Adad», que significa número (los racionales se designan por el término «al-Adad al muntiqa» y los irracionales «al-Adad al-suma»), y la diferencia es más que filosófica.14

Posteriormente se desarrollaron herramientas específicas que permitieron un cálculo más sencillo de las multiplicaciones de polinomios. As-Samawal logró desarrollar con ello una representación cercana al concepto moderno de polinomio formal.

Geometría al servicio del álgebra[editar]

Artículos principales: Geometría analítica y Productos notables.

La geometría, y particularmente la de los Elementos de Euclides, juega un papel fundamental en esta álgebra naciente. En el caso de una ecuación de segundo grado y después de dividir entre el coeficiente del monomio de segundo grado, el monomio del segundo grado puede ser visto como el área de un cuadrado cuyo lado es la incógnita que se busca. En el caso de la ecuación de primer grado, se interpreta el término del primer grado como el área de un rectángulo cuyas dimensiones son la incógnita y el coeficiente del monomio, la constante se interpreta como el área un cuadrado perfectamente determinado. Este enfoque permite a Euclides resolver problemas de primer y segundo grado.15 El enfoque del análisis de los árabes es diferente puesto que intentan resolver una ecuación, en este caso particular, del segundo grado. Sin embargo el núcleo de la demostración es el mismo: un análisis de una configuración geométrica, construida sobre la base de ungnomon. De manera metódica, el estudio del gnomon permite establecer las tres identidades notables fuente de la resolución de las ecuaciones del segundo grado.

El enfoque utilizado para extender la teoría naciente de las ecuaciones en la ecuación cúbica también es geométrico, pero esta vez con herramientas un poco diferentes. Al Khayyam se fijó que es posible interpretar la raíz de la ecuación cúbica como la abscisa de la intersección de una circunferencia y de una parábola, lo que muestra ya el uso de lo que se dirá más tarde como una referencia cartesiana y permitirá observar la posible existencia de varias soluciones.16 Dos siglos más tarde, aprovechando los progresos tanto algebraicos como geométricos, Nasser-ad-Din at-tosa desarrolló diversas herramientas en el marco de la ecuación cúbica. El discriminante le posibilitó conocer la existencia de raíces positivas en ciertas situaciones,17la derivación formal le permitió localizar las raíces y obtener un método numérico, que es una variante de lo que se denominamétodo de Ruffini-Horner, el cual permite obtener una aproximación de la raíz con una precisión tan grande como se quiera.

El siglo XVI en Europa[editar]

Difusión desde Italia[editar]Artículo principal: Ecuación de tercer grado

Gerolamo Cardanogeneralizó la fórmula deTartaglia, en esta generalización usa los números

imaginarios para resolver casos que hasta entonces se calificaban de irreductibles.

A principios del siglo XVI, a través de los textos de Fibonacci e, incluso, la Summa de Arithmetica, Geometría, Proportioni te Proportionalità (Venecia, 1494) de Luca Pacioli, la ciencia y la cultura de influencia italiana tuvieron acceso a la esencia del saber árabe. Los matemáticos de entonces se apasionaron por el álgebra y, sobre todo, por un problema que había quedado abierto: encontrar un método general y exacto de resolución de la ecuación cúbica. Por la expresión «exacta», se entiende una forma diferente de una sucesión que converge hacia la raíz. Estos matemáticos buscaron una expresión análoga a la de Al Khawarizmi o a la de Savasorda por la de segundo grado que, con la ayuda de raíces cuadradas o cúbicas, llegara a dar la solución.

El áspera competición que reinó entre los diferentes matemáticos estimuló a los candidatos y promovieron la aparición de ideas nuevas. Scipione del Ferro, en relación a la ecuación X3+ aX = b, encontró como fórmula de resolución:

La fórmula debería suscitar el asombro de la época.Nota 8 Un cálculo algebraico en aquella época todavía debía quedar justificado por un soporte geométrico. Un número coge su justificación de una longitud, de un área o de un volumen. El signo   no tiene sentido más que si una longitud se sustrae de una más grande. En la solución que propone del Ferro, se recorta una «longitud» de otra longitud más pequeña.Nota 9 En esa época, el objetivo era superar desafíos, es decir, resolver ecuaciones particulares;18 el rigor del método importa poco, en tanto que finalmente sea posible verificar el resultado reemplazando en la ecuación «x» por la presunta solución.

Todavía se seguía sin resolver una cuestión: «¿Cómo resolver la ecuación X3 + a = bX?» Esta vez, el método parecía impracticable ya que el tamaño negativo que aparece debería corresponder a la superficie de un cuadrado (en el sentido geométrico del término). Tartaglia, uno de los especialistas de la época en la materia, calificó la ecuación de «irreductible». Fue finalmente Cardano quien encuentra la solución; bastaba con no detener los cálculos. Estos extraños términos acabaron por desaparecer.19 Por ejemplo, aplicando identidades notables como:20

Con estas aportaciones, se franquea una nueva etapa. Si bien el significado preciso de la expresión √-1 quedó misteriosa, se descubrió la idea de hacer referencia a un conjunto de números más grandes para resolver una cuestión de la teoría de ecuaciones. En 1540, un alumno de Cardano, Ludovico Ferrari, resolvió la ecuación de cuarto grado.21 Bombelli propuso un formalismo que admitía la existencia de números negativos e imaginarios. Su influencia, comprobable por los comentarios de Steven o la correspondencia entre Leibnitz y Huygens, fue duradera.22

Teoría de las ecuaciones moderna[editar]

El comienzo de una verdadera teoría de ecuaciones se atribuye generalmente a Viète, matemático francés de finales del siglo XVI.23 Si bien todavía se niega a incorporar los avances de Bombelli —es decir, los números negativos y los números «imaginarios»—, obtiene tres resultados fundamentales que se pueden resumir en el uso de letras para representar variables y coeficientes y los sistemas de coordenadas. El resultado más celebrado es probablemente lo que él llamaba la «lógica especiosa» y que actualmente se califica de cálculo utilizando letras. Viète categorizó en dos grupos el uso de las letras en matemáticas:24

En relación al álgebra, el uso de las letras se extiende y se perfecciona en Europa en

el transcurso del siglo XVI,25 pero ya existía en la obra de Diofanto: una letra se suma

o se multiplica y juega el papel de incógnita en una ecuación. En geometría, este uso

ha sido habitual ya desde la antigüedad, una letra designa un tamaño o un objeto no

especificado, un punto, una recta, una distancia entre dos puntos sobre una figura,

etc. Los principios generales de resolución de las ecuaciones no podían ser

establecidos más que con la ayuda de la geometría, como el uso de gnomones para

lasidentidades notables, después ilustrados con ejemplos de ecuaciones polinómicas

con coeficientes numéricos, que Viète consideró que pertenecían a la «lógica de los

números».

Viète introduce una segunda categoría de letras para los coeficientes. Estos son

también valores que se consideran como fijados, incluso si no se les conoce, es el

que ahora se llama un parámetro. Transportando al álgebra una antigua costumbre

geométrica, Viète crea la «lógica especiosa». Este nuevo enfoque significa considerar

una ecuación como una expresión del tipo: ax2 + bx = c; de hecho, poder resolver esta

ecuación es poder ser capaz de resolver todas las ecuaciones de segundo grado. Un

único caso general de lógica especiosa permite tratar un sinfín de casos particulares

procedentes de la lógica de los números.

La segunda aportación de Viète consiste en el desarrollo de un lenguaje simbólico que permitía expresar de forma más simple cualquier expresión polinómica. Las ideas de Viète permitieron una expresión más límpida que la de sus predecesores. Su vocabulario, en parte, ha resultado lo suficientemente moderno; de hecho, a él se le debe la incorporación de los términos «coeficiente» y «polinomio». Este formalismo permitió expresar los primeros resultados generales, en el sentido de que son independientes del grado del polinomio, como la relación entre los coeficientes y las raíces de un polinomio. El sistema de notaciones de Viète es retomado por Fermat y Descartes para convertirse, en palabras

de Nicolas Bourbaki, en «un sistema que con pocas diferencias, es el que utilizamos actualmente». Estos trabajos permiten una inversión de la jerarquía matemática. Hasta Viète, la teoría de las ecuaciones era necesariamente una emanación de la geometría. El único método genérico de demostración se basaba en la obra Elementos de Euclides, y los cálculos claves, tales como las identidades notables, que se establecían con la ayuda de consideraciones geométricas. El cálculo con letras permitió liberar el álgebra de estas restricciones. Gracias a Descartes, el álgebra, con la implementación de una referencia cartesiana, se convirtió en una máquina que permitió demostrar teoremas geométricos. Es una «extensión de la lógica, desprovista de toda significación por sí misma, pero indispensable para el manejo de las cantidades, y, en cierto sentido, más fundamental incluso que la geometría».

Teoría de Galois

Évariste Galois (1811–1832)

En matemáticas, la teoría de Galois es una colección de resultados que conectan lateoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos, y que gracias a este desarrollo, pueden ser reducidos a problemas más sencillos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe su nombre al matemático francés Évariste Galois (1811-1832), fallecido a la edad de 20 años.

Índice

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1 Aplicaciones de la teoría de Galois

2 El enfoque de la teoría de Galois usando el grupo de permutaciones

o 2.1 Primer ejemplo: ecuación cuadrática

o 2.2 Segundo ejemplo

3 Grupos solubles y solución por radicales

4 El problema inverso de Galois

5 Véase también

6 Referencias

7 Bibliografía

Aplicaciones de la teoría de Galois[editar]

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de

quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando

operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces

(raíces cuadradas, cúbicas, etc); tal como existe para las ecuaciones de segundo,

tercer y cuarto grado?

El teorema de Abel-Ruffini que es parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no sólo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones son expresables mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.

Además la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:

¿Qué polígonos regulares son construibles mediante regla y compás?

¿Por qué no es posible la trisección de un ángulo?

El enfoque de la teoría de Galois usando el grupo de permutaciones[editar]

Si tenemos un polinomio puede suceder que algunas de sus raíces estén digamos que "conectadas" mediante varias ecuaciones algebraicas, que cumplan dichas raíces. Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A2 + 5B3 = 7 sea cierta. La idea central de la teoría de Galois es el considerar aquellas permutaciones (o arreglos) de las raíces que tengan la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas sea satisfecha también tras la permutación o el arreglo. Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. (Se pueden especificar ciertos cuerpos para los coeficientes, pero en los ejemplos de abajo serán los números racionales los que usemos.)

El conjunto de tales permutaciones formarán un grupo de permutaciones, también llamado Grupo de Galois del polinomio (sobre los números racionales). Un ejemplo:

Primer ejemplo: ecuación cuadrática[editar]

Sea la ecuación cuadrática

Mediante el uso de la fórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son

Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son

En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.

Concluimos que el grupo de Galois del

polinomio   consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y Bquietas, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.

Podríamos plantear la objeción de que existe esta otra ecuación satisfecha por A y B:

pero que no es cierta cuando intercambiamos los papeles. Sin embargo hemos de observar que no nos

importa pues sus coeficientes no son racionales;   es irracional.

De forma parecida podemos hablar de cualquier

polinomio cuadrático  , donde a, b y c son números racionales.

Si el polinomio tiene sólo una raíz, por

ejemplo  , entonces el

grupo de Galois es trivial; esto es, contiene sólo a la

permutación identidad.

Si tiene dos distintas raíces racionales, por

ejemplo  , el

grupo es de nuevo trivial.

Si tiene dos raíces irracionales (inclusive el caso en el que ambas son números complejos),

entonces el grupo de Galois contiene dos permutaciones, como en el ejemplo anterior.

Segundo ejemplo[editar]

Considérese el siguiente polinomio:

,

que puede escribirse también como:

Deseamos describir el grupo de Galois de este polinomio, nuevamente sobre el cuerpo de los números racionales. El polinomio tiene cuatro raíces:

Existen 4! = 24 maneras de permutar estas cuatro raíces, pero no todas estas permutaciones son miembros del grupo de Galois. Los miembros del grupo de Galois debe preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales A, B, C yD. Una de dichas ecuaciones es por ejemplo:

.

Ya que puesto que

,

la permutación

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

no está permitda, porque transforma la ecuación válida A + D = 0 en la ecuación inválida A + C = 0.

Otra ecuación que las raíces satisfacen es:

.

Esto excluiría más permutaciones, como por ejemplo:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Continuando de esta manera, podemos encontrar que sólo las permutaciones que satisfacen las dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

y por tanto el grupo de Galois es isomorfo al grupo de Klein.

Grupos solubles y solución por radicales[editar]

Se dice que una raíz α se puede expresar en radicales si α es elemento de un cuerpo K tal

que   

donde  . Una ecuación polinomial es soluble por radicales si todas sus raíces se pueden expresar en radicales.1 Con la teoría de Galois podemos derivar el siguiente teorema:

El polinomio f(x) (en el cuerpo F) es soluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es soluble.2